2 - PROPRIEDADES E ESTÁTICA DOS FLUIDOS

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FENÔMENOS DE TRANSPORTEFENÔMENOS DE TRANSPORTE
PROPRIEDADES EPROPRIEDADES E
ESTÁTICA DOS FLUIDOSESTÁTICA DOS FLUIDOS
Autor: Me. Rafaela Fi lomena Alves Guimarães
IN IC IAR
introdução
Introdução
Nesta unidade, serão apresentados conceitos relativos à medição de pressão
e instrumentos de medida para podermos mensurar o escoamento dos
�uidos e depois classi�cá-los em relação, por exemplo, aos tipos de regime: se
um �uido possui regime de �uxo variado ou permanente, ou se o �uxo pode
ser classi�cado como laminar, de transição ou turbulento.
Essa classi�cação é feita por meio do número de Reynolds. Estudaremos
também os conceitos de vazão mássica e volumétrica que serão úteis para
podermos calcular a velocidade. Compreenderemos o princípio da
conservação de massa e como podemos, por meio de um tubo de Venturi,
utilizar essa con�guração para alterar a velocidade de um �uido de maneira
simples e e�ciente.
Finalmente, estudaremos a equação de conservação de energia e os vários
tipos de energia que um �uido em movimento pode despender como a
energia potencial, a cinética e a energia de pressão.
O estudo será seguido de atividades práticas para que o aluno possa perceber
a vantagem da utilização dessas equações para tornar o cálculo simples e
preciso. Esses cálculos são muito empregados em líquidos incompressíveis,
como a água.
Bons estudos!
A pressão é uma das características mais importantes em se tratando de
fenômenos de transporte e escoamento de �uidos. Por isso, precisamos ter a
certeza de que estamos utilizando o medidor certo e estamos medindo
exatamente a pressão da tubulação que nos interessa.
Escalas de Pressão
Quando uma pressão é medida, em relação ao vácuo ou ao zero absoluto,
temos o que chamamos de “pressão absoluta”. Já quando uma pressão é
medida, em relação à pressão atmosférica (o nível de referência mais
comum), chamamos de “pressão efetiva”, e a relação entre essas pressões é
dada por:
 (Equação 2.1)
“A maioria dos medidores de pressão indica uma diferença de pressão – a
diferença entre a pressão medida e aquela do ambiente (usualmente a
Medições eMedições e
Medidores deMedidores de
PressãoPressão
= +pabs patm pef
pressão atmosférica). Os níveis de pressão medidos em relação à pressão
atmosférica são denominados de pressões manométricas” (FOX et al ., 2010,
p. 90). Uma pressão negativa é também referida como vácuo.
Além disso, para sabermos se um manômetro está marcando a pressão
efetiva, basta que ele seja submetido a um teste simples: medimos a pressão
atmosférica. Se a marcação for igual a zero (ao nível do mar), ao instalarmos
esse equipamento na tubulação, esse marcará a pressão efetiva. A Figura 2.1
ilustra a Equação 2.1:
Podemos medir pressões em várias unidades, e algumas relações entre essas
unidades é dada por:
1 kgf/cm² = 10 kgf /m² = 9,8 x 10 Pa = 0,98 bar = 14,2 psi.
1 atm = 760 mmHg = 101.230 Pa = 101,23 kPa = 10.033 kgf/m² = 1,033
kgf/cm² = 1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
1,01 bar = 14,7 psi = 10,33 mca
Figura 2.1 - Escala mostrando as pressões absoluta, efetiva e atmosférica
Fonte: Fox et al. (2010, p. 91).
4 4
Ainda assim, é possível medir a pressão em mmHg (milímetros de coluna de
mercúrio) ou mca (metros de coluna-d’água) e transformar o valor medido
para kPa, por exemplo.
Medidores de Pressão
As pressões ou depressões (pressões negativas) são medidas pelos
manômetros que podem ser de uso industrial como os manômetros:
Metálico ou de Bourdon.
Strain-gages.
Transdutores piezelétricos.
O manômetro metálico ou de Bourdon é o mais utilizado industrialmente e
está representado na Figura 2.2. Ele mede a pressão por meio da deformação
do tubo elástico localizado no interior de (em nosso exemplo) um tubo
metálico. Ao ligarmos o manômetro, o tubo elástico é submetido à pressão
que queremos medir, deformando, assim, o tubo elástico, e, através de um
sistema de engrenagens (Figura 2.3), acionando o ponteiro, indicando a
pressão da tubulação em que o equipamento foi instalado.
Figura 2.2 - Manômetro instalado em ambiente industrial. Esse manômetro
mede uma pressão de 0 a 1 MPa
Fonte: anita_starzycka / Pixabay.
Também temos os manômetros chamados de transdutores de pressão, ou de
strain-gages , que funcionam por meio de um diafragma que se curva entre
duas câmaras abertas para as entradas de pressão e os transdutores
piezelétricos que funcionam de acordo com o princípio de que um potencial
elétrico é gerado em uma substância cristalina quando ela é submetida à
pressão mecânica.
