Planejamento de experimento EXA

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PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTO
Magali Teresopolis R. Amaral ∗
1 Introduc¸a˜o
1. Reduc¸a˜o da variac¸a˜o do processo e melhor concordaˆncia entre os valores nominais obtidos e os
valores pretendidos;
2. Reduc¸a˜o do tempo do processo;
3. Reduc¸a˜o do custo operacional;
4. Melhoria no rendimento do processo.
Assim, os treˆs princ´ıpios ba´sicos para aumentar a precisa˜o dos experimentos sa˜o:
1. Repetic¸a˜o
2. Casualizac¸a˜o
3. Blocagem
1.1 Repetic¸a˜o
A ide´ia, em experimentac¸a˜o, e´ comparar grupos, na˜o apenas unidades. As unidades experimentais do
mesmo grupo recebem, em estat´ıstica, o nome de repetic¸o˜es ou re´plicas. Fazer um experimento com
re´plicas e´ muito importante pelos seguintes motivos:
1. Permite a obtenc¸a˜o do erro experimental. A estimativa desse erro e´ ba´sica para verificar se as
diferenc¸as observadas nos dados sa˜o estatisticamente diferentes.
2. A replicac¸a˜o permite a obtenc¸a˜o de uma estimativa mais precisa do fator, se a me´dia de uma
amostra for usada para estimar o efeito desse fator no experimento.
1.2 Casualizac¸a˜o
A casualizac¸a˜o permite que os tratamentos sejam distribu´ıdos pelas unidades experimentais de maneira
objetiva. Ou seja, os tratamentos sa˜o distribu´ıdos por sorteio. Onde cada unidade experimental deve
ter a mesma chance de receber um tratamento de uma dada repetic¸a˜o. Isso se faz necessa´rio para que
as estimativas da variaˆncia residual e de me´dias de tratamentos, sejam na˜o tendenciosas. Pelo fato
das unidades experimentais exercerem diferentes efeitos nas mensurac¸o˜es observadas, cada distribuic¸a˜o
dos tratamentos resultara´ numa estimativa diferente para a variaˆncia residual. A sistematizac¸a˜o na
distribuic¸a˜o dos tratamentos pelas unidades experimentais causa correlac¸a˜o entre os erros.
OBS: Os me´todos estat´ısticos requerem que as observac¸o˜es, ou os erros, sejam varia´veis aleato´rias
distribu´ıdas independentemente. Os experimentos, com suas re´plicas, devem ser realizados de forma
aleato´ria, de modo a garantir a distribuic¸a˜o equaˆnime de todos os fatores na˜o considerados.
∗Universidade Estadual de Feira de Santana, Salvador, BA, Brazil, e-mail:mteresopolis@hotmail.com
1
1.3 Blocagem
Quando o material e´ homogeˆneo, a distribuic¸a˜o dos tratamentos pelas unidades experimentais deve
ser procedida atrave´s de aleatorizac¸a˜o, ou seja, por sorteio, sem nenhuma restric¸a˜o a` casualizac¸a˜o.
Por outro lado, quando o material e´ heterogeˆneo, e´ questiona´vel a distribuic¸a˜o dos tratamentos pelas
unidades experimentais inteiramente ao acaso. Isto pode comprometer as estimativas de me´dias de
tratamentos, bem como gerar correlac¸a˜o entre os erros. No caso da presenc¸a de heterogeneidade do
material experimental, o que se recomenda e´ a subdivisa˜o do mesmo em partes (blocos). A blocagem
e´ usada, por exemplo, quando uma determinada medida experimental e´ feita por duas diferentes
pessoas, levando a uma poss´ıvel na˜o homogeneidade nos dados. Geralmente cada bloco conte´m todos
os tratamentos envolvidos no experimento uma vez (1 repetic¸a˜o dos tratamentos) pore´m, pode-se
formar blocos que na˜o conte´m todos os tratamentos, bem como, blocos que exibem o conjunto dos
tratamentos mais de uma vez.
