Sequencia e Series

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SEQUÊNCIAS & SÉRIES 
CLÁUDIA BATISTELA / LUIZ C. RENZ / MARIA DE LOURDES MILANEZ 
1 
 
PUCRS - Faculdade de Matemática 
Cálculo Diferencial e Integral II 
 
 
 
SEQUÊNCIAS 
 
Sequência numérica é uma sucessão infinita de números determinados por uma lei ou função. 
Exemplo: 
• A sequência dos números pares: 0, 2, 4, 6, …?, 2n, …? 
• A sequência dos números ímpares: 1, 3, 5, 7, …? , 2n+1, …? 
 
Cada termo de uma sequência é, em geral, representado por uma variável indexada. Dessa forma 
denota-se uma sequência arbitrária da seguinte maneira: 
LL ,a,,a,a,a n321 
Onde: 







 termoésimo-n o éa
 termosegundo o éa
 termoprimeiro o éa
n
2
1
M
 
*** A sequência é ordenada !! 
 
Quando se conhece o termo geral de uma sequência pode-se representá-la escrevendo o mesmo 
entre chaves ou entre parênteses : { } 0nna ≥ ou ( ) 0nna ≥ . 
 
Exemplos: 
Sequência dos números pares: { } 0n2n ≥ 
Sequência dos números ímpares: { } 0n12n ≥+ . 
 
Observação: 
A variação do n não começa obrigatoriamente em zero, pode ser em 1 ou em qualquer outro 
número inteiro positivo. Muitas vezes encontra-se a sequência representada por { }na ou ( )na , 
nesse caso convenciona-se que n começa em 1. 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício de aula 
Represente por extenso os 5 primeiros termos das seguintes sequências: 
⒜? 
1n1n
n
≥





+
 
⒜? 
0n
n2
1
≥





 
⒜? { } 0n!n ≥ 
 
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Também se pode definir uma sequência como uma função cujo domínio é o conjunto dos 
números inteiros positivos: 
f(n)n
lRlN:f *
a
→
 
Onde: 
( )
( )
( )






⇒=
=
=
seqüênciadagenéricotermonfa
2fa
1fa
n
2
1
M
 
 
 Encarando a sequência com uma função podemos considerar o seu gráfico no plano 
cartesiano e como o domínio da função é o conjunto *lN , os pontos do gráfico serão 
( ) ( ) ( )n21 a,n,,a,2,a,1 L . 
 
 As vezes usamos o gráfico cartesiano de uma sequência para avaliar o comportamento do 
termo na quando n cresce indefinidamente. 
 
Representação gráfica de sequências 
Exemplo: 
Considerando a sequência .
n
11






+ , temos: 
n
11a n += ou 
n
11f(n) += 
M
4
5
a
3
4
a
2
3
a
2a
4
3
2
1
=
=
=
=
 
L,
4
5
,
3
4
,
2
3
,2
 
Ao se estudar uma sequência interessa saber como ela evolui, ou seja, como ela se comporta 
à medida que os seus termos vão sendo gerados. Analisando o gráfico da sequência pode-se 
avaliar o comportamento do termo na quando n cresce indefinidamente. Na sequência acima, à 
medida que n aumenta o termo na se aproxima de 1. 
 
 
 
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Associação com funções de variável real 
Pode-se entender uma sequência numérica como uma seleção de pontos de uma função de 
variável real. 
Exemplo: 
n
11a n += 
 
x
11f(x) += 
 
 
Teorema 
 
Seja uma função f definida em um intervalo [ )∞+;c , onde IRc ∈ , e a sequência ( )na tal que 
naf(n) = para cada inteiro positivo. 
• Se Lf(x)lim
x
=
∞+→
 então Lalim n
n
=
∞+→
. 
• Se ∞+=
∞+→
f(x)lim
x
 (ou )∞− então ∞+=
∞+→
n
n
alim
 (ou )∞− 
 
 
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Isto significa que o limite de uma sequência pode ser obtido a partir do limite da função de 
variável real correspondente. Assim sendo, pode-se usar a Regra de L´Hôpital para a verificação 
de limites com indeterminações 
0
0
 ou 
∞
∞
 . 
 
