Trabalho 04 2013.1- Prof. Jacinto

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
CURSO DE GRADUAÇÃO EM FÍSICA
	Disciplina: INTRODUÇÃO A FÍSICA
Carga Horária: 102 h – 6 Créditos
Período: 2013/1
Prof. Dr. Carlos JACINTO de Oliveira
	Trabalho 04
LEIA O TEXTO A SEGUIR E RESOLVAS A LISTA DE EXERCÍCIOS APRESENTADA NO FINAL DO MESMO.
GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS
As quantidades (ou grandezas) físicas são basicamente classificadas em dois tipos: grandezas escalares e grandezas vetoriais. As escalares são aquelas grandezas que ficam completamente caracterizadas pelo conhecimento de um numero relativo à sua unidade padrão, enquanto que as vetoriais são aquelas grandezas que só ficam completamente caracterizadas com o conhecimento de um número indicativo de sua magnitude, e uma direção com sentido. Massa, tempo, distância, volume, temperatura e energia são exemplos de grandezas escalares. Velocidade, força, momentum, torque e campo elétrico são exemplos de grandezas vetoriais.
Em um sistema cartesiano de coordenadas, a magnitude e a direção com o sentido de uma grandeza vetorial no espaço ficam caracterizadas conhecendo-se três números, que podem ser, por exemplo, as três coordenadas do sistema () ou os ângulos diretores (, , ), mostrados na Figura 1.
Figura 1 – Uma grandeza vetorial representada num sistema de coordenadas cartesianas, com suas coordenadas (, , ) e seus ângulos diretores (, , ).
	Um vetor pode, também, ser representado em outros sistemas de coordenadas como, por exemplo, o sistema de coordenadas polares esféricas, ou o sistema de coordenadas polares cilíndricas.
VETORES
	Matematicamente, introduz-se usualmente a noção de vetor considerando-se um segmento sobre uma reta . Fixado o sentido de percurso com origem em e término em , este segmento passa a ser o segmento de reta orientado . Chama-se segmento de reta orientado equipolente a a todo segmento de reta orientado que possui o mesmo tamanho, a mesma direção e o mesmo sentido de . Os segmentos equipolentes que possuem em comum o conjunto tamanho, direção e sentido têm o mesmo vetor.
	Uma maneira gráfica de representar um vetor é colocar uma flecha sobre uma letra, como por exemplo: e . O módulo (ou valor absoluto, magnitude, intensidade) de um vetor é indicado por ou simplesmente por .
	Para que uma grandeza física seja um vetor é necessário que ela seja independente do sistema de coordenadas e obedeça a regra do paralelogramo, que é a maneira como se adicionam vetores. 
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES
	Pode-se associar a dois vetores quaisquer e um terceiro vetor denominado vetor soma de e , tal que
 
que é obtido usando-se a seguinte regra: na extremidade final do primeiro vetor, , coloca-se a extremidade inicial do segundo vetor, ; a soma é o vetor que inicia na extremidade inicial de e termina na extremidade final de , como é indicado na Figura 2.2.
Figura 2 – O vetor é a soma dos vetores e , como estabelece a regra de adição de vetores.
	
	A regra de adição de vetores permite estabelecer a regra de decomposição de um vetor em duas ou mais direções perpendiculares, como é indicado na Figura 3.
Figura 3 – O vetor decomposto nos vetores componentes ortogonais e .
Nesta figura os vetores componentes e têm módulos dados por:
 
