4 1 - Regressão Linear

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Regressão Linear
APRESENTAÇÃO
Nesta Unidade de Aprendizagem abordaremos um método numérico para ajuste de curvas 
chamado regressão linear. 
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Definir regressão linear.•
Reconhecer a diferença entre regressão e interpolação.•
Utilizar a regressão linear para ajustar uma reta a um conjunto de dados.•
DESAFIO
João e Sara são alunos de Cálculo Numérico. Esta semana eles estavam estudando a regressão 
linear. João compreendeu que a regressão linear é um método de ajuste de curvas em que se 
procura uma reta que se ajusta à tendência dos dados sem necessariamente passar por todos os 
pontos. No entanto, ele não entendeu quando devemos utilizar o método. Então, questionou a 
sua colega:
- Sara, por que, no caso da figura a seguir, em que tenho 7 pontos, o professor pediu para utilizar 
a regressão linear, que não passa por todos os pontos, e não a interpolação polinomial com um 
polinômio de grau 6, que passaria por todos os pontos dados?
Sabendo que Sara respondeu corretamente ao questionamento de João, escreva o que ela pode 
ter lhe respondido.
INFOGRÁFICO
Acompanhe o infográfico com o conteúdo abordado nesta Unidade de Aprendizagem.
 
CONTEÚDO DO LIVRO
Acompanhe um trecho da obra Métodos Numéricos para a Engenharia, de Steven Chapra e 
Raymond Canale, que aborda a regressão linear.
Boa leitura.
driller.vmi
Text Box
João, visualmente podemos perceber que um polinômio de grau 7 passaria por todos os pontos, mas também podemos perceber que há uma reta que, embora não passe por todos os pontos, representa a tendência geral dos dados.























Quando lidamos com dados experimentais, eles podem exibir erros significativos. Se um polinômio interpolador de grau 6 for ajustado a esses dados, ele irá passar exatamente por todos os pontos. Entretanto, por causa da variabilidade dos dados, a curva vai oscilar muito no intervalo entre os pontos.
Assim, uma estratégia mais adequada para tais casos seria determinar uma função aproximadora que se ajuste à forma ou tendência geral dos dados sem necessariamente passar pelos pontos individuais, como a reta da figura acima, que caracteriza a tendência geral dos dados sem passar por nenhum dos pontos particulares.
driller.vmi
Stamp
Escrito por autores renomados, Métodos Numéricos para Engenharia
apresenta, de forma inovadora e acessível, uma extensa gama de
métodos numéricos, como o tratamento de otimização e de equações
diferenciais. Com explicações simples e voltadas para a prática, conta
com excelentes exemplos, estudos de caso e problemas elaborados de
acordo com a prática da engenharia, incluindo áreas emergentes
como bioengenharia.
Esta edição mantém seu foco no uso apropridado de ferramentas
computacionais, trazendo discussões meticulosas sobre seus alicerces
matemáticos. Também fornece pseudocódigos para os algoritmos dos
métodos numéricos e uma visão geral de pacotes de software
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Ganhador do prêmio de melhor livro-texto da American Society for
Engineering Education, este é um recurso indispensável para os cursos
de Engenharia e outros da área de Ciências Exatas, como Química,
Física, Matemática e Computação.
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Métodos Numéricos para Engenharia – 7.ed.
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 Métodos numéricos para engenharia [recurso eletrônico] / 
 Steven C. Chapra, Raymond P. Canale ; tradução: Helena Maria 
 Avila de Castro ; revisão técnica: Antonio Pertence Júnior. 
 – 7. ed. – Porto Alegre : AMGH, 2016. 
 Editado como livro impresso em 2016.
 ISBN 978-85-8055-569-1
 1. Engenharia. 2. Computação. I. Canale, Raymond P. II. 
 Título.
CDU 62:004.4
Catalogação na publicação: Poliana Sanchez de Araujo – CRB 10/2094
Para
Margaret e Gabriel Chapra
Helen e Chester Canale
Iniciais_ed_eletronica.indd 2 08/04/16 17:23
capítulo 17
RegRessão poR MíniMos 
QuadRados
Quando um erro substancial estiver associado aos dados, a interpolação polinomial é 
inapropriada e pode produzir resultados insatisfatórios quando usada para prever valo­
res in termediários. Dados experimentais, em geral, são desse tipo. Por exemplo, a Fi­
gura 17.1a mostra sete pontos de dados obtidos experimentalmente exibindo variações 
significativas. A inspeção visual dos dados sugere uma possível relação entre y e x. Isto 
é, a tendência geral indica que valores mais altos de y estão associados a valores mais 
altos de x. Agora, se um polinômio interpolador de grau seis for ajustado a esses dados 
(Figura 17.1b), ele irá passar exatamente por todos os pontos. Entretanto, devido à va­
riabilidade dos dados, a curva vai oscilar muito no intervalo entre os pontos. Em parti­
cular, os valores interpolados em x = 1,5 e x = 6,5 parecem estar bem além do intervalo 
sugerido pelos dados. 
Uma estratégia mais adequada para tais casos seria determinar uma função aproxi­
madora que ajustasse a forma ou tendência geral dos dados sem necessariamente passar 
pelos pontos individuais. A Figura 17.1c ilustra como uma reta pode ser usada para ca­
racterizar a tendência geral dos dados sem passar por nenhum dos pontos particulares. 
Uma forma de determinar a reta na Figura 17.1c é inspecionar visualmente os pon­
tos marcados e então esboçar a “melhor” reta pelos pontos. Embora tal abordagem “a 
olho” pareça atrativa do ponto de vista do bom senso e seja válida para cálculos “infor­
mais”, ela é deficiente porque é arbitrária. Ou seja, a menos que os pontos definam 
perfeitamente uma reta (em tal caso, a interpolação seria apropriada), analistas diferen­
tes desenhariam retas diferentes. 
Para remover essa subjetividade, deve ser desenvolvido algum critério para estabele­
cer uma base para o ajuste. Uma forma de fazê­lo é determinar a curva que minimize a 
discrepância entre os dados e os pontos da curva. Uma técnica para conseguir esse ob­
jetivo, chamada regressão por mínimos quadrados, será discutida no presente capítulo. 
17.1 REGRESSÃO LINEAR
O exemplo mais simples de aproximação por mínimos quadrados é ajustar uma reta a 
um conjunto de pares de observação: (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn). A expressão mate­
mática do ajuste por uma reta é 
 y 5 a0 1 a1x 1 e (17.1)
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17.1 RegRessão LineaR 403
onde a0 e a1 são coeficientes representando a intersecção com o eixo y e a inclinação, 
respectivamente, e e é o erro ou resíduo entre o modelo e a observação, o qual pode ser 
representado, depois de se reorganizar a Equação (17.1), por 
e 5 y 2 a0 2 a1x
Portanto, o erro ou resíduo é a discrepância entre o valor verdadeiro de y e o valor 
aproximado, a0 + a1x, previsto pela equação linear. 
17.1.1 Critério para um “melhor” ajuste
Uma estratégia para ajustar uma “melhor” reta pelos dados seria minimizar o valor 
absoluto da soma dos erros residuais para todos os dados disponíveis, como em
 