Exemplo: 
Seja a sequência .
n
11






+ 
Temos que: 
101
x
1lim1lim
x
11lim
xxx
=+=+=





+
+∞→+∞→+∞→
 
 
ou, usando a Regra de L´Hôpital: 
11lim
1
01lim
x
1xlim
x
11lim
xxxx
==
+
=
+
=





+
+∞→+∞→+∞→+∞→
 
Logo 1
n
11lim
n
=





+
∞+→
 
 
Se uma sequência ( )na é tal que Lalim n
n
=
∞+→
, diz-se que a sequência é convergente ( ou 
converge para L ). Quando não existe n
n
alim
∞+→
, diz-se que a sequência é divergente ( ou 
diverge ). 
 
Teorema 
Seja a sequência ( )na . 
Se 0alim n
n
=
∞→
então 0alim n
n
=
∞→
 
 
Exemplo: 
Seja a sequência .
3
11)(
0n
n
n
≥






− 
Considerando o valor absoluto de cada termo, obtém-se a sequência: 
LL ,
3
1
,,
81
1
,
27
1
,
9
1
,
3
1
,1
n
 
Temos que: 
0
3
1lim
3
1lim
n
nnn
=





=





∞+→∞+→
. 
Logo, a sequência 





n3
1
 converge para 0. 
Assim, pelo teorema anterior conclui-se que 
0
3
11)(lim
n
n
x
=



−
∞+→
 
e que a sequência dada é convergente. 
 
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✔?✔?✔?✔? Exercícios 
⒜? Verifique a convergência das sequências: 
 
⒜? 
1nn
1
≥





 Maple: > limit(1/sqrt(n), n=infinity) 0 
�
�
�
�
⒜? 






+
+
2
2
2n9
6n5
 
 
 
 
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6 
 
⒜? { } 0 n n2 ≥ Maple: > limit(2^n, n=infinity); ∞ 
 
⒜? 
0n
ne
n
≥





 
 
⒜? 






++
−
+
54nn
3n1)( 21n 
 
 
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7 
⒜? ( )5 
 
⒜? ( )






+1
3
1-
n
n
 
 
⒜? ( ){ }3n1- n 
 
 
 
 
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⒜? Represente graficamente no mínimo 6 termos da sequência ( ){ } 0nnπcos ≥ e conclua a 
respeito de sua convergência ou divergência. Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sequências definidas recursivamente 
Algumas sequências não surgem de uma fórmula para o termo geral, mas de fórmulas que 
especificam como gerar cada termo em função de seus anteriores. Tais sequências dizemos são 
definidas recursivamente e as fórmulas que as definem são chamadas de fórmulas de 
recursão. 
 
 
Exemplo: 
A sequência 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... é chamada sequência de Fibonacci. 
Qual sua fórmula recursiva? 
 
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SÉRIES 
 
Motivação 
No século V a.C. o filósofo grego Zenon propôs o seguinte problema: “Uma pessoa percorre um 
trajeto de um quilômetro em etapas, sendo que em cada etapa ela percorre a metade da distância 
restante. Quando termina sua jornada?” Essa questão constituía um paradoxo, pois era 
impossível conceber que se realizasse um número infinito de etapas em um tempo finito, de 
modo que ir de um ponto a outro seria impossível! 
 
 
 
 
No entanto, a subdivisão infinita de [0;1] proposta por Zenon trouxe à tona a evidência de 
que 
1
8
1
4
1
2
1
=+++ L 
 
ou seja, de que um processo infinito de acumulação poderia resultar em um resultado finito. Este 
é principal objeto do estudo das séries. 
 
Cálculo via Maple: 
Compare os resultados obtidos via Maple considerando-se diferentes quantidades de etapas: 
> restart: 
sum(1./2^n, n=1..3); 0.8750000000 
 
> restart: 
sum(1./2^n, n=1..10); 0.9990234375
 
 
> restart: 
sum(1./2^n, n=1..100); 1.000000000 
 
 
Observação 
Uma soma interminável de termos pode ou não resultar num número finito. 
 
Exemplos: 
⒜? L+++++ 11111 resultado tende ao infinito 
⒜? 00000 =++++ L 
⒜? ???111111 =+−+−+− L 
⒜? 
3
10003,0003,003,03,0 =++++ L 
 
0 1 1/2 3/4 ... 
 