Os manômetros industriais são projetados para medir até ¾ ou 75% da sua
escala. Nunca devemos con�ar na leitura de um equipamento que está com o
ponteiro apontando para o fundo de escala, pois a medição pode ser dezenas
de vezes superior ao número que está no visor, simplesmente porque o
aparelho não tem capacidade de realizar a medição que queremos.
Figura 2.3 - Vista interna e partes constituintes de um manômetro metálico
Fonte: DStaiger / Wikimedia Commons.
Já os manômetros piezométricos e com tubo em U são muito utilizados para a
realização de experimentos em laboratório ou a medição de grandes
reservatórios, em que o controle por meio de uma coluna-d’água é a melhor
forma de obtermos informações sobre um reservatório. Essa técnica utiliza
colunas de líquido verticais ou inclinadas. Os três tipos mais utilizados são:
Tubo piezométrico.
Manômetro em U.
Tubo inclinado.
Tubo Piezométrico
O manômetro de coluna piezométrica consiste em um tubo de vidro que,
ligado a um reservatório, permitindo medir diretamente a carga de pressão.
Esse manômetro é usado para medir pequenas pressões devido à limitação
da altura do tubo de vidro. Também não pode ser utilizado para medir
pressões de gases e pressões negativas.
Esse manômetro indicará uma leitura dada pela fórmula
saibamais
Saiba mais
Agora, assista ao vídeo em que se explicam
as partes constituintes de um manômetro,
bem como quais os requisitos que
necessitamos saber para especi�car esse
equipamento, desde detalhes construtivos
até tipo de conexão:
ASS IST IR
 (Equação 2.2)
sendo que é a pressão atmosférica, é o peso especí�co e h é a altura da
coluna do �uido. “Essa equação fornece a pressão gerada por qualquer
coluna de �uido homogêneo em função da pressão de referência e da
distância vertical entre os planos que apresentam p e ” (MUNSON; YOUNG;
OKIISHI, 2004, p. 45).
Manômetro com o Tubo em U
O manômetro com tubo em U é muito utilizado em laboratórios e pode ser
visto na Figura 2.4. O �uido que está em seu interior é denominado �uido
manométrico. Também podemos instalar dois recipientes com líquidos
diferentes no lugar das saídas da tubulação aberta em A e B. A equação desse
tipo de con�guração é dada por:
 (Equação 2.3)
p = + γ. hp0
p0 γ
p0
p0
− = Δp = ρ. g. hPfinal(A) Pinicial(B)
Figura 2.4 - O manômetro com tubo em U
Fonte: Fox et al. (2010, p. 93).
Na Figura 2.4, temos dois �uidos diferentes (o ar e o mercúrio), então a
equação de pressão será dada por:
 (Equação 2.4)
Em que a gravidade especí�ca (SG) é dada por , temos:
 (Equação 2.5)
Em que os pontos A e A’ têm a mesma pressão.
praticar
Vamos Praticar
A �gura a seguir mostra o esboço de um tanque pressurizado que contém óleo
(densidade = SG = 0,9). A placa de inspeção instalada no tanque é quadrada e possui
uma largura de 0,6 m. O módulo da força resultante que mantém a pressão relativa
em 50 kPa (conforme a indicação do manômetro da �gura) é um número entre:
Dado: o tanque está exposto à atmosfera.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos
�uidos . Tradução da quarta edição americana de: Euryale de Jesus Zerbini. São
Paulo: Edgard Blucher, 2004.
= + ρHgg. hPA PB
ρ/ρágua
= S . . g. hPA GHG ρágua
a) 0 e 10 kN.
b) 11 e 20 kN.
c) 21 e 30 kN.
d) 31 e 40 kN.
e) 41 e 50 kN
Figura - Tanque de óleo exposto à atmosfera
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 61).
Esse princípio é baseado no mesmo princípioda equação de Lavoisier, que
nos diz que “a quantidade de massa na natureza não pode ser criada, apenas
transformada”. Para sistemas fechados, o princípio da conservação de massa
é usado implicitamente como exigência que a massa permaneça constante
durante um processo. Para volumes de controle (sistemas abertos), a massa
pode cruzar as fronteiras do sistema, então esse princípio se transforma em
“a quantidade de massa que entra no volume de controle tem que ser igual à
quantidade de massa que dele sai”.
Em termos matemáticos, temos que:
 (Equação 2.6)
Para estudarmos o princípio de conservação de massa, devemos,
primeiramente, entender como o escoamento de um �uido pode ser
classi�cado.
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
=Qm1 Qm2
Comportamento de um Fluido
Temos duas maneiras de analisarmos o comportamento de um �uido:
O método de Lagrange.
O método de Euler.
