Aprendendo Matemática do Zero

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Mat. do
− 
0
×÷
@matematica.do.zero
Apresentação................................................................................
 1. Conjuntos Numéricos........................................................... 
 1.1 Números Naturais.........................................................
 1.2 Números Inteiros...........................................................
 1.3 Números Racionais.......................................................
 1.4 Números Irracionais......................................................
 1.5 Números Reais............................................................
 2. Adição.................................................................................
 2.1 Propriedade Comutativa..............................................
 2.2 Propriedade Associativa..............................................
 2.3 Existência do Elemento Neutro da Adição..................
 2.4 Adição com Números Inteiros.....................................
 2.5 Adição com Números Decimais..................................
 3. Subtração...........................................................................
 3.1 Subtração com Números Inteiros................................
 3.2 Subtração com Números Decimais.............................
 4. Multiplicação.......................................................................
 4.1. Propriedade Comutativa.............................................
 4.2 Propriedade Associativa..............................................
 4.3 Existência do Elemento Neutro da Multiplicação........
 4.4 Propriedade Distributiva..............................................
 4.5 Multiplicação com Números Inteiros...........................
 4.6 Multiplicação com Números Decimais........................
 5. Divisão................................................................................
 5.1. Divisão com Números Inteiros...................................
 5.1.1. Divisão Exata....................................................
 5.1.2. Divisão Não Exata.............................................
 5.1.3. Dividendo menor que Divisor............................
 5.2. Divisão com Números Decimais................................
 6. Regra de Sinais..................................................................
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13
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19
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22
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 6.1. Soma ou Subtração...............................................
 6.2. Multiplicação ou Divisão........................................
 6.3. Regras para a Retirada de Parênteses.................
 7. Regras Básicas de Expressões Numéricas........................
 8. Lista de Questões...............................................................
 9. Gabarito..............................................................................
 10. Questões Comentadas.....................................................
 11. Conteúdo Extra.................................................................
 12. Considerações Finais....................................................... 
2
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35
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39
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47
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66
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3
 Apresentação
Olá, queridos alunos! Tudo bem?
É com enorme alegria que damos início ao nosso curso de
matemática Aprendendo Matemática do Zero. 
Iniciamos a nossa jornada rumo ao conhecimento introdutório de
uma das mais importantes ciências: a matemática.
Os tópicos que estudaremos a seguir constituem os alicerces
fundamentais do conhecimento matemático. De fato, veremos
como efetuar corretamente as principais operações aritméticas no
âmbito dos números inteiros e decimais.
Para que seu estudo seja ainda mais eficiente, recomendamos
que faça o estudo das aulas em PDF realizando grifos e
anotações próprias no material. Isso será fundamental para as
revisões futuras do conteúdo. Mantenha também a resolução de
questões como um dos pilares de seus estudos. Elas são
essenciais para a fixação do conteúdo teórico.
Aqui você terá um passo a passo para criar uma boa base em
Matemática. Com uma base sólida, você será capaz de aprender
qualquer outro assunto avançado de Matemática para alcançar
seus objetivos. 
@matematica.do.zero
@matematica.do.zero
A partir de hoje, você começará a ter uma familiaridade com os
números, e para isso nada melhor do que conhecê-los. Antes de
falarmos dos conjuntos numéricos fundamentais (ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀, ℝ),
vamos entender qual o conceito de conjuntos.
 1. Conjuntos Numéricos
Por sua vez, cada um dos membros integrantes de um conjunto é
denominado elemento. Dessa forma, veja a seguir alguns
conjuntos conhecidos e seus respectivos elementos.
4
Um conjunto é estabelecido quando agrupamos elementos com
as mesmas características ou propriedades. 
ANOTE AÍ
Conjuntos é uma coleção de objetos
ou elementos bem definidos que
possuem características em comum.
Conjuntos Elementos 
Conjunto das vogais
Conjunto dos dias da semana
Conjunto das letras do nosso 
 alfabeto
Conjunto das estações do ano primavera, verão, outubro,
inverno 
domingo, segunda, terça, quarta,
quinta, sexta 
a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k,..., x, y, z
a, e, i, o, u
Conjunto dos algarismos
romanos I, V, X, L, C, D e M
Em geral, os conjuntos são indicados por letras maiúsculas (A, B,
C,..., Z). Por exemplo, Conjunto L das letras do nosso alfabeto,
conjunto V das vogais. 
@matematica.do.zero 5
Note que um mesmo elemento pode pertencer a vários conjuntos. 
a
Conjunto das letras
do nosso alfabeto Conjunto das vogais
Ou seja, temos que a pertence ao conjunto das letras (L) e
também a pertence ao conjunto das vogais (V). 
Na Matemática é comum utilizarmos símbolos para
representarmos algumas palavras. O símbolo ∈ significa
pertence. 
a ∈ L a ∈ V 
O símbolo significa não pertence. Por exemplo, a consoante b
pertence ao conjunto das letras, mas não pertence ao conjunto
das vogais.
∈
b ∈ L b V 
∈
Ótimo, acabamos de ver a relação de pertinência, que é a relação
dos elementos com os conjuntos. Agora, vamos entender a
relação de inclusão, que mostra-nos se um conjunto está contido
ou não dentro do outro. 
Conjunto L
a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z
Conjunto V
a, e, i, o, u
Observe que todos os elementos de V também são elementos de
L. Assim, podemos afirmar que V está contido em L. Neste caso,
utilizamos o símbolo ⊂.
@matematica.do.zero
O símbolo ⊂ significa não está contido e isso ocorre quando 
 pelo menos um dos elementos de um conjunto não está presente
no outro.
V L ⊂ 
⊂
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}
ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,...}*
6
Feito esse breve resumo sobre conjuntos, vamos começar a falar
sobre os conjuntos numéricos aqueles em que todos os seus
elementos são números. 
1.1 Números Naturais (ℕ) 
Os números naturais foram o primeiro conjunto numérico a ser
levado em consideração, historicamente. A noção de um número
natural surge com a pura contagem de objetos. Ao contar, por
exemplo, os móveis em uma casa, temos como resultado um
número do tipo:
Obviamente não poderíamos ter um número negativo de móveis.
Também não poderíamos imaginar alguém falando: "tenho
9,1374 móveis em minha casa". 
Caso haja necessidade de excluir o número 0 (zero), indicaremos
com um asterisco sobrescrito à letra ℕ.
Em relação à sequência dos números naturais, podemos dizer
que:
Todo número natural tem um sucessor. O sucessor de 1 é 2, o
sucessor de 30 é 31. Genericamente falando, o sucessor do
número "n" é o número "n+1".
@matematica.do.zero
ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
 ⊂ 
 A sequência dos números naturais é infinita. Portanto, não
existe o maior número natural, pois,qualquer que seja ele,
sempre haverá um número sucessor
7
1.2 Números Inteiros (ℤ) 
Todo número natural, com exceção do zero, tem um
antecessor. O antecessor de 7 é 6, o antecessor de 50 é 49.
Genericamente falando, o antecessor do número "n" é "n−1"
Dois ou mais números naturais em que um é sucessor ou
antecessor do outro são chamados de números consecutivos.
Assim, {5,6,7} são números consecutivos. Em termos genéricos,
{n-1,n,n+1} são números consecutivos. 
Os números inteiros são os números naturais e seus respectivos
opostos (negativos). Simbolizamos por um ℤ.
ℤ = {...,−5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Observe que todos os elementos do conjunto ℕ também
pertencem ao conjunto ℤ. Ou seja,
ℕ ℤ
Sendo assim, 
Todo número natural é inteiro, mas nem todo número inteiro é
natural.
1 ∈ ℤ 1 ∈ ℕ
Entretanto, 
−1 ∈ ℤ −1 ℕ
∈
@matematica.do.zero
ℕ 
ℤ
1 
5 10
7
23
4
19
8
−1 
−5 
−97 
−52 
−7 
−4 −8 
−2 
−20 
−9 
O conjunto dos números racionais é representado por ℚ. Reúne
todos os números que podem ser escritos na forma (lê-se: a
dividido por b), sendo a e b números inteiros (ℤ) e b≠0. 
a
b
..., , −3, , −2, , −1, , 0, , 1, , 2, , 3,...ℚ = -7
2
-5
2
-3
2
-1
2
1
2
3
2
5
2{ }
ℤ = {...,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,...}
ℕ = {0, 1, 2, 3,...}
8
Os números inteiros são importantes para o cotidiano,
principalmente nas situações envolvendo valores negativos,
como escalas de temperatura, saldos bancários, indicações de
altitude em relação ao nível do mar, entre outras situações. 
1.3 Números Racionais (ℚ) 
Vejamos alguns exemplos de números ℚ.
Todos os números naturais e todos os números inteiros são
números racionais. 
Pois todos podem ser escritos na forma de fração. Basta colocar
o denominador igual a 1.
 ⊂ ⊂ℕ ℤ ℚ
3 = 3
1
O número a é chamado numerador da fração e o número b é
chamado denominador da fração.
https://www.todamateria.com.br/numeros-racionais/
@matematica.do.zero
3 ∈ ℚ 3 ∈ ℤ
 ∈ ℚ ℤ
∈
3 ∈ ℕ
 ℕ
∈
3
5
3
5
3
5
ℤ
1 
5 10
7
23
4
19
8
−1 
−5 
−97 
−52 
−7 
−4 −8 
−2 
−20 
−9 
ℚ 2,75 0,333...
1
2
−7
5
17
29
51
11
5,01 −0,4222... 231,99
Números Racionais
Números
Inteiros
Frações
Dízimas
Periódicas
Números
Decimais
15
7
4,25
0,555...
3 = 3
1
9
Sendo assim, 
Todo número inteiro é racional, mas nem todo número racional é
inteiro.
Entretanto, 
Além disso, destacamos que no conjunto dos números racionais
temos basicamente 4 tipos de números: 
Portanto, toda fração, todo número decimal, toda dízima
periódica e todo número inteiro pertencem ao conjunto ℚ.
1.4 Números Irracionais (𝕀) 
O conjunto dos números irracionais é representado pela letra 𝕀.
Eles não podem ser representados como uma fração de dois
números inteiros e sua representação decimal é infinita e não
ℕ 
@matematica.do.zero 10
periódica. 
2
√
= 1,414213562373...
O número pi (π) é o mais famoso dos números irracionais. Seu
valor é π = 3,14159265358979323846… e representa a
proporção da medida da circunferência e do seu diâmetro.
Observe que é um número infinito e que precisa do sinal de
reticências (...) para nos mostrar que tem continuidade.
Vejamos outros exemplos de números irracionais.
√
3 = 1,732050807568...
5√ = 2,236067977499...
√
7 = 2,645751311064...
Esses números são conhecidos como dízimas não periódicas,
porque em sua parte decimal não existe uma repetição que
permite que a gente preveja o próximo número.
e = 2,718281828459 …
Lembre-se número ℚ é aquele que pode ser representado como
uma fração, e o 𝕀 é um número que não pode ser representado
como uma fração.
É impossível que um número seja racional e irracional ao mesmo
tempo.
Sendo assim, 
Entretanto, 
π ℚ π 𝕀
∈
 ∈ ℚ 𝕀
∈
1
2
1
2
∈
@matematica.do.zero 11
1.5 Números Reais (ℝ) 
Desta forma, podemos dizer que o conjunto dos Números
Naturais está contido no dos Inteiros, que está contido no dos
Racionais, que está contido no dos Reais:
O conjunto dos Números Reais, simbolizado por um ℝ é formado
pela união dos números Racionais com os números Irracionais. 
ℤ
1 
5 10
7
23
4
19
8
−1 
−5 
−97 
−52 
−7 
−4 −8 
−2 
−20 
−9 
ℚ 𝕀2,75 0,333...
1
2
−7
5
17
29
51
11
5,01 −0,4222... 231,99
π
e
√
√
7
√
3
ℝ
2
ℕ 
Então, se um número real for escolhido ao acaso, ele pode ser
racional ou irracional.
ℕ ℤ ℚ ℝ ⊂ ⊂ ⊂
Além disso, também afirmamos que o conjunto dos Números
Irracionais está contido no dos Números Reais:
⊂𝕀 ℝ
𝕀
π
e
√
√
7
√
3
2
Agora, estudaremos as operações com esses números e
começaremos falando da operação mais simples.
Considere o seguinte cálculo: 5 + 7 = 12
O símbolo " + " representa a operação de adição. O resultado da
adição é chamado de soma. 
Portanto "adição" e "soma" não têm o mesmo significado. Adição
é o nome da operação. Soma é o resultado da adição.
Essa propriedade afirma que a ordem das parcelas não altera a
soma.
 
