Correlação e Regressão Linear

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Tópico 08
Bioestatística
Correlação e regressão linear
simples
1. Introdução
Todos parecem querer lhe contar as últimas relações, correlações, associações ou
ligações encontradas nas mais diversas áreas. É usual aparecer em noticiários e
mídias sociais grandes notícias que envolvem estudos sobre relações de variáveis.
Sempre é interessante conhecer os efeitos que algumas variáveis exercem, ou que
parecem exercer, sobre outras. Mesmo que não exista relação causal entre as
variáveis podemos relacioná-las, por meio de uma expressão matemática, que pode
ser útil para se estimar o valor de uma das variáveis quando conhecemos os valores
das outras (estas de mais fácil obtenção ou antecessoras da primeira no tempo), sob
determinadas condições.
A Regressão e a correlação são duas técnicas estreitamente relacionadas que
envolvem uma forma de estimação. A diferença entre essas técnicas e o tipo de
estimação discutido nos tópicos anteriores é que aquelas técnicas foram utilizadas
para estimar um único parâmetro populacional. E este módulo são apresentadas
técnicas que se referem à estimação de uma relação que possa existir na população.
Análise de regressão é uma metodologia estatística que utiliza a relação entre duas
ou mais variáveis quantitativas de tal forma que uma variável pode ser predita a
partir da outra ou outras. Constituindo uma tentativa de estabelecer uma equação
matemática linear que descreva esse relacionamento.
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Modelo matemático Y= f(X)
São exemplos de relações funcionais entre variáveis:
Crescimento da população ou do PNB de um país (Y) em função dos anos (X);
Variação da produção (Y) obtida numa cultura conforme a quantidade de
nitrogênio (X ), fósforo (X ) e potássio (X ) utilizada na adubação;
Variação do preço (Y) de um produto no mercado em função da quantidade
oferecida (X).
Relação entre textura e aparência de produtos.
1 2 3
Fique atento!!!
Embora a análise de regressão lide com a dependência de uma variável em
relação a outras variáveis, ela não implica necessariamente em causa. Uma
relação estatística, por mais forte e sugestiva que seja, jamais pode
estabelecer uma relação causal. As ideias sobre causa devem vir de fora da
estatística, enfim, de outra teoria.

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2. Análise de correlação
O principal objetivo na análise de correlação é medir a força ou o grau de associação
linear entre duas variáveis, está estreitamente relacionada à análise de regressão, mas
conceitualmente é muito diferente.
Diagrama de Dispersão.
Como organizar as variáveis em uma análise de correlação?
Não há, nesse caso, preocupação em apresentar forma funcional entre as
variáveis, se houver. Trata-se qualquer (duas) variáveis simetricamente, não
há distinção entre as variáveis dependentes e explanatórias.
?
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Por exemplo, podemos estar interessados em determinar o coeficiente de correlação
entre: fumar e câncer de pulmão; entre notas obtidas nas provas de estatística e de
matemática; entre as notas obtidas no ensino médio e na faculdade e assim por
diante.
Para o estudo do comportamento conjunto de duas variáveis poderiam ser estudados:
a) Diagrama de Dispersão
Representação gráfica do conjunto de dados. Nada mais é do que a representação dos
pares de valores num sistema cartesiano.
Padrões de Correlação.
Em síntese, três situações marcantes poderiam acontecer:
Se, quando uma das variáveis “cresce”, a outra, em média, também “cresce”,
dizemos entre as duas variáveis existe correlação positiva, tanto mais forte quanto
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mais perto de uma reta imaginária os pontos estiverem;
Se, quando uma das variáveis “cresce”, a outra, em média, “decresce”, dizemos
entre as duas variáveis existe correlação negativa, tanto mais forte quanto mais
perto de uma reta imaginária os pontos estiverem;
Se os pontos estiverem dispersos, sem definição de direção, dizemos que a
correlação é muito baixa, ou mesmo nula, as variáveis nesse caso são ditas não
correlacionadas.
Exercício Resolvido: Uma pesquisa foi realizada em um hospital
pediátrico em determinado mês, coletando as informações de temperatura
média do dia e o número de atendimentos de casos de problemas
respiratórios. Obtendo-se os seguintes dados:
Temperatura
média (ºC)
Nº de casos de
problemas
respiratórios
Temperatura
média (ºC)
Nº de casos de
problemas
respiratórios
9 28 10 25
11 26 12 26
14 22 12 22
15 22 16 20
17 22 21 10
18 16 17 16
20 12 22 10
21 6 14 15
22 6 13 16