“Lagrange inventou um método de análise que acompanha a trajetória de
uma única partícula de �uido ao longo do escoamento. A trajetória é o lugar
geométrico dos pontos ocupados por uma única partícula em instantes
sucessivos começando por , seguido de + dt, + 2 dt e assim
sucessivamente” (MUNSON; YOUNG; OKIISHI, 2004, p. 147). Aqui,
acompanhamos a mesma partícula em vários instantes, conforme a Figura
2.5. Esse método é útil para o cálculo da vazão de um �uido.
Já Euler inventou outro método de análise que estuda as propriedades de um
escoamento �uido em pontos �xos no espaço em função do tempo, conforme
a Figura 2.6. Esse método é utilizado quando escolhemos um volume de
t0 t0 t0
Figura 2.5 - Análise do método Lagrangeano
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 112).
controle (representado por partículas na �gura), que é uma quantidade de
volume ou região do espaço, através da qual há �uxo de massa como objeto
de estudo. Portanto, nesse método, as propriedades do campo de
escoamento são descritas como sendo uma função das coordenadas
espaciais e do tempo. A maioria dos problemas de mecânica dos �uidos utiliza
esse método. Esse método é utilizado no princípio da conservação de massa,
por exemplo.
Figura 2.6 - Análise do método de Euler
Fonte: Çengel e Cimbala (2007, p. 113).
Regimes de Escoamento
Os regimes de escoamento podem ser separados segundo várias formas de
classi�cação. Podemos separá-los segundo o tempo que ocorrem, ou
segundo as dimensões nos eixos x, y e z que ocupam quando um �uido está
em movimento.
Segundo o tempo em que ocorrem os escoamentos, podem ser classi�cados
em regimes permanente e variado.
Regimes Variado e Permanente
Os escoamentos podem ser separados segundo o tempo que ocorrem, e
devemos lembrar que um mesmo escoamento em um dado tempo pode ser
variado e em outro tempo ser permanente. Tudo vai depender do momento
em que estivermos fazendo nossa análise.
Escoamento em Regime Permanente
O escoamento em regime permanente pode ser de�nido como:
Regime permanente é aquele em que as propriedades do �uido
são invariáveis em cada ponto com o passar do tempo (elas
podem variar de ponto para ponto, desde que não variem com o
tempo). Isto signi�ca que apesar de um certo �uido estar em
movimento, a con�guração de suas propriedades em qualquer
instante permanece a mesma (BRUNETTI, 2008, p. 67).
Escoamento em regime variado
Segundo Brunetti (2008, p. 67), “O escoamento em regime variado é aquele
em que as condições do �uido em alguns pontos ou regiões de pontos variam
com o passar do tempo”.
O exemplo mais comum é o estudo de um reservatório, como o da Figura 2.7.
Temos que, quando a quantidade que entra no reservatório é a mesma
quantidade que sai dele, o volume do �uido é constante e o regime será
permanente. Entretanto, se interrompermos a entrada de �uido no
reservatório, seu volume vai diminuir, fazendo com que o volume do �uido
varie com o tempo, aí ele se torna um regime variado.
Figura 2.7 - Reservatório de água com uma torneira e uma saída de água
Fonte: stockcrafter / 123RF.
Reservatórios de grandes dimensões, que mantêm o nível de água
aproximadamente constante com o passar do tempo, são considerados
reservatórios com regime permanente.
Número de Reynolds
“O número de Reynolds classi�ca o escoamento como laminar, de transição
ou turbulento” (BRUNETTI, 2008, p. 69).
Reynolds injetou uma linha de corante em um tubo transparente dentro de
um reservatório de água, conforme é mostrado na Figura 2.8.
Figura 2.8 - Representação da experiência feita por Reynolds para determinar
se o escoamento é laminar ou turbulento
Fonte: Brunetti (2008, p. 68).
Para pequenas velocidades do �uido, chamadas de velocidade de descarga, o
�lete formado é reto e contínuo. Quando aumentamos a velocidade, o �lete
se tornará turbulento, aparecendo uma con�guração de transição até que ele
se dissolva totalmente na água, em um escoamento turbulento.
O escoamento laminar é aquele em que as partículas se deslocam
em lâminas individualizadas, sem trocas de massa entre elas. Já o
escoamento turbulento é aquele em que as partículas apresentam
um movimento aleatório macroscópico, isto é, a velocidade
apresenta componentes transversais ao conjunto do �uido
(BRUNETTI, 2008, p. 69).
A classi�cação entre um escoamento e outro é dado pelo número de
Reynolds de�nido pela fórmula:
(este número é adimensional) (Equação
2.7)
Re = =
ρ velocidade D
μ
 velocidade D
ν
Em que = densidade (kg/m³), = viscosidade (kg/m.s), - viscosidade
cinemática (m²/s) e D = diâmetro do tubo (m).
Reynolds de�niu que, para valores de Re:
Re < 2.000 - Escoamento laminar.
2.000 < Re < 2.400 - Escoamento de transição.
Re > 2.400 - Escoamento turbulento.