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Definição e Notação 
Se { }na é uma sequência então a soma 1 2 3 na +a +a +...+a +... é chamada de série infinita ou 
simplesmente série. 
+
n 1 2 3 n
n=1
a = a +a + a +...+a +...
∞
∑ 
Observação 
Quando se quer representar uma série genericamente pode-se usar na∑ . 
 
Exemplos: 
⒜? L++++=∑∞
=
81
1
27
1
9
1
3
1
3
1
1n
n
 ⒜? L+++=
+
∑
∞
=
4
3
3
2
2
1
1n
n
1n
 
 
 
Séries de termos positivos são aquelas cujos termos são todos positivos ( )n0,a n ∀> . 
Exemplos:Observe que dentre as séries abaixo apenas a primeira é uma série de termos positivos. 
⒜? + 
n=1
1
n.(n+1)
∞
∑ ⒜? n+
n=1
(-1)
n
∞
∑ ⒜? 
n+
n=1
1+(-1)
n
∞
∑ 
 
CUIDADO! 
+ 
n=1
sen(n)
n
∞
∑ 
NÃO é uma série de termos positivos!!! 
 
 
Séries de termos alternados são aquelas cujos termos são alternadamente positivos e 
negativos 
n +1
n 1 2 3 4(-1) a a -a +a -a +......=∑ ou n n 1 2 3 4(-1) a -a +a -a +a -......=∑ 
Exemplos: 
+
n
n=0
(-1)
∞
∑ 
n+1+
n=1
(-1)
n
∞
∑ 
+ +
n
n =1 n =1
cos(nπ)cos(nπ)
ou (-1)
n n
∞ ∞
∑ ∑ 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 1 
Encontre a soma dos 5 primeiros termos de cada série: 
 
⒜? +
n=1
n
∞
∑ ⒜? + 2
n=1
1
n
∞
∑ ⒜? + n
n=1
1
2
∞
∑ 
⒜? n+
n=1
(-1)
n
∞
∑ ⒜? 
+
n
n=1
3
10
∞
∑ ⒜? 
n+
10
n=1
(-2)
n
∞
∑ 
 
 
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Somas parciais de uma série 
Dada a série 
+
n 1 2 3 n
n=1
a = a +a + a +...+a +...
∞
∑ , pode-se construir uma nova sequência { } 1nnS ≥ tal 
que: 
1 1S = a 
2 1 2S = a +a 
3 1 2 3S = a + a +a 
 M 
n 1 2 3 nS = a +a +a +...+ a 
 
Essas somas parciais formam uma nova sequência { }nS chamada sequência das somas 
parciais da série. 
 
Se a sequência { }nS converge para L, isto é, LSlim n
n
=
∞+→
, então dizemos que a série na∑ 
converge e que L é a sua soma. 
 
 
Se não existe n
n +
lim S
→ ∞
 então a série na∑ diverge, isto é, não tem soma. 
 
Observação: n
n +
lim S
→ ∞
 = na∑ 
 
Exemplo: 
 Seja a série 
n=1
1
n (n+1)
∞
∑ ( Série telescópica ) 
 
⒜? Vamos encontrar 1 2 3 4S ,S ,S ,S e nS . 
 
 
 
⒜? Vamos mostrar que a série converge e encontrar sua soma. 
 
 
 
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Séries geométricas 
Uma série geométrica é a soma de uma sequência geométrica ou progressão geométrica. Uma 
série geométrica é uma série da forma 
2 3 n-1 n-1
n=1
a+ar+ar +ar +...+ar +...= ar
∞
∑ 
onde a e r são constantes e a 0≠ 
 
A n-ésima soma parcial da série geométrica é 
n
2 3 n-1
n
a (1- r )S = a+ar+ar +ar +...+ar = , r 1
1-r
≠ 
 
Se r <1 , n
n +
lim r = 0
→ ∞
 e se r 1≥ , n
n +
lim r
→ ∞
não existe. 
Logo: 
A série geométrica converge se | r | < 1 e sua soma é S = a
1- r
 