∀ significa "para todo" e ∈ significa "pertencente".
Daí, 2 + 3 = 5 e 3 + 2 = 5, portanto 2 + 3 = 3 + 2.
 2. Adição
Definimos então a operação de adição: 
a + b = c { a , b → parcelas
c → soma
No nosso exemplo, os números 5 e 7 são as parcelas e 12 é a
soma.
2.1 Propriedade Comutativa
Vejamos algumas propriedades importantes da adição.
a + b = b + a, ∀ a, b ∈ ℕ
12@matematica.do.zero
A adição de três números naturais pode ser feita associando-se
as duas primeiras ou as duas últimas parcelas. Aqui, devemos
obedecer à regra de que devemos primeiro efetuar as operações
que se encontram dentro dos parênteses.
( 1 + 5 ) + 2 = 8
1 + ( 5 + 2 ) = 8
Assim, ( 1 + 5 ) + 2 = 1 + ( 5 + 2 ) 
2.2 Propriedade Associativa
2.3 Existência do Elemento Neutro da Adição
Existe o número 0 (zero) que possui a seguinte propriedade.
 
 
Dessa forma, 5 + 0 = 0 + 5 = 5. Por esta razão, o número zero é
chamado de elemento neutro da adição
2.4 Adição com Números Inteiros
Para realizar a soma entre dois números ou mais devemos
colocar um embaixo do outro, sempre deixando o maior número
em cima e alinhando os números da direita para esquerda, ou
seja, unidade embaixo de unidade, dezena embaixo de 
 dezena, e assim por diante.
a + 0 = 0 + a = a
 
13@matematica.do.zero
Ex. : 652 + 178 = ?
 6 5 2
 1 7 8 +
 0
 1
 6 5 2
 1 7 8 +
3 0
 1
 6 5 2
 1 7 8 +
 1
 8 3 0
 1
Assim, 652 + 178 = 830
 1
Ex. : 1399 + 57 + 106
 1 3 9 9
 1 0 6 +
 2
 2
 5 7
 1 3 9 9
 1 0 6 +
 5 6 2
 2
 5 7
 1
 1 3 9 9
 1 0 6 +
 1 5 6 2
 2
 5 7
 1
Assim, 1399 + 57 + 106 = 1562
2.5 Adição com Números Decimais
Para realizar a soma quando temos números decimais,
precisamos seguir alguns passos, vamos a eles:
5 + 1,1 + 0,25 = ? 
Passo 1:
Coloque vírgula 
embaixo de vírgula
 5,
 1, 1 + 0, 2 5
Passo 2:
Adicione zero para deixar o
mesmo número de casas
decimais
 5, 0 0
 1, 1 0 + 0, 2 5
 2 + 8 = 1 0
14@matematica.do.zero
Passo 3:
Realize o cálculo 5, 0 0
 1, 1 0 + 0, 2 5
 6, 3 5
Observe que a soma também terá a mesma quantidade de
casas decimais.
{
Definimos a operação de subtração como:
a − b = c
a minuendo
b subtraendo 
c diferença
O algoritmo da subtração é muito semelhante com o da adição,
ou seja, devemos colocar os números alinhados da direita para
esquerda e realizar a operação
3.1 Subtração com Números Inteiros
Ex. : 357 − 134
 3. Subtração
 3 5 7
 1 3 4−
 3
 3 5 7
 1 3 4−
2 3
 3 5 7
 1 3 4−
 2 2 3
15@matematica.do.zero
3.2 Subtração com Números Decimais
Existe a possibilidade de o minuendo possuir alguns algarismos
menores do que o subtraendo. Quando isso ocorre, usamos o
famoso "pega emprestado do vizinho"
Ex. : 241 − 193
 2 4 1 1
Assim, 357 − 134 = 2 2 3
 1 9 3−
 8
 3
 2 4 1 1
 1 9 3−
4 8
 3 1 1
 24 1 1
 1 9 3−
 3 1 1
 0 4 8
Assim, 241 − 193 = 48
Para realizar a subtração quando temos números decimais, os
passos são semelhantes aos que vimos na adição.
7,9 − 3,25 − 2,3 = ? 
Passo 1:
Coloque vírgula
embaixo de vírgula
 7, 9
 3, 2 5 − 2, 3 
Passo 2:
Adicione zero para
deixar o mesmo número
de casas decimais
 7, 9 0
 3, 2 5− 2, 3 0
16@matematica.do.zero
 7, 9 0
 3, 2 5
 1
Definimos a operação de multiplicação como: 
a × b = c 
Usualmente, utilizamos o × ou ∙ . Às vezes também é conveniente
utilizar um asterisco para representar a multiplicação.
Assim, 5 × 4 = 5 ∙ 4 = 5 4 = 20
Quando estamos trabalhando com letras ou com expressões
dentro de parênteses, é muito comum não utilizarmos símbolo al-
Passo 3:
Realize o cálculo
− 2, 3 0
 8
2, 3 5
Assim, 7,9 − 3,25 − 2,3 = 2,35
Observe que a diferença também terá a mesma quantidade de
casas decimais.
{ a , b fatores
c produto
Observe o seguinte cálculo:
5 × 4 = 20
Podemos representar a operação da multiplicação por dois
símbolos (ou nenhum como veremos adiante).
 4. Multiplicação
*
17@matematica.do.zero
A ordem dos fatores não altera o produto.
 