e
 
Adicionalmente, a regra de adição permite adicionar qualquer quantidade de vetores construindo-se um polígono, como o indicado na Figura 4. Dessa forma, o vetor soma é dado por:
Figura 4 – O vetor é o vetor soma dos vetores , , e .
A subtração de vetores é definida em termos da adição de vetores. Se , então , e assim a subtração é reduzida a adição do vetor com o vetor (), denominado de vetor oposto do vetor .
4	VETORES UNITÁRIOS
Um vetor é dito unitário quando sua magnitude é exatamente igual à unidade. Os vetores unitários são adimensionais e são definidos pela expressão . A direção e sentido são os mesmos de .
Vetores unitários que apontam nos sentidos dos eixos , e de um sistema de coordenadas cartesiano destrógiro são convenientes para representar vetores em termos de suas componentes retangulares. Estes vetores são usualmente escritos como , e , respectivamente, como mostrados na Figura 5.
Figura 5 – Os vetores , e , num sistema de coordenadas cartesianas dextrógiro.
REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR EM TERMOS DOS VETORES UNITÁRIOS , e 
Num sistema de coordenadas cartesianas tridimensional dextrógiro com eixos , e , que neles colocam-se os vetores unitários , e , respectivamente, pode-se representar um vetor, com origem em O e término no ponto P de coordenadas , por , como mostrado na Figura 6.
Figura 6 – Representação do vetor em termos dos vetores unitários , e do sistema de coordenadas cartesianas.
5	MULTIPLICAÇÃO ENVOLVENDO VETORES
A multiplicação envolvendo vetores pode ser feita de três maneiras distintas: (1) multiplicação de um vetor por um escalar resultado um vetor; (2) multiplicação de um vetor por outro vetor resultando um escalar, denominado de produto escalar; e (3) multiplicação de um vetor por outro vetor resultando um terceiro vetor, denominada produto vetorial.
5.1	Multiplicação de um vetor por um escalar 
A multiplicação de um vetor por um escalar tem como produto um vetor cuja intensidade é vezes o comprimento do vetor , com a mesma direção de e sentido igual ao de , se , ou contrário ao de , se , como indicado na Figura 7.
Figura 7 – Produto de um vetor por um escalar . (a) Se > 0 e (b) se < 0.
5.2	Produto escalar
O produto escalar de dois vetores e (ver a Figura 8) é definido como um escalar com magnitude igual ao produto das magnitudes dos dois vetores e do cosseno do ângulo formados entre eles, ou seja:
 
Figura 8 – Dois vetores e que forma um ângulo entre si têm como produto escalar, , o valor .
Se dois vetores e são dados por e , o produto escalar entre ele pode ser calculador por:
5.3	Produto vetorial
O produto vetorial de dois vetores e é definido como um vetor perpendicular ao plano dos dois vetores ( e ), com sentido determinado pela regra da mão direita e magnitude igual ao produto das magnitudes dos dois vetores e do seno do menor ângulo formado entre eles (ver a Figura 9), ou seja:
 
Figura 9 – O vetor , perpendicular ao plano formado pelos vetores e e sentido dado pela regra da mão direita, é o resultado do produto vetorial entre os vetores e , cuja magnitude é .
EXERCÍCIOS
Determine as componentes e dos seguintes três vetores do plano . (a) um vetor deslocamento de 10 m que forma um ângulo de 30o no sentido horário a partir do eixo . (b) Um vetor velocidade de 25 m/s que forma um ângulo de 40o no sentido anti-horário com o eixo . (c) Uma força de 40 N que forma um ângulo de 120o no sentido anti-horário com o eixo . 
Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos em um plano, como segue: 4,13 m para sudoeste, 5,26 m para leste e 5,94 m na direção 64o ao norte do leste. Escolha o eixo para norte e ache: (a) as componentes de cada deslocamento, (b) as componentes do deslocamento resultante, (c) a magnitude e a direção do deslocamento resultante e (d) o deslocamento que seria requerido para trazer a partícula de volta ao ponto de partido.
Dois vetores de magnitudes e formam um ângulo entre si quando têm origem comum. Mostre, tomando componentes ao longo de dois eixos perpendiculares, que a magnitude da soma deles é 
Mostrar que a soma de dois vetores e escrito em termos dos vetores unitários , , pode ser expressa por: .
Mostrar, usando a expressão (4), que o produto escalar entre os vetores e , escritos em termos dos vetores , , , pode ser expresso pela a equação (5).
Mostrar, usando a expressão (5), que .
Mostrar, usando a expressão (6), que:
Mostrar, usando a expressão (2.6), que para dois vetores e dados por e , o produto vetorial pode ser escrito como:
, e
.
Dados os vetores e , calcular:
os seus módulos; (b) o vetor soma; (c) o produto escalar ; (d) o produto escalar ; (e) oproduto vetorial ; (f) o produto vetorial (g) o ângulo entre e . (h) e são paralelos? (i) e são ortogonais?
Um paralelepípedo tem lados descritos pelos vetores , e . Sabendo que o volume de um paralelepípedo é numericamente igual a , calcule o volume do paralelepípedo.
Bom desempenho! 
Carlos JACINTO