A série geométrica diverge se | r | ≥ 1 
 
Exemplo: 
Vamos mostrar que a série 
n
30,3+0,03+0,003+0,0003+...+ +...
10
 
converge e vamos determinar sua soma. 
A série dada é uma série geométrica com a = 0,3 e r = 0,1. Como r = 0,1 <1 , pelo teorema 
anterior concluímos que a série converge e tem por soma 
 
3
1
9
3
0,9
0,3
0,11
0,3
r1
aS ===
−
=
−
=
 
Assim, 
3
1
10
30,00030,0030,030,3
n
=++++++ LL
 
Que justifica a notação periódica 
L33333,0
3
1
=
 
** As séries geométricas permitem expressar qualquer dízima periódica através de uma fração. 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 2 
Determine quais séries são geométricas. 
⒜? 
n
n=1
1
2
∞
∑ ⒜? ( )∑∞
=
−
0n
n1 ⒜? 
n
n=1
3
10
∞
∑ 
⒜? 
n=1
1
n.(n+1)
∞
∑ ⒜? 
n=1
n
∞
∑ ⒜? n-1
n=1
5
-
4
∞  
 
 
∑ 
 
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13 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 3 
Verifique se cada uma das séries abaixo são convergentes ou divergentes e, em caso de 
convergência, determine a sua soma ( ou valor numérico). 
 
⒜? L+++++=∑
∞
=
− 432
1n
1n 3
2
3
2
3
2
3
22
3
2
 ⒜? ∑
∞
=0n
n3 
1
 
⒜? 
n
2n
n=1
(-1) 1 1 1
= - + - +...
9 81 7293
∞
∑ ⒜? 
n-1
1 1 1 -11 - + - +....+ +...
77 7 7 7
 
 
 
 
⒜? n-11+2+4+8+16+...+2 +... ⒜? 4 + 4 + 4 + 4 +... 
⒜? n-1n=1
3 8
+
n (n+1)4
∞  
 
 
∑ ⒜? n
n=1
(-1)
∞
∑ 
⒜? n+1
n -1
n=1
10(-1)
9
∞
∑ ⒜? 
n+2
n=1
2
-
3
∞  
 
 
∑ 
⒜? n -1
n
n=1
(-3)
4
∞
∑ 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 4 
Determine a série geométrica cuja soma é 0,484848484848484...: 
✔?✔?✔?✔? Exercício 5 
Determine o número racional representado pela dízima periódica: 
⒜? 0,152152152⋯? ⒜? 7,222⋯? ⒜? 12,0444⋯? 
 
 
Propriedades das séries 
❶? Se 
n
n=1
a
∞
∑ converge e “c” é um número qualquer então n
n=1
ca
∞
∑ também converge e vale 
n
n=1
ca
∞
∑ = n
n=1
c a
∞
∑ . 
❶? Se 
n
n=1
a
∞
∑ diverge e “c” é um número qualquer então n
n=1
ca
∞
∑ também diverge . 
❶? Se 
n
n=1
a
∞
∑ e n
n=1
b
∞
∑ convergem então n n
n=1
( a ± b )
∞
∑ também converge e vale 
n n
n=1
( a ± b )
∞
∑ = n
n=1
a
∞
∑ ± n
n=1
b
∞
∑ . 
 
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❶? Se 
n
n=1
a
∞
∑ converge e n
n=1
b
∞
∑ diverge então n n
n=1
( a ± b )
∞
∑ diverge. 
 
Observação 
Se 
n
n=1
a
∞
∑ e n
n=1
b
∞
∑ são ambas divergentes então n n
n=1
( a ± b )
∞
∑ pode convergir ou divergir. 
 
 
Como, na maioria dos casos, fica difícil ou praticamente impossível encontrar o 
valor correspondente à soma da série, empregaremos testes para estabelecer apenas a 
convergência ou a divergência da mesma. Isto é suficiente na maioria das aplicações 
porque, sabendo que a soma existe, podemos aproximar o seu valor com um grau 
arbitrário de precisão, bastando somar um número suficiente de termos da série. 
 
