Apostila Métodos Numéricos Cap. 07

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VII – Ajuste de curvas 
 
VII.1 – Introdução 
 
É importante relacionar por meio de um modelo matemático, a variável resposta 
(ou dependente) com um conjunto de variáveis explicativas (ou dependentes). 
Ao se estudar a relação entre duas variáveis, deve-se fazer a exibição gráfica dos 
dados por meio de um diagrama de dispersão para que se tenha uma noção do aspecto 
da distribuição dos valores. 
 
Exemplo: 
Construir o diagrama de dispersão dos dados tabelados abaixo: 
 
i 1 2 3 4 5 
xi 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 
yi 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 
 
Solução: 
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10
x
y
 
Figura 7.1 – Solução do exemplo. 
 
VII.2 – Regressão Linear Simples 
 
As relações mais simples entre duas variáveis são as relações lineares. A 
variável independente ou explicativa x é relacionada com a variável depedente ou 
resposta y por meio de um modelo linear como, por exemplo, y = β0 + β1x + ε, onde β0 e 
β1 são parâmetros a serem estimados e ε contém os componentes desconhecidos e 
aleatórios de erro que se sobrepõe à verdadeira relação linear. 
Suponha uma reta imaginária desenhada no diagrama de dispersão (figura 7.2). 
No valor de xi da variável explicativa, o valor de ŷi predito por esta reta é ŷi = b0 + b1xi, 
enquanto que o valor real da variável resposta é yi. A diferença entre esses valores é 
dada por: 
82 
 
di = yi – ŷi (7.1) 
 
 
Figura 7.2 – Reta arbitrária no diagrama de dispersão 
 
Considerando-se os desvios de todos os n pontos obtem-se a medida do desvio 
total dos pontos em relação à reta estimada, ou seja: 
 
∑
=
=
n
i
idD
1
2 (7.2) 
 
A magnitude de D é dependente da reta desenhada, ou seja, de β0 e β1. Assim, 
 
∑∑∑
===
β+β−=−==ββ
n
i
ii
n
i
ii
n
i
i xyyydD
1
2
10
1
2
1
2
10 )]([)ˆ(),( (7.3) 
 
Um modo para se estimar os coeficientes β0 e β1 é determinar o mínimo da 
função D(β0, β1). Isso pode ser obtido zerando-se as derivadas parciais de D em relação 
a β0 e β1, ou seja: 
 
∑ ∑ ∑∑∑∑∑
∑ ∑ ∑∑∑∑
=+⇒=−−⇒=β−β−−=β∂
∂
=+⇒=−−⇒=β−β−−=β∂
∂
=
=
iiiiiiiiii
n
i
i
iiiii
n
i
i
yxbxbxxbxbyxxxy
D
ybxbnxbbyxy
D
1
2
0
2
10
1
10
1
1010
1
10
0
)()(00)(2
)()(00)(2
(7.4) 
 
onde b0 e b1 são os valores onde a função D apresenta o valor mínimo. 
 
A solução deste sistema de equações lineares, também chamadas equações 
normais, pode ser obtida pelo método de Eliminação de Gauss da seguinte maneira: 
 
ii
i
ii
i
yx
y
b
b
xx
xn
∑
∑
∑∑
∑
=⋅
1
0
2 (7.5) 
 
 
83 
Multiplicando-se a primeira linha por - xi/n e somando-se com a segunda linha 
obtém-se o sistema equivalente: 
 
n
yx
yx
y
b
b
n
x
x
xn
ii
ii
i
i
i
i ∑∑∑
∑
∑ ∑
∑
−
=⋅
− 1
02
2 )(0
 (7.6) 
 
Através das substituições retrotativas obtém-se: 
 
n
bxy
b
xxn
yxyxn
b
ii
ii
iiii
∑ ∑
∑∑
∑∑∑
−
=
−⋅
−⋅
=
1
0
221
)(
)(
 (7.7) 
 
Portanto, a melhor reta que passa pelos pontos distribuídos no diagrama de 
dispersão é dada por: 
 
Y = b0 + b1X (7.8) 
 
Como este método consiste em achar o mínimo de uma função quadrática, ele é 
conhecido como Método dos Mínimos Quadrados. 
 