n
i51
n
i51
ei 5 (yi 2 a0 2 a1 xi) 
 (17.2)
onde n é o número total de pontos. Entretanto, esse é um critério inadequado, como 
ilustrado pela Figura 17.2a, a qual descreve o ajuste de uma reta a dois pontos. Obvia­
FIGURA 17.1
(a) Dados exibindo erros 
significativos.(b) Ajuste 
polinomial oscilando além 
do intervalo dos dados. (c) 
Resultado mais satisfatório 
usando ajuste por mínimos 
quadrados. 
y
x
(a)
5
50
0
y
x
(b)
5
50
0
y
x
(c)
5
50
0
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404 CapíTuLo 17 RegRessão poR MíniMos QuadRados
mente, o melhor ajuste é a reta ligando os pontos. Entretanto, qualquer reta passando 
pelo ponto médio do segmento que liga os pontos (exceto uma reta perfeitamente 
 vertical) resulta em um valor mínimo da Equação (17.2) igual a zero, pois os erros se 
cancelam. 
Portanto, outro critério lógico poderia ser minimizar a soma dos valores absolutos 
das discrepâncias, como em 
n
i51
|ei | 5
n
i51
|yi 2 a0 2 a1xi |
A Figura 17.2b ilustra por que esse critério também é inadequado. Para os quatro pontos 
mostrados, qualquer reta caindo dentro das retas tracejadas minimizaria a soma dos 
valores absolutos. Portanto, esse critério também não forneceria um melhor ajuste único. 
Uma terceira estratégia para ajustar a melhor reta seria o critério minimax. Nessa 
técnica, é escolhida a reta que minimize a distância máxima que um ponto individual 
tenha da reta. Como descrito na Figura 17.2c, tal estratégia não é adequada para a re­
gressão porque ela permite uma influência indevida a um “ponto discrepante”, isto é, a 
um único ponto com um erro grande. Deve ser observado que o princípio minimax às 
vezes é adequado para ajustar uma função simples a uma função complicada (Car­
nahan, Luther e Wilkes, 1969).
Uma estratégia que supera as deficiências das abordagens anteriores é minimizar a 
soma dos quadrados dos resíduos entre o y medido e o y calculado com o modelo linear 
 
