N2 - CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS

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Engenharia Mecânica 
 N2 - CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS
1- Existem dois tipos de integrais: as integrais indefinidas e as integrais definidas. Para resolver ambas, é necessário obtermos a antiderivada da função do integrando. O resultado de uma integral indefinida, no entanto, é uma família de funções, isto é, . Em relação ao cálculo de integrais indefinidas, assinale a alternativa correta.
2- O cálculo de uma integral dupla pode ser expresso “como uma integral iterada, cujo valor pode ser obtido calculando-se duas integrais unidimensionais”. Considerando uma função de duas variáveis  integrável no retângulo , temos que a integral   é resolvida primeiro integrando com relação a  de  a  e depois em relação a  de  até . Da mesma forma, podemos calcular .
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2013. v. 2, p. 882.
 
Com relação às integrais iteradas, analise as afirmativas a seguir:
 
1.  
2.  
3.  
4.  
 
Está correto o que se afirma em:
3- Em um circuito elétrico, tem-se que o gerador fornece uma voltagem constante de  um capacitor com capacitância de  e um resistor com uma resistência de . Sabe-se que esse circuito pode ser modelado matematicamente por meio da seguinte equação diferencial: , onde  é a carga, medida em coulombs.
 
Dado que , assinale a alternativa correta.
 
4- Existem dois tipos de integrais: as integrais indefinidas e as integrais definidas. O resultado de uma integral definida pode ser obtido, usando-se o Teorema Fundamental do Cálculo e o seu resultado é sempre numérico, isto é, . A respeito do cálculo de integrais definidas, assinale a alternativa correta.
5- Leia o excerto a seguir:
 
“A Lei de Ohm diz que a queda na voltagem por causa do resistor é . A queda de voltagem por causa do indutor é . Uma das Leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida . Então. temos , que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente no instante ” (STEWART, 2016, p. 537).
 
STEWART, J. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, 2016. 2 v.
 
Considerando uma resistência de , uma indutância de  e uma voltagem constante de , assinale a alternativa que corresponde à expressão da corrente do circuito  quando o interruptor é ligado em .
6- O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há restrições para os valores que  e  podem assumir.
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir.
 
I. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
II. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
III. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
IV. O domínio da função  corresponde à região a seguir.
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s).
7- As equações diferenciais não possuem exatamente uma regra de resolução. O método de resolução de uma equação diferencial depende de algumas características apresentadas pela mesma. Por exemplo, equações diferenciais escritas na forma  são ditas equações diferenciais separáveis e resolvidas usando a integração em ambos os membros da igualdade.
 
Com base no método de resolução de equações diferenciais separáveis, analise as afirmativas a seguir:
 
I. A solução da equação  é .
II. A solução da equação  é  .
III. A solução da equação  é .
IV. A solução da equação  é .
 
É correto o que se afirma em:
 
 
8- No método de frações parciais para integrar funções racionais , considere que os fatores de  são todos lineares e alguns são repetidos, isto é, suponha que o fator  se repetia  vezes. Ao corresponder a esse fator que se repete, haverá a soma de  frações parciais: . Diante do exposto, assinale a alternativa que apresenta o cálculo da integral .
9- Um agricultor deseja construir um reservatório cilíndrico, fechado em cima, com capacidade de . O preço da chapa de aço é de  por metro quadrado. Sabendo que a área superficial de um cilindro é dada pela equação  e o seu volume é expresso por , assinale a alternativa que apresenta as dimensões do cilindro, raio  e altura  (ambas em metros), a fim de que o custo seja mínimo.
10- A meia-vida é o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial  se desintegrar ou se transmutar em átomos de outro elemento. Uma substância é dita mais estável quando a meia-vida possui um valor elevado. Esse tipo de problema pode ser modelado pela seguinte equação diferencial: , onde  representa a quantidade de átomos presente na substância e é uma função do tempo . Uma substância radioativa teve sua quantidade inicial  reduzida em 0,043% após 15 anos.
 
Com relação a essa informação, analise as afirmativas a seguir:
 
I. O valor da constante de proporcionalidade é .
II. A função que representa o problema descrito é .
III. O tempo de meia-vida dessa substância é de 23.512 anos.
IV. Após 15 anos, a quantidade de substância existente é de .
 
É correto o que se afirma em: