Cálculo Numérico - Atividade 2 Método de Newton

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<p>1</p><p>UCS- Núcleo Universitário de Nova Prata</p><p>Centro de Ciências Exatas, da Natureza e Tecnologia</p><p>Professora: Elisângela P. F. Bagatini</p><p>Disciplina: MAT0363N – Cálculo Numérico</p><p>Atividade 2 – Método de Newton</p><p>Aluno(a): Carmeline Ana Rui</p><p>Orientações: Os exercícios a seguir devem ser resolvidos através do método de Newton-Raphson.</p><p>Crie um arquivo .doc, com a resolução de cada exercício: linha de comando (chamada do</p><p>algoritmo), localização da raiz (especifique o método: gráfico, tabela, uso de duas funções) e</p><p>resultado.</p><p>Consulte as notas de aula no acervo da turma.</p><p>O arquivo deve ser enviado via Webfólio na pasta “Atividades Carmeline” até no máximo dia</p><p>13/11/2015.</p><p>1. Escreva o algoritmo do método da Newton-Raphson em Matlab.</p><p>2. Calcular as raízes reais das funções abaixo, com precisão de 0,001; usando o método de</p><p>Newton-Raphson:</p><p>a) 𝑦 = 2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 4</p><p>b) 𝑦 = 𝑒𝑥 − 𝑡𝑔(𝑥)</p><p>c) 𝑦 = 10𝑥 + 𝑥3 + 2 =0</p><p>d) 𝑦 = 𝑥3 − 𝑥2 − 12𝑥</p><p>3. Seja a função 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 + 5𝑥4 − 7. Determine o valor para o qual 𝑓(𝑥) = 2. Utilize o</p><p>algoritmo.</p><p>4. Um cano de comprimento L= 25 m e diâmetro d = 10 cm conduzindo vapor perde calor para o</p><p>ar ambiente e paras as superfícies em sua vizinhança por convecção e radiação. Se o fluxo</p><p>total de calor por unidade de tempo Q emanando da superfície do cano for medida, então a</p><p>temperatura superficial Ts do cano pode ser determinada pela seguinte equação</p><p>𝑄 = 𝜋𝑑𝐿[ℎ(𝑇𝑠 − 𝑇𝑎𝑟) + 𝜀𝜎𝑆𝐵(𝑇𝑠</p><p>4 − 𝑇𝑣𝑖𝑧</p><p>4 )]</p><p>onde 𝜀 = 0,8 é a emissividade da superfície do cano, e 𝜎𝑆𝐵 = 5,67 × 10−8𝑊/𝑚2/𝐾4 é a</p><p>constante de Stefan-Boltzmann. Se 𝑄 = 18405𝑊, ℎ = 10 𝑊/𝑚2/𝐾 e 𝑇𝑎𝑟 = 𝑇𝑣𝑖𝑧 = 298𝐾,</p><p>determine a temperatura superficial do cano, Ts .</p><p>5. A equação de Kepler, usada para determinar órbitas de satélites, é dada por:</p><p>𝑀 = 𝑥 − 𝐸𝑠𝑒𝑛(𝑥).</p><p>Dado que E=0,2 e M=0,5, obtenha a raiz da equação de Kepler.</p><p>2</p><p>6. Uma das soluções para os resíduos de material nuclear é colocá-los em barris especiais que</p><p>serão mais tarde depositados no fundo do oceano. Se os recipientes permanecerem intactos,</p><p>a contaminação do ambiente circundante é mínima. Resolvendo as equações de movimento</p><p>para os barris à medida que eles descem na água, chega-se à seguinte relação entre</p><p>velocidade de impacto, v, e a profundidade da água, D:</p><p>onde W é o peso dos barris, B é a sua</p><p>flutuabilidade, g é a constante gravitacional e k é o coeficiente de atrito. A flutuabilidade dos barris</p><p>pode ser determinada através do seu volume, sendo igual a 470. O coeficiente de atrito é</p><p>determinado experimentalmente e é dado por k= 0,08. A constante gravitacional é g= 32 e o peso</p><p>dos barris W=527.</p><p>a) Determine a velocidade do impacto v quando os barris são lançados numa zona de</p><p>profundidade D=-300. Utilize tolerância de 0,05.</p><p>b) Através de experiências mostrou-se que os barris danificam se a velocidade de impacto</p><p>com o fundo do oceano for superior a 40. Na situação descrita em a) haverá risco de</p><p>contaminação?</p><p>7. O deslocamento de uma estrutura está definido pela seguinte equação</p><p>𝐷 = 8𝑒−𝑘𝑡cos (𝑤𝑡)</p><p>onde k=0,5 e w=3. Determine o tempo necessário para o deslocamento decrescer para 5.</p><p>8. O volume v de um líquido num tanque esférico de raio r está relacionado com a profundidade</p><p>h do líquido da seguinte forma:</p><p>Calcule a profundidade h, num tanque de raio r=1 para um volume de 0,5. Observe que a função</p><p>possui duas raízes reais positivas, mas apenas uma delas satisfaz o problema. Explique</p><p>9. A figura representa um vulcão em erupção. A relação entre</p><p>a distância y (milhas) percorrida pela lava e o tempo t</p><p>(horas) é dada por:</p><p>𝑦 = 7(2 − 0,9𝑡).</p><p>Existe uma aldeia no sopé da montanha a uma distância de</p><p>y=10. O gabinete de proteção civil advertiu os moradores da</p><p>aldeia de que a lava chegaria às suas casas em menos de 6</p><p>horas.</p><p>Calcule o tempo em que a lava do vulcão atinge a aldeia.</p>