Sr 5 e
2
i 5 (yi, medido 2 yi, modelo)
2 5 (yi 2 a0 2 a1xi)
2 
n
i51
n
i51
n
i51 (17.3)
FIGURA 17.2
Exemplos de alguns critérios 
para “melhor ajuste” que são 
inadequados para a regressão: 
(a) minimizar a soma dos 
resíduos, (b) minimizar a soma 
dos valores absolutos dos 
resíduos e (c) minimizar o erro 
máximo por qualquer ponto 
individual.
y
Ponto médio
Ponto fora
x
(a)
y
x
(b)
y
x
(c)
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17.1 RegRessão LineaR 405
Esse critério tem diversas vantagens, incluindo o fato de que ele fornece uma única reta 
para um dado conjunto de dados. Antes de se discutir essas propriedades, será apresen­
tada uma técnica para determinar os valores de a0 e a1 que minimizam a Equação 
(17.3). 
17.1.2 Ajuste por mínimos quadrados por uma reta
Para determinar os valores de a0 e a1, a Equação (17.3) é derivada com relação a cada 
coeficiente: 
Sr
a0
5 22
2
(yi 2 a0 2 a1xi)
Sr
a1
5 2 [(yi 2 a0 2 a1xi)xi]
Observe que simplificamos os símbolos de somatória; a menos que haja menção em 
contrário, todas as somatórias irão de i = 1 a n. Igualando essas derivadas a zero, será 
obtido um Sr mínimo. Se isso for feito, as equações podem ser expressas como 
0 5 yi 2 a0 2 a1xi
0 5 yi xi 2 a0 xi 2 a1x
2
i
Agora, percebendo que Sa0 = na0, é possível expressar essas equações como um con­
junto de duas equações lineares simultâneas em duas variáveis (a0 e a1): 
 na0 1 ( xi)a1 5 yi (17.4)
 ( xi)a0 1 ( x2i )a1 5 xi yi (17.5)
Essas são as chamadas equações normais. Elas podem ser resolvidas simultaneamente 
 
a1 5
n xi yi 2 xi yi
n x2i 2 ( xi)2
 
 (17.6)
Esse resultado pode, então, ser usado junto à Equação (17.4) para determinar 
 
a0 5 y 2 a1x (17.7)
onde y̅ e x̅ são as médias de y e x, respectivamente. 
EXEMPLO 17.1 Regressão linear
enunciado do problema. Ajuste uma reta aos valores de x e y nas primeiras duas co­
lunas da Tabela 17.1.
solução. As seguintes quantidades podem ser calculadas: 
n 5 7 xi yi 5 119,5 x
2
i 5 140
xi 5 28 x 5
28
7
7
5 4
yi 5 24 y 5
24
5 3,428571
Usando as Equações (17.6) e (17.7),
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406 CapíTuLo 17 RegRessão poR MíniMos QuadRados
a1 5
7(119,5) 2 28(24)
7(140) 2 (28)2
5 0,8392857
a0 5 3,428571 2 0,8392857(4) 5 0,07142857
TABELA 17.1 Cálculos para uma análise de erro do ajuste linear. 
xi yi (yi – y
–) (yi − a0 − a1xi)2
1 0,5 8,5765 0,1687
2 2,5 0,8622 0,5625
3 2,0 2,0408 0,3473
4 4,0 0,3265 0,3265
5 3,5 0,0051 0,5896
6 6,0 6,6122 0,7972
7 5,5 4,2908 0,1993
S 24,0 22,7143 2,9911
Portanto, o ajuste por mínimos quadrados é
y = 0,07142857 + 0,8392857x
A reta, junto aos dados, é mostrada na Figura 17.1c
17.1.3 Quantificação do erro da regressão linear
Qualquer outra reta que não a calculada no Exemplo 17.1 resulta em uma soma maior 
dos quadrados dos resíduos. Portanto, a reta é única e, em termos do critério escolhido 
por nós, é a “melhor” reta pelos pontos. Diversas propriedades adicionais desse ajuste 
podem ser elucidadas examinando­se com mais detalhe a forma como os resíduos 
foram calculados. Lembre­se de que a soma dos quadrados é definida como [Equação 
(17.3)] 
 
Sr 5 e
2
i 5 (yi 2 a0 2 a1xi)
2 
n
i51
n
i51 (17.8)
Observe a similaridade entre as Equações (PT5.3) e (17.8). No primeiro caso, o 
quadrado do resíduo representava o quadrado da discrepância entre os dados e uma 
única estimativa da medida da tendência central – a média. Na Equação (17.8), o qua­
drado do resíduo representa o quadrado da distância vertical entre os dados e uma outra 
medida da tendência central – a reta (Figura 17.3). 
A analogia pode ser estendida ainda mais nos casos em que (1) a dispersão dos 
pontos em torno da reta tem valor absoluto parecido ao longo de todo o intervalo dos 
FIGURA 17.3
O resíduo na regressão linear 
representa a distância vertical 
entre os pontos dados e a reta. 
y
yi
xi
a0 + a1xi
Medida
yi – a0 – a1xi
Re
ta 
de
 re
gre
ssã
o
x
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17.1 RegRessão LineaR 407
dados e (2) a distribuição desses pontos em torno da reta é normal. Pode­se demonstrar 
que, se esses critérios forem satisfeitos, a regressão por mínimos quadrados fornecerá 
as melhores estimativas (ou seja, as mais prováveis) de a0 e a1 (Draper e Smith, 1981). 
Isso é chamado de princípio da probabilidade máxima em estatística. Além disso, se 
tais critérios forem satisfeitos, um “desvio­padrão” para a reta de regressão pode ser 
determinado por [compare com a Equação (PT5.2)] 
 
