Slides 14 - Transformações lineares e matrizes (parte 1)

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<p>AULA Nº 14</p><p>Geometria Analítica e Álgebra Linear</p><p>Prof. Pedro L. Fagundes</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Def. Sejam , espaços vetoriais reais, uma função é uma Transformação Linear se:</p><p>i) Para quaisquer ,</p><p>ii) Dados ,</p><p>OBS: Quando , é chamado um operador linear do espaço vetorial .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Exemplos: 1) Sejam e dada por .</p><p>Vamos mostrar que é linear.</p><p>Para quaisquer temos:</p><p>ii) Para quaisquer , temos:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>2) Seja dada por .</p><p>Vamos mostrar que é linear.</p><p>Para quaisquer temos:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>ii) Para quaisquer temos:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>3) Seja dada por .</p><p>Vamos mostrar que é linear.</p><p>Para quaisquer temos:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>ii) Para quaisquer temos:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Prop. Sejam , espaços vetoriais. Se é uma transformação linear, então .</p><p>Dem.</p><p>Logo</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Exemplo: Verifique se a função , definida por é linear.</p><p>,</p><p>Logo não é linear.</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Dado , podemos associar o vetor a uma matriz coluna com linhas:</p><p>e vice versa.</p><p>Vamos ver um exemplo onde utilizamos esta identificação.</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>4) Seja dada por , onde a matriz .</p><p>Vamos mostrar que é linear.</p><p>Para quaisquer temos:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>ii) Para quaisquer temos:</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>5) Seja dada por , determine a expressão de .</p><p>Logo</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>A função dada por ,</p><p>onde a matriz , é uma transformação linear.</p><p>Proposição: Toda transformação linear pode ser expressa na forma acima, para alguma matriz .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Ex: Seja dada por .</p><p>Encontre uma matriz , tal que se escreva</p><p>na forma .</p><p>Vamos calcular nos vetores da base canônica de .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>.</p><p>Def. Esta matriz é chamada, matriz da transformação linear em relação às bases canônicas de .</p><p>Notação: ou simplesmente</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Sejam espaços vetoriais, , bases de respectivamente, então para toda transformação linear podemos encontrar uma matriz , tal que:</p><p>Onde é a matriz coluna das coordenadas de na base e é a matriz coluna das coordenadas de na base . Notação .</p><p>é chamada matriz de com relação às bases .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Ex: Seja , com .</p><p>Encontre a matriz de em relação às seguintes bases e respectivamente de .</p><p>Vamos calcular nos vetores da base .</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Usando a matriz obtida neste calcule a imagem do polinômio</p><p>Transformações Lineares e Matrizes</p><p>Temos e .</p><p>Vimos que,</p><p>, logo</p><p>, assim</p><p>.</p><p>image1.png</p><p>image2.png</p><p>image3.png</p><p>image4.png</p><p>image5.png</p><p>image6.png</p><p>image7.png</p><p>image8.png</p><p>image9.png</p><p>image80.png</p><p>image90.png</p><p>image10.png</p><p>image11.png</p><p>image12.png</p><p>image13.png</p><p>image14.png</p><p>image15.png</p><p>image16.png</p><p>image17.png</p>