Regressão Linear e Métodos Quantitativos

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Métodos Quantitativos em Administração
Prof. Moisés Diniz Vassallo
Regressão Linear Simples - Método do Mínimos Quadrados 
Ordinários (MQO) – Parte 2
Universidade Federal de Itajubá
Instituto de Engenharia de Produção e Gestão - IEPG
ADM04F
Professor: Moisés Diniz Vassallo
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Parte 2: Regressão Linear Simples
Referência Principal:
Wooldridge – Introdução à Econometria – Capítulo 2 e Apêndice A.
Referência Complementar:
Gujarati – Econometria Básica – Capítulos 2 e 3.
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Algumas Propriedades Algébricas do MQO
Além de decompor cada observação 𝑦𝑖 em uma parcela explicada ( ො𝑦𝑖) e em um temo de resíduo
(ො𝑢𝑖), tal que 𝑦𝑖 = ො𝑦𝑖 + ො𝑢𝑖, também podemos obter a seguinte relação:
𝑆𝑄𝑇𝑦 = 𝑆𝑄𝑅 + 𝑆𝑄𝐸
෍
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − ത𝑦 2 =෍
𝑖=1
𝑛
ො𝑦𝑖 − ത𝑦 2 +෍
𝑖=1
𝑛
ො𝑢𝑖
2
Onde denotaremos as partes como:
• Soma dos Quadrados Total de 𝑦 (𝑆𝑄𝑇𝑦): σ𝑖=1
𝑛 𝑦𝑖 − ത𝑦 2
• Soma dos Quadrados Explicada (𝑆𝑄𝐸): σ𝑖=1
𝑛 ො𝑦𝑖 − ത𝑦 2
• Soma dos Quadrados Resíduos (𝑆𝑄𝑅): σ𝑖=1
𝑛 ො𝑢𝑖
2
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𝑆𝑄𝑇𝑦
෍
𝑖=1
𝑛
𝑦𝑖 − ത𝑦 2 =෍
𝑖=1
𝑛
[ 𝑦𝑖 − ො𝑦𝑖 + ( ො𝑦𝑖 − ത𝑦)]2
=෍
𝑖=1
𝑛
[ ො𝑢𝑖 + ( ො𝑦𝑖 − ത𝑦)]2
=෍
𝑖=1
𝑛
ො𝑢𝑖
2 + 2෍
𝑖=1
𝑛
ො𝑢𝑖 ො𝑦𝑖 − ത𝑦 +෍
𝑖=1
𝑛
ො𝑦𝑖 − ത𝑦 2
𝑆𝑄𝑇𝑦 = 𝑆𝑄𝑅 + 𝑆𝑄𝐸
0
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Qualidade de Ajuste
Uma das formas de medir qual a qualidade do ajuste da reta de regressão aos dados observados é a
coeficiente de determinação 𝑅2:
𝑅2 =
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇𝑦
= 1 −
𝑆𝑄𝑅
𝑆𝑄𝑇𝑦
• Mede quão bem a variável independente 𝑥 explica a variável dependente 𝑦.
• Mais precisamente qual a parcela da variabilidade de 𝑦 (σ𝑖=1
𝑛 𝑦𝑖 − ത𝑦 2) é explicada pelo modelo
(
𝑆𝑄𝐸
𝑆𝑄𝑇𝑦
).
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Mudança de Unidades de Medida das Variáveis
Seja: 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝑢𝑖
• Se multiplicarmos/dividirmos a variável explicativa 𝑥 por uma constante 𝑐 em toda a amostra é
intuitivo que a relação linear será afetada apenas pela transformação no valor de 𝛽1 que será
dividido/multiplicado pela mesma constante 𝑐.
𝑦𝑖 = 𝛽0 +
𝛽1
𝑐
(𝑐𝑥𝑖) + 𝑢𝑖
• Se multiplicarmos/dividirmos a variável explicada 𝑦 por uma constante 𝑐, então os valores dos
parâmetros 𝛽0 e 𝛽1 serão multiplicados/divididos pela constante 𝑐.
𝑐𝑦𝑖 = 𝑐𝛽0 + 𝑐𝛽1𝑥𝑖 + 𝑢𝑖
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EXEMPLOS E APLICAÇÕES
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Mudança de Unidades de Medida das Variáveis
Usando a base de dados WAGE1 do Wooldridge vamos estimar o modelo:
𝑤𝑎𝑔𝑒 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝑢
▪ Inicialmente considerando a variável 𝑤𝑎𝑔𝑒 medida como na base de dados original (US$/hora) e em
seguida em sua transformação para salário mensal, padrão brasileiro.
▪ Para transformar o salário em pagamento mensal vamos admitir 8h de trabalho por dia e 24 dias
trabalhados em um mês.