 
TESTES 
 
 
Teste da divergência 
 
Se 
n
n +
lim a 0
→ ∞
≠ então a série n
n=1
a
∞
∑ diverge 
 
OBS: No caso de termos 
n
n +
lim a = 0
→ ∞
 nada podemos afirmar sobre a convergência da série, 
ou seja, 
a condição 
n
n +
lim a = 0
→ ∞
 não é suficiente para garantir a convergência da série 
n
n=1
a
∞
∑ 
 
 
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Exemplos: 
SÉRIE TESTE CONCLUSÃO 
n=1
4n
5n-2.
∞
∑ 
n +
4n 4lim = 0
5n-2 5→ ∞
≠ A série é divergente 
2
n=1
1
n
∞
∑ 2n +
1lim
n→ ∞
= 0 Nada se afirma 
n
n=1
e
n
∞
∑ 0
n
elim
n
n
≠
+∞→
 A série é divergente 
n=1
1
n
∞
∑ 
n +
1lim
n→ ∞
= 0 Nada se afirma 
 
Existem séries 
n
n=1
a
∞
∑ divergentes, apesar de possuírem n
n +
lim a 0
→ ∞
= . 
Exemplo: 
n +
1lim 0
n→ ∞
= e no entanto a série 
n=1
1
n
∞
∑ , chamada série harmônica, é divergente. 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 6 
Use o teste da divergência para mostrar que as séries dadas abaixo divergem: 
⒜? ∑
∞
=1n
1 ⒜? 
n=1
11+
n
∞  
 
 
∑ ⒜? 
n=1
1
n sen
n
∞   
⋅   
  
∑ 
 
 
 
Séries – p ( ou p-séries ou séries hiper-harmônicas ) 
Uma série do tipo 
p p p p p p
n=1
1 1 1 1 1 1
= + + + +...+ +...
n 1 2 3 4 n
∞
∑ 
 
com p > 0 é denominada série – p. 
 
Teorema 
 
A série p é convergente se p >1 e é divergente se 0< p 1≤ 
 
∗ Se p =1 então a série-p é a série harmônica 
n=1
1 1 1 1
= 1+ + + +...
n 2 3 4
∞
∑ ( série divergente ) 
 
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✔?✔?✔?✔? Exercício 7 
Verifique se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes. 
 
⒜? ∑∞
=1n
5 3n
1
 ⒜? ∑∞
=1n
en
1
 
⒜? 
n=1
1
n n
∞
∑ ⒜? 2
n=1
1
n
∞
∑ � ⒜? 
n=1
1
n
∞
∑ �
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 8 
Mostre que a série 
n-1
3 2
n=1
1 1
+
6n
∞   
  
   
∑ é divergente. 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 9 
Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamente 
metade da distância após cada queda. Use uma série geométrica para aproximar o percurso total 
feito pela bola até o repouso completo. 
 
Teste da integral 
O teorema conhecido como teste da integral serve para estudar a convergência ou divergência de 
uma série de termos positivos, através do cálculo da integral imprópria de uma função, cujas 
imagens para valores inteiros não negativos, correspondem aos termos da série. 
 
Suponha que f seja uma função contínua, positiva e decrescente no intervalo [ )∞+;1 
e seja ( )nfa n = . 
Se 
( )
( )





∞=
=
∫ ∑∫ ∑
∞+ ∞
=
+∞ ∞
=
1 1n
n
1 1n
n
divergenteéa então ,divergente édx xf
econvergentéa então e,convergent é Ldx xf
 
 
OBS: Em geral, 
( )∑ ∫
∞
=
∞
≠
1n 1
n dxxfa
 
 
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17 
✔?✔?✔?✔? Exercício 10 
Use o teste da integral para verificar se as séries dadas abaixo são convergentes ou divergentes: 
 
⒜? 2+ - n
n=1
n.e
∞
∑ ⒜? 
+ 
2
n=1
2n
1+n
∞
∑ ⒜? + 3
n=1
1
n
∞
∑ ⒜? 
+
n=1
1
n
∞
∑ 
⒜? + 2
n=1
1
n
∞
∑ ⒜? 
+
n=1
1
n
∞
∑ ⒜? 
+
- n
n=1
e
∞
∑ ⒜? ( )∑
+∞
=2n nlnn
1
 
 
 
Teste de Leibniz (Teste da Série Alternada) 
 