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b) Coeficiente de correlação de Pearson
É um valor numérico, uma medida do grau de associação entre duas variáveis.
Se for observada uma associação entre as variáveis quantitativas (a partir de um
diagrama de dispersão, por exemplo), é muito útil quantificar essa associabilidade. 
O coeficiente de correlação amostral é calculado por:
  
Propriedades:
25 5 17 20
Deseja-se analisar a relação entre a temperatura e nº de casos de doenças
respiratórias, como criar um gráfico de dispersão utilizando o excel? Assista
ao vídeo com a explicação.
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a) Pode ser positivo ou negativo, o que dependerá do sinal do termo no numerador
da equação, que mede a covariação amostral das duas variáveis;
b) Se situa nos limites de -1 e +1, isto é, -1 ≤ r ≤ 1.
c) Sua natureza é simétrica, isto é, o coeficiente de correlação entre X e Y (r ) é o
mesmo que Y e X (r ).
d) Se X e Y são estatisticamente independentes, o coeficiente de correlação entre elas
é zero, mas se r = 0, isso não significa que sejam independentes.
Classificação da correlação linear.
e) É uma medida de associação linear ou de dependência linear, não é significativa
para descrever relações não lineares.
xy
yx
Fique atento!!!
O coeficiente pode ser representado por r ou pela letra grega rho (ρ), onde
letra grega indica um valor paramétrico (populacional).

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Segundo LEVIN (1978), pode-se classificar a força e sentido da correlação da seguinte
maneira:
Exemplo 01: Na tabela abaixo, temos o salário-hora ($) médio (Y) segundo
nível de escolaridade (X), deseja-se verificar o grau de relação entre essas
variáveis.
Anos de estudo (X) salário-hora médio (Y)
6 4,4
7 5,7
8 5,9
9 7,3
﫠
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10 7,3
11 6,5
12 7,8
13 7,8
14 11,0
15 10,7
16 10,8
17 13,6
18 13,5
Para podermos realizar as análises, é necessário obter os somatórios que são
utilizados na fórmula do coeficiente de Pearson, na tabela abaixo temos o
detalhamento desses somatórios.
Anos de estudo
(X)
salário-hora médio
(Y)
X² Y² XY
6 4,46 36 19,89 26,76
7 5,77 49 33,29 40,39
8 5,98 64 35,76 47,84
9 7,33 81 53,73 65,97
10 7,32 100 53,58 73,20
11 6,58 121 43,30 72,38
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12 7,82 144 61,15 93,84
13 7,84 169 61,47 101,92
14 11,02 196 121,44 154,28
15 10,67225 113,85 160,05
16 10,84 256 117,51 173,44
17 13,62 289 185,50 231,54
18 13,53 324 183,06
243,5
4
Total
(soma)
156 112,78
205
4
1083,5
3
1485,1
5
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Podemos concluir que o grau de escolaridade e o salário-hora médio são
fortemente correlacionados, apresentando uma relação positiva.
É possível quantificar a relação entre qualquer tipo de variável
utilizando o coeficiente de correlação?
Não, em casos onde deseja-se analisar variáveis qualitativas, deve-se utilizar
métodos estatísticos apropriados para esse tipo de variável, as análises não
paramétricas. O coeficiente de correlação é usado apenas para variáveis
quantitativas, nas quais é possível calcular média e desvio padrão.
?