 
ou seja, podemos efetuar 2 x 5 ou efetuar 5 x 2. O resultado
(produto) será o mesmo 10.
4.1 Propriedade Comutativa
2a significa 2 × a 
Vejamos algumas propriedades importantes da multiplicação.
18
gum para representar a multiplicação. Assim,
4.2 Propriedade Associativa
A multiplicação de três números naturais pode ser feita
associando-se os dois primeiros ou os dois últimos fatores.
( 5 × 3 ) × 2 = 15 × 2 = 30
5 × ( 3 × 2 ) = 5 × 6 = 30
⟹ ( 5 × 3 ) × 2 = 5 × ( 3 × 2 )
4.3 Existência do Elemento Neutro da Multiplicação
a × b = b × a, ∀ a, b ∈ ℝ
Existe o número 1 (um) que possui a seguinte propriedade:
@matematica.do.zero
tanto faz efetuar 3 vezes 1 ou 1 vezes 3: o resultado é igual a 3.
Por essa razão, o número 1 é chamado elemento neutro da
multiplicação.
A propriedade distributiva nos diz que na multiplicação de uma
soma por um número real, multiplicam-se cada um dos termos
por esse número e em seguida somamos os resultados.
19
4.4 Propriedade Distributiva
3 × ( 2 + 4 ) = 3 × 2 + 3 × 4 = 6 + 12 = 18
a × 1 = 1 × a = a
Utilizaremos bastante este fato ao trabalhar com “letras”.
4.5 Multiplicação com Números Inteiros
A multiplicação é uma operação que utilizamos para facilitar o
calculo da adição sucessiva de um número por ele mesmo. Por
exemplo:
3 × 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Quando o produto da multiplicação não está na tabuada, é
necessário utilizar o algoritmo da multiplicação.
Vamos agora analisar como funciona esse algoritmo para
números inteiros.
Ex. : 13 x 7 = ?
@matematica.do.zero
https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/adicao.htm
 1 3 
 7
 1
 2
 7 × 3 = 2 1
 7
 1 3 
 ×
 9 1
 7 × 1 + 2 = 9
 2 9 4 
 1 6
 2 9 4 
 1 6
 +
Para fazer a multiplicação quando temos números decimais,
iremos fazer da mesma forma que fizemos com os números
inteiros. A diferença está na colocação da vírgula, pois ela
deverá ser inserida de modo a deixar o número de casas
decimais igual à soma da quantidade de casas decimais dos
fatores multiplicados. 
Parece complicado, mas na verdade é bem simples, vamos ver
um exemplo.
Ex.: 6,1 × 3,4 = ?
20
 ×
2
Assim, 13 × 7 = 91 
Ex.: 294 × 16 = ?
1 7 6 4 
 ×
 2 5
 ×
1 7 6 4 
2 9 4 
Como 1 é uma dezena,
pulamos a casa das
unidades ao escrever o 4.
4 7 0 4 
1 1
Assim, 294 × 16 = 4704 
4.6 Multiplicação com Números Decimais
Precisamos somar os
resultados encontrados
@matematica.do.zero
+
21
Passo 1:
Multiplique os
números sem
as vírgulas
 3 4
 6 1
×
Passo 2:
Faça uma soma entre
as quantidades de
casas decimais 
 2 4 4
 6, 1
 3, 4
 1
 1+
2
Passo 3:
A soma encontrada
será a quantidade de
casas decimais.
 1 8 3+
 2 0 7 4
 1
 3 4
 6 1
×
 2 4 4
 1 8 3+
 2 0, 7 4
 5. Divisão
Definimos a operação de divisão como: 
dD
r q
ou D = d q + r ∙
Em que {{D dividendo
d divisor
q quociente
r resto
Atente a essas cores, pois trabalharemos com elas, para que haja
um melhor entendimento 
@matematica.do.zero
22
Ex.: 27
1
36− ⟹ 7 = 2 3 + 1 ∙
Geralmente, o símbolo utilizado para a operação é ÷, mas
também podemos encontrar casos em que : e / são utilizados
como sinal de divisão.
Assim, 7 ÷ 2 = 7 : 2 = 7 / 2
5.1. Divisão com Números Inteiros
Entre as quatros operações básicas a divisão é de longe a mais
"complicada", digo isso porque para entender o algoritmo da
divisão precisamos dividi-lo em casos, ou seja, dependendo dos
números utilizados teremos formas diferentes de realizar o
cálculo.
Além disso, durante o processo de divisão iremos precisar utilizar
os algoritmos de multiplicação e subtração.
A boa notícia é que veremos todos esses casos a partir de agora,
e você com certeza não errará mais nenhum cálculo que envolva
divisão.
5.1.1. Divisão Exata
@matematica.do.zero
23
Quando o resto de uma divisão é zero, dizemos que a divisão é
exata.
Vamos aproveitar esse caso mais simples, para explicar como
funciona o algoritmo da divisão.
Ex. : 68 ÷ 4 = ?
Passo 1:
organize a operação
identificando o dividendo
e o divisor;
46 8
Passo 2:
Verifique se o primeiro número
a esquerda do dividendo é
maior ou igual ao divisor
46 8
Nesse caso, 6 é maior que 4. Caso não fosse, usaríamos também o próximo
número da direita.
Passo 3:
Complete: × 4 = 6 (ou menor).
o valor da multiplicação não pode
ser maior que 6.
46 8
Vamos testar alguns valores (0 à 9) e verificar qual mais se aproxima do número 6.
0 x 4 = 0. 1 x 4 = 4. 2 x 4 = 8. Como 8 é maior que 6, paramos por aqui.
Coloque o número encontrado no quociente e o resultado subtraia do 6
14−
2
Passo 4:
Abaixe o próximo número, no
caso, o 8.
46 8
14−
2 8 
@matematica.do.zero
24
Passo 5:
46 8
1 74−
2 8
ANOTE AÍ
SEMPRE que "descemos" um número, somos obrigados a continuar a divisão. 
Complete: × 4 = 28 (ou menor).
o valor da multiplicação não pode
ser maior que 28.
Testando os valores de (0 à 9) percebemos que 7 x 4 = 28.
Coloque o número encontrado no quociente e o resultado subtraia do 28.
2 8−
0 0
Passo 6:
Como encontramos o resto igual a
zero, finalizamos o nosso cálculo.
68 ÷ 4 = 17
46 8
1 74−
2 8
2 8−
 0
dividendo
 resto
divisor
quociente
Ufaa! Finalmente conseguimos encontrar o resultado, perceba
que o algoritmo da divisão é um pouco mais trabalhoso. Caso
não tenha entendido, releia novamente. É fundamental que você
entenda bem esse exemplo, pois os próximos serão um pouco
mais complicados. 
Agora faremos um exemplo que muitas pessoas erram, pois não
percebem a importância daquele que falamos
no exemplo anterior. 
ANOTE AÍ
Ex. : 318 ÷ 3 = ?
@matematica.do.zero
25
ANOTE AÍ
SEMPRE que "descemos" um número, somos obrigados a continuar a divisão.
Assim, vamos para o próximo passo SEM "descer" o número 8. 
33 1 8
Passo 1:
organize a operação
Passo 2:
Verifique se o primeiro número
a esquerda do dividendo é
maior ou igual ao divisor
Passo 3:
Complete: × 3 = 3 (ou menor).
Passo 4:
Abaixe o próximo número, no
caso, o 1.
33 1 8
33 1 8
1 3−
0 
33 1 8
1 3−
0 1
É aqui que está a grande diferença do primeiro exemplo para esse. Como 1 é
menor que 3, muitas pessoas acreditam que basta "descer" o próximo número, no
caso 8, e depois continuar a operação, mas isso está ERRADO.
Passo 5:
Complete: × 3 = 1 (ou menor). 33 1 8
1 03−
0 1
 0−
 1
Perceba que o único número que
multiplicado por 3 dá igual ou menor
que 1 é o número 0, pois 0 × 3 = 0
@matematica.do.zero
26
Passo 6:
Agora sim, podemos descer o
número 8 e continuar com o
cálculo.
33 1 8
1 0 63−
 0
0 1
−
 1 8
 1 8−
 0
5.1.2. Divisão Não Exata
Se uma divisão apresentar resto, r ≠ 0, então ela é classificada
como não exata.
51 2
2
21 0− ⟹ 12 = 5 2 + 2 ∙
Ex. : 12 ÷ 5 
Quando a divisão não éexata, podemos continuar realizando a
operação com o resto, mas obteremos um quociente decimal.
Esse quociente decimal, pode ser um decimal exato ou uma
dízima periódica.
Decimal exato 2,4 
Dízima periódica 2,33333333...
Vamos continuar com o exemplo de 12 ÷ 5, pois esse dará um
decimal exato.
Perceba que nesse exemplo não temos mais nenhum número
para "descer". Já estamos no resto e queremos continuar a
divisão.
@matematica.do.zero
27
51 2
2 0
2 ,1 0−
Passo 1:
Adicione um zero
ao resto e adicione
uma vírgula
ao quociente.
Passo 2:
Continue com o
cálculo.
51 2
2 0
2 , 41 0
2 0
−
−
 0
Portanto, 12 ÷ 5 é uma divisão com quociente decimal exato.
NÃO CONFUNDA
SEMPRE que "descemos"
um número, somos obrigados
a continuar a divisão. 
Não temos nenhum número
para "descer" e queremos
continuar a divisão. ≠
33 1 8
1 03−
0 1
 0−
 1 8
Aqui, descemos o números 1,
como 1 é menor que 3,
colocamos 0 no quociente e
continuamos o cálculo.
51 2
2 0
2 ,1 0−
Aqui, não descemos nenhum
número, apenas queremos
continuar a divisão. para isso,
0 no resto e " , " no quociente.
Vamos ver um exemplo em que esses dois casos acontecem,
para você entender melhor a diferença.
@matematica.do.zero
28
51 5 2
Ex.: 152 ÷ 5
3 0 , 41 5 −
0 0 2 
Descemos o número 2, somos
obrigados a continuar a divisão
 × 5 = 2 (ou menor). 
temos que 0 × 5 = 0 
Essas duas regras são as que mais confundem as pessoas, leia
novamente e pratique, para fixar esses conceitos.
0 −
2 0
Aqui não descemos
ninguém, estamos com o
resto igual a 2 e
queremos continuar a
divisão. Para isso,
adicionamos um 0 e uma
" , " 
2 0−
 0
Muito bem, vamos ver um exemplo em que o quociente dará uma
dízima periódica.
9 2 1
Ex.: 21 ÷ 9
2 , 3 3 3 3 1 8−
 3 0
Não temos nenhum número
para "descer" e queremos
continuar a divisão.
O que fazer? Diga moleza!
adiciono um 0 e uma vírgula.
 2 7−
Novamente estamos com o
número 3 e queremos continuar
a divisão. O que fazer?
Adiciono 0? SIM!
Adiciono OUTRA vírgula? NÃO
precisa. 
Quando já temos uma vírgula
não precisamos adicionar outra.
 3 0
 2 7−
 3 0 
Observe que poderíamos fazer
essa divisão infinita vezes e não
encontraríamos o resto igual a
zero, ou seja, estamos com uma
divisão não exata e seu quociente
é uma dízima periódica.
 2 7−
 3 
@matematica.do.zero
29
Assim, 21 ÷ 9 = 2,3333... ou 21 ÷ 9 = 2, 3
5.1.3. Dividendo menor que Divisor
Para fazer a divisão quando temos o dividendo menor que o
divisor, precisamos, logo no início, transformar o dividendo em
um número maior que o divisor e depois basta continuar a
operação, vamos ver alguns exemplos.
Ex.: 6 ÷ 15 e 6 ÷ 150
1 56 0
Passo 1:
Adicione 0 no dividendo e adicione 0, no quociente
Passo 2:
Verifique se o dividendo está maior que o divisor. 
1 56 0
0,
0, 4
1 5 06 0 0
0, 0 4
Se sim, basta
continuar o cálculo. 
Se não, adicione outro zero
no dividendo e no quociente.
E continue o cálculo
1 5 06 0
0,
6 0−
 0
6 0 0 −
 0
Assim, 6 ÷ 15 = 0, 4 e 6 ÷ 150 = 0, 0 4
Perceba que a quantidade zeros que adicionamos no dividendo
também adicionaremos no quociente. Sendo assim,
6 ÷ 15 = 0,4 6 ÷ 150 = 0,04 6 ÷ 1500 = 0,004 
@matematica.do.zero
30
5.2. Divisão com Números Decimais
Para fazer a divisão quando temos números decimais no
dividendo ou no divisor é bem simples. Basta igualar as casas
decimais, retirar as vírgulas e realizar o algoritmo da divisão.
Vamos ver um exemplo.
Ex. : 1,82 ÷ 1,3
1, 8 2 ÷ 1, 3 0
Passo 1:
Iguale a quantidade
de casas decimais. 
Passo 2:
Apague as vírgulas
dos números.
1 8 2 ÷ 1 3 0
Passo 3:
Calcule. 1 3 01 8 2
1, 41 3 0 −
 5 2 0
 5 2 0−
 0
Assim, 1,82 ÷ 1,3 = 1,4
Pronto, agora você está preparado para resolver qualquer
divisão, vimos aqui todos os casos específicos da divisão e o que
devemos fazer em cada um deles, recomendo que releia esses
casos e PRATIQUE. Parece um pouco difícil, mas com a prática
esses cálculos vão se tornando naturais.
@matematica.do.zero
31
Agora vamos fazer um exemplo que a maioria das pessoas
erram, porque envolve TODOS os casos que vimos até agora.
Recomendo que você tente fazê-lo antes de ver a resolução.
Ex. : 5 ÷ 0,24 
Resolução:
Temos um número decimal, logo para fazer a divisão precisamos igualar as
casas decimas.
 