Uma série alternada é convergente se satisfizer as seguintes condições: 
• 1nn aa +≥ para todo n >1 
e 
• 
n +
lim = 0na
→ ∞
 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 11 
Use o teste da série alternada para determinar a convergência ou a divergência das seguintes 
séries: 
 
⒜? n
n=1
(-1)
n
∞
∑ ⒜? 
n
n=1
(-1) .(n+3)
n.(n+1)
∞
∑ ⒜? n+1
n=1
(-1)
∞
∑ 
⒜? n-1
n=1
2n(-1)
4n-3
∞
∑ ⒜? 2n
n=1
n(-1)
3n(n+1)
∞
∑ ⒜? n-1 2
n=1
2n(-1)
4n -3
∞
∑ 
 
 
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18 
 
Teste da Comparação dos Limites 
 
Seja na∑ uma série de termos não negativos e nb∑ uma série de termos positivos. 
Se n
n +
n
alim = L>0
b→ ∞
, então ambas as séries convergem ou ambas divergem. 
Se n
n +
n
alim = 0
b→ ∞
 e nb∑ converge, então na∑ converge. 
Se n
n +
n
alim =
b→ ∞
+ ∞ e nb∑ diverge, então na∑ diverge. 
 
✔?✔?✔?✔? Exercício 12 
Use o teste da comparação dos limites para determinar a convergência ou a divergência das 
seguintes séries. 
 
⒜? ∑∞
=
+1 31
1
n
n
 ⒜? ∑∞
=
+1n
2 2n
1
 ⒜? ∑∞
=
+1n
2 1n
n
 
⒜? ∑∞
=
++1n
24 2nn
1
 ⒜? ∑∞
= −2 1n
2
n
 ⒜? ∑∞
=
+
1n
3n
1n
 
 
 
 
Teste da Razão 
 
Seja ∑ na uma série de termos não nulos e seja L
a
alim
n
1n
n
=
+
∞→
 ( ou ∞ ). 
• Se 1L < então a série é convergente . 
• Se 1L > ou ∞=+
∞→
n
1n
n a
alim então a série é divergente 
• Se 1L = nada se conclui. 
 
 
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19 
✔?✔?✔?✔? Exercício 13 
Use o teste da razão para determinar a convergência ou a divergência das seguintes séries: 
 
⒜? ∑+∞
=1k !k
1
 ⒜? ∑+∞
=1k
k2
k
 ⒜? ∑∞
=1n
2
n
n
3
 
⒜? ∑+∞
=3k
k4
(2.k)!
 ⒜? ∑+∞
=
−1k 12.k
1
 
⒜? ∑∞
=1n
2n
1
 
⒜? ∑∞
=
+
−
1n
2
1n
n
n!1)( ⒜? ∑∞
=1n
n2
n!
 ⒜? ∑∞
=
−
1n
n
n
n!
31)( 
 
Observação importante 
 
O teste da razão é mais adequado quando an contém fatorial, potências e produtos, não funciona 
em série-p. 
 
 
Séries de Potências 
 
Usamos séries de potências para representar algumas das mais importantes funções que 
aparecem na matemática, na física e na química. 
 
Série de potências em x é uma série da forma 
∑
∞
=
+++++=
0n
n
n
2
210
n
n xbxbxbbxb LL 
onde 
nb é um número real 
x é uma variável 
Exemplos: 
⒜? ∑∞
=
++++++=
0n
n32n
...x...xxx1x 
Neste caso, 1bbbbb n3210 ====== LL 
 
⒜? ( ) ( ) ...!2n
x1)(...
6!
x
4!
x
2!
x1
!2n
x1)(
2n
n
6
0n
422n
n +−++−+−=−∑
∞
=
 
Neste caso, 
720
1b;
24
1b;
2
1b;1b 3210 −==−== 
 
 
Série de potências de potências em x-c é uma série da forma 
( ) ( ) ( ) ( )∑
∞
=
+−++−+−+=−
0n
n
n
2
210
n
n cxbcxbcxbbcxb LL 
onde 
 
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20 
nb é um número real 
x é uma variável 
c é uma constante ( centro da série ) 
Exemplo: 
n
2
n=1
(x-5)
n
∞
∑ 
**Note que: 
⒜? ao escrevermos o termo correspondente a n = 0 adotamos por convenção que 0(x-c) =1 
mesmo quando x = c . 
 
