consiga resolver DCXXXVIII

Prévia do material em texto

A) 4 
B) 6 
C) 8 
D) 2 
**Resposta: A) 4** 
**Explicação:** A integral indefinida é \( \int (6x^2 - 4) \, dx = 2x^3 - 4x + C \). Avaliando de 
1 a 2: \( [2(2^3) - 4(2)] - [2(1^3) - 4(1)] = [16 - 8] - [2 - 4] = 8 + 2 = 10 \). 
 
19. Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 + 2x^3 - x \)? 
A) \( 5x^4 + 6x^2 - 1 \) 
B) \( 5x^4 + 2x^2 - 1 \) 
C) \( 4x^3 + 6x^2 - 1 \) 
D) \( 5x^4 + 3x^2 - 1 \) 
**Resposta: A) \( 5x^4 + 6x^2 - 1 \)** 
**Explicação:** Usamos a regra do poder para encontrar a derivada: \( f'(x) = 5x^4 + 6x^2 - 
1 \). 
 
20. Qual é o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \)? 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 4 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \), temos \( [-
\cos(\pi) + \cos(0)] = [1 + 1] = 2 \). 
 
21. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** O limite resulta em uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Fatorando, temos 
\( \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \), que simplifica para \( x + 1 \). Portanto, \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \). 
 
22. Qual é a integral indefinida de \( \int \cos(3x) \, dx \)? 
A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \) 
B) \( \sin(3x) + C \) 
C) \( 3 \sin(3x) + C \) 
D) \( \frac{1}{3} \cos(3x) + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \)** 
**Explicação:** Usamos a regra da integral de funções trigonométricas: \( \int \cos(kx) \, 
dx = \frac{1}{k} \sin(kx) + C \). Assim, para \( k = 3 \), obtemos \( \frac{1}{3} \sin(3x) + C \). 
 
23. Determine a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
D) \( 2x \) 
**Resposta: A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia. A derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot u' 
\), onde \( u = x^2 + 1 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
24. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin^2(x)} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta: B) 1** 
**Explicação:** Usando a identidade \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \), temos \( \lim_{x 
\to 0} \frac{x^2}{\sin^2(x)} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{x}{\sin(x)} \right)^2 = 1^2 = 1 \). 
 
25. Qual é a integral definida de \( \int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx \)? 
A) \( \frac{1}{3} \) 
B) \( 1 \) 
C) \( \frac{5}{3} \) 
D) \( \frac{2}{3} \) 
**Resposta: C) \( \frac{5}{3} \)** 
**Explicação:** A integral é \( \int (x^2 + 2x) \, dx = \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C \). Avaliando de 
0 a 1, temos \( [\frac{1}{3}(1^3) + (1^2)] - [0] = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \). 
 
26. Determine a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \). 
A) \( 2xe^{x^2} \) 
B) \( e^{x^2} \) 
C) \( x^2 e^{x^2} \) 
D) \( 2e^{x^2} \) 
**Resposta: A) \( 2xe^{x^2} \)** 
**Explicação:** Usamos a regra da cadeia: a derivada de \( e^{u} \) é \( e^{u} \cdot u' \), 
onde \( u = x^2 \) e \( u' = 2x \). Portanto, \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \). 
 
27. Qual é a integral de \( \int (3x^2 - 2x + 1) \, dx \)? 
A) \( x^3 - x^2 + x + C \) 
B) \( x^3 - x^2 + C \) 
C) \( 3x^3 - x^2 + x + C \) 
D) \( x^3 - 2x + C \) 
**Resposta: A) \( x^3 - x^2 + x + C \)** 
**Explicação:** Integramos cada termo separadamente: \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \), \( \int -
2x \, dx = -x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral é \( x^3 - x^2 + x + C \). 
 
28. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) Não existe 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** Usamos a propriedade do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \). 
Aqui, \( k = 2 \), portanto, o limite é 2. 
 
29. Qual é a derivada de \( f(x) = \frac{1}{x} \)? 
A) \( -\frac{1}{x^2} \) 
B) \( \frac{1}{x^2} \) 
C) \( -x^{-1} \) 
D) \( x^{-2} \) 
**Resposta: A) \( -\frac{1}{x^2} \)** 
**Explicação:** Usamos a regra do poder, onde \( f(x) = x^{-1} \) e \( f'(x) = -x^{-2} \) ou \( -
\frac{1}{x^2} \). 
 
30. Encontre a integral definida \( \int_0^1 (2x^3 + 3) \, dx \). 
A) \( \frac{5}{4} \) 
B) \( 1 \) 
C) \( \frac{7}{4} \) 
D) \( 2 \) 
**Resposta: C) \( \frac{7}{4} \)** 
**Explicação:** A integral é \( \int (2x^3 + 3) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + 3x + C \). Avaliando de 0 
a 1, temos \( [\frac{1}{2}(1^4) + 3(1)] - [0] = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2} \). 
 
31. Qual é a integral de \( \int (x^2 + 2x + 1) \, dx \)? 
A) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C \) 
B) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + C \) 
C) \( x^3 + x^2 + x + C \) 
D) \( \frac{1}{3}x^3 + 2x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C \)** 
**Explicação:** Integramos cada termo: \( \int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3 \), \( \int 2x \, dx = 
x^2 \), e \( \int 1 \, dx = x \). Portanto, a integral é \( \frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C \). 
 
32. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \). 
A) 0