Agora vamos retirar as vírgulas e começar a calcular
2 45 0 0
24 8 −
 2 0
5, 0 0 ÷ 0, 2 4
SEMPRE que "descemos" um número, somos obrigados a continuar a
divisão. Complete: x 24 = 20 (ou menor). Qual número multiplicado por
24 é igual ou menor que 20? Apenas o zero, né verdade? Logo, colocamos 0
no quociente.
2 45 0 0
2 04 8 −
 2 0
 0 0−
 2 0
Agora não temos ninguém para descer e queremos continuar a divisão, ou
seja, adicionamos 0 no resto e uma vírgula no quociente.
Depois continuamos o cálculo.
@matematica.do.zero
32
2 45 0 0
2 0, 84 8 −
 2 0
 0 0−
 2 0 0
 1 9 2−
 8
Novamente não temos ninguém para descer e queremos continuar o cálculo,
adicionamos 0 no resto e como já temos uma vírgula no quociente não
precisamos adicionar outra.
Observe que poderíamos fazer essa divisão infinita vezes e não
encontraríamos o resto igual a zero, ou seja, estamos com uma divisão não
exata e seu quociente é uma dízima periódica.
Portanto,
2 45 0 0
2 0, 8 3 3 4 8 −
 2 0
0 0−
2 0 0
 1 9 2−
 8 0
 7 2−
 8 0
 7 2−
 8 
5 ÷ 0,24 = 20,8333... ou 5 ÷ 0,24 = 20,83 
Acabamos de ver de forma separada as quatro operações
básicas, agora começaremos a resolver expressões que trazem
essas quatros operações juntas. 
@matematica.do.zero
Ex. : − 5 − 7 = − 12
Ex. : − 5 + 7 = + 2
@matematica.do.zero 33
6. Regra de Sinais
Para começarmos a responder algumas expressões numéricas é
fundamental que saibamos as regras de sinais, então vamos a
elas.
Sinais iguais: soma e conserva o sinal.
Sinais diferentes: subtrai e conserva o sinal do número maior.
 + 5 + 7 = + 12
 + 5 − 7 = − 2
iguais
diferentes
6.1. Soma ou Subtração
Você também pode pensar na ideia de "sobrou troco (+)" ou
"ficou devendo (−)".
 + 15 − 8 = + 7
Tinha 15
Gastei 8
Sobrou 7Ex. : 
 + 20 − 25 = − 5
Tinha 20
Gastei 25
Devo 5
@matematica.do.zero 34
6.2. Multiplicação ou Divisão
Sinais iguais: o resultado é positivo.
Sinais diferentes: o resultado é negativo.
 ( + ) × ( + ) = + ( + ) ÷ ( + ) = + 
 ( − ) × ( − ) = + ( − ) ÷ ( − ) = +
 ( + ) × ( − ) = − ( + ) ÷ ( − ) = − 
 ( − ) × ( + ) = − ( − ) ÷ ( + ) = −
iguais
diferentes
 ( +7 ) × ( +9 ) = + 63 
Vejamos alguns exemplos
iguais
 ( −32 ) ÷ ( −4 ) = + 8 
iguais
 ( −2 ) × ( +11 ) = − 22 
diferentes
 ( +65 ) ÷ ( −13 ) = − 5 
diferentes
@matematica.do.zero
Ex.: + ( −13 ) = − 13 
 + ( +25 ) = + 25 
 + ( +19 − 12 ) = + 19 − 12 = + 7 
Ex.: − ( −15 ) = + 15 
 − ( +37 ) = − 37 
 − ( −10 + 16 ) = + 10 − 16 = − 6 
 − ( +3) − (−9) + (+3) + (−7) = 
 − 3 + 9 + 3 − 7 = 
+ 6 + 3 − 7 = 
35
6.3. Regras para a Retiradade Parênteses
Parênteses procedido pelo sinal ( + ): basta conservar os
sinais dos números contidos nesses parênteses. 
Parênteses procedido pelo sinal ( − ): basta trocar os sinais
dos números contidos nesses parênteses. 
conserva
conserva
conserva
troca
troca
troca
Vamos ver um exemplo que envolve parênteses procedidos por
( + ) e por ( − ).
troca conserva
+ 9 − 7 = + 2 
(5.1) Sinais diferentes: subtrai e
conserva o sinal do número maior.
(5.1) Sinais iguais: soma
e conserva o sinal.
As expressões numéricas são grupos numéricos calculados por
operações matemáticas que seguem determinadas ordens. Para
fazer o cálculo corretamente, você deve levar em consideração
os seguintes conhecimentos: os algoritmos relativos a cada
operação, as regras relativas aos sinais dos números e a
ordem correta para realizá-las.
36
7. Regras Básicas de Expressões Numéricas
Ora, já vimos os algoritmos, também já vimos as regras de sinais,
então vamos ver agora qual a ordem correta para resolver as
expressões numericas.
º1. Efetuar os cálculos dentro de parênteses;
Efetuar os cálculos de potências e radiciações,
pela ordem em que aparecem;
 2. º
Efetuar os cálculos de multiplicações e divisões,
pela ordem em que aparecem;
Efetuar os cálculos de adições e subtrações,
pela ordem em que aparecem;
 { [ ( ) ] } resolver de dentro pra fora.Obs.
 3. º
 4. º
Perceba que o segunda passo, seria efetuar os cálculos de
potências e radiciações, assuntos que não trataremos nesse 
e-book, pois ele ficaria muito extenso. 
1º Parênteses, 2º Colchetes e 3º Chaves 
@matematica.do.zero
37
O erro mais comum dos estudantes é não seguir a ordem correta,
e isso gera um resultado totalmente diferente do resultado
correto, vamos ver um exemplo.
Ex.: ( 7 + 5 × 2 − 1 ) ÷ 4 + 9 = ? 
 ( 7 + 5 × 2 − 1 ) ÷ 4 + 9 =
ERRADO, pois devemos
começar resolvendo a expressão
que está dentro do parênteses. ( 7 + 5 × 2 − 1 ) ÷ 13 =
Primeiro vamos ver quais os erros mais comuns
Certo, tudo bem, vamos resolver o que está no parênteses
 ( 7 + 5 × 2 − 1 ) ÷ 4 + 9 =
 ( 12 × 2 − 1 ) ÷ 4 + 9 =
ERRADO, pois devemos fazer
primeiro a multiplicação e depois
a adição ou subtração.
Vamos ver a forma CORRETA.
 ( 7 + 5 × 2 − 1 ) ÷ 4 + 9 = 1º Resolvemos a expressão 
 dentro do parênteses ( )
 ( 7 + 5 × 2 − 1 ) ÷ 4 + 9 = Multiplicação
 ( 7 + 10 − 1 ) ÷ 4 + 9 = Soma e subtração
 16 ÷ 4 + 9 = 
2º Não temos mais parênteses,
continuamos o cálculo. 
 Divisão
 Soma
 4 + 9 = 
 13
vamos ver um exemplo que envolva parênteses, colchetes e
chaves.
@matematica.do.zero
38
Ex. : 100 − 3 × { 5 + 8 ÷ 2 − [ 3 × ( 7 − 6 ) ] } = ?
Lembre que quando temos { [ ( ) ] } resolvemos de dentro pra
fora. Assim,
100 − 3 × { 5 + 8 ÷ 2 − [ 3 × ( 7 − 6 ) } ] = 
100 − 3 × { 5 + 8 ÷ 2 − [ 3 × 1 ] } = 
100 − 3 × { 5 + 8 ÷ 2 − 3 } = 
100 − 3 × { 5 + 4 − 3 } = 
100 − 3 × { 9 − 3 } = 
100 − 3 × 6 = 
100 − 18 = 
82 
Veja a importância dos parênteses.
60 ÷ (3 + 3 × 9) = (60 ÷ 3) + 3 × 9 = 60 ÷ (3 + 3) × 9 =
60 ÷ (3 + 27) =
60 ÷ 30 = 2
20 + 3 × 9 =
20 + 27 = 47
60 ÷ 6 × 9 =
10 × 9 = 90
Observe que em uma mesma expressão, mudando apenas a
posição dos parênteses, obtemos resultados diferentes. 
@matematica.do.zero
39
8. Lista de Questões
1 ) Marque a afirmação verdadeira:
a) Todo número real é racional.
b) Todo número inteiro não é natural
c) Todo número irracional é real.
d) Todo número racional não é inteiro.
e) Todo número racional é natural.
@matematica.do.zero
2 ) Indique qual dos números abaixo é um número irracional.
a) 7
b) 1,3
c) 0,333...
d) 
e) π
3
5
3 ) Se a é o sucessor de b e, b = 20, então a = 
a) 21
b) 40
c) 19
d) 2
4 ) Considere os conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 e ℝ. 
 