⒜? quando x = c todos os termos são iguais a zero para n >1 , assim a série sempre converge 
quando x = c e ( )∑
∞
=
=−
0n
0
n
n bcxb 
 
 
Intervalo de Convergência 
Uma série de potências pode ser encarada como uma função na variável x. Segundo essa 
interpretação, o conjunto de valores de x para os quais a série é convergente representa o 
domínio dessa função. Esse conjunto é também denominado intervalo de convergência. 
Teorema: 
O raio de convergência de uma série de potências da forma ( )∑
∞
=0n
n
n c-xb é dado por 
1n
n
n b
blimR
+
∞→
= 
A partir disto podemos ter apenas três possibilidades: 
❶? 0R = , e neste caso a série converge apenas para x = c 
Exemplo: ( )
n
0n
1x!n∑
∞
=
− 
Sendo !nb n = e ( )!1nb 1n +=+ então ( ) 01n
1lim
!1n
!nlimR
nn
=
+
=
+
=
∞→∞→
 
Logo, a série converge apenas para ( )série da centro 1x = 
ou 
❶? +∞=R , e neste caso a série converge para todos os valores reais de x 
Exemplo: ∑
∞
=0n
n
!n
x
 
Sendo 
!n
1b n = e ( )!1n
1b 1n +
=+ então 
( )
( ) ( ) ∞=+=+=
+
=
∞→∞→∞→
1nlim
!n
!1nlim
!
!1n
1
!n
1
limR
nnn
 
Logo, a série converge em ( ) IRIou,I =∞+∞−= 
ou 
 
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21 
❶? existe um número real positivo “R” de modo que a série converge pelo menos para todo 
( )Rc,rcx +−∈ . A convergência dos extremos do intervalo deve ser testada individualmente 
com os procedimentos vistos para séries numéricas. 
Exemplo: ∑
∞
=
+0n
n
4n
x
 
Sendo 
4n
1b n +
= e 
5n
1b 1n +
=+ então 11lim4n
5nlim
!
5n
1
4n
1
limR
nnn
==
+
+
=
+
+
=
∞→∞→∞→
 
Logo, a série converge, pelo menos, em ( )1,1I −= 
Teste nos extremos do intervalo: 
Para 1x −= : 
( )
L+−+−=
+
∑
∞
=
7
1
6
1
5
1
4
1
4n
1-
0n
n
 Série Alternada Convergente 
 
Para 1x = : 
( )
L++++=
+
∑
∞
=
7
1
6
1
5
1
4
1
4n
1
0n
n
 Série Divergente 
Sendo assim, a série ∑
∞
=
+0n
n
4n
x
 é, de fato, convergente no intervalo ( ]11,I −= 
 
Exercício 14 
Encontre o intervalo de convergência de cada uma das séries dadas abaixo: 
⒜? n
n=1
(x+1)
n
∞
∑ ⒜? 
n
n
n=0
(x-3)(-1)
n+1
∞
∑ ⒜? 
n
n
n=1
n x
5
∞
∑ 
⒜? n
n=0
n!x
∞
∑ ⒜? n
n=1
(x-3)
n
∞
∑ ⒜? 
n 2n
2n 2
n=0
(-1) x
2 (n!)
∞
∑ 
⒜? n
n+1
n=0
n(x+2)
3
∞
∑ 
 
 
 
Representação de Funções por Séries de Potências 
Uma série de potências pode representar uma função quando for convergente. 
Exemplo: 
( )
x1
1
xf
−
= pode ser representada por ( ) LL ++++++= n32 xxxx1xf 
desde que 1x < 
 
pois LL ++++++ n32 xxxx1 é uma série geométrica e se 1x < então esta série é 
convergente. Neste caso, a soma de seus termos é dada por 
x1
1S
−
= . 
 
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22 
Logo, 
( ) ∑
∞
=
=
−
=
0n
n
x
x1
1
xf se 1x < 
 
Exercício 15 
Considerando o resultado acima, obtenha uma representação em série de potências para: 
⒜? ( )
x1
1
xg1 +
= ⒜? ( )
x1
1
xg 2
−
−= ⒜? ( ) 23
x1
1
xg
−
= ⒜? ( )
x1
x
xg
3
4
−
= 
 
 
A questão que permanece é “como associar uma função a uma série” ? 
Trabalhos notáveis realizados no sentido da associação de funções e séries foram desenvolvidos 
pelos matemáticos Colin Maclaurin (1698-1746) e Brook Taylor (1685-1731). 
 