O escoamento turbulento é variado por natureza, devido às alterações, por
exemplo, no formato de um rio, por quedas, estreitamentos ou alargamentos
feitos pelo homem. A maioria dos aparelhos não indicará essa variação na
velocidade do escoamento com precisão.
saibamais
Saiba mais
A experiência de Reynolds é recriada no
vídeo a seguir, em que também é mostrada a
bancada original utilizada pelo cientista.
Depois de uma rápida explicação sobre os
termos da fórmula de Reynolds, é feita a
experiência na qual os escoamentos laminar,
de transição e turbulento podem ser vistos
em detalhe através da utilização de um
corante comestível que deixa a água rosa.
ASS IST IR
ρ μ ν
Variação de Escoamento nos Eixos x,
y e z
Os escoamentos também podem ser classi�cados segundo sua variação nos
eixos de coordenadas x, y e z. É claro que, na maioria das vezes, os
escoamentos serão fenômenos tridimensionais (como tudo que nos cerca).
Mas, muitas vezes, podemos realizar nossos cálculos somente com uma
coordenada e, ainda assim, obtermos um valor bem preciso.
Escoamento unidirecional
Quando utilizamos uma única coordenada (eixo x) para descrever as
propriedades do �uido, temos um escoamento unidimensional.
Escoamento bidirecional
Os escoamentos bidirecionais precisam de duas coordenadas (eixos x e y)
para descrever a variação de sua velocidade.
Escoamento tridirecional
Escoamentos tridimensionais (eixos x, y e z) utilizam as três coordenadas para
obter a velocidade e são de difícil resolução matemática.
Taxas de Escoamento: Vazão
Volumétrica e Vazão Mássica
Agora, vamos de�nir os conceitos de vazão em massa e volume para que
possamos calcular a velocidade do �uxo. Também utilizamos a vazão para o
cálculo do tempo que um reservatório leva para encher ou esvaziar.
De�nimos vazão em volume pela letra Q como: o volume do �uido que
atravessa uma seção de escoamento por unidade de tempo, ou seja:
 (Equação 2.8)
Com a aplicação dessa fórmula, podemos calcular o tempo de enchimento de
um reservatório, para um volume V conhecido a partir de uma vazão
especi�cada.
A vazão (Q) também pode ser calculada utilizando a velocidade média e a
área:
 (Equação 2.9)
onde é a velocidade média (m/s) e A é a área (m).
A vazão mássica ( ) é obtida pela multiplicação da vazão volumétrica pela
massa especí�ca do �uido, dada por(Equação 2.10)
Para casos especiais em que a velocidade não é uniforme na seção
(escoamentos turbulentos ou de transição), temos que usar o cálculo da
integral de área, dado por
 (Equação 2.11)
O cálculo da vazão é de extrema importância para o cálculo da velocidade e
para podermos traçar os per�s de velocidade de um �uido. A vazão também
será muito empregada no aumento ou na diminuição de velocidade de um
�uido por meio da diminuição ou aumento da área de tubulação, como no
caso dos bocais utilizados nas mangueiras de jardim.
praticar
V P ti
Q = ( /s,L/s, /h,L/min)V
t
m3 m3
Q = AVm
Vm
Qm
= ρQ = ρ AQm Vm
Q = V elocidade .  dA∫
A
p
Vamos Praticar
Os reservatórios da �gura a seguir são cúbicos. Eles são enchidos pelos tubos
bifurcados, respectivamente, em 100 e 500 segundos. Dado: o diâmetro do
condutor nessa seção é de 1 m. A velocidade da água na seção (A) em m/s é um
número que varia entre:
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos . 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice Hall,
2008.
a) Entre 0 e 1 m/s.
b) Entre 1,1 e 2 m/s.
c) Entre 2,1 e 3 m/s.
d) Entre 3,1 e 4 m/s.
e) Entre 4,1 e 5 m/s.
Figura -Reservatórios (1) e (2) sendo enchidos por um tubo com diâmetro .
Fonte: Brunetti (2008, p. 80).
DA
Já estudamos que a vazão em massa na seção de entrada dada por tem
de ser igual à vazão em massa na seção de saída dada por , conforme
está ilustrado na Figura 2.9:
Balanço Global deBalanço Global de
MassaMassa
Qm1
2Qm
Figura 2.9 - Escoamento de um �uido por um tubo de corrente
Fonte: Brunetti (2008, p. 75).
Em termos matemáticos, temos que:
 ou ou (Equação 2.12)
“Essas equações são de�nidas como as equações da continuidade para um
�uido em regime permanente” (BRUNETTI, 2008, p. 75).
Caso o �uido seja incompressível, temos que a massa especí�ca na entrada e
na saída do volume V deverá ser a mesma. Dessa forma, a Equação 2.13 �ca:
 ou (Equação 2.13)
“A equação nos diz que a vazão em volume de um �uido incompressível é a
mesma em qualquer seção do escoamento ou que as velocidades médias e as
áreas são inversamente proporcionais” (BRUNETTI, 2008, p. 75), isto é, a uma
diminuição de área corresponde um aumento da velocidade média
proporcional, conforme está ilustrado na Figura 2.10, no tubo conhecido por
tubo de Venturi. A parte onde o tubo se estreita é chamada de garganta do
tubo.