2 Classificac¸a˜o u´nica ou experimento de um fator
O caso mais simples de ana´lise de variaˆncia (ANOVA) e´ o denominado classificac¸a˜o simples, onde as
mensurac¸o˜es sa˜o classificadas de acordo com um crite´rio uni-dimensional. Assim, admite-se um u´nico
fator (varia´vel independente) que e´ subdividido em tratamentos (n´ıveis do fator). A varia´vel de estudo
(varia´vel dependente) e´ medida atrave´s de amostras de cada tratamento.
OBS: Um tratamento (ou fator) e´ uma caracter´ıstica que nos permite distinguir diferentes po-
pulac¸o˜es umas das outras.
A ana´lise de variaˆncia (ANOVA) e´ um me´todo para testar a igualdade de treˆs ou mais me´dias
populacionais, baseado na ana´lise de variaˆncias amostrais. As hipo´teses, utilizada na ANOVA sera˜o
H0 : µ1 = µ2 = . . . = µn
e
H1 : Pelo menos uma das me´dias e´ diferente.
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Tabela 1: Um experimento inteiramente ao acaso.
Tratamento
1 2 . . . K Total
y11 y21 . . . yk1
y12 y22 . . . yk2
...
...
...
y1r y2r . . . ykr
Total T1 T2 . . . TK
∑
T =
∑
y
Repetic¸o˜es r r . . . r n = kr
me´dias y1 y2 . . . yk
O modelo mais utilizado para ana´lise deste tipo de dado e´ da forma Yij = µi + εij . Onde Yij
representa a j-e´sima mensurac¸a˜o no i-e´simo grupo, µi representa a me´dia populacional da varia´vel
Y no i-e´simo grupo εij e´ uma componente do erro aleato´rio que incorpora todas as outras fontes
de variabilidade no experimento, incluindo medida, fatores incontrola´veis diferenc¸as entre unidades
experimentais. E´ suposto que esse erro seja uma varia´vel aleato´ria e tenha uma distribuic¸a˜o normal
e independente, com me´dia zero e variaˆncia constante, σ2, para todos os n´ıveis do fator, assim,
E(yij) = µi. Uma outra maneira de expressar a equac¸a˜o anterior, conhecida como modelo dos efeitos,
e´:
Yij = µ+ τi + εij
em que µ e´ um paraˆmetro comum a todos os tratamentos, conhecido como me´dia global, e τi = µi−µ.
Assim as me´dias podem ser expressas como µi = µ.+ τi.
Para fazer a ana´lise de variaˆncia de um experimento inteiramente ao acaso e´ preciso calcular as
seguintes quantidades:
2.1 Definic¸o˜es:
Graus de Liberdade
1. de tratamento: K − 1
2. do total: n− 1 com n = kr
3. do res´ıduo: (n− 1)(K − 1) = n−K
O valor C, dado pelo total geral elevado ao quadrado e dividido pelo nu´mero de observac¸o˜es. O
valor C e´ conhecido como correc¸a˜o.
C =
(
∑
y)2
n
SQ(Total) ou soma total de quadrados: e´ uma medida da variac¸a˜o total (em torno de x) em todos
os dados amostrais combinados.
SQTotal =
∑∑
(yij − yˆ) =
∑
y2 − C
O SQ(Total) pode decompor-se em SQ(tratamento) e SQ(erro), como segue:
SQ(tratamento) e´ uma medida de variac¸a˜o entre as me´dias amostrais. Em ANOVA de um
crite´rio,SQ(tratamento) e´ chamada a`s vezes SQ(fator). E como e´ uma medida de variabilidade entre
as me´dias amostrais, e´ tambe´m conhecida como SQ(entregrupos) ou SQ(entreamostras).
SQtratamento =
∑
n(yj − yˆ)2 =
∑
T 2
r
− C
3
SQ(erro) e´ uma soma de quadrados que representa a variabilidade que supomos seja comum a
todas as populac¸o˜es em considerac¸a˜o (variac¸a˜o dentro das amostras).
SQerro =
∑∑
(yij − y)2
Como SQ(erro) e´ uma medida da variac¸a˜o dentro dos grupos, e´ designada a`s vezes por SQ(dentro
dos grupos) ou SQ(dentro das amostras).
Consideradas as expresso˜es precedentes para SQ(Total), SQ(tratamento) e SQ(erro), a relac¸a˜o
seguinte e´ sempre va´lida.