a) a, b ∈ ℕ temos a − b ∈ ℕ 
b) Existe um elemento em ℤ que é menor que qualquer
40
5 ) Resolva as equações a seguir:
a) 579 + 105 + 68 =
b) 5,75 + 0,15 + 2,1 =
 
c) 491 − 152 − 13 =
 
d) 7,9 − 2,33 − 3,4 = 
 
e) 3 + 0,15 − 0, 1 = 
 
f) 5,7 − 7 + 1,2 =
6 ) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma
biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o
funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em
matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo
é o resultado da adição de dois números naturais que, no
esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos
por letras.” 
M A R R A
M A R R A +
T O R T A
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos
distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá
@matematica.do.zero
 ⊂ ⊂ ⊂ 
 
c) ℕ ℤ ℚ ℝ
d) a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠0 ⇒ a/b ∈ ℤ.
número inteiro.
41
concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um
número
a) menor que 70000.
b) compreendido entre 70000 e 75000.
c) compreendido entre 75000 e 80000.
d) compreendido entre 80000 e 85000.
7) O maior valor monetário, em reais, de três notas de valores
diferentes e três moedas de valores diferentes é igual a
a) 603,00
b) 351,75
c) 171,50
d) 351,50
e) 351,60
 
8) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de dois
números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos
pelas letras A, B, C, D e E.
A 9 0 B 2
7 8 C 9 D−
2 E 1 7 8
Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E,
que tornam a diferença correta, devem ser tais que 
A − B + C − D + E é igual a
a) 7
b) 6
c) 5
d) 4
e) 3
@matematica.do.zero
42
9) Resolva as equações a seguir:
a) 315 × 12
 
b) 2,77 × 4,1
 
c) 0,8 × 0,3
 
d) 7 × 0,5
 
10) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa
um algarismo
1 A B C
3×
A B C 4
O valor de A+B+C é: 
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
11) Sete amigos jantaram em um restaurante e combinaram
dividir a conta igualmente entre eles. Na hora de pagar, um deles
notou que tinha esquecido a carteira e, portanto, estava sem
dinheiro. Assim, cada um de seus amigos teve que pagar um
adicional de R$14,50 para cobrir a sua parte. O valor total da
conta foi: 
a) R$ 522,00
B) R$ 567,00
C) R$ 588,00
@matematica.do.zero
43
12) O algarismo da dezena do produto entre 28,4 e 5,7 é: 
 
a) 6
B) 1
C) 8
D) 3
E) 2
D) R$ 595,00
E) R$ 609,00
13) Resolva as equações a seguir:
a) 413 ÷ 5
 