Ao se multiplicar 𝑤𝑎𝑔𝑒 por 8 ∙ 24 o mesmo ocorrerá com os resultados estimados de መ𝛽0 e መ𝛽1. Uma vez 
que para manter a equivalência na equação devemos multiplicar os dois lados da igualdade.
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Formas Funcionais
As relações entre as variáveis explicada e explicativa não precisam ser necessariamente lineares.
Mesmo com modelos de regressão lineares nos parâmetros (𝛽𝑠) é possível tratarmos situações onde as relações
entre 𝑥 e 𝑦 são transformações não lineares das variáveis originais.
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥
2 + 𝑢
Ou
ln 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥 + 𝑢
Ou
𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 ln 𝑥 + 𝑢
Ou
ln 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1 ln 𝑥 + 𝑢
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Formas Logarítmicas / Exponenciais
𝑦 = ln(x)
ln 𝑦 = 𝑥 ou y=exp(x)
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Casos de Relações Não Lineares
• Salário x Idade;
• Horas trabalhadas e riqueza acumulada;
• Valor do imóvel x Quantidade de quartos;
• Toda teoria de rendimentos marginais decrescentes;
• Curvas de elasticidade constante (demanda).
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Formas Logarítmicas
Linear – Log:
Seja 𝑦 = 𝑓(𝑥) e ∆𝑦 ≈
𝑑𝑓
𝑑𝑥
. ∆𝑥, então se 𝑦 = 𝑙𝑛(𝑥) tem-se ∆𝑦 ≈
∆𝑥
𝑥0
Variação de 𝑦 dada uma variação percentual de 𝑥.
Para 𝑦 = 𝛽0 + 𝛽1ln(𝑥), tem-se ∆𝑦 ≈ 𝛽1
∆𝑥
𝑥0
ou
∆𝑦 ≈
𝛽1
100
(%∆𝑥)
𝛽1
100
pode ser interpretado como a variação em 𝑦 dada uma variação percentual em 𝑥.
Atenção. É uma aproximação válida 
para pequenas variações
Revisando de cálculo:
𝑦 = ln 𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑥
=
1
𝑥
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Forma funcional: lin-log
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Forma funcional: lin-log
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋
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Forma funcional: lin-log
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 ln 𝑋
𝛽1 > 0
lin-log
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Forma funcional: lin-log
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 ln 𝑋
𝛽1 0
EXEMPLO “Wage1” Wooldridge
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Forma funcional: log-lin
ln 𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1𝑋
𝛽1Quadro Resumo de Interpretação dos Modelos Logarítmicos
Modelo Nome Alternativo
Variável Interpretação
Explicada Explicativa do 𝜷𝟏
Linear Nível 𝑦 𝑥 ∆𝑦 = 𝛽1∆𝑥
Linear-Log - 𝑦 𝑙𝑛(𝑥)
∆𝑦 =
𝛽1
100
%∆𝑥
Log-Linear Semi-Elasticidade 𝑙𝑛(𝑦) 𝑥 %∆𝑦 = (100𝛽1)∆𝑥
Log-Log Elasticidade Constante 𝑙𝑛(𝑦) ln(𝑥) %∆𝑦 = 𝛽1%∆𝑥
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Cuidados de Interpretação
• Quando se fala em variação em pontos percentuais, geralmente se tem um modelo linear onde a
variável é medida em percentagem. Exemplo:
𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑉𝑜𝑡𝑜𝑠 = 𝛽0 + 𝛽1𝐺𝑎𝑠𝑡𝑜𝑃𝑟𝑜𝑝𝑎𝑔𝑎𝑛𝑑𝑎 + 𝜀
• Quando uma variável tem valor original em termos absolutos e se utiliza o logaritmo Natural então o
resultado será uma variação percentual que deverá ser aplicada na variável original para
interpretação. ln 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 = 𝛽0 + 𝛽1𝑒𝑑𝑢𝑐 + 𝜀
• Pode também existir modelos onde a variável explicada é uma percentagem e ainda assim faz
sentido aplicar o Ln para o modelo. Neste caso teremos uma variação percentual de uma
percentagem.
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Mudança de Unidades de Medida nas Variáveis em Modelos Logarítmicos
Caso tenhamos o seguinte modelo:
ln 𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝑢𝑖
E alteremos a unidade de medida de 𝑦𝑖, então:
ln 𝑐𝑦𝑖 = 𝛽0 + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝑢𝑖
ln 𝑦𝑖 = [ln 𝑐 + 𝛽0] + 𝛽1𝑥𝑖 + 𝑢𝑖
Apenas o intercepto (𝛽0) será afetado.
Caso alteremos a unidade de medida de 𝑥𝑖, então:
ln 𝑦𝑖 = 𝛽0 +
𝛽1
𝑐
(𝑐𝑥𝑖) + 𝑢𝑖