SQ(Total) = SQ(tratamento) + SQ(erro)
SQ(tratamento) e SQ(erro) sa˜o ambas somas de quadrados, e se dividirmos cada uma delas pelo
correspondente nu´mero de graus de liberdade, obteremos os quadrados me´dios, definidos como se
segue:
QM(tratamento) e´ o quadrado me´dio para tratamento (estimado por σ2), obtido como se segue:
QM(tratamento) =
SQ(tratamento)
K − 1
QM(erro) e´ o quadrado me´dio para erro, e se obte´m como se segue:
QM(erro) =
SQ(erro)
N − k
QM(total) e´ o quadrado me´dio para a variac¸a˜o total:
QM(total) =
SQ(total)
N − 1
Dessa maneira,
F =
SQtratamento/k − 1
SQerro/N − k =
QMtratamento
QMerro
tera´ distribuic¸a˜o F com (k − 1) g.l. no numerador e (n− k) g.l. no denominador. O quociente F
sera´ utilizado para testar a hipo´tese H0.
2.2 Quadro de Ana´lise da Variaˆncia
Quadro de Ana´lise da Variaˆncia.
Fonte de Variac¸a˜o Soma de Quadrados G. Liberdade Quadrados Me´dios Teste F
Entre Tratamentos SQ(trat) k − 1 QM(trat) Fcal = QM(tatamento)QM(erro)
Dentro das Amostras SQ(erro) N − k QM(erro)
Total SQ(total) N − 1 QM(Total)
Para testar a hipo´tese H0 contra a alternativa H1, compara-se o valor Fcal com o valor F tabelado
com (k − 1)g.L. no numerador e (N − k) no denominador, fixando certo n´ıvel de significaˆncia.
Se Fcal ≤ Ftab, enta˜o aceita-se H0 e conclui-se com risco α que o fator considerado na˜o causa efeito
sobre a varia´vel em estudo. Por outro lado, se Fcal> Ftab , rejeita-se H0 , concluindo-se pela diferenc¸a
das me´dias e consequ¨ente influeˆncia do fator sobre a varia´vel analisada.
2.3 Procedimento para a efetivac¸a˜o do teste
• Dispor os elementos, segundo a tabela a seguir, obtendo as somas das colunas e suas respectivas
me´dias.
• Calcula-se a constante C.
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• Calcula-se a variac¸a˜o total.
• Calcula-se a variac¸a˜o entre tratamentos.
• Obte´m a variac¸a˜o residual por diferenc¸a: SQ(Total) = SQ(Tratamento) + SQ(erro)
• Constro´i-se o Quadro de Ana´lise da Variaˆncia, avaliando o Fcal.
• Determina-se a regia˜o cr´ıtica e de aceitac¸a˜o da hipo´tese H0 por meio da tabela F.
• Compara-se Fcal com Ftab, obtendo-se a conclusa˜o.
Exemplo1 :
O resultado das vendas de um medicamento efetuadas por 3 diferentes farma´cias durante certo
per´ıodo e´ dado a seguir. Deseja-se saber, ao n´ıvel de 5%, se ha´ diferenc¸a de eficieˆncia entre as vendas
desse medicamento .
Peso das raizes dos milhos apo´s a aplicac¸a˜o de 3 diferentes adubos.
A B C
29 27 30
27 27 30
31 30 31
29 28 27
32 29 29
30 26 28
• H0:O peso me´dio das raizes sa˜o iguais.
• H1: Pelo menos uma das me´dias e´ diferente
yA = 178, yB = 167 e yC = 175
C =
∑
y2
n
=
(29 + 27 + 31 + . . .+ 29 + 28)2
3× 6 = 15022, 222
SQtratamento =
∑
T 2
r
− C
SQtratamento =
1782+1672+1752
6 − 15022, 222 = 10, 78
SQTotal =
∑
y2 − C = (292 + 272 + 312 + . . .+ 292 + 282)− 15022, 222 = 47, 78
SQerro = SQTotal − SQtratamento = 47, 78− 10, 78 = 37, 0
Quadro de Ana´lise da Variaˆncia.
