exericicos para aprendizado kkr

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<p>C) \( F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} \, dt \)</p><p>D) \( F(x) = \ln(f(x)) \)</p><p>**Resposta:** A) \( F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i\omega t} \, dt \)</p><p>**Explicação:** A transformada de Fourier é uma integral que transforma uma função no</p><p>domínio do tempo para o domínio da frequência.</p><p>**34.** Calcule a integral \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{3} \)</p><p>B) \( \frac{1}{2} \)</p><p>C) \( \frac{2}{3} \)</p><p>D) \( \frac{1}{4} \)</p><p>**Resposta:** C) \( \frac{2}{3} \)</p><p>**Explicação:** A integral se torna \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx = [x - \frac{x^3}{3}]_0^1 = 1 -</p><p>\frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).</p><p>**35.** Qual é a solução geral da equação diferencial \( y' = 2y + 1 \)?</p><p>A) \( y = Ce^{2x} + \frac{1}{2} \)</p><p>B) \( y = Ce^{2x} - \frac{1}{2} \)</p><p>C) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} \)</p><p>D) \( y = Ce^{-2x} - \frac{1}{2} \)</p><p>**Resposta:** A) \( y = Ce^{2x} + \frac{1}{2} \)</p><p>**Explicação:** A equação é linear e pode ser resolvida usando o método do fator</p><p>integrante. A solução é \( y = Ce^{2x} + \frac{1}{2} \).</p><p>**36.** Qual é a integral de \( \sqrt{x} \)?</p><p>A) \( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \)</p><p>B) \( \frac{1}{2} x^{1/2} + C \)</p><p>C) \( \frac{1}{3} x^{3/2} + C \)</p><p>D) \( \frac{3}{2} x^{1/2} + C \)</p><p>**Resposta:** A) \( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \)</p><p>**Explicação:** A integral de \( x^{1/2} \) é \( \frac{2}{3} x^{3/2} + C \).</p><p>**37.** Calcule a derivada de \( f(x) = \sin^2(x) \).</p><p>A) \( 2\sin(x)\cos(x) \)</p><p>B) \( -\sin^2(x) \)</p><p>C) \( 2\sin^2(x) \)</p><p>D) \( 2\cos^2(x) \)</p><p>**Resposta:** A) \( 2\sin(x)\cos(x) \)</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 2\sin(x) \cdot \cos(x) = \sin(2x)</p><p>\).</p><p>**38.** O que é a derivada de \( f(x) = e^{g(x)} \)?</p><p>A) \( f'(x) = g'(x)e^{g(x)} \)</p><p>B) \( f'(x) = e^{g(x)} \)</p><p>C) \( f'(x) = g(x)e^{g(x)} \)</p><p>D) \( f'(x) = e^{g'(x)} \)</p><p>**Resposta:** A) \( f'(x) = g'(x)e^{g(x)} \)</p><p>**Explicação:** A derivada de uma função exponencial composta é dada pela regra da</p><p>cadeia.</p><p>**39.** Determine o valor de \( \int_0^1 x^4(1 - x) \, dx \).</p><p>A) \( \frac{1}{30} \)</p><p>B) \( \frac{1}{24} \)</p><p>C) \( \frac{1}{20} \)</p><p>D) \( \frac{1}{10} \)</p><p>**Resposta:** B) \( \frac{1}{24} \)</p><p>**Explicação:** Expandindo a integral, temos \( \int_0^1 (x^4 - x^5) \, dx =</p><p>\left[\frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = \frac{1}{30} \).</p><p>**40.** Qual é a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} r^n \) para \( |r|</p>