Matematica (28)

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Circunferência e círculo
Vamos considerar um compasso com abertura 
de 5 cm, ou seja, que a distância entre a ponta 
de grafite e a ponta-seca seja 5 cm. Ao fixar a 
ponta-seca em um ponto C da folha de caderno 
e desenhar uma linha com a ponta de grafite, 
fazendo-a girar uma volta completa em torno do 
ponto C, estamos marcando todos os pontos da 
folha que distam 5 cm de C. essa linha é chamada 
de circunferência de centro C e raio 5 cm.
C
5 cm
Sendo C um ponto de um plano e r uma medida positiva, chama-se 
circunferência de centro C e raio r o conjunto dos pontos desse plano 
que distam de C a medida r.
Um ponto P do plano que contém uma circunferência de centro C e 
raio r é interior a ela quando a distância PC é menor que o raio; e é exte-
rior a ela quando a distância PC é maior que o raio, conforme mostra a 
figura abaixo.
ponto exterior
à circunferência
circunferência
ponto pertencente
à circunferência
ponto interior
à circunferência
r
C
A reunião de uma circunferência com o conjunto de seus pontos inte-
riores é chamada de círculo.
C
r
 Arcos e cordas
Dois pontos, A e B, de uma circunferência dividem-na em duas partes 
chamadas de arcos. O segmento de reta AB é chamado de corda. Uma corda 
que passa pelo centro C da circunferência é chamada de diâmetro.
A
B
E
D
C
diâmetro wDE x
corda wABx
arco — AB
 Objetivos
 Usar as propriedades 
das cordas na resolução 
de problemas.
 Relacionar as 
medidas dos ângulos 
central e inscrito com 
a medida do arco 
determinado por eles.
 Calcular o 
comprimento de 
uma circunferência.
 Termos e conceitos
• circunferência
• círculo
Seção 10.3
EXERCÍCIO REsOlvIdO
Nota:
O círculo é uma superfície plana cujo contorno é uma circunferência.
346
C
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CAP 10.indb 346 03.08.10 13:13:10
C
5 cm
em uma circunferência de centro C, sejam dois pontos distintos A e B, e M um ponto da 
corda AB. O segmento CM é perpendicular à corda AB se, e somente se, M é o ponto médio 
dessa corda.
Notas:
1. Como os pontos A e B dividem a circunferência em dois arcos distin-
tos, a notação + AB é ambígua, pois não determina qual dos dois arcos 
está sendo representado. Para eliminar essa ambiguidade, podemos 
considerar, além de A e B, um terceiro ponto M do arco considerado e 
representá-lo por + AMB . Observe o exemplo ao lado.
2. Se os pontos A e B coincidem, temos um arco nulo e um arco de uma 
volta completa.
3. Qualquer diâmetro AB de uma circunferência de raio r divide-a em duas 
partes chamadas de semicircunferências de raio r e diâmetro AB.
M
A
B
A notação + AMB indica 
o arco que passa por M 
e tem extremos A e B.
Propriedade das cordas
M
C
A
B
Justificativa
Observe na figura acima que o triângulo ABC é isósceles, pois AC e BC são raios da circunfe-
rência. em todo triângulo isósceles, a mediana coincide com a altura. então:
• se CM é perpendicular à corda, CM é altura do triângulo, portanto, também é mediana desse 
triângulo. logo, M é o ponto médio da corda AB;
• se M é o ponto médio da corda AB, CM é mediana do triângulo, portanto também é altura desse 
triângulo. logo, CM é perpendicular à corda AB.
13 Na circunferência de centro C e raio 4 cm, repre-
sentada abaixo, o ponto M da corda AB é tal que 
AM 5 BM 5 CM. Calcular a medida dessa corda.
EXERCÍCIO REsOlvIdO
Resolução
 Como M é o ponto médio de AB, pois AM 5 BM, te-
mos CM t AB (lemos t como “é perpendicular a”). 
C
A B
M
4 cm
C
A B
Mx x
x 4 cm
 x2 1 x2 5 42 ] 2x2 5 16
 } x2 5 8
 } x 5 2 dll 2 
 Logo, a medida da corda AB é 4 dll 2 cm.