Exemplo: 
 
Calcular a reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta aos dados tabelados abaixo: 
 
i 1 2 3 4 5 
xi 1,3 3,4 5,1 6,8 8,0 
yi 2,0 5,2 3,8 6,1 5,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
84 
VII.3 – Coeficiente de Determinação 
 
Um modo de medir a qualidade do ajuste linear é através do coeficiente de 
determinação dado por: 
 
( ) ( )
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−
= ∑∑∑∑
∑∑∑
n
y
y
n
x
x
n
yx
yx
R
i
i
i
i
ii
ii
2
2
2
2
2
2 , (7.9) 
 
sendo 0 R2 1. 
 
Quanto mais próximo o coeficiente de determinação estiver da unidade, melhor 
será o ajuste. 
Se, por exemplo, R2 = 0,81, significa que 81% da variação de y pode ser 
explicada pela relação entre x e y. Os 19% remanescentes da variação são inexplicados e 
se devem a outros fatores como erros ou não-lineariedades. 
 
Exemplo: calcular o coeficiente de determinação da reta obtida no exemplo anterior: 
 
 
 
85 
VII.4 – Regressão linear múltipla 
 
 
Um modelo mais completo que relaciona a variável resposta Y com as p + 1 
variáveis explicativas pode ser expresso por: 
 
PP XXXY β++β+β+β= L22110 (7.10) 
 
Na forma matricial, tem-se: 
 
PPnbn
P
P
P
n xxx
xxx
xxx
xxx
y
y
y
y
β
β
β
β
⋅=
M
L
MMMM
L
L
L
M
3
2
1
21
32313
22212
12111
3
2
1
1
1
1
1
 ou Y = X (7.11) 
 
Substituindo-se os temos do sistema anterior pelas equações normais, tem-se: 
 
∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
=⋅
iPi
ii
ii
i
PPiPiiPiiPi
iPiiiii
iPiiiii
Piii
yx
yx
yx
y
b
b
b
b
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
xxxn
MM
L
MMMM
L
L
L
2
1
2
1
0
2
21
2
2
2212
112
2
11
21
 (7.12) 
 
O coeficiente de determinação deste ajuste é dado por: 
 
( )∑ ∑
∑
−
−
−=
nyy
yy
R
ii
ii
/
)ˆ(
1
2
2
2 , onde ∑
=
+=
P
j
jjii bxby
1
0 )(ˆ (7.13) 
 
Exemplo: 
 
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação Y = b0 + b1X1 + b2X2 
 
i 1 2 3 4 5 6 7 8 
x1i -1 0 1 2 4 5 5 6
x2i -2 -1 0 1 1 2 3 4
yi 13 11 9 4 11 9 1 -1
 
86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VII.5 – Regressão Polinomial 
 
O ajuste polinomial ocorre quando X1 = X, X2 = X2, ..., XP = XP, ou seja 
 
P
P XXXY β++β+β+β= L2210 (7.14) 
 
Neste caso, o sistema com as equações normais fica: 
 
∑
∑
∑
∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑
=⋅
++
+
+
i
P
i
ii
ii
i
P
P
i
P
i
P
i
P
i
P
iiii
P
iii
P
iii
yx
yx
yx
y
b
b
b
b
xxxx
xxxx
xxxx
xxxn
MM
L
MMMM
L
L
L
2
2
1
0
221
2432
132
1
2
 (7.15) 
 
O coeficiente de terminação é dado por 
 
( )∑ ∑
∑
−
−
−=
nyy
yy
R
ii
ii
/
)ˆ(
1
2
2
2 , onde ∑
=
+=
P
j
jjii bxby
1
0 )(ˆ 
 
87 
Exemplo: 
 
Ajustar os pontos da tabela abaixo à equação Y = b0 + b1X + b2X2. 
 
i 1 2 3 4 5 6 
xi -2 -1,5 0 1 2,2 3,1
yi -30,5 -20,2 -3,3 8,9 16,8 21,4