Apostila Calculo1 com Exercicios_pag70

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<p>66</p><p>dobra pode ser expresso pela função</p><p>L : [a2/b2, 1]→ R, L(z) =</p><p>√</p><p>2a2</p><p>z(1 +</p><p>√</p><p>1− z)</p><p>.</p><p>Podemos calcular a derivada de L derivando implicitamente a expressão em (9.4).</p><p>Assim, temos</p><p>2L(z)L′(z) = −2a2</p><p>(</p><p>1 +</p><p>√</p><p>1− z − z</p><p>2</p><p>√</p><p>1−z</p><p>z2(1 +</p><p>√</p><p>1− z)</p><p>)</p><p>Como L(z) > 0, temos</p><p>L′(z) = 0 ⇐⇒ 1 +</p><p>√</p><p>1− z − z</p><p>2</p><p>√</p><p>1− z = 0.</p><p>Multiplicando ambos os lados da equação acima por 2</p><p>√</p><p>1− z, obtemos</p><p>2</p><p>√</p><p>1− z = 3z − 2 → 9z2 − 8z = 0 z = 0 ou z = 8/9.</p><p>Observe que z = 0 está descartado, pois o domínio da função no problema é o inter-</p><p>valo [a2/b2, 1]. Por outro lado, se z = 8/9, então segue de (9.3) que x = b−3</p><p>√</p><p>2a/4.</p><p>Para concluirmos que este ponto z0 = 8/9 fornece a solução do problema, é preciso</p><p>veri�car se L(z0) é o valor mínimo absoluto. Como o cálculo da derivada de segunda</p><p>ordem parece muito complicado, vamos analisar o crescimento/descrescimento da</p><p>função.</p><p>L′(z) > 0 ←→ 1 +</p><p>√</p><p>1− z 8/9.</p><p>Portanto, a função é crescente no intervalo [8/9, 1] e descrescente em [0, 8/9] e</p><p>consequentemente, z0 = 8/9 é ponto de mínimo absoluto.</p><p>Observação: No caso em que 8/9</p>