Indicando por x a medida de cada um dos segmen-
tos AM, BM e CM, temos:
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CAP 10.indb 347 03.08.10 13:13:11
39 Na circunferência de centro C, abaixo, a corda AB tem ponto médio M e mede 18 cm. Dado que BC 
mede o dobro de CM, determine a medida do raio dessa circunferência. 
40 Na circunferência de centro C e raio 15 cm, representada abaixo, CD t AB e BD mede 3 cm a mais 
que CD. Calcule a medida da corda AB.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva o exercício complementar 40.
 Ângulo central de uma circunferência
Todo ângulo cujo vértice é o centro C de uma circunferência é chamado de ângulo central 
dessa circunferência.
A
B
ângulo central
arco determinado
pelo ângulo central
C
Define-se a medida, em grau, de um arco de circunferência como a medida do ângulo central 
que o determina. Por exemplo, na circunferência de centro C:
m(ACB) 5 60w ] m( + AB ) 5 60w
A
B
60°C
41 Na figura ao lado, M é o ponto médio da corda PQ da circunferência e 
PQ 5 24 cm. O segmento RM é perpendicular a PQ e RM 5 8 cm. 
 Calcule a medida do raio da circunferência.
M
CA
B
D
C
A
B
M
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CAP 10.indb 348 03.08.10 13:13:12
Propriedade
A medida de um ângulo inscrito é metade da medida do ângulo central correspondente.
demonstração
Faremos a demonstração do caso fundamental, que é aquele em que um dos lados do ângulo 
inscrito passa pelo centro C da circunferência.
�
�
C BV
A
m(AVC) 5 a
m(ACB) 5 d
O triângulo VCA é isósceles, pois CV & CA.
logo: CVA & CAV
�
�
�
BV
A
C
Como d é medida do ângulo externo ACB do triângulo ACV, temos: d 5 2a ] a 5 
d
 __ 
2
 
C
B
A
VC
B
A
V
Para a demonstração dos casos em que o centro C da circunferência é interior ou exterior ao 
ângulo, basta traçar um diâmetro auxiliar a partir do vértice do ângulo e aplicar duas vezes o caso 
fundamental.
 Ângulo inscrito em uma circunferência
Todo ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e os lados são secantes a ela é cha-
mado de ângulo inscrito nessa circunferência.
ângulo inscrito
arco determinado
pelo ângulo inscrito
A
V
B
Um ângulo inscrito e um ângulo central que determinam o mesmo arco são chamados de 
ângulos correspondentes nessa circunferência.
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CAP 10.indb 349 03.08.10 13:13:13
Exemplo
Na figura, a medida do ângulo central ACB é igual à medida 
do arco que ele determina na circunferência, isto é, 140w. Como 
a medida a do ângulo inscrito é metade da medida do ângulo 
central correspondente, concluímos que:
a 5 
140w
 _____ 
2
 ] a 5 70w
42 Determine a medida x, em grau, em cada uma das 
circunferências:
43 Um triângulo é inscrito em uma semicircunferência 
quando seus três vértices pertencem a ela e um de 
seus lados passa pelo centro da semicircunferência.
a) Calcule a medida do ângulo PMQ no triângulo 
inscrito na semicircunferência seguinte.
44 A superfície de um lago tem a forma de um círculo 
com 0,5 km de raio. Um barco partiu de um ponto 
A, junto à margem, e percorreu um trajeto reto até 
um ponto B da margem tal que a distância entre B 
e o diâmetro AC é 0,48 km. Qual foi a distância per-
corrida pelo barco de A até B, dado que AB  BC?
45 Na circunferência de centro C, determine a medida 
x, em grau, do ângulo PSN.
46 Determine a medida x, em grau, do ângulo PSM, na 
figura:
47 Em um espetáculo de acrobacias aéreas, um avião 
realiza um loop circular em um plano vertical a. 
De um ponto P do solo, pertencente ao plano a, 
observa-se o movimento do avião ao descrever um 
arco + AB de 60w. Sabendo que m(APB) 5 45w, calcule a 
medida do maior arco + CD descrito pelo avião,visto 
sob o mesmo ângulo APB.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
B
x
100°
A
V
46°
B
x
A
V
P
a)
c)
b)
M
P Q
C
(C é o centro da 
circunferência.)
C
70°
S
M
Q
N
P
x
M
Q
Sx
80°
30°
N
P
 (Sugestão: Trace o segmento PN e observe os ângulos 
inscritos PNM e NPQ.)