sy/x 5
Sr
n 2 2
 
 (17.9)
onde sy/x é chamado de erro padrão da estimativa. O subscrito “y/x” indica que o erro 
é para um valor previsto de y correspondente a um valor particular de x. Além disso, 
observe que agora estamos dividindo por n − 2 porque duas estimativas provenientes 
dos dados – a0 e a1 – foram usadas para calcular Sr; portanto, perdemos dois graus de 
liberdade. Do mesmo modo como na discussão de desvio­padrão em PT5.2.1, uma 
outra justificativa para dividir por n − 2 é que não existe nenhuma “dispersão de dados” 
em torno de uma reta ligando dois pontos. Portanto, nos casos nos quais n = 2, a Equa­
ção (17.9) fornece um resultado infinito, sem sentido. 
Exatamente como no caso do desvio­padrão, o erro­padrão da estimativa quantifica 
a dispersão dos dados. Entretanto, sy/x quantifica a dispersão em torno da reta de re-
gressão, como mostrado na Figura 17.4b, em contraste com o desvio­padrão original sy 
que quantificava a dispersão em torno da média (Figura 17.4a). 
Esses conceitos podem ser usados para quantificar “quão bom” é o ajuste. Isso é 
particularmente útil para comparar diversas regressões (Figura 17.5). Para fazer isso, 
voltamos aos dados originais e determinamos a soma total dos quadrados em torno da 
média da variável dependente (no caso, y). Como no caso da Equação (PT5.3), essa 
quantidade é denotada por St, que é o módulo do erro residual associado com a variável 
dependente antes da regressão. Depois de fazer a regressão, pode­se calcular Sr, a soma 
dos quadrados dos resíduos em torno da reta de regressão. Isso caracteriza o erro resi­
dual que permanece depois da regressão. Portanto, às vezes ele é chamado de soma dos 
quadrados inexplicável. A diferença entre as duas quantidades, St − Sr, quantifica a 
melhora ou a redução de erro decorrente da descriçãodos dados em termos de uma 
reta, em vez de um valor médio. Como o módulo dessa quantidade depende da escala, 
a diferença é normalizada por St para fornecer 
 
r2 5
St 2 Sr
St
 
 (17.10)
onde r2 é chamado de coeficiente de determinação e r é o coeficiente de correlação 
 (= √r2
—
). Para um ajuste perfeito, Sr = 0 e r = r2= 1, significando que a reta explica 100% 
da variação dos dados. Para r = r2 = 0, Sr = St e o ajuste não representa nenhuma 
FIGURA 17.4
Dados de regressão mostrando 
(a) a dispersão dos dados em 
torno da média da variável 
dependente e (b) a dispersão 
dos dados em torno da reta de 
melhor ajuste. A redução na 
dispersão ao ir de (a) para (b), 
como indicada pelas curvas em 
forma de sino à direita, 
representa a melhora decorrente 
da regressão linear. 
(a) (b)
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408 CapíTuLo 17 RegRessão poR MíniMos QuadRados
 melhora. Uma formulação alternativa para r que é mais conveniente para implementa­
ção computacional é 
 
