PME3211_Lista2_22-10-2024_11-47-34

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<p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>1</p><p>PME-3211 - Mecânica dos Sólidos II</p><p>2a Lista de Exercícios</p><p>1) Considere novamente os dados do exercício 2 da lista 1 e determine:</p><p>a) Os esforços solicitantes na seção mais solicitada (seção crítica);</p><p>b) O estado de tensões no ponto considerado mais crítico desta seção (vale a mesma observação (a)</p><p>do exercício 2 da lista 1);</p><p>c) as tensões principais e as direções principais de tensão para o ponto escolhido no item (b). Faça</p><p>também um desenho indicando a orientação dos planos principais de tensão (com relação aos eixos</p><p>x, y, z) num elemento 3D.</p><p>2) O eixo indicado a seguir está submetido à torção pura. Determine:</p><p>a) O estado de tensões em um ponto genérico da superfície do eixo, utilizando a base de versores</p><p>b = ),,( zr eee </p><p>θ associada ao sistema de coordenadas cilíndricas (indique o estado de tensões</p><p>através de um elemento 3D);</p><p>b) O tensor das tensões correspondente ao ponto descrito em (a);</p><p>c) As tensões principais associadas ao ponto.</p><p>Dados: Mt (momento aplicado), d (diâmetro do eixo)</p><p>Mt Mt</p><p>y</p><p>x</p><p>z</p><p>re</p><p></p><p>θe</p><p></p><p>θ</p><p>ze</p><p></p><p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>2</p><p>3) As tensões atuantes em dois planos (a-a e b-b) que passam por um dado ponto (Q) de uma</p><p>estrutura estão indicadas na figura a seguir. Determine o valor da tensão normal bσ (que atua no</p><p>plano b-b) bem como os valores das tensões principais no ponto. Dados: θ = 45o , β = 60o.</p><p>Exercícios Sugeridos (Livro Texto)</p><p>Referência:</p><p>Gere, J.M. & Goodno, B.J., Mecânica dos Materiais, Cengage Learning, 2010, 858 p.</p><p>• Tensão Plana: 7.2.9, 7.3.10</p><p>P1</p><p>P2</p><p>P3</p><p>P4</p><p>Q</p><p>θ</p><p>a</p><p>a</p><p>b b b b</p><p>a</p><p>a</p><p>θ</p><p>β</p><p>20 MPa</p><p>σb</p><p>40 MPa</p><p>(“Zoom” no ponto Q)</p><p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>3</p><p>Respostas da 2a Lista de Exercícios</p><p>1) a) A seção mais crítica, neste caso, é a seção transversal próxima ao engaste (seção C). Os</p><p>esforços nesta seção são:</p><p>torçor)(mom. )( . 5,7</p><p>fletor) (mom. )( . 20</p><p>cortante) (f. )( . 5,8</p><p>xt</p><p>zf</p><p>yy</p><p>emkNM</p><p>emkNM</p><p>emkNV</p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>−=</p><p>−=</p><p>b) Os pontos mais solicitados desta seção são os pontos mais afastados do eixo neutro, cujas coordenadas</p><p>são dadas por: </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> + 0 ,</p><p>2</p><p>2 , 0 tdi e </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +− 0 ,</p><p>2</p><p>)2( , 0 tdi</p><p>O tensor das tensões, escrito com relação à base indicada, no ponto </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> + 0 ,</p><p>2</p><p>2 , 0 tdi é:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>0061,2</p><p>000</p><p>61,209,13</p><p>][ bT (MPa)</p><p>E o tensor das tensões para o ponto </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +− 0 ,</p><p>2</p><p>)2( , 0 tdi é dado por:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>−</p><p>−−</p><p>=</p><p>0061,2</p><p>000</p><p>61,209,13</p><p>][ bT (MPa)</p><p>c) As tensões principais e direções principais de tensão serão:</p><p>i) para o ponto </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> + 0 ,</p><p>2</p><p>2 , 0 tdi :</p><p>0,983911) 0; ;178657,0( 474,0</p><p>0) ; 1 ; 0( 0</p><p>0,178657) 0; ;983911,0( 374,14</p><p>33</p><p>22</p><p>11</p><p>−=−=</p><p>==</p><p>==</p><p>nMPa</p><p>n</p><p>nMPa</p><p></p><p></p><p></p><p>σ</p><p>σ</p><p>σ</p><p>ii) para o ponto </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p> +− 0 ,</p><p>2</p><p>)2( , 0 tdi :</p><p>0,178657) 0; ;983911,0( 374,14</p><p>0) ; 1 ; 0( 0</p><p>0,983911) 0; ;178657,0( 474,0</p><p>33</p><p>22</p><p>11</p><p>=−=</p><p>==</p><p>−==</p><p>nMPa</p><p>n</p><p>nMPa</p><p></p><p></p><p></p><p>σ</p><p>σ</p><p>σ</p><p>ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO</p><p>DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA</p><p>4</p><p>2) a) A única tensão que existirá, segundo a base de versores ),,( zr eeeb </p><p>θ= , é a tensão de cisalhamento θτ z</p><p>(bem como sua complementar, zθτ ), dada em módulo por:</p><p>3.</p><p>.16</p><p>2</p><p>.</p><p>d</p><p>Md</p><p>J</p><p>M tt</p><p>z π</p><p>τ θ ==</p><p>b) O tensor das tensões na base indicada será:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>=</p><p>010</p><p>100</p><p>000</p><p>.</p><p>.</p><p>.16 ][ 3d</p><p>MT t</p><p>zzzr</p><p>zr</p><p>rzrr</p><p>b π</p><p>σττ</p><p>τστ</p><p>ττσ</p><p>θ</p><p>θθθ</p><p>θ</p><p>c) As tensões principais no ponto serão: 3</p><p>33</p><p>2</p><p>31</p><p>.</p><p>.16</p><p>.</p><p>.16</p><p>0</p><p>.</p><p>.16</p><p>d</p><p>M</p><p>d</p><p>M</p><p>d</p><p>M</p><p>t</p><p>máx</p><p>t</p><p>t</p><p>π</p><p>τ</p><p>π</p><p>σ</p><p>σ</p><p>π</p><p>σ</p><p>=⇒</p><p>−=</p><p>=</p><p>=</p><p>Obs: Tal estado de tensões é chamado estado de cisalhamento puro.</p><p>3) a) bσ = 74,641 MPa</p><p>b) Tensões principais no ponto: (MPa)</p><p>0</p><p>357,26</p><p>925,82</p><p>3</p><p>2</p><p>1</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>σ</p><p>σ</p><p>σ</p><p>PME-3211 - Mecânica dos Sólidos II</p>