03-LAJES E ESCADAS

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ALVENARIA ESTRUTURAL
REVISÃO:
• LAJE MACIÇA
• ESCADA
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LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
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Fig. 1: Tipos de lajes 
retangulares armadas 
em cruz
LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
Reações nos apoios
As reações em cada apoio são as 
correspondentes às cargas atuantes nos 
triângulos ou trapézios determinados 
através das charneiras plásticas, sendo que 
essas reações podem ser, de maneira 
aproximada, consideradas uniformemente 
distribuídas sobre os elementos estruturais 
que lhes servem de apoio.
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LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
Reações nos apoios
Quando a análise plástica não for efetuada, 
as charneiras podem ser aproximadas por 
retas inclinadas, a partir dos vértices com os 
seguintes ângulos:
 45o entre dois apoios do mesmo tipo;
 60o a partir do apoio considerado engastado, se 
o outro for considerado simplesmente apoiado;
 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha 
for livre.
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LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
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Fig. 2: Reações de apoio lajes retangulares armadas em cruz
A partir dos ângulos definidos acima foram produzidas tabelas para 
os 6 tipos de lajes retangulares apresentados anteriormente, para 
as diversas relações 𝒃/𝒂. 
Nessas tabelas a reação em cada lado é obtida multiplicando-se os 
coeficientes tabelados sempre pelo produto 𝒑 × 𝒂.
LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
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Fig. 3: Tabela Prof. Tepedinno para Reações de Apoio em Lajes
LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
Momentos Fletores
 Os momentos fletores em lajes retangulares são 
calculados também por meio de tabelas produzidas 
tanto para o regime elástico como para o regime 
rígido-plástico. 
 Regime elástico → (𝑝. 𝑎2)/
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 (tanto para os momentos 
positivos quanto para os momentos negativos). 
 Regime rígido-plástico 
 → (𝑝. 𝑎2)/𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 (para os momentos 
positivos). 
 → 1,5 ∗ 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜 (para os momentos 
negativos). 
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LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
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Fig. 4: Tabela Prof. Tepedinno para Momentos em Lajes
L1
LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
Exemplo 01: Determinar as reações da laje sobre as vigas.
Dados: 
Altura da laje (h): 10 cm
Peso específico do concreto: 25,0 kN/m3
Revestimento: 1,0 kN/m2
Sobrecarga: 2,0 kN/m2
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LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
Solução:
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Carga 
permanente
Carga 
acidental
Carga total
Carga total: P = g + q
 Carga permanente (g): peso próprio (pp) +revestimento (rev)
 Carga acidental (q): sobrecarga (sc)
pp: 0,10 m * 25,0 kN/m3 = 2,5 kN/m2
rev: 1,0 kN/m2
3,5 kN/m2
sc: 2,0 kN/m2
P = 5,5 kN/m2
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Tipo da laje: Tipo A
Relação b/a : b/a = 5,0 / 4,0 = 1,25
 1,25 → Tabela reações
 ra = 0,25
 rb = 0,30
Ra = ra * P * a = 0,25 * 5,5 * 4,0 = 5,5 kN/m
Ra = 5,5 kN/m
Rb = rb * P * a = 0,30 * 5,5 * 4,0 = 6,6 kN/m
Rb = 6,6 kN/m
LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
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Tipo da laje: Tipo A
Relação b/a : b/a = 5,0 / 4,0 = 1,25
 1,25 → Tab. momento (regime elástico)
 ma = 16,45
 mb = 23,95
Ma = (P * a2 ) / ma = (5,5 * 4,02 ) / 16,45 = 5,4 kN.m 
Mb = (P * a2 ) / mb = (5,5 * 4,02 ) / 23,95 = 3,7 kN.m
Ma = 5,4 kN.m Mb = 3,7 kN.m
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𝑅𝑎 = 5,5 𝑘𝑁/𝑚
𝑅𝑎 = 5,5 𝑘𝑁/𝑚
𝑅
𝑏
=
6
,6
 𝑘
𝑁
/𝑚
𝑅
𝑏
=
6
,6
 𝑘
𝑁
/𝑚LAJE 
RETANGULAR 
ARMADA EM 
CRUZ
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Armadura de distribuição 
ou secundária
Armadura de 
principal
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Fig. 5: Classificação quanto à 
direção das armaduras 
principais: escadas armadas 
longitudinalmente.
Fonte: MELGES et al., 1997 
ESCADA
1º Lance
2º Lance 1º Patamar
2º Patamar
Denominando de p1 a 
carga total atuando 
por metro quadrado 
de projeção horizontal 
nos patamares e de 
p2 para os degraus.
Fig. 6: Escada em L, dois lances e dois patamares.
Fonte: CALIXTO & CHAVES, 2014
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ESCADA
Trecho 1 apoiado no Trecho 2
Trecho 2 recebendo a reação 
de apoio do Trecho 1
Fig. 7: Escada em L, divisão em dois trechos.
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1º Lance
2º Lance 1º Patamar
2º Patamar
3º Lance
Denominando de p1 a carga total 
atuando por metro quadrado de 
projeção horizontal nos 
patamares e de p2 para os 
degraus.
Fig. 8: Escada em U, três lances e 
dois patamares.
Fonte: CALIXTO & CHAVES, 2014
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ESCADA
Trecho 1 
apoiado nos 
Trechos 2 e 3 
Trecho 2 recebendo a 
reação de apoio R1 do 
Trecho 1
Trecho 3 recebendo a reação de 
apoio R2 do Trecho 1
Fig. 8: Escada em U, divisão 
em três trechos.Prof.ª Dra. Gláucia Nolasco de Almeida Mello 18
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Exemplo 02: Dimensionar a 
escada externa de um edifício 
que está apresentada na figura. 
Usar aço CA 50 e fck = 25 MPa. O 
guarda-corpo é de alvenaria de 
tijolos maciços. Considere o 
cobrimento igual a 2,5 cm.
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Altura vertical (vão a vencer) 
igual a 2,88 m. Dois lances com 8 
degraus cada e um patamar 
intermediário. Guarda-corpo 
com 1,0 m de altura e 10 cm de 
espessura.
CORTE A-A
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SOLUÇÃO:
s = 28,0 cm, e=18,0 cm 
1) Geometria
tan 𝛼 =
𝑒
𝑠
 tan 𝛼 =
18,0
28,0
= 0,6428 
𝛼 = 32,73° 
𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒉 = 𝟏𝟎 𝒄𝒎 
ℎ𝑚 ≥
ℎ
cos 𝛼
+
𝑒
2
 ℎ𝑚 =
10
cos 32,73°
+
18,0
2
 