140°
α
C
B
A
V
b) Reescreva e complete a sentença abaixo no seu 
caderno, tornando-a verdadeira.
 Todo triângulo inscrito em uma semicircunfe-
rência é ... .
 (Sugestão: Trace o segmento PM e observe os ângulos 
inscritos PMN e MPQ.)
65°
centro
BA
x
350
C
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CAP 10.indb 350 03.08.10 13:13:17
 Reta tangente a uma circunferência
Uma reta r e uma circunferência de um mesmo plano são tangentes entre si quando têm um 
único ponto T em comum.
Propriedades
P1. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
P2. Se P é um ponto exterior a uma circunferência e os pontos A e B pertencem a ela, de 
modo que PA e PB são tangentes à circunferência, então PA 5 PB.
Justificativa
A menor distância entre o centro C e a reta tangente r é a medida do raio da circunferência. 
Como a menor distância entre um ponto e uma reta corresponde à medida do segmento que liga 
o ponto à reta perpendicularmente, concluímos que CT é perpendicular a r.
Justificativa
Traçando os segmentos AC, BC e PC, em que C é o centro da circunferência, obtemos os triân-
gulos retângulos PAC e PBC da figura abaixo.
Como PAC & PBC, PC é hipotenusa comum aos dois triângulos e CA 5 CB, temos, pelo caso 
RHC, que os triângulos PAC e PBC são congruentes. logo, PA 5 PB.
T
r
CT t r
T
C
r
PA 5 PB
A
P
B
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P
B
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CAP 10.indb 351 03.08.10 13:13:18
MAR
 TIRRENO
MAR
 MEDITERRÂNEO
Siracusa
Roma
M a g n a
G r é c i a
MAR ADRIÁTICO
90 km
Magna Grécia: Siracusa
14 A reta r tangencia as circunferências de centros O e 
Oe e raios 6 cm e 10 cm, representadas abaixo. Dado 
que a distância entre O e Oe é 4 dlll 26 cm, calcular a 
distância entre os pontos de tangência A e B.
15 A figura mostra uma circunferência tangenciando 
os três lados do triângulo ABC nos pontos M, N e P. 
Calcular a medida do segmento AM.
EXERCÍCIOs REsOlvIdOs
Resolução
 A reta tangente r é perpendicular aos raios OA e OeB. 
Indicando por x a medida, em cm, do segmento 
AB e traçando os segmentos OOe, OA, OeB e a reta 
s, paralela a r, que passa por O e intercepta OeB em 
C, temos: 
Resolução
 A propriedade dos segmentos tangentes permite 
concluir que: AM 5 AP, CN 5 CP e BN 5 BM. Assim, 
indicando por x a medida do segmento AM, temos:
 x2 1 42 5 @ 4 dlll 26 # 2 ] x2 1 16 5 416
 } x2 5 400 ] x 5 20
 Logo, a distância entre os pontos de tangência é 
20 cm. Logo: 9 2 x 1 7 2 x 5 8 ] x 5 2
48 Na circunferência de centro C, a seguir, os segmentos 
AB e AE medem 8 cm e 16 cm, respectivamente, e AB 
tangencia a circunferência em B. Calcule a medida 
do segmento AD.
49 Os vértices P e Q do quadrado MNPQ, abaixo, perten-
cem à circunferência; e o lado MN tangencia essa 
circunferência no ponto T. Dado que MN 5 8 cm, 
determine o raio da circunferência.
50 (FUE-RN) Na figura, o segmento AB mede 8 cm e é 
tangente, em A e B, às circunferências de centros O 
e Oe e raios 4 cm e 2 cm.
 A distância entre O e Oe é:
a) 9 cm
b) 9,2 cm
c) 9,4 cm
d) 10 cm
e) 10,2 cm
 (Sugestão: Construa o triângulo POOe, em que P é o 
ponto de encontro da reta OA com a reta que passa 
por Oe e é paralela a AB.)
EXERCÍCIOs pROpOstOs
51 A circunferência, representada abaixo, tangencia os 
lados do triângulo ABC nos pontos M, N e P. Calcule 
a medida do lado AC desse triângulo.
Resolva os exercícios complementares 18 e 19.
A B r
O
O�
A x
x
B r
6 6
4O
O�
C
4√26
78
9
PN
B A
M
C
9 � x
7 � x 7 � x
9 � x x
N P
M
C
B A
x
PQ
M NT
B
16
5,5
9
A
C
M
P
N
O O�
B
A
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CAP 10.indb 352 03.08.10 13:13:21
MAR
 TIRRENO
MAR
 MEDITERRÂNEO
Siracusa
Roma
M a g n a
G r é c i a
MAR ADRIÁTICO
90 km
Magna Grécia: Siracusa
 Comprimento da circunferência
Todas as circunferências são figuras semelhantes entre si. Portanto, em qualquer circunfe-
rência, a razão entre seu comprimento c e a medida 2r de seu diâmetro é constante. Costuma-se 
indicar essa constante pela letra grega s (pi). Assim:
r
c
comprimento da circunferência
 
c
 ___ 
2r
 5 s
O matemático grego Arquimedes de Siracusa (287 a.C.-212 a.C.) elaborou o primeiro método 
eficiente para obter sequências de números que se aproximam indefinidamente da constante 
s. em uma mesma circunferência, ele construiu polígonos regulares inscritos e circunscritos e 
dividiu o perímetro de cada um pelo diâmetro da circunferência.
r
perímetro da circunferência 5 c
perímetro do hexágono inscrito 5 6r
perímetro do hexágono circunscrito * 6,928r
Observe que o perímetro do hexágono inscrito é menor que o comprimento c da circunferência, 
que, por sua vez, é menor que o perímetro do hexágono circunscrito. Ou seja: 
6r  c  6,928r
Dividindo esses perímetros pelo diâmetro 2r da circunferência, Arquimedes restringiu o valor 
de s ao seguinte intervalo:
 
6r
 ___ 
2r
  
c
 ___ 
2r
  
6,928r
 _______ 
2r
 ] 3  s  3,464
O hexágono regular inscrito em uma circunferência de raio r, por exemplo, tem perímetro 6r, 
e o hexágono regular circunscrito a essa circunferência tem perímetro aproximado de 6,928r. 
Veja a figura:
DUBY, Georges. Atlas historique mondial. Paris: larousse, 2003.
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CAP 10.indb 353 03.08.10 13:13:29
linha do equador
Exemplo
O comprimento c de uma circunferência de raio 5 cm é:
c 5 2s 3 5 cm ] c 5 10s cm
Para obter uma aproximação de c, podemos substituir s por 3,14:
c * 10 3 3,14 cm ] c * 31,4 cm
c 5 2sr
52 Uma costureira pretende aplicar uma tira de renda no perímetro de uma toalha circular com 
2 m de diâmetro. Quantos metros de renda serão necessários?
53 Em uma estrada de ferro, a distância entre duas estações, A e B, é 12,56 km. Quantas voltas dá cada 
roda de um trem para ir de A até B se cada uma tem 0,5 m de raio? (Adote s 5 3,14.)
54 A circunferência máxima contida na superfície terrestre e que divide o planeta nos hemisférios 
norte e sul é chamada de linha do equador. Seu raio é 6.370 km.
EXERCÍCIOs pROpOstOs
Resolva os exercícios complementares 20, 21, 41 e 42.
a) Adotando s 5 3,14, calcule o comprimento da linha do equador, em km.
b) Um navio percorreu um arco de 10w sobre a linha do equador. Calcule o comprimento, em km, 
do trecho percorrido pelo navio. 
Quanto maior o número de lados dos polígonos inscrito e circunscrito, mais próximos do com-
primento da circunferência estarão os perímetros desses polígonos. Arquimedes iniciou seus 
cálculos com hexágonos regulares e foi dobrando o número de lados até chegar a 96 lados para 
os polígonos, inscrito e circunscrito, obtendo a aproximação:
s * 3,14
Atualmente, sabe-se que a constante s é um número irracional e, com a ajuda do computa-
dor, é possível calcular aproximações com bilhões de casas decimais. Como curiosidade, veja a 
aproximação do número s com trinta casas decimais:
s * 3,141592653589793238462643383279
Vimos que a razão entre o comprimentoc de uma circunferência e a medida 2r do diâmetro 
é igual a s, isto é: 
c
 ___ 
2r
 5 s. isolando c nessa igualdade, obtemos a seguinte fórmula para o cálculo 
do comprimento de uma circunferência de raio r:
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CAP 10.indb 354 03.08.10 13:13:30