=Qm1 Qm2 =ρ1Q1 ρ2Q2 =ρ1v1A1 ρ2v2A2
ρ = ρ ⇒ =Q1 Q2 Q1 Q2 =v1A1 v2A2
 (Equação 2.14)
Figura 2.10 - Tubo de Venturi
Fonte: letindor / 123RF.
O tubo de Venturi é utilizado em variadas áreas, como para espalhar
fertilizantes na agricultura, para aumentar o nível de oxigênio para peixes
criados em cativeiro, até mesmo para dar sustentabilidade a aviões voando a
altitudes de cruzeiro.
=v1
v2
A2
A1
saibamais
Saiba mais
Assista ao vídeo que utiliza o tubo de Venturi
para montar uma experiência bastante
simples simulando como um avião utiliza
esse princípio para se sustentar voando em
altitudes de cruzeiro. No vídeo, é utilizado
com um envelope, 3 clipes de papel, um
secador de cabelo e um suporte para
reproduzir a asa de um avião:
https://www.youtube.com/watch?v=b8lQfIr-
XCg
ASS IST IR
Per�il de Velocidade e Velocidade
Média
Os �uidos aderem à superfície sólida com o qual estão em contato, de forma
que, em um escoamento, uma película do �uido que está em contato direto
com uma superfície sólida possui a mesma velocidade que essa superfície, ou
seja, não ocorre deslizamento do �uido sobre uma superfície sólida.
Em algumas ocasiões, podemos dividir o campo de escoamento em duas
regiões principais:
Junto às superfícies sólidas onde existe uma região com gradientes
de velocidade de escoamento, havendo, assim, tensões de
cisalhamento.
Na região fora da camada limite, em que não existem estas tensões
de cisalhamento.
A primeira região é chamada camada limite e a segunda região de região, de
escoamento ideal ou livre, respectivamente.
A Figura 2.11 mostra um esquema simpli�cado da formação de uma camada
limite para o escoamento de um �uido sobre uma placa plana. O escoamento
atinge a placa com um per�l de velocidade . Como os �uidos possuem a
propriedade de aderência às superfícies sólidas, uma �na película adere à
placa, exercendo uma força retardadora sobre o escoamento, desacelerando
o �uido na vizinhança da superfície sólida. A in�uência da placa cria uma
região no escoamento com gradientes de velocidade em que existem tensões
de cisalhamento. O escoamento não sofre a in�uência da placa fora da
camada limite.
Figura 2.11 - Esquema simpli�cado da formação de uma camada limite sobre
uma superfície sólida
Fonte: Livi (2017, p. 71).
v0
O escoamento na camada limite pode ser laminar ou turbulento. Para
escoamentos sobre uma placa �na, a fórmula para o cálculo do número de
Reynolds é dada por:
 (Equação 2.15)
em que a coordenada x é a medida a partir do bordo de ataque da placa, na
direção do escoamento sobre a placa na qual a camada limite se desenvolve.
O tipo de escoamento na camada limite depende do número de Reynolds.
=Rex
ρ   xV0
μ
reflita
Re�ita
Os escoamentos, na maioria das
vezes, são turbulentos, como em rios e
nos sistemas de tubulação
pressurizados. Essas turbulências ou
vórtex fazem com que a água não
�que parada, que dois líquidos
diferentes se misturem mais
rapidamente ou que um produto
chegue ao seu destino �nal no menor
tempo possível em uma linha de
montagem.
No entanto, essas turbulências
também trazem prejuízos à tubulação
porque causam cavitação e perdas de
carga. Durante a noite, o consumo de
água diminui e as vazões deveriam ser
diminuídas para que a perda por
vazamentos seja mínima.
Você já pensou como seria se nosso
sistema tivesse um consumo
constante? Se todas as instalações
tivessem caixas-d’água com softwares
que soubessem a melhor hora para
acionarem as bombas? As perdas de
carga e custos com manutenção
seriam menores porque os
escoamentos turbulentos poderiam se
transformar em escoamentos
laminares.
Fonte: Tardelli Filho (2016, on-line ).
Os escoamentos internos em dutos podem ser classi�cados como de entrada
ou estabelecido. Um escoamento interno em um duto de seção circular
constante é mostrado na Figura 2.12. Antes da entrada da tubulação, tem-se
um escoamento livre com per�l uniforme de velocidade . Na região com
comprimento , a camada limite está em formação e temos o escoamento
de entrada. Após a camada limite está totalmente desenvolvida e o
escoamento é estabelecido.
v0
Le
Le
Figura 2.12 - Esquema simpli�cado dos escoamentos de entrada e
estabelecido em um duto
Fonte: Livi (2017, p. 71).
Depois do comprimento da entrada, no escoamento estabelecido o per�l da
velocidade �ca invariante ao longo de um duto de seção constante, e a forma
da distribuição real de velocidade depende de o regime ser laminar ou
turbulento. Para um escoamento laminar em um duto de seção transversal
circular, o per�l de velocidade numa seção parabólica é dado por:
 (Equação 2.16)
em que é a velocidade de escoamento no centro da seção.
Teorema de Transporte de Reynolds
Muitas vezes, estamos interessados no que acontece numa região particular
do escoamento e, em outras vezes, estamos interessados no efeito do
escoamento num objeto que interage com o escoamento.
O teorema de transporte de Reynolds é uma ferramenta que transforma a
abordagem dos sistemas (considerando uma massa �xa de um �uido) em
volume de controle (considerando um dado volume).
Sistema é uma quantidade �xa de massa identi�cável que se move com o
�uido, e volume de controle é um volume no espaço.
A maioria das leis que descrevem o movimento dos �uidos envolve a taxa de
variação temporal de uma propriedade extensiva (como a taxa de variação da
quantidade de movimento de um sistema). Assim, sempre existirão termos
representados por:
 Equação 2.17)
onde B é um parâmetro físico e b = V (quantidade de movimento por unidade
de massa).
Na abordagem do volume de controle, precisamos obter umaexpressão para
a taxa de variação de uma propriedade extensiva no volume de controle, ,
V (r) = [1  − ]Vmáx   ( )rR
2
Vmáx
=dBsis
dt
d( ρ b dQ)∫sis
dt
cBv
e não em um sistema. Isso pode ser escrito do seguinte modo
(Equação 2.18)
onde os limites de integração, denotados por você, cobrem o volume de
controle em que estamos interessados.
O teorema de transporte de Reynolds fornece uma relação entre a taxa de
variação temporal de uma propriedade extensiva para um sistema e aquela
para um volume de controle, ou seja, a relação entre as equações (2.17) e
(2.18).
Vamos estudar melhor esse teorema por meio de um exemplo:
Um �uido escoa do extintor de incêndio mostrado na Figura 2.13. Vamos ver
as diferenças entre e , considerando que B representa a massa do
�uido.
=dBvc
dt
d( ρ b dQ)∫vc
dt
dBsis
dt
dBvc
dt
Figura 2.13 - Extintor de incêndio. Em a) o extintor está cheio e em b) em uso
Fonte: Munson, Young e Okiishi (2004, p. 165).
Como B = m, a massa do sistema, segue que b = 1 e as Equações 2.17 e 2.18
podem ser reescritas como:
 e (Equação 2.19)
Essas equações representam a taxa de variação temporal da massa no
sistema e a taxa de variação temporal da massa no volume de controle.
Vamos escolher o �uido contido no extintor no instante inicial, dado por t = 0
como sistema e o tanque (recipiente) como volume de controle (a superfície
de controle será a parede interna do extintor). Um instante após a abertura
da válvula, uma parte do sistema escoa para fora do volume de controle,
como mostra a Figura 2.13, item b. O volume de controle permanece imóvel.
Os limites de integração são �xos para o volume de controle, e eles são uma
função do tempo para o sistema.
Se a massa deve ser conservada, a massa de �uido do sistema é constante, ou
 (Equação 2.20)
Do outro lado, é claro que uma certa quantidade de �uido deixou o volume
de controle por meio da válvula do tanque durante o processo. Assim, a
quantidade de massa no tanque (o volume de controle) decresce ao longo do
tempo, ou
 (Equação 2.21)
O valor numérico real da taxa com que a massa no volume decresce
dependerá da taxa com que o �uido escoa na válvula do extintor. Esse
princípio também é usado para aerossóis, como desodorantes, secadores de
unha etc.
= =dBsis
dt
dmsis
dt
d( ρ  dQ)∫sis
dt
= =dBvc
dt
dmvc
dt
d( ρ  dQ)∫vc
dt
= 0
d( ρ  dQ)∫sis
dt
< 0
d( ρ  dQ)∫vc
dt
saibamais
Saiba mais
Con�ra a demonstração do Teorema de
Reynolds e das fórmulas
 e ,
que estabelecem a relação de tempo de uma
propriedade para um sistema e para um
volume de controle  no vídeo a seguir:
ASS IST IR
praticar
Vamos Praticar
Assumindo o diagrama de velocidades indicado na �gura apresentada, em que a
parábola tem seu vértice a 10 cm do fundo, calcule o gradiente de velocidade e a
tensão de cisalhamento para y = 10 cm. Para isso, adote \mu= 400 centipoises (essa
unidade é adotada no CGS - Centímetro, Grama e Segundo e equivale a \frac{dina\ .\
s}{{cm}^2}= poise). Em seguida, assinale a alternativa que apresenta o valor
encontrado se situa em:
BRUNETTTI, F. Mecânica dos �uidos . 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice  Hall,
2008.