𝒉𝒎 = 𝟐𝟎, 𝟖𝟖 𝒄𝒎
𝒉𝒎 = 𝟎, 𝟐𝟏 𝒎
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2) Carregamento
𝑔𝑢𝑎𝑟𝑑𝑎 − 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑗𝑜𝑙𝑜𝑠 𝑚𝑎𝑐𝑖ç𝑜𝑠 
( Τ𝛾𝑡 = 18 𝑘𝑁 𝑚3)
𝑝′ = 
0,1𝑚 × 1,0𝑚 × 18
𝑘𝑁
𝑚3
1,2 𝑚
 
𝒑′ = 𝟏, 𝟓𝟎 Τ𝒌𝑵 𝒎𝟐
(𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖𝑟 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑛𝑎 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑐𝑎𝑑𝑎) 
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Cargas usuais: (γc=25,0 kN/m3)
Patamar 
(kN/m2)
Degraus 
(kN/m2)
pp = 0,10x25 2,5 -
pp = 0,21x25 - 5,25
Guarda-corpo - 1,50
Revest. + piso 0,5 0,5
sc 3,0 3,0
Total 6,0 10,50
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Representação da estrutura 
da escada
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Cálculo - Ferramenta FTOOL
𝑴𝒎á𝒙 = 𝟏𝟐𝟔𝟎 𝒌𝑵 ∙ 𝒄𝒎
ATIVIDADES
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LAJE
MACIÇA Calcule as reações das 
lajes sobre as vigas e os 
momentos fletores das 
lajes para a estrutura ao 
lado.
Dados:
Altura da laje (h): 10 cm
Peso específico do 
concreto: 25,0 kN/m3
Revestimento: 1,0 kN/m2
Sobrecarga: 2,5 kN/m2
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ESCADA
1. Calcular e dimensionar a 
escada da figura abaixo, 
considerando:
a. Escada com acesso 
público (acesso comum), 
apoiada nas vigas 
indicadas na planta;
b. Revestimento: 0,5 kN/m2; 
c. Corrimão metálico fixado 
na parede;
d. Aço CA 50, fck = 25 MPa e 
cobrimento de 2,5 cm. 
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