b) 8 ÷ 1,6
 
c) 714 ÷ 7
 
d) 56 ÷ 12
 
e) 13 ÷ 0,5
 
14) Com base na operação assinale a alternativa 
correta
( ) 13 é o quociente
( ) 2 é o divisor
( ) 6 é o dividendo
( ) 1 é o resto 
213
1
612−
@matematica.do.zero
44
a) V, V,V e V 
b) F, V, F e V 
c) V, F, V e F 
d) F, F, F e V
15) Sérgio deve R$7,50 à sua amiga Fernanda. Ele tem um
cofrinho cheio de moedas de R$0,25, de R$0,50 e de R$1,00. A
diferença entre a maior e a menor quantidade de moedas que ele
pode usar para pagar a ela é: 
16) Resolva as equações a seguir:
 
a) 60 ÷ 2 × (1 + 2) 
 
b) 2 × 3 + 5 × (9 ÷ 3)
 
c) 7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7 − 7
 
d) [ (9 + 3 × 3) ÷ 6 + 5 × 3 ] ÷ 3
 
e) 18 ÷ {11 − [8 − (2 × 3) ] }
 
17) Um médico atende diariamente 5 clientes com hora marcada
e um número x de clientes sem hora marcada. Dos clientes que
marcam hora para ser atendido, ele cobra R$ 70,00 a consulta e
dos clientes que não marcam hora R$ 55,00. Ao final de um
determinado dia ele contabilizou R$ 735,00. O número de clientes
atendidos neste dia foi de
a) 22
b) 20
c) 17
d) 15
e) 12
@matematica.do.zero
45
a) 4 clientes
b) 7 clientes
c) 10 clientes
d) 12 clientes
e) 21 clientes
18) O quociente A÷B entre as expressões A = 11 + 8 × 0 − 2 e 
B = 120 ÷ (4 + 4 × 5) vale:
 
a) − 2
b) 3
c) 1,8
d) − 3
e) 1,08
@matematica.do.zero
19) Se a = , b = , c = e d = ,então:
 
a) c12}
e) A = {1, 12}
 
2
5
7
20
9
27
11
30
46
9. Gabarito
1) c
2) e
3) a
4) c 
5) a) 752 b) 8 c) 326 d) 2,17 e) 3,05 f) −0,1
6) d
7) b
8) b
9) a) 3780 b)11,357 c) 0,24 d) 3,5 
10) e
11) e
12) a
13) a) 82,6 b) 5 c) 102 d) 4,666... e) 26
14) d
15) a
16) a) 90 b) 21 c) 50 d) 6 e) 2
17) d
18) c
19) e
20) d
@matematica.do.zero
47
10. Questões Comentadas
Resolução:
Para respondermos essa questão precisamos lembrar que:
Vamos analisar cada uma das alternativas.
a) Todo número real é racional? FALSO! 
Vimos que se um número real (ℝ) for escolhido ao acaso, ele pode ser
racional (ℚ) ou irracional (𝕀). π ∈ ℝ, mas π ∈ ℚ.
b) Todo número inteiro não é natural? FALSO!
O conjunto dos naturais está contido nos inteiros. 5 ∈ ℤ e 5 ∈ ℕ.
c) Todo número irracional é real? VERDADEIRO!
Temos que , todos os números irracionais pertencem aos reais.
d) Todo número racional não é inteiro? FALSO!
O conjunto dos inteiros está contido nos racionais.
e) Todo número racional é natural? FALSO!
Existem números que pertencem aos ℚ, mas não aos ℕ. 4,3 ∈ ℚ e 4,3 ∈ ℕ.
@matematica.do.zero
1 ) Marque a afirmação verdadeira:
a) Todo número real é racional.
b) Todo número inteiro não é natural
c) Todo número irracional é real.
d) Todo número racional não é inteiro.
e) Todo número racional é natural.
ℕ ℤ ℚ ℝ ⊂ ⊂ ⊂
⊂𝕀 ℝe
⊂𝕀 ℝ
Gabarito: letra c
4 ) Considere os conjuntos ℕ, ℤ, ℚ, 𝕀 e ℝ. 
a) a, b ∈ ℕ temos a − b ∈ ℕ 
b) Existe um elemento em ℤ que é menor que qualquer
número inteiro.
c) ℕ ℤ ℚ ℝ 
d) a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠0 ⇒ a/b ∈ ℤ.
 
@matematica.do.zero
a) 7 b) 1,3 c) 0,333... d) e) π3
5
Dízimas
Periódicas
Números
Decimais
3
5
7
1
48
Resolução:
Sabemos que os números reais (ℝ) são racionais (ℚ) ou irracionais (𝕀).
Primeiro, vamos analisar quais os ℚ.
2 ) Indique qual dos números abaixo é um número irracional.
Gabarito: letra e
Números Racionais
Números
Inteiros
Frações
1,3
0,333...
7 =
Logo, o único número irracional é π, que possui infinitas casas decimais que
não se repetem como em uma dízima periódica.
π = 3,14159265358979323846…
3 ) Se a é o sucessor de b e, b = 20, então a = 
Resolução:
Como a é o sucessor de b, então a = b + 1
Temos que b = 20, logo a = 20 + 1 = 21 
Gabarito: letra a
a) 21 b) 40 c) 19 d) 2
 ⊂ ⊂ ⊂
49
Resolução:
Vamos analisar cada uma das alternativas.
a) a, b ∈ ℕ temos a − b ∈ ℕ? FALSO!
Nem sempre isso acontece, consideramos a = 2 e b = 3. A diferença 
a − b = 2 − 3 = − 1 e −1 ∈ ℕ. 
b)Existe um elemento em ℤ que é menor que qualquer número inteiro?
FALSO! 
O conjunto ℤ = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} não possui um menor
elemento nem um maior elemento, pois sempre existe um antecessor e um
sucessor.
c) ℕ ℤ ℚ ℝ? VERDADEIRO! 
Esse é nosso gabarito, como já havíamos falado anteriormente 
d) a ∈ ℤ, b ∈ ℤ e b ≠0 ⇒ a/b ∈ ℤ? FALSO!
Nem sempre isso acontece, consideramos a = 1 e b=2, temos que ∈ ℤ 
@matematica.do.zero
Gabarito: letra c
 ⊂ ⊂ ⊂
ℕ ℤ ℚ ℝ ⊂ ⊂ ⊂
1
2
5 ) Resolva as equações a seguir:
 a) 579 + 105 + 68 =
 b) 5,75 + 0,15 + 2,1 =
c) 491 − 152 − 13 =
d) 7,9 − 2,33 − 3,4 = 
e) 3 + 0,15 − 0, 1 = 
 f) 5,7 − 7 + 1,2 =
Resolução:
a) Como essa é a primeira, irei resolver passo a passo para que você
compreenda perfeitamente e, nas próximas, já começarei a fazer de uma
forma mais automática. 
Primeiro vamos colocar os números um embaixo do outro e depois
começaremos os cálculos.
50
 5 7 9 
1 0 5
6 8 +
 2 
 2 
 5 7 9 
1 0 5
6 8 +
 5 2 
 2 1
 5 7 9 
1 0 5
6 8 +
 7 5 2 
 2 1
Logo, 579 + 105 + 68 = 752
b) Nesse exemplo temos números decimais, para realizar a soma entre eles
colocamos, primeiramente, vírgula embaixo de vírgula e depois adicionamos
zero para deixar o mesmo número de casas decimais.
 5, 7 5
0, 1 5
2, 1 +
 5, 7 5
0, 1 5
2, 1 0 +
8, 0 0
 1 1
Assim, 5,75 + 0,15 + 2,1 = 8
@matematica.do.zero
c) Agora temos uma subtração, o processo é parecido com o da soma.
491 − 152 − 13 = 326
 7, 9 
2, 3 3
3, 4−
 1 
 7, 9 0
2, 3 3
3, 4 0−
2, 1 7
 4 9 1
1 5 2 
1 3 −
 6 
1
 8
 4 9 1
1 5 2 
1 3 −
 2 6 
1
 8
1 3 
 4 9 1
1 5 2 
−
3 2 6 
1
 8
d) Nessa questão trabalharemos subtração com números decimais.
1
 8
7,9 − 2,33 − 3,4 = 2,17
3, 0 0
0, 1 5 +
3, 1 5
e) 3 + 0,15 − 0, 1 é uma expressão que envolve soma e subtração, vamos
resolver na ordem, ou seja, da esquerda para a direita.
3, 1 5
0, 1 0−
3, 0 5
3 + 0,15 − 0,1 = 3,05
51
f) 5,7 − 7 + 1,2 também é uma expressão que envolve soma e subtração.
 5,7 − 7 + 1,2 = 
− 1,3 + 1,2 = − 0,1
6 ) Perguntado sobre a quantidade de livros do acervo de uma
biblioteca do Tribunal de Contas do Estado da Paraíba, o
funcionário responsável pelo setor, que era aficionado em
matemática, deu a seguinte resposta: “O total de livros do acervo
é o resultado da adição de dois números naturais que, no
esquema abaixo, comparecem com seus algarismos substituídos
por letras.” 
M A R R A
M A R R A +
T O R T A
@matematica.do.zero
Considerando que letras distintas correspondem a algarismos
distintos, então, ao ser decifrado corretamente, o código permitirá
concluir que o total de livros do acervo dessa biblioteca é um
número
a) menor que 70000.
b) compreendido entre 70000 e 75000.
c) compreendido entre 75000 e 80000.
d) compreendido entre 80000 e 85000.
Resolução:
Esse tipo de questão é muito boa para entendermos como realmente
funciona o algoritmo da adição.
Perceba que letras iguais correspondem a números iguais e letras distintas
correspondem a algarismos distintos.
M A R R A
M A R R A +
T O R T A
Temos que A + A = A. O único número que satisfaz essa condição é o
número 0, pois 0 + 0 = 0. Logo, A = 0.
52
Vamos substituir a letra A por 0.
M 0 R R 0
M 0 R R 0 +
T O R T 0
Observe os algarismos das dezenas e das centenas. Aparentemente
realizamos a mesma operação R+R e obtemos dois resultados distintos. Isso
se deve ao fato de a soma ser maior do que 10 e somos obrigados a
acrescentar uma unidade na casa das centenas. Devemos testar R para o
seguinte conjunto de valores: {5,6,7,8,9} (pois a soma deve ser maior do que
10). 
Veja que R não pode ser 5, pois ao efetuar R + R = 10, temos que T = 0. 
 Mas lembre-se que letras distintas correspondem a algarismos distintos. E
como A = 0, T não pode ser 0 e consequentemente R não pode ser 5.
Será que R = 6? Vejamos o que acontece.
M 0 R R 0
M 0 R R 0 +
T O R T 0
M 0 6 6 0
M 0 6 6 0 +
T O 3 2 0
 1
Se R = 6
@matematica.do.zero
Encontramos R = 3. Absurdo, já que estávamos supondo que R = 6.
Da mesma maneira, testando R = 7 e R = 8 chegamos a absurdos parecidos
com o caso R = 6.
Chega-se a conclusão de que R=9. 
M 0 R R 0
M 0 R R 0 +
T O R T 0
M 0 9 9 0
M 0 9 9 0 +
T O 9 8 0
 1
Se R = 9
 1
Desse modo, sabemos que T=8. Logo, a soma será escrita da seguinte
forma:
4 0 9 9 0
4 0 9 9 0 +
8 1 9 8 0
 1 1
Gabarito: letra d
a) 603,00
b) 351,75
c) 171,50
d) 351,50
e) 351,60
 