Fonte de Variac¸a˜o Soma de Quadrados G. Liberdade Quadrados Me´dios Teste F
Entre Tratamentos 10, 78 2 5, 39 Fcal = 2, 19
Dentro das Amostras 37,0 15 2,47
Total 47,78 17 2,81
Quadro de Ana´lise da Variaˆncia
Conclusa˜o: como Ftab = 3, 6823 > Fcal = 2, 19 concluo que na˜o posso rejeitar a hipo´tese nula, ou
seja, na˜o ha´ diferenc¸a entre os pesos me´dios das raizes ao n´ıvel de 5% de significaˆncia.
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3 Teste de Scheffe´
• Me´todo da ana´lise de variaˆncia indica aceitac¸a˜o ou rejeic¸a˜o da hipo´tese de igualdade das me´dias.
Se H0 for rejeitada , pelo menos uma das me´dias e´ diferente das demais. Surge, contudo, a
questa˜o: Quais me´dias devem ser consideradas diferentes?
• Existem alguns testes para a soluc¸a˜o dessa questa˜o, apresentaremos um deles: o teste de Scheffe´.
• Segundo esse procedimento , devem ser consideradas distintas entre si , ao n´ıvel de significaˆncia
adotado, as me´dias e tais que:
∆ =
√
QMerro(K − 1)
(
1
nA
+
1
nB
)
Fα(k − 1); (n− k)
Exemplo 2:
Peso das raizes dos milhos apo´s a aplicac¸a˜o de 3 diferentes adubos.
A B D
29 27 12
27 27 10
31 30 9
29 28 4
32 29 29
30 26 18
Quadro de Ana´lise da Variaˆncia.
Fonte de Variac¸a˜o Soma de Quadrados G. Liberdade Quadrados Me´dios Teste F
Entre Tratamentos 920, 1111 2 460, 0555 Fcal = 16, 7699
Dentro das Amostras 411,5 15 27,4333
Total 1331,611 17 78,3301
• Conclusa˜o: como Ftab = 3, 6823 < Fcal = 16, 7699 concluo que podemos rejeita a hipo´tese nula,
ou seja, ha´ diferenc¸a entre os pesos me´dios das raizes ao n´ıvel de 5% de significaˆncia.
3.1 Aplicac¸a˜o do teste de Scheffe´
• |XA −XB| = 1, 8384,|XA −XD| = 16 e |XB −XD| = 14, 166
∆ =
√
QMerro(K − 1)
(
1
nA
+
1
nB
)
Fα(k − 1); (n− k)
∆ =
√
27, 4333× 2
(
1
6
+
1
6
)
× 3, 6823 = 8, 2064
• Comparando as diferenc¸as das me´dias com o valor de ∆ = 8, 2064, conclui-se que os pares de
me´dias (µA, µD)(µB, µD), sa˜o diferentes.
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4 Teste Tukey
• Para obter o valor da diferenc¸a mı´nima significante (∆), pelo teste Tukey basta calcular:
∆ = q
√
QMerro
r
• Onde q e´ o valor dado na tabela ao n´ıvel de significaˆncia estabelecido, QMerro e´ o quadrado
me´dio do res´ıduo da ana´lide variaˆncia e r e´ o nu´mero de repetic¸o˜es de cada tratamento.
4.1 Aplicac¸a˜o do teste Tukey
• |XA −XB| = 1, 8384,|XA −XD| = 16 e |XB −XD| = 14, 166
∆ = q
√
QMerro
r
∆ = 3, 01
√
27, 43
6
= 6, 43
• Comparando as diferenc¸as das me´dias com o valor de ∆ = 6, 434, conclui-se que os pares de
me´dias (µA, µD)(µB, µD), sa˜o diferentes.
5 Refereˆncias Bibliogra´ficas
Refereˆncias
[1] MATOS, O. C. Econometria Ba´sica- Teoria e aplicac¸o˜es. 3 ed. Sa˜o Paulo: Ed Atlas, 2000.
[2] TRIOLA, Mario F. Introduc¸a˜o a` Estat´ıstica. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.
[3] VIEIRA, SONIA Estat´ıstica Experimental.Sa˜o Paulo: Ed Atlas,1989.
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