r 5
noxi yi 2 (oxi)(oyi)
nox2i 2 (oxi)
2 noy2i 2 (oyi)
2
 
 (17.11)
EXEMPLO 17.2 estimativa de erros para um ajuste linear por mínimos quadrados
enunciado do problema. Calcule o desvio­padrão total, o erro­padrão da estimativa e 
o coeficiente de correlação para os dados do Exemplo 17.1. 
solução. As somatórias são feitas e apresentadas na Tabela 17.1. O desvio­padrão é 
[Equação (PT5.2)]
sy 5
22,7143
7 2 1
5 1,9457
e o erro­padrão da estimativa é [Equação (17.9)] 
sy/x 5
2,9911
7 2 2
5 0,7735
Portanto, como sy/x < sy, o modelo de regressão linear tem mérito. A extensão da me­
lhora é quantificada por [Equação (17.10)] 
r 2 5
22,7143 2 2,9911
22,7143
5 0,868
ou
r 5 0,868 5 0,932
Esses resultados indicam que 86,8% da incerteza original foi explicada pelo modelo 
linear. 
FIGURA 17.5
Exemplos de regressões lineares 
com erros residuais (a) pequenos 
e (b) grandes. 
y
x
(a)
y
x
(b)
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17.1 RegRessão LineaR 409
Antes de prosseguir para o programa computacional para a regressão linear, é pre­
ciso fazer um alerta. Embora o coeficiente de correlação forneça uma medida cômoda 
de quão bom é o ajuste, é preciso tomar cuidado para não associar a ele mais signifi­
cado do que o devido. Apenas o fato de r estar “próximo” de 1 não significa que o ajuste 
seja necessariamente “bom”. Por exemplo, é possível obter um valor relativamente alto 
de r quando a relação subjacente entre y e x não for nem mesmo linear. Draper e Smith 
(1981) forneceram diretrizes e material adicional relativos à avaliação dos resultados da 
regressão linear. Além disso, no mínimo, você deveria sempre inspecionar um gráfico 
dos dados junto a sua curva de regressão. Como descrito na próxima seção, os pacotes 
de software incluem tais recursos. 
17.1.4 Programa computacional para regressão linear
É relativamente trivial desenvolver um pseudocódigo para a regressão linear (Figura 
17.6). Como já mencionado, uma opção para traçar os gráficos é fundamental para o 
uso e a interpretação efetivos da regressão. Tais recursos estão incluídos nos pacotes 
mais usados, como o software MATLAB e o Excel. Se a sua linguagem de programa­
ção tiver recursos gráficos, é recomendável que você expanda seu programa para in­
cluir um gráfico de y em função de x, mostrando tanto os dados quanto a reta de regres­
são. A inclusão desse recurso vai aumentar em muito a utilidade do programa nos 
contextos de resolução de problemas. 
EXEMPLO 17.3 Regressão linear usando o computador 
enunciado do problema. Pode­se usar um software baseado na Figura 17.6 para resol­
ver um problema de teste de hipótese associado com o paraquedista em queda livre 
discutido no Capítulo 1. Um modelo matemático teórico para a velocidade do paraque­
dista foi dado pelo seguinte [Equação (1.10)] 
(t) 5
gm
c
 (1 2 e(2c m)t)
FIGURA 17.6
Algoritmo para a regressão 
linear. 
SUB Regress(x, y, n, al, a0, syx, r2)
 sumx 5 0: sumxy 5 0: st 5 0
 sumy 5 0: sumx2 5 0: sr 5 0
 DOFOR i 5 1, n
 sumx 5 sumx 1 xi
 sumy 5 sumy 1 yi
 sumxy 5 sumxy 1 xi*yi
 sumx2 5 sumx2 1 xi*xi
 END DO
 xm 5 sumx/n
 ym 5 sumy/n
 a1 5 (n*sumxy 2 sumx*sumy)/(n*sumx2 2 sumx*sumx)
 a0 5 ym 2 a1*xm
 DOFOR i 5 1, n
 st 5 st 1 (yi 2 ym)2
 sr 5 sr 1 (yi 2 a1*xi 2 a0)2
 END DO
 syx 5 (sr/(n 2 2))0.5
 r2 5 (st 2 sr)/st
END Regress
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410 CapíTuLo 17 RegRessão poR MíniMos QuadRados
onde υ é a velocidade (m/s), g é a constante gravitacional (9,8 m/s2), m é a massa do para­
quedista, igual a 68,1 kg, e c é o coeficiente de arrasto, de 12,5 kg/s. O modelo prevê a ve­
locidade do paraquedista como uma função do tempo, como descrito no Exemplo 1.1. 
Um modelo empírico alternativo para a velocidade do paraquedista é dado por 
 