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3. Regressão linear simples
O modelo de regressão linear simples parte de uma relação entre duas variáveis
estudadas. A análise de regressão trata da estimação e/ou previsão do valor médio da
variável dependente com base nos valores conhecidos ou fixados da variável
independente.
Ilustraremos a situação geral através da figura abaixo, no gráfico temos quatro
observações de x (variável independente) no eixo horizontal e y (variável dependente)
no eixo vertical. Assim, temos quatro pontos e qualquer reta fica definida por dois
números, o coeficiente angular (b) e o intercepto vertical (a).
Exercício Resolvido: Vamos continuar a análise dos dados de temperatura
e número de casos de doenças respiratórias do hospital pediátrico visto no
exemplo anterior utilizando o Excel? Assista ao vídeo com a explicação.

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Representação da reta de regressão linear.
O modelo geralmente é escrito da seguinte forma:
  
Em que:
Y  = Variável resposta (dependente)
X  = valor pré-fixado (variável explicativa ou preditora);
a e b= são parâmetros (coeficientes de regressão);
 = é o erro que está associado à distância entre o valor observado Yi e o
correspondente ponto na curva. E(e ) = 0 e  σ (e ) = σ .
Observa-se que para cada ponto há uma certa distância entre a reta e o ponto, essa
distância é chamada erro ou resíduo, da reta em relação ao ponto.
i
i
ei
i
2
i
2
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Representação dos erros no modelo.
Deseja-se ajustar uma reta de modo que o erro total seja o menor possível,
minimizando a soma do quadrado dos erros. Dado por:
  
O método de estimação mais utilizado (porém, não o único) para estimar os
coeficientes da reta de regressão linear simples é o de mínimos quadrados
ordinários (MQO), sendo os estimadores a e b obtidos por:
  
  
   mede a quantidade de mudança esperada na variável dependente (eixo y) para
cada unidade de mudança da variável independente (eixo x).
O sinal deste coeficiente indica o sentido de relacionamento (correlação positiva ou
negativa).
Uma vez obtidas as estimativas, podemos escrever a equação estimada:
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O que significa Resíduos em regressão?
Também conhecido como erro, é a diferença entre o valor observado e o
estimado.
 
   .
Exemplo 03: Considere um modelo de regressão simples do tipo Y  =  + X  +
e , que, teoricamente, serviria para descrever o comportamento do mercado
de uma dada marca de automóvel de consumo de massa, onde Y é a venda
dos veículos em milhões de dólares e X a massa salarial, também em milhões
de dólares. Considere, também, a seguinte amostra de dados para Y e X:
X Y
100 360
180 422
260 550
330 610
490 690
a) Estime os parâmetros do modelo, usando os dados acima.
  X Y X² Y² XY
?
i i
i
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  10
0
36
0
10
00
0
12
96
00
36
00
0
  18
0
42
2
32
40
0
17
80
84
75
96
0
  26
0
55
0
67
60
0
30
25
00
14
30
00
  33
0
61
0
108
90
0
37
21
00
20
13
00
  49
0
69
0
24
01
00
47
61
00
33
81
00
Somatório 13
60
26
32
45
90
00
14
58
38
4
79
43
60
  
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b) Qual seria o valor esperado da venda de veículos se a massa salarial fosse
de 350 milhões de dólares?
  
O valor esperado de venda de veículos é de 595,04 milhões de dólares.
Precisão da Reta de Regressão
Para verificar a precisão das estimativas, é importante conhecer a variância
dos estimadores. Pois, o simples conhecimento dos coeficientes da reta
ajustada nada diz sobra a qualidade desse ajuste, é necessária uma medida
que mensure o grau de ajuste ou precisão do modelo estimado.
Utilizaremos, então, o Coeficiente de determinação (r²), uma medida
sintética que diz quão bem a reta de regressão da amostra se ajusta aos
dados. O R² indica a proporção (ou porcentagem) da variação de Y que é
“explicada” pela regressão.
Segundo ARANGO (1998), o r² é uma medida quantitativa de precisão da
reta estimada, sendo 
  
.
Normalmente, prefere-se obter a medida, utilizando o quadrado do
coeficiente de correlação (r²), pois o valor de r é normalmente encontrado
em qualquer calculadora que possua módulo estatístico.
O valor de r² pode ser obtido por:
  
O Coeficiente de determinação varia entre 0 e 1, e quando mais próximo de 1
melhor o ajuste, ou seja, as variáveis usadas no modelo estão explicando bem
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o evento que se está estudando.
Fique atento!!!
A obtenção de um modelo de regressão é indicada para variáveis que
apresentam uma relação de moderada a forte.

