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PRODUTO VETORIAL 
Em muitas aplicações de vetores em problemas geométricos, físicos e de engenharia, é de interesse 
construir um vetor no espaço tridimensional que é ortogonal a dois vetores dados, este vetor é obtido pelo 
produto vetorial entre os vetores dados. 
 
 
 
 
 
 
Encontramos aplicações, por exemplo, na Física: a força exercida sobre uma partícula com carga 
unitária mergulhada num campo magnético uniforme é o produto vetorial do vetor velocidade da partícula, 
pelo vetor campo magnético. Outro exemplo é possível obter da Mecânica: uma força provoca um 
movimento de rotação em um corpo através do produto vetorial entre a força e o vetor de posição do ponto 
de aplicação, tomado como referência o eixo de rotação do corpo. Exemplo: 
Força torque (τ), torque é uma palavra que vem do latim e significa torcer, pode ser identificada como 
a ação de girar ou de torcer de uma força. 
Na hora que usamos o saca-rolha para abrir uma garrafa de vinho, aplicamos uma força f sobre ele, 
fazendo-o girar para penetrar na rolha (figura 1). Observe que o braço do saca-rolha, que vai do centro até a 
extremidade, é chamado de alavanca e corresponde a um vetor r. 
 
 
 
 
 
 
 
 
F i g u r a 1 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
F i g u r a 2 
 
Lembremos inicialmente, que o produto escalar de dois vetores nos espaços bi e tridimensionais 
produz um escalar. Nós iremos definir, nesse estudo, um tipo de multiplicação vetorial que produz um vetor 
como produto, mas que é aplicável somente ao espaço tridimensional. 
Base canônica do espaço vetorial tridemensional (IR³) 
Sejam i, j e k (ou e1, e2, e3) os vetores unitários da direção e sentido dos eixos x, y e z: 
 
 
 
 
 
 
 
Dado um vetor qualquer u = (a, b, c) do IR³, podemos escrever: 
Exemplos: 
a) 5i + 3j  2k = 
b) 3e1 + 4e3 = 
Definição 
Dados dois vetores u e v no espaço, vamos definir um novo vetor, ortogonal a u e v, denotado por 
u x v (ou u ˄ v) e denominado produto vetorial de u e v (leia-se: “u vetorial v”). 
Se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) são vetores do IR³, então o produto vetorial u x v é o vetor obtido 
desenvolvendo-se o determinante simbólico: 
 
 
 
 
 É importante notar que ao formar o determinante para o cálculo de u x v, indicamos: 
 Na primeira linha, os vetores i, j e k; 
 Na segunda linha, as componentes de u (primeiro vetor) 
 Na terceira linha, as componentes de v (segundo vetor). 
Se desejarmos calcular v x u, basta escrever as componentes de v na segunda linha e as de u, na 
terceira linha. 
z 
x 
y 
i j k 
 
x1 y1 z1 
 
x2 y2 z2 
 
 
 
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Exemplo: 
 Dados os vetores u = 5i + 4j + 3k e v = i + k, calcule o produto vetorial u x v e v x u. 
Orientação geométrica do vetor resultante do produto vetorial u x v 
Sejam u e v vetores não nulos e w = u x v, então w é ortogonal a ambos (u e v) e seu sentido pode ser 
determinado usando a “regra da mão direita”: Seja θ o ângulo entre u e v e supondo que u é girado pelo 
ângulo θ até coincidir com v, se os dedos da mão direita se fecharem apontando no sentido desta rotação 
(sentido anti-horário), então o polegar indica (aproximadamente) o sentido do vetor w (u x v). Caso contrário 
(rotação no sentido horário), o sentido do vetor v x u será o sentido de  w. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Obtenha: i x j; j x k; k x i; i x i; j x j; k x k; j x i; k x j; i x k. 
Propriedades do produto vetorial 
 (u x v) =  (v x u) 
 u x (v + w) = (u x v) + (u x w) 
 (u + v) x w = (u x w) + (v x w) 
 k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) 
Exercícios 
1) Compare os resultados entre i x (j x j) e (i x j) x j. 
Nota: 
2) Sejam u = (3, 2, 1), v = (0, 2, 3) e w = (2, 6, 7). Calcule: 
a) v x w b) u x (v x w) c) (u x v) x w d) (u x v) x (v x w) 
e) u x (v  2w) f) (u x v) 2w 
3) Encontre um vetor que é ortogonal a ambos u e v. 
a) u = (6, 4, 2), v = (3, 1, 5) b) u = (2, 1, 5), v = (3, 0, 3) 
 
 
 
θ 
 u x 0 = 0 x u = 0 
 u x u = 0 
 u x v = 0 se e somente se , um dos vetores é nulo, ou 
 são vetores colineares. 
 
 
 
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Identidade de Lagrange 
 
Como 0  θ  π, segue que se u ≠ 0, v ≠ 0 e se θ é o ângulo dos vetores u e v: 
 
Interpretação geométrica 
O módulo do produto vetorial dos vetores u e v mede a área do paralelogramo ABCD. 
 
 
 
 
 
 
Nota: A área do triângulo ABC, da figura acima, é a metade da área do paralelogramo ABCD. 
 Exercícios 
1) Dados os vetores u = (1, 2, 1) e v = (0, 1, 3), calcule a área do paralelogramo determinado pelos 
vetores 3u e (v  u). R: 315 = 3 35 . 
2) Sejam os vetores u = (3, 1, 1) e v = (a, 0, 2). Calcule o valor de a para que a área do 
paralelogramo determinado por u e v seja igual a 2 6 . 
3) Determine a área do triângulo determinado pelos pontos P1 (2, 2, 0), P2 (1, 0, 2) e P3 (0, 4, 3). 
4) Calcule o valor de m para que a área do triângulo de vértices A (1, 2, 0), B ( 3, 4, m) e C (1, 0, 4) 
seja 11 .2 
5) Assinale a afirmação verdadeira: 
 a) u x v = v x u,u, v  IR³. 
 b) │u x v│= │u . v│, u, v  IR³. 
 c) │u x v│= │u . v│se u e v são paralelos. 
d) │u x v│= │u . v│se u e v são ortogonais. 
e) │u x v│= │u . v│se u e v formam ângulo de 45° e 135°. 
6) A igualdade │u x v│= │u │.│ v│se verifica 
a) quando u e v são ortogonais 
b) quando u e v são paralelos e de mesmo sentido 
c) quando u e v são paralelos e de sentidos opostos 
d) quando u e v formam ângulo de 45º. 
e) n.r.a. 
θ 
B 
h 
90
° 
D C 
A 
v 
u