(t) 5
gm
c
 S St3,75 1 t (E17.3.1)
Suponha que você quisesse testar e comparar a adequação desses dois modelos mate­
máticos. Isso poderia ser conseguido medindo a velocidade real do paraquedista em 
valores conhecidos do tempo e comparando tais resultados com as velocidades previs­
tas por cada modelo. 
Um programa desse tipo de coleta de dados experimentais foi implementado, e os re­
sultados estão listados na coluna (a) da Tabela 17.2. As velocidades calculadas pelos 
modelos estão listadas nas colunas (b) e (c). 
TABELA 17.2 Velocidades medidas e calculadas de um paraquedista em queda livre. 
Tempo, s
v medida, m/s
(a)
v calculada pelo 
modelo, m/s 
[Equação (1.10)] (b)
v calculada pelo 
modelo, m/s
[Equação (E17.3.1)] (c)
1 10,00 8,953 11,240
2 16,30 16,405 18,570
3 23,00 22,607 23,729
4 27,50 27,769 27,556
5 31,00 32,065 30,509
6 35,60 35,641 32,855
7 39,00 38,617 34,766
8 41,50 41,095 36,351
9 42,90 43,156 37,687
10 45,00 44,872 38,829
11 46,00 46,301 39,816
12 45,50 47,490 40,678
13 46,00 48,479 41,437
14 49,00 49,303 42,110
15 50,00 49,988 42,712
solução. A adequação do modelo pode ser testada traçando­se a velocidade calculada 
pelo modelo em função da velocidade medida. A regressão linear pode ser usada para 
calcular a inclinação e a intersecção com o eixo y do gráfico. Essa reta terá uma incli­
nação 1, uma intersecção 0 com o eixo y e r2 = 1 se o modelo se adequar perfeitamente 
aos dados. Um desvio significativo desses valores pode ser usado como uma indicação 
da inadequação do modelo. 
As Figuras 17.7a e b são gráficos da reta e dos dados para a regressão das colunas (b) 
e (c), respectivamente, em função da coluna (a). Para o primeiro modelo [Equação 
(1.10) como descrita na Figura 17.7a], 
modelo5 20,859 1 1,032 medida
e para o segundo modelo [Equação (E17.3.1) como descrita na Figura 17.7b], 
modelo5 5,776 1 0,752 medida
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17.1 RegRessão LineaR 411
Esses gráficos indicam que a regressão linear entre os dados e cada um dos modelos é 
altamente significativa. Ambos os modelos se ajustam aos dados com um coeficiente 
de correlação maior do que 0,99. 
Entretanto, o modelo descrito pela Equação (1.10) satisfaz o critério de teste de hipótese 
muito melhor do que o descrito pela Equação (E17.3.1) porque a inclinação e a intersecção 
com o eixo y estão mais próximas de 1 e 0. Logo, embora cada gráfico seja bem descrito 
por uma reta, a Equação (1.10) parece ser um modelo melhor do que a Equação (E17.3.1).
55
30Y
5 30
X
55
5
(a)
55
30Y
5 30
X
55
5
(b)
FIGURA 17.7
(a) Resultados usando regressão linear para comparar as previsões calculadas pelo modelo teórico 
[Equação (1.10)] com os valores medidos. (b) Resultados usando regressão linear para comparar as 
previsões calculadas pelo modelo empírico [Equação (E17.3.1)] com os valores medidos.
Testar e escolher o modelo são atividades comuns e extremamente importantes exerci­
das em todos os campos da engenharia. O material relativo a fundamentos dados neste 
capítulo, junto a seu software, deve possibilitar a resolução de muitos problemas práti­
cos desse tipo.
Há uma deficiência na análise do Exemplo 17.3. O exemplo não era ambíguo porque 
o modeloempírico [Equação (E17.3.1)] era claramente inferior à Equação (1.10). Logo, 
a inclinação e a intersecção com o eixo y para o primeiro eram tão mais próximas do 
resultado desejado de 1 e 0 que se tornava óbvio qual modelo era superior. 
Entretanto, suponha que a inclinação fosse 0,85 e que a intersecção com o eixo y 
fosse 2. Obviamente, isso deixaria aberta para debate a conclusão de que a inclinação e 
a intersecção com o eixo y eram 1 e 0. Em vez de depender de um julgamento subjetivo, 
seria preferível basear tal conclusão em um critério quantitativo. 
Isso pode ser feito calculando­se intervalos de confiança para os parâmetros do 
modelo da mesma forma que desenvolvemos intervalos de confiança para a média na 
Seção PT5.2.3. Esse tópico será retomado no final do presente capítulo. 
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412 CapíTuLo 17 RegRessão poR MíniMos QuadRados
17.1.5 Linearização de relações não lineares
A regressão linear fornece uma técnica poderosa para ajustar a melhor reta aos dados. 
Entretanto, ela é baseada no fato de que a relação entre as variáveis dependentes e in­
dependentes é linear. Esse não é sempre o caso, e o primeiro passo em qualquer análise 
de regressão deveria ser traçar e inspecionar visualmente os dados para verificar se um 
modelo linear se aplica. Por exemplo, a Figura 17.8 mostra alguns dados que são obvia­
mente curvilíneos. Em alguns casos, técnicas como regressão polinomial, a qual é 
descrita na Seção 17.2, são apropriadas. Para outros, podem ser usadas transformações 
para expressar os dados em uma forma que seja compatível com a regressão linear. 
Um exemplo é o modelo exponencial 
 y 5 1e
1x
 (17.12)
onde α1 e β1 são constantes. Esse modelo é usado em muitos campos da engenharia 
para caracterizar quantidades que aumentam (β1 positivo) ou diminuem (β1 negativo) 
a uma taxa que é diretamente proporcional a seu próprio valor absoluto. Por exemplo, 
o crescimento populacional ou o decaimento radioativo podem exibir tal comporta­
mento. Como descrito na Figura 17.9a, a equação representa uma relação não linear 
(para β1 fi 0) entre y e x.
Outro exemplo de um modelo não linear é a equação de potência simples 
 y 5 2x
2
 (17.13)
onde α2 e β2 são coeficientes constantes. Esse modelo tem larga aplicabilidade em 
todos os campos da engenharia. Como descrito na Figura 17.9b, a equação (para β2 fi 
0 ou 1) é não linear. 
Um terceiro exemplo de um modelo não linear é a equação da taxa de crescimento 
da saturação [lembre­se da Equação (E17.3.1)] 
 