7 ) O maior valor monetário, em reais, de três notas de valores
diferentes e três moedas de valores diferentes é igual a
53
Resolução:
As maiores notas são de 200 + 100 + 50 = 350 2 0 0 
1 0 0
5 0 +
 3 5 0
Já as maiores moedas são 1,00 + 0,50 + 0,25 = 1,75 1, 0 0 
0, 5 0
0, 2 5 +
 1, 7 5
Somando tudo, temos 351,75 3 5 0, 0 0 
1, 7 5 +
 3 5 1, 7 5
Gabarito: letra b
@matematica.do.zero
8) O esquema abaixo apresenta o algoritmo da subtração de dois
números naturais, em que alguns algarismos foram substituídos
pelas letras A, B, C, D e E.
A 9 0 B 2
7 8 C 9 D−
2 E 1 7 8
Os correspondentes algarismos representados por A, B, C, D e E,
que tornam a diferença correta,devem ser tais que 
A − B + C − D + E é igual a
 a) 7 b) 6 c) 5 d) 4 e) 3
Resolução:
Estamos com uma questão parecida com a 6ª, porém, agora, envolve uma
subtração. 
O algarismo D deve ser igual a 4, pois 12 - 4 = 8
A 9 0 B 2
7 8 C 9 4−
2 E 1 7 8
54
Logo, B = 7
A 9 0 7 2
7 8 C 9 4−
2 E 1 7 8
 1
6
Assim, C= 8
A 9 0 7 2
7 8 8 9 4−
2 E 1 7 8
 1
6 1
 1
8
E = 0
A 9 0 7 2
7 8 8 9 4−
2 0 1 7 8
 1
6 1
 1
8
Finalmente, descobrimos o valor de A = 9
9
9
@matematica.do.zero
9) Resolva as equações a seguir:
a) 315 × 12 b) 2,77 × 4,1 c) 0,8 × 0,3 d) 7 × 0,5
 
