Slides AULA 23

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<p>AULA Nº 23</p><p>Geometria Analítica e Álgebra Linear</p><p>Prof. Pedro L. Fagundes</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1º grau S com n equações é um sistema do tipo:</p><p>onde , são funções reais com a 1ª derivada contínua (Vetores de )</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Sejam , .</p><p>Assim o sistema se escreve na forma matricial:</p><p>Queremos encontrar as soluções de .</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Ex.</p><p>a)</p><p>O par de funções , são soluções de ,</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Ex.</p><p>a)</p><p>O par de funções , são soluções de ,</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Ex.</p><p>a)</p><p>O par de funções , são soluções de ,</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Ex.</p><p>a)</p><p>O par de funções , são soluções de ,</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Ex.</p><p>a)</p><p>O par de funções , são soluções de , .</p><p>Dada uma constante , a função é uma outra solução da 1ª equação de ,</p><p>A solução geral de é</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Vamos escrever o exemplo anterior na forma matricial.</p><p>Repare que neste exemplo a matriz do sistema é uma matriz diagonal</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>b)</p><p>Na forma matricial , neste caso a matriz do sistema não é diagonal, será que ela é diagonalizável?</p><p>Cujas raízes são , portanto diagonalizável.</p><p>Vamos achar seus autovetores:</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>.</p><p>autovetor</p><p>.</p><p>autovetor</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Afirmação:</p><p>A solução geral de é:</p><p>Ou seja.</p><p>Vamos verificar:</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Dado um sistema na forma matricial, ,</p><p>onde a matriz é diagonalizável.</p><p>Se são os autovalores de associados aos autovetores , então a solução geral do sistema é dada por:</p><p>Onde e</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>c)</p><p>Na forma matricial .</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Vamos encontrar os autovetores.</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>.</p><p>autovetor</p><p>.</p><p>autovetor</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>.</p><p>autovetor ou</p><p>Solução geral:</p><p>Ou ainda:</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Dado o sistema , a sua matriz não é diagonalizável pois seu polinômio caraterístico possui duas raízes complexas conjugadas</p><p>Neste caso a solução geral de é dada por:</p><p>Ou .</p><p>Sistema de EDO de 1º grau</p><p>Ex.</p><p>Solução geral é:</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image30.png</p><p>image40.png</p><p>image50.png</p><p>image60.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p>