y 5 3 
x
3 1 x
 
 (17.14)
onde α3 e β3 são coeficientes constantes. Esse modelo, que é particularmente adequado 
para caracterizar a taxa de crescimento populacional sob condições limitantes, tam­
bém representa uma relação não linear entre y e x (Figura 17.9c) que se nivela, ou “sa­
tura”, conforme x aumenta. 
FIGURA 17.8
(a) Os dados não são 
adequados para uma regressão 
linear por mínimos quadrados. 
(b) Indicação de que uma 
parábola é preferível. 
y
x(a)
y
x
(b)
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17.1 RegRessão LineaR 413
As técnicas de regressão não linear estão disponíveis para ajustar tais equações aos 
dados experimentais diretamente. (Observe que vamos discutir a regressão não linear 
na Seção 17.5.) Entretanto, uma alternativa simples é usar manipulações matemáticas 
para transformar as equações para uma forma linear. Então, uma simples regressão li­
near pode ser usada para ajustar as equações aos dados. 
Por exemplo, a Equação (17.12) pode ser linearizada tomando­se seu logaritmo na­
tural para obter 
ln y = ln α1 + β1x ln e
No entanto, como ln e = 1,
 ln y = ln α1 + β1x (17.15)
Logo, um gráfico de y em função de x irá fornecer uma reta com uma inclinação β1 e 
uma intersecção com o eixo y em ln α1 (Figura 17.9d). 
A Equação (17.13) será linearizada tomando­se seu logaritmo na base 10 para 
obter 
 log y = β2 log x + log α2 (17.16)
Logo, um gráfico de log y em função de log x irá fornecer uma reta com uma inclinação 
β2 e uma intersecção com o eixo y em log α2 (Figura 17.9e). 
A Equação (17.14) será linearizada invertendo­a para obter 
y
x
y = 1e 1x
(a)
Li
ne
ar
iz
aç
ão
y
x
y = 2x 2
(b)
Li
ne
ar
iz
aç
ão
y
x
(c)
Li
ne
ar
iz
aç
ão
y = 3
x
3 + x
ln y
x
= 1
= ln 1
(d)
log y
log x
(e)
1/y
1/x
( f )
= log 2
Intersecção
Intersecção
Intersecção
= 1/ 3
= 2 InclinaçãoInclinação
Inclinação
= 3/ 3
FIGURA 17.9
(a) A equação exponencial, (b) a equação de potência e (c) a equação da taxa de crescimento da saturação. As partes (d), (e) e (f) são 
versões linearizadas dessas equações que resultam de transformações simples.
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414 CapíTuLo 17 RegRessão poR MíniMos QuadRados
 
 
1
y
5
3
3
 
1
x
1
1
α3
 
 (17.17)
Logo, um gráfico de 1/y em função de l/x será linear, com uma inclinação β3/α3 e uma 
intersecção com o eixo y em 1/α3 (Figura 17.9f). 
Nas suas formas transformadas, esses modelos podem usar a regressão linear para 
calcular os coeficientes constantes. Eles poderiam, então, ser transformados de volta 
para seu estado original e usados para propósitos de previsão. O Exemplo 17.4 ilustra 
esse procedimento para a Equação (17.13). Além disso, a Seção 20.1 fornecerá um 
exemplo em engenharia do mesmo tipo de cálculo. 
EXEMPLO 17.4 Linearização de uma equação de potência 
enunciado do problema. Ajuste a Equação (17.13) aos dados da Tabela 17.3 usando 
uma transformação logarítmica dos dados. 
solução. A Figura 17.10a é um gráfico dos dados originais no seu estado não transfor­
mado. A Figura 17.10b mostra o gráfico dos dados transformados. Uma regressão li­
near para os dados transformados pelo log fornece o resultado 
log y = 1,75 log x ] 0,300
TABELA 17.3 Dados a serem ajustados pela equação de potência. 
x y log x log y
1 0,5 0 −0,301
2 1,7 0,301 0,226
3 3,4 0,477 0,534
4 5,7 0,602 0,753
5 8,4 0,699 0,922
y
x50
0
5
(a)
log y
0,5
(b)
log x0,5
FIGURA 17.10
(a) Gráfico dos dados não transformados com a equação de potência que ajusta os dados. (b) 
Gráfico dos dados transformados usados para determinar os coeficientes da equação de potência.
Logo, a intersecção com o eixo y, log α2, é igual a −0,300 e, portanto, calculando­se a 
inversa do logaritmo, α2 = 10−0,3 = 0,5. A inclinação é β2 = 1,75. Consequentemente, a 
equação de potência é 
y = 0,5x1,75
Essa curva, traçada na Figura 17.10a, indica um bom ajuste. 
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17.2 RegRessão poLinoMiaL 415
17.1.6 Comentários gerais sobre regressão linear
Antes de prosseguir para regressão linear múltipla e regressão não linear, é necessário 
enfatizar a natureza introdutória do material anterior sobre regressão linear. Concen­
tramo­nos em deduções simples e usos práticos de equações para ajustar os dados. 
Você deve estar ciente de que existem aspectos teóricos da regressão que são de impor­
tância prática, mas que estão além do escopo deste livro. Por exemplo, algumas hipóte­
ses estatísticas inerentes aos procedimentos por mínimos quadrados são: 
1. Cada x tem um valor fixo; ele não é aleatório e é conhecido sem erros.
2. Os valores de y são variáveis aleatórias independentes e têm todos a mesma
 va riância. 
3. Os valores de y para um dado x devem estar normalmente distribuídos.
Tais hipóteses são relevantes para a dedução e o uso adequados da regressão. Por
exemplo, a primeira hipótese significa que (1) os valores de x devem estar livres de
erros e (2) a regressão de y em função de x não é a mesma que a de x em função de y
(tente resolver o Problema 17.4 no final do capítulo). Recomendamos fortemente que 
você consulte outras referências, como Draper e Smith (1981), para aspectos e nuances 
da regressão que estão além do escopo deste livro. 
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Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
 
