matematica ao extremo DXCIV

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- **Explicação:** As raízes da equação característica \( r^2 - 9 = 0 \) são \( r = \pm 3 \), 
resultando na solução \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \). 
 
85. **Qual é a integral de \( e^{2x} \)?** 
 - A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 - B) \( 2e^{2x} + C \) 
 - C) \( e^{2x} + C \) 
 - D) \( -\frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 - **Resposta: A) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( e^{2x} \) é \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \). 
 
86. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + x) \)?** 
 - A) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \) 
 - B) \( \frac{3x^2}{x^3 + x} \) 
 - C) \( \frac{1}{x^3 + x} \) 
 - D) \( \frac{3}{x^3 + x} \) 
 - **Resposta: A) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{x^3 + x} \cdot (3x^2 + 
1) = \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \). 
 
87. **Qual é a integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \)?** 
 - A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 - B) \( \sec^{-1}(x) + C \) 
 - C) \( \frac{1}{x} + C \) 
 - D) \( -\cot^{-1}(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( \tan^{-1}(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é uma integral padrão que resulta em 
\( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
88. **Qual é a solução da equação \( y' + y = 0 \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-x} \) 
 - B) \( y = Ce^{x} \) 
 - C) \( y = -Ce^{-x} \) 
 - D) \( y = -Ce^{x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = Ce^{-x} \)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. Separando as variáveis e 
integrando, obtemos a solução \( y = Ce^{-x} \). 
 
89. **Qual é a integral de \( \sec(x) \tan(x) \)?** 
 - A) \( \sec(x) + C \) 
 - B) \( \tan(x) + C \) 
 - C) \( -\sec(x) + C \) 
 - D) \( -\tan(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( \sec(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \sec(x) \tan(x) \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\sec(x) + C \). 
 
90. **Qual é a solução da equação \( y'' + 4y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 - B) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 - C) \( y = C_1 \cos(4x) + C_2 \sin(4x) \) 
 - D) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \)** 
 - **Explicação:** As raízes da equação característica \( r^2 + 4 = 0 \) são complexas, 
resultando na solução \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \). 
 
91. **Qual é a integral de \( \tan(x) \)?** 
 - A) \( -\ln|\cos(x)| + C \) 
 - B) \( \ln|\sin(x)| + C \) 
 - C) \( \ln|\tan(x)| + C \) 
 - D) \( \sec(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) é conhecida e resulta em \( -\ln|\cos(x)| + C \). 
 
92. **Qual é a derivada de \( f(x) = e^{3x} \)?** 
 - A) \( 3e^{3x} \) 
 - B) \( e^{3x} \) 
 - C) \( 9e^{3x} \) 
 - D) \( 6e^{3x} \) 
 - **Resposta: A) \( 3e^{3x} \)** 
 - **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 3e^{3x} \). 
 
93. **Qual é a solução da equação \( y' + 2y = 0 \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-2x} \) 
 - B) \( y = Ce^{2x} \) 
 - C) \( y = 2Ce^{-x} \) 
 - D) \( y = -Ce^{-2x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = Ce^{-2x} \)** 
 - **Explicação:** Esta é uma equação diferencial linear. Separando as variáveis e 
integrando, obtemos a solução \( y = Ce^{-2x} \). 
 
94. **Qual é a integral de \( \sin(x) \)?** 
 - A) \( -\cos(x) + C \) 
 - B) \( \cos(x) + C \) 
 - C) \( \tan(x) + C \) 
 - D) \( -\tan(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( -\cos(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) + C \). 
 
95. **Qual é a solução da equação \( y'' + 25y = 0 \)?** 
 - A) \( y = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x) \) 
 - B) \( y = C_1 e^{5x} + C_2 e^{-5x} \) 
 - C) \( y = C_1 \cos(25x) + C_2 \sin(25x) \) 
 - D) \( y = C_1 e^{25x} + C_2 e^{-25x} \) 
 - **Resposta: A) \( y = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x) \)** 
 - **Explicação:** As raízes da equação característica \( r^2 + 25 = 0 \) são complexas, 
resultando na solução \( y = C_1 \cos(5x) + C_2 \sin(5x) \). 
 
96. **Qual é a integral de \( \sec^2(x) \)?** 
 - A) \( \tan(x) + C \) 
 - B) \( \sec(x) + C \) 
 - C) \( \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C \) 
 - D) \( -\cot(x) + C \) 
 - **Resposta: A) \( \tan(x) + C \)** 
 - **Explicação:** A integral de \( \sec^2(x) \) é uma integral padrão que resulta em \( 
\tan(x) + C \). 
 
97. **Qual é a solução da equação \( y' = -4y \)?** 
 - A) \( y = Ce^{-4x} \) 
 - B) \( y = Ce^{4x} \) 
 - C) \( y = 
Gerar 100 problemas de cálculo 1 com múltipla escolha, respostas longas e explicações 
detalhadas é uma tarefa extensa, mas vou começar e continuar até atingir o número 
solicitado. Aqui estão os primeiros problemas: 
 
1. **Qual é a derivada da função \( f(x) = 3x^4 - 5x^3 + 2x - 7 \)?** 
 a) \( 12x^3 - 15x^2 + 2 \) 
 b) \( 12x^3 - 15x^2 + 1 \) 
 c) \( 12x^3 - 15x^2 - 7 \) 
 d) \( 3x^3 - 5x^2 + 2 \) 
 **Resposta: a) \( 12x^3 - 15x^2 + 2 \)** 
 **Explicação:** Para encontrar a derivada de \( f(x) \), aplicamos a regra do poder da 
derivada, que diz que a derivada de \( x^n \) é \( n \cdot x^{n-1} \). Assim, derivamos cada 
termo separadamente: \( 3x^4 \) se torna \( 12x^3 \), \( -5x^3 \) se torna \( -15x^2 \), \( 2x \) 
se torna \( 2 \), e a constante \( -7 \) se torna \( 0 \). Portanto, a derivada total é \( 12x^3 - 
15x^2 + 2 \). 
 
2. **Calcule a integral definida \( \int_0^2 (4x^3 - 3x^2 + 2) \, dx \).** 
 a) \( 8 \)