Encontramos, A = 9, B = 7, C = 8, D = 4, E = 0
Assim,
 A − B + C − D + E = 9 − 7 + 8 − 4 + 0 = 6
Gabarito: letra b
9 9 0 7 2
7 8 8 9 4−
2 0 1 7 8
 1
6 1
 1
8 9
Resolução:
a) 3 1 5
1 2×
6 3 0
3 1 5
1 2×
6 3 0
3 1 5+
3 7 8 0 
Assim, 315 × 12 = 3780
b) 2,77 × 4,1 = 11,357
Vamos fazer o passo a passo
55
Passo 1:
Multiplique os
números sem as
vírgulas
 4 1
 2 7 7
×
Passo 2:
Faça uma soma entre as
quantidades de casas
decimais 
 2 7 7
 2, 77
 4, 1
2
 1+
3
Passo 3:
A soma encontrada será a
quantidade de casas decimais.
 1 1 0 8+
 1 1 3 5 7
 4 1
 2 7 7
×
 2 7 7
 1 1 0 8+
 1 1, 3 5 7
@matematica.do.zero
 0, 3
a × 0,5 = a
0,8 × 0,3 = 0,24
3
8
×
Passo 2:
2 4
 0, 8 1
 1+
2
c) 
Passo 1: Passo 3:
3
8
×
0, 2 4
7 × 0,5 = 3,5d) 
ANOTE AÍ
Se realizássemos os passos 1, 2 e 3 encontraríamos que 7 × 0,5 = 3,5.
Entretanto, trouxe esse exemplo para que você perceba que todo
número, diferente de 0, multiplicado por 0,5 é igual a sua metade.
2
a ≠ 0
Ex. : 2 × 0,5 = 1 6 × 0,5 = 3 10 × 0,5 = 5 15 × 0,5 = 7,5 
10) Na operação de multiplicação abaixo, cada letra representa
um algarismo
1 A B C
×
A B C 4
3
56
Resolução:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
Ao multiplicamos o algarismo C por 3, obtemos um número cujo algarismo
das unidade é igual a 4. Vamos analisar a tabuada do 3.
3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 3 × 3 = 9 3 × 4 = 12 3×5 = 15 
 3 × 6 = 18 3 × 7 = 21 3 × 8 = 24 
Portanto, C = 8 
1 A B 8
×
A B 8 4
3
2
O produto 3 × B deverá ser um número cujo algarismo das unidade seja 6,
pois ao adicionarmos 2 teremos como resultado um número cujo algarismo
das unidades é igual a 8 
@matematica.do.zero
O valor de A+B+C é: 
3 × 1 = 3 3 × 2 = 6 
Portanto, B = 2 
1 A 2 8
×
A 2 8 4
3
2
Finalmente, o número A deve ser tal que 3×A termine em 2. Logo, A = 4 
1 4 2 8
×
4 2 8 4
3
21
Temos que A = 4, B = 2, e C = 8. Logo, A + B + C = 4 + 2 + 8 = 14
Gabarito: letra e
11) Sete amigos jantaram em um restaurante e combinaram
dividir a conta igualmente entre eles. Na hora de pagar, um deles
notou que tinha esquecido a carteira e, portanto, estava sem
dinheiro. Assim, cada um de seus amigos teve que pagar um
adicional de R$14,50 para cobrir a sua parte. O valor total da
conta foi: 
57
a) R$ 522,00
B) R$ 567,00
C) R$ 588,00
D) R$ 595,00
E) R$ 609,00
Resolução:
O enunciado informa que 6 amigos tiveram que pagar, cada um, R$ 14,50
referentes ao consumo do amigo que “esqueceu” a carteira. Então, o
consumo desse amigo foi igual a:
6 × 14,50 = 87 reais 
Visto que a conta havia sido dividida igualmente entre os 7 amigos,
concluímos que cada amigo consumiu 87 reais. Portanto, os 7 amigos
consumiram um total de 7 × 87 = 609 reais.
Gabarito: letra e 
@matematica.do.zero
2 8, 4
× 5, 7
1 4 2 0
2 8, 4
× 5, 7
Resolução:
Vamos realizar a multiplicação entre 28,4 e 5,7: 
12) O algarismo da dezena do produto entre 28,4 e 5,7 é:
1 9 8 8
25
1 9 8 8
24
+
1 6 1, 8 8
1
Agora, basta encontrarmos qual é o algarismo da dezena. Para isso, vamos
montar um quadro de ordens. 
Portando, o algarismo da dezena do número 161,88 é 6
Gabarito: letra a
Centena Dezena Unidade , Décimo Centésimo Milésimo 
1 6 1 , 8 8
Ordens inteiras Ordens decimais
a) 6 B) 1 C) 8 D) 3 E) 2
58
13) Resolva as equações a seguir:
Resolução:
413 ÷ 5 = 82,6a) 
Vamos fazer o passo a passo
Passo 1:
organize a operação identificando
o dividendo e o divisor;
54 1 3
Passo 2:
Como 4 é menor que 5, vamos 
 utilizar também o número 1
54 1 3
@matematica.do.zero
a) 413 ÷ 5 b) 8 ÷ 1,6 c) 714 ÷ 7 d) 56 ÷ 12 e) 13 ÷ 0,5
Passo 3:
Complete: × 5 = 41 (ou menor).
o valor da multiplicação não pode
ser maior que 41.
Temos que 8 × 5 = 40
54 1 3
84 0−
1
Passo 4:
Abaixe o próximo número, no
caso, o 3.
54 1 3
8 2, 64 0−
1 3
1 0−
3 0
Passo 5:
Adicione um zero ao resto e adicione
uma vírgula ao quociente.
3 0−
 0
8 ÷ 1,6 = 5b) 
Passo 1:
Passo 2:
Iguale a quantidade de casas
decimais. 
8,0 ÷ 1,6 
Apague as vírgulas dos números. 8 0 ÷ 1 6 
Passo 3:
 Calcule 1 68 0
58 0−
0
59
714 ÷ 7 = 102c) 
77 1 4
17−
0 1
Passo 1:
Complete: × 7 = 7 (ou menor).
Temos que 1 × 7 = 7 
Passo 2:
Abaixe o próximo número. 
Lembre-se sempre que descemos um número,
somos obrigados a continuar a divisão
77 1 4
1 0 27−
0 1
Complete: × 7 = 1 (ou menor).
Temos que 0 × 7 = 0
0 −
 1 4
 1 4−
 0
@matematica.do.zero
56 ÷ 12 = 4,6666...d) 1 25 6
4, 6 6 64 8−
8 0
Passo 1:
Complete: × 12 = 58 (ou menor).
Temos que 4 × 12 = 48 
Passo 2:
Adicione um zero ao resto e adicione
uma vírgula ao quociente.
7 2−
8 0
Passo 3:
Adicione um zero ao resto e continue
o calculo
7 2−
8 0
7 2−
8
Observe que poderíamos fazer
essa divisão infinita vezes e não
encontraríamos o resto igual a
zero, ou seja, estamos com uma
divisão não exata e seu quociente
é uma dízima periódica.
13 ÷ 0,5 = 26e) 
a ÷ 0,5 = 2×a
ANOTE AÍ
Se realizássemos o passo a passo encontraríamos que 13 ÷ 0,5 = 26.
Entretanto, trouxe esse exemplo para que você perceba que todo
número, diferente de 0, dividido por 0,5 é igual ao seu dobro.
a ≠ 0
a ≠ 0
Ex. : 2 ÷ 0,5 = 4 6 ÷ 0,5 = 12 10 ÷ 0,5 = 20 15 ÷ 0,5 = 30 
 a
2
Juntando esse exemplo com o da multiplicação, temos que:
a ÷ 0,5 = 2×aa × 0,5 =
60
14) Com base na operação assinale a alternativa 
 correta
( ) 13 é o quociente
( ) 2 é o divisor
( ) 6 é o dividendo
( ) 1 é o resto 
213
1
612−
a) V, V,V e V b) F, V, F e V c) V, F, V e F d) F, F, F e V
@matematica.do.zero
Resolução:
213
1
612−
Temos que dividendo
 resto
divisor
quociente
( F ) 13 é o quociente
( V ) 2 é o divisor
( F ) 6 é o dividendo
( V ) 1 é o resto 
Gabarito: letra b
15) Sérgio deve R$7,50 à sua amiga Fernanda. Ele tem um
cofrinho cheio de moedas de R$0,25, de R$0,50 e de R$1,00. A
diferença entre a maior e a menor quantidade de moedas que ele
pode usar para pagar a ela é: 
a) 22 b) 20 c) 17 d) 15 e) 12
Resolução:
A maior quantidade de moedas ocorre quando todas as moedas têm o menor
valor, ou seja, são de 25 centavos.
Nesse caso, temos que n moedas de R$ 0,25 totalizam R$ 7,50:
O número máximo de moedas que Sérgio pode ter é 30, todas de 25
centavos. 
0,25 25
0,25𝑛 = 7,5
 𝑛 = 7,5 = 750 = 30 
61
O número mínimo de moedas que Sérgio pode ter é 8:
7 moedas de 1 real (totalizando 7 reais)
 mais 1 moeda de 50 centavos 
Assim, a diferença entre a maior e a menor quantidade de moedas vale:
30 – 8 = 22
Gabarito: letra a
16) Resolva as equações a seguir:
@matematica.do.zero
a) 60 ÷ 2 × (1 + 2) 
b) 2 × 3 + 5 × (9 ÷ 3) 
c) 7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7 − 7 
d) [ (9 + 3 × 3) ÷ 6 + 5 × 3 ] ÷ 3 
e) 18 ÷ {11 − [8 − (2 × 3) ] } 
Resolução:
60 ÷ 2 × (1 + 2) =a) 
60 ÷ 2 × 3 =
30 × 3 = 90
b) 2 × 3 + 5 × (9÷ 3) =
2 × 3 + 5 × 3 =
6 + 5 × 3 =
6 + 15 = 21
7 + 7 ÷ 7 + 7 × 7 − 7 =c) 
7 + 1 + 7 × 7 − 7 =
7 + 1 + 49 − 7 =
8 + 49 − 7 =
57 − 7 = 50
[ (9 + 3 × 3) ÷ 6 + 5 × 3 ] ÷ 3 =d) 
[ (9 + 9) ÷ 6 + 5 × 3 ] ÷ 3 =
[ 18 ÷ 6 + 5 × 3 ] ÷ 3 =
[ 3 + 5 × 3 ] ÷ 3 =
[ 3 + 15 ] ÷ 3 =
18 ÷ 3 = 6
18 ÷ {11 − [8 − (2 × 3) ] } =e) 
18 ÷ {11 − [8 − 6 ] } =
18 ÷ {11 − 2 } =
18 ÷ 9 = 2
62
Resolução:
17) Um médico atende diariamente 5 clientes com hora marcada
e um número x de clientes sem hora marcada. Dos clientes que
marcam hora para ser atendido, ele cobra R$ 70,00 a consulta e
dos clientes que não marcam hora R$ 55,00. Ao final de um
determinado dia ele contabilizou R$ 735,00. O número de clientes
atendidos neste dia foi de
a) 4 clientes b) 7 clientes c) 10 clientes
d) 12 clientes e) 21 clientes
Os cinco clientes com hora marcada pagaram juntos 5 x 70 = 350 reais.
Como o total contabilizado foi de R$ 735,00 ,então 735 – 350 = 385 reais
foram pagos pelos clientes sem hora marcada. Como cada um deles paga
R$ 55,00 pela consulta, então foram atendidos 385 ÷ 55 = 7 clientes
A resposta não é a letra B. O total de clientes é igual a 12 (5 com hora
marcada e 7 sem hora marcada).
Gabarito: letra d
@matematica.do.zero
Resolução:
A = 11 + 0 − 2
A = 11 + 8 × 0 − 2 B = 120 ÷ (4 + 4 × 5)
18) O quociente A÷B entre as expressões A = 11 + 8 × 0 − 2 e 
B = 120 ÷ (4 + 4 × 5) vale:
 a) − 2 b) 3 c) 1,8 d) − 3 e) 1,08
 
Temos que calcular A÷B. Sendo assim, vamos encontrar o valor de A e o de B.
A = 11 − 2
A = 9
B = 120 ÷ (4 + 20)
B = 120 ÷ 24
B = 5
Encontramos que A = 9 e B = 5, vamos fazer 9÷5 para encontrar a resposta
59
1, 85−
4 0
4 0−
0
63
Portando, A÷B = 9÷5 = 1,8
Gabarito: letra c
@matematica.do.zero
19) Se a = , b = , c = e d = ,então:
 a) c maior que