DICA DO PROFESSOR
Acompanhe,no vídeo a seguir, uma síntese dos conceitos desta Unidade de Aprendizagem, 
o que pode ajudar na resolução dos exercícios.
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EXERCÍCIOS
1) Marque a alternativa correta sobre regressão linear. 
A) Na regressão linear um polinômio de grau 2 é ajustado a um conjunto de pares de 
observação (x1,y1), (x2,y2),..., (xn,yn).
B) Na regressão linear ajustamos uma reta que passa por todos os pontos observados.
C) Na regressão linear o coeficiente r2 é chamado de coeficiente de correlação.
D) Na regressão linear a estratégia utilizada para encontrar a “melhor” retaque representa a 
tendência geral dos dados é minimizar o valor absoluto da soma dos erros residuais para 
todos os dados disponíveis.
E) Na regressão linear o erro padrão da estimativa quantifica a dispersão em torno da reta de 
regressão.
Considere a tabela a seguir: 2) 
driller.vmi
Highlight
driller.vmi
Stamp
Sabendo-se que St é a soma total dos quadrados dos resíduos entre os y dados e a 
média y , o valor encontrado para St é: 
(Para auxiliar nos cálculos, pode ser utilizado um recurso eletrônico, como uma 
planilha eletrônica, por exemplo, com uma aproximação de 4 casas decimais).
A) 9,0740
B) 55,6
C) – 55,6
D) 82
E) 95
Considere a tabela a seguir: 
 
3) 
driller.vmi
Highlight
driller.vmi
Stamp
Ao ajustarmos aos dados uma reta y = a0 + a1x utilizando regressão linear, a 
inclinação da reta será: 
(Para auxiliar nos cálculos, pode ser utilizado um recurso eletrônico, como uma 
planilha eletrônica, por exemplo, com uma aproximação de 4 casas decimais).
A) 0,3525
B) 4,8515
C) y = 4,8515 + 0,3525x
D) – 0,3525
E) 55,6
4) Considere a tabela a seguir: 
Ao ajustarmos aos dados uma reta y = a0 + a1x utilizando regressão linear, o valor do 
erro padrão da estimativa será: 
(Para auxiliar nos cálculos, pode ser utilizado um recurso eletrônico, como uma 
planilha eletrônica, por exemplo, com uma aproximação de 4 casas decimais).
A) 9,0714
driller.vmi
Highlight
driller.vmi
Stamp
driller.vmi
Stamp
B) 55,6
C) 8,2
D) 1,065
E) 9,5
5) Considere a tabela a seguir: 
Ao ajustarmos aos dados uma reta y = a0 + a1x utilizando regressão linear, o valor do 
coeficiente de correlação será:
(Para auxiliar nos cálculos, pode ser utilizado um recurso eletrônico, como uma 
planilha eletrônica, por exemplo, com uma aproximação de 4 casas decimais).
A) 9,074
B) 0,8368
C) 0,9148
D) – 0,9148
E) 82
driller.vmi
Highlight
driller.vmi
Stamp
driller.vmi
Stamp
driller.vmi
Highlight
driller.vmi
Stamp
driller.vmi
Stamp
NA PRÁTICA
A regressão linear aparece com frequência em problemas práticos em que a dispersão dos 
dados assemelha-se a uma reta. Por exemplo, suponha que os seguintes dados tenham sido 
obtidos em um experimento que mediu a corrente em um fio para várias tensões impostas:
Com base em uma regressão linear desses dados é possível determinar a corrente para a tensão 
de 3,5 V.
SAIBA +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do 
professor:
Regressão Linear Simples - Ajuste de Reta
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Métodos Numéricos para Engenharia
Correlação e Regressão
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