=dBsis
dt
d( ρ b dQ)∫sis
dt
=dBvc
dt
d( ρ b dQ)∫vc
dt
a) Entre 0 e 10 kN.
b) Entre 11 e 20 kN.
c) Entre 21 e 30 kN.
d) Entre 31 e 40 kN.
e) Entre 41 e 50 kN.
Figura: Gradiente de velocidade
Fonte: Brunetti (2008, p. 15).
Da mesma forma que foi feito para as massas que entram e saem de um
�uido, pela lei de conservação de Lavoisier podemos deduzir uma equação
para o balanço de energias armazenados em um �uido.
Essa equação será extremamente útil para determinamos a potência de
máquinas hidráulicas, determinação das perdas em escoamento e para
transformamos a energia potencial hidráulica de uma queda em energia
elétrica.
Tipos de Energias Mecânicas
Associadas a um Fluido
Os tipos de energia mecânicos associados a um �uido são (BRUNETTI, 2008, p.
85):
Energia potencial.
Energia cinética.
Balanço Global deBalanço Global de
Energia MecânicaEnergia Mecânica
Energia de pressão.
Energia Potencial ( )
É a energia que um corpo acumula devido à sua posição no campo de
gravidade em relação a um plano horizontal de referência (PHR). É a energia
de uma queda livre, conforme Figura 2.14 (BRUNETTI, 2008, p. 85):
Como Trabalho = Força x Deslocamento temos que:
 (Equação 2.22)
onde: é a força peso em N, m é a massa em kg, g é a aceleração da
gravidade igual a 9,81 m/s² e z é a altura em metros.
Energia Cinética ( )
Ep
Figura 2.14 - Corpo com Centro de Gravidade (CG) em queda livre de uma
altura z.
Fonte: Brunetti (2008, p. 86).
W = . z = m. g. zFp
Fp
Ec
É o estado de energia determinado pelo movimento do �uido. Seja um
sistema de massa m e velocidade v, a energia cinética é obtida por (BRUNETTI,
2008, p. 86):
 (Equação 2.23)
Energia de Pressão ( )
É a energia que corresponde às forças de pressão exercida por uma superfície
dentro de um líquido, conforme a Figura 2.15, que mostra um tubo de
corrente (BRUNETTI, 2008, ps. 86 e 87).
Figura 2.15 - Figura de um tubo de corrente
Fonte: Brunetti (2008, p. 86).
Vamos admitir que a pressão seja uniforme em um tubo de corrente
conforme está ilustrado na Figura 2.15. Então, a pressão aplicada pelo meio
externo no �uido do tubo de corrente, na interface A, será F = p . A. Ao
considerarmos o intervalo de tempo dt, o �uido terá se deslocado uma
distância ds, sob a ação da força F, produzindo um trabalho dado por:
 (Equação 2.24)
=Ec
m v2
2
rEp
dW = F . ds = p.A. ds = p. dV
Também podemos calcular a energia de pressão pela integral de volume dada
por:
 (Equação 2.25)
A energia mecânica total de um �uido será dada pela soma das energias
potenciais, cinemáticas e de pressão:
 (Equação 2.26)
Os diferentes tipos de energia serão úteis no cálculo da equação de Bernoulli.
Equação Integral de Conservação de
Energia
A termodinâmica estuda as relações entre as propriedades de um sistema e
as trocas de calor e trabalho com a vizinhança. Convencionamos que o calor
que entra no sistema e o trabalho realizado pelo sistema sobre a vizinhança
são positivos, assim como o calor que sai do sistema e o trabalho realizado
pela vizinhança sobre o sistema são representados pelo sinal negativo.
Considerando um sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança,
mostrado na Figura 2.16, onde foram representados o �uxo de calor e a
potência (taxa de realização de trabalho como positivo), a 1ª Lei da
Termodinâmica pode ser escrita como:
 (Equação 2.27)
A taxa de variação da energia total do sistema é igual ao �uxo líquido de calor
que entra no sistema menos a taxa líquida de trabalho realizado pelo sistema
sobre a vizinhança.
= p. dVEpr ∫V
E = + +Ep Ec Epr
= −dEsist
dt
δQ
dt
δW
dt
Agora que nos lembramos conceitualmente da 1ª Lei da Termodinâmica,
vamos aplicá-la aos �uidos. A 1ª Lei da Termodinâmica aplicável a um volume
de controle pode ser obtida a partir da equação básica da formulação de
volume de controle dada por
 (Equação 2.28)
Na dedução da equação básica da formulação de controle, consideramos que
o sistema e o volume de controle são coincidentes no instante t, de modo
que:
 (Equação 2.29)
resultando
 (Equação 2.30)
sendo e a energia total especí�ca (por unidade de massa) do �uido dada por
Figura 2.16 - Sistema que troca calor e trabalho com a vizinhança
Fonte: Livi (2017, p. 96).
= ∫ βρ (  .   ) dA + ∫ ∫ βρ d ∀dEsist
dt
∫
S.C.