Exemplo 04:  É esperado que ao envelhecer, uma pessoa tenha a
sua massa muscular reduzida. Para estudar essa relação, uma
nutricionista selecionou 14 mulheres, com idade entre 40 e 79 anos,
e observou em cada uma delas a idade (X) e a massa muscular (Y).
Massa muscular (Y) Idade (X)
82.0 71.0
91.0 64.0
100.0 43.0
68.0 67.0
87.0 56.0
73.0 73.0
78.0 68.0
80.0 56.0
﫠
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65.0 76.0
84.0 65.0
116.0 45.0
76.0 58.0
97.0 45.0
100.0 53.0
Primeiramente a nutricionista construiu um gráfico de dispersão
para analisar a relação.
O coeficiente de correlação de Pearson confirmou a relação:
  
  
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Através do gráfico de dispersão e coeficiente de correlação entre
massa muscular e idade, pode-se observar que há um forte indício de
relação linear decrescente onde a massa muscular das pessoas
diminui à medida que a idade aumenta. 
Observada a forte relação entre as variáveis, a nutricionista ajustou
uma equação de regressão para modelar o comportamento das
variáveis. E obteve a seguinte equação:
y = 150,07 – 1,0761x
E, para entender qual a precisão desse modelo ajustado, ela obteve o
coeficiente de determinação:
R  = (-0,8255)  = 0,6815
Assim, a variação da massa muscular é explicada pela regressão
linear em 68,15%, os outros 31,85% são variações aleatórias não
explicadas pelo modelo de regressão selecionado.
2 2
Assista à explicaçãodetalhada a resolução do exemplo da relação

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4. Conclusão
Nesse tópico, foram abordados dois métodos de estimação muito
importantes na análise de dados. A regressão e correlação linear são técnicas
que envolvem a análise de duas variáveis, fazendo inferências em relação ao
grau de associação das mesmas e modelando essa relação. Conhecer essas
técnicas faz com que você consiga enxergar melhor os tipos de associações
que pode realizar, utilizando análises simples e também utilizando o Excel.
5. Referências
ABG Consultoria Estatística, 2017. Coeficientes de Correlação.  Disponível
em: <http://www.abgconsultoria.com.br/blog/coeficientes-de-correlacao/>.
BUSSAB, Wilton O. MORETTIN, Pedro A.  Estatística Básica. 5 ed., São
entre idade e massa muscular.
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Parabéns, esta aula foi concluída!
Paulo: Saraiva, 2004.
DOWNING, D., CLARK, J. Estatística Aplicada. São Paulo: Saraiva,1998.
FARIAS, Ana Maria Lima de. Notas de aulas inferência estatística.
Professores.uff. 2008. Disponível em:
<https://www.professores.uff.br/malbi/wp-
content/uploads/sites/50/2017/08/Inferencia.pdf>
FONSECA, Jairo Simon da; MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de
estatística. 5. ed. São Paulo: Atlas, 1994. 317 p. 
HOFFMANN, Rodolfo.  Análise de Regressão – Introdução à Econometria
[recurso eletrônico]. 5. ed. Piracicaba: ESALQ/USP, 2016. Disponível em:
<http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.p
df?sequence=5&isAllowed=y>
LEVIN. J. Estatística Aplicada a Ciências Humanas, São Paulo. Ed.
Harper&Row do Brasil. 1978.
RUMSEY, Deborah. Estatística para leigos. Rio de Janeiro: 1. ed. Alta
Books, 2009. 350p.
STEVENSON, Willian J. Estatística Aplicada à Administração – São
Paulo: HARPER & ROW do Brasil, 1981. 
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