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<p>103</p><p>de onde se conclui que</p><p>B = D =</p><p>1</p><p>2</p><p>e C = −A =</p><p>√</p><p>2</p><p>4</p><p>.</p><p>Obtemos assim,∫</p><p>1</p><p>x4 + 1</p><p>dx =</p><p>√</p><p>2</p><p>4</p><p>(∫</p><p>x</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx−</p><p>∫</p><p>x</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx</p><p>)</p><p>(2.25)</p><p>+</p><p>1</p><p>2</p><p>(∫</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx+</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx</p><p>)</p><p>.</p><p>Calculando separadamente as integrais em (2.25):</p><p>∫</p><p>x</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx =</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>2x+</p><p>√</p><p>2−</p><p>√</p><p>2</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>2x+</p><p>√</p><p>2</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx−</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx (2.26)</p><p>= ln</p><p>(√</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>)</p><p>−</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx</p><p>−</p><p>∫</p><p>x</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx = −1</p><p>2</p><p>∫</p><p>2x−</p><p>√</p><p>2 +</p><p>√</p><p>2</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx</p><p>= −1</p><p>2</p><p>∫</p><p>2x−</p><p>√</p><p>2</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx −</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx (2.27)</p><p>= − ln</p><p>(√</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>)</p><p>−</p><p>√</p><p>2</p><p>2</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx</p><p>substituindo as duas integrais acima em (2.25), obtemos</p><p>∫</p><p>1</p><p>x4 + 1</p><p>dx =</p><p>√</p><p>2</p><p>4</p><p>ln</p><p>√x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>+</p><p>1</p><p>4</p><p>(∫</p><p>1</p><p>x2 +</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx +</p><p>∫</p><p>1</p><p>x2 −</p><p>√</p><p>2x+ 1</p><p>dx</p><p>)</p><p>.</p><p>Para concluir, lembremos que</p><p>∫</p><p>du</p><p>u2 + a2</p><p>=</p><p>1</p><p>a</p><p>arctg</p><p>(u</p><p>a</p><p>)</p><p>.</p><p>Portanto, completando quadrados:</p>
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