V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
=  (   −  )δQ
dt
δW
dt sistema
(   −  )δQ
dt
δW
dt volume de controle
  − = ∫ e ρ (  .   ) dA + ∫ ∫ eρ d ∀δQ
dt
δW
dt
∫
S.C.
V−− n−−
d
dt
∫
V . C.
 (Equação 2.31)
em que: g. y é a energia potencial especí�ca, é a energia cinética
especí�ca e u é a energia interna especí�ca.
praticar
Vamos Praticar
Um dos métodos para se produzir vácuo em uma câmara é descarregar água por
um tubo convergente-divergente, como é mostrado na �gura a seguir. Temos que
produzir uma depressão de 22 cm de mercúrio na câmarada �gura. Dados: as
perdas de carga devem ser desprezadas. \gammaágua = 104 N/m3, \gammaHg =
1,36 x 105 N/m3, g = 9,81 m/s2, D1 = 70 mm e D2 = 36 mm. A vazão em massa de
água pelo convergente-divergente deve ser um número situado entre:
e = g. y + + uV
2
2
V 2
2
a) Entre 0 e 2 kg/s.
b) Entre 2,1 e 4 kg/s.
c) Entre 4,1 e 6 kg/s.
d) Entre 6,1 e 8 kg/s.
e) Entre 8,1 e 10,0 kg/s.
Figura: Tubo convergente-divergente
Fonte: Brunetti (2008, p. 109).
indicações
Material
Complementar
LIVRO
Mecânica dos �uidos: fundamentos e
aplicações
Editora: McGraw Hill
Autores: Yunus A. Çengel e John M. Cimbala
ISBN: 978-85-86804-58-8
Comentário: você encontrará inúmeras aplicações da
equação de Bernoulli explicadas passo a passo (p. 169 a
175). Esse livro apresenta exemplos reais para ajudar
os alunos a resolverem problemas de forma intuitiva e
analítica.
FILME
Sob pressão
Ano: 2015
Comentário: a 160 km da costa da Somália, uma
equipe é designada para descer e realizar a
manutenção corretiva em um oleoduto de petróleo. O
problema é que o navio que daria suporte ao módulo
de descida afunda por causa de uma tempestade e
quatro trabalhadores �cam presos no fundo do mar
com o oxigênio acabando. Trata-se de uma
emocionante história de como esses operários lutaram
para retornar à superfície, e sobreviver a pressões
extremas é retratado de uma maneira muito verídica.
TRA ILER
conclusão
Conclusão
Nesta unidade, aprendemos a diferenciar os tipos de escoamento em laminar,
de transição e turbulento por meio do cálculo do número de Reynolds, assim
como a reconhecer se um escoamento é uni, bi ou tridimensional.
Também estudamos o cálculo da vazão em função do tempo e da massa para
determinarmos o tempo de enchimento de um reservatório ou sua
velocidade de enchimento. Vimos que a velocidade é inversamente
proporcional à área para líquidos incompressíveis.
Também estudamos o princípio da conservação de massa que pode ser
utilizado em um tubo de Venturi. Por esse tubo, podemos alterar a velocidade
de um �uido de maneira simples, razão pela qual ele é utilizado na agricultura
e no projeto de aeronaves.
Finalmente, compreendemos o princípio da conservação de energia, as
energias acumuladas em quedas-d’água, no movimento dos �uidos, e a
energia de pressão.
referências
Referências
Bibliográ�cas
BRUNETTI, F. Mecânica dos �uidos . 2. ed. rev. São Paulo: Pearson Prentice
Hall, 2008.
ÇENGEL, Y.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos �uidos: fundamentos e aplicações.
Tradução de K. A. Roque e M. M. Fecchio. Revisão Técnica de F. Saltara, J. L.
Baliño e K. P. Burr. Consultoria técnica de H. M. Castro. São Paulo: McGraw-
Hill, 2007.
FOX. R. W.; McDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J.; LEYLEGIAN, J. C. Tradução e
revisão técnica de R. N. Koury, Introdução à mecânica dos �uidos . 8. ed.
São Paulo: LTC, 2010.
LIVI, C. P. Fundamentos de fenômenos de transporte: um texto para cursos
básicos. 2. reimp. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
MUNSON, B. R.; YOUNG, D. F.; OKIISHI, T. H. Fundamentos da mecânica dos
�uidos . Tradução da 4. ed. americana de Euryale de Jesus Zerbini. São Paulo:
Edgard Blucher, 2004.
POTTER, M. C.; WIGGERT, D. C. Mecânica dos �uidos . Tradução de Francisco
Araújo da Costa. Revisão Técnica: Jorge Luis Baliño. Porto Alegre: Bookman,
2018.
TARDELLI FILHO, J. Aspectos relevantes do controle de perdas em sistemas
públicos de abastecimento de água. Revista Dae , jan./abr. 2016. Disponível
em: http://revistadae.com.br/artigos/artigo_edicao_201_n_1622.pdf . Acesso
em: 15 dez. 2019.
http://revistadae.com.br/artigos/artigo_edicao_201_n_1622.pdf