 
Série e Polinômio de Maclaurin 
A idéia proposta por Maclaurin era supor que uma função poderia ser escrita na forma de uma 
série de potências, ou seja, 
2 n
0 1 2 nf(x) = a +a .x+a .x +...+a .x +... 
 
restando determinar os coeficientes an adequadamente. Substituindo x por 0 tem-se: 
2 n
0 1 2 n 0f(0) = a +a .0+a .0 +...+a .0 +...= a 
 
Influenciado pelos trabalhos de Newton sobre o cálculo infinitesimal, Maclaurin observou que, 
nas condições enunciadas, 
 
2 3 4 n
0 1 2 3 4 nf(x)=a +a .x+a .x +a .x +a .x +...+a .x +... ⇒ 0f(0) = a 
2 3 n-1
1 2 3 4 nf '(x)= a +2.a .x+3.a .x +4.a .x +...+n.a .x +... ⇒ 1f '(0) = 1.a 
2 n-2
2 3 4 nf ''(x)= 2.a +3.2.a .x+4.3.a .x +...+n.(n-1).a .x +... ⇒ 2f ''(0) =2.1.a 
n-3
3 4 nf '''(x)= 3.2.a +4.3.2.a .x+...+n.(n-1).(n-2).a .x +...⇒ 3f '''(0) =3.2.1.a 
 M 
 
Genericamente: 
(n)
nf (0) = n!.a 
ou ainda: 
 
 
(n)
n
f (0)
a = 
n!
 , se n ≥ 1 
 
A forma geral da Série de Maclaurin é, então, dada por 
 
(n)
2 nf (0) f (0) f (0)f(x) = f(0)+ x+ x +...+ x +...
1! 2! n!
′ ′′
 
0a = f(0)
 
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23 
ou 
(n)
n
n=1
f (0)f(x) = f(0)+ x
n!
∞
∑ 
 
Observe que para ser possível a expansão em Série de Maclaurin: 
 
� a função tem de estar definida em x = 0; 
 
� a série deve ser convergente. 
 
Exemplo: 
Sendo ( ) ( )2xcosxf = , então ( ) 10f = 
e 
( ) ( )2x2senxf ' −= ( ) 00f ' =⇒ 
( ) ( )2xcos4xf '' −= ( ) 40f '' −=⇒ 
( ) ( )2x8senxf ''' = ( ) 00f ''' =⇒ 
( ) ( )2xcos16xf iv = ( ) 160f iv =⇒ 
( ) ( )2xsen32xf v −= ( ) 00f v =⇒ 
( ) ( )2xcos64xf vi −= ( ) 640f vi −=⇒ 
 
Escrevendo-se a série de Maclaurin, vem: 
 
( )
( ) ( )
( )∑
∞
=
−
=
+−+−=
+−+++−+=
0n
2nn
642
65432
!2n
2x1
!6
64x
!4
16x
!2
4x1
!6
64x
!5
0x
!4
16x
!3
0x
!2
4x
!1
x01xf
L
L
 
 
Exercício 16 
Obtenha a série de Maclaurin para as funções: 
⒜? xf(x) = e ⒜? f(x) = sen(x) ⒜? 1f(x) = 1-x 
 
 
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24 
Série e Polinômio de Taylor 
Taylor posteriormente generalizou a idéia proposta por Maclaurin, observando que esse processo 
também era válido para uma expansão em um centro c genérico: 
 
A forma geral da Série de Taylor com centro c é dada por 
(n)
2 nf (´c) f´´ (c) f (c)f(x) = f(c)+ .(x-c)+ .(x-c) +...+ .(x-c) +...
1! 2! n!
 
ou 
( )
(n)
n
n=1
f (c)f(x) = f(c)+ . x-c
n!
∞
∑ 
 
Observe que para ser possível a expansão em Série de Taylor: 
 
� a função tem de estar definida em x = c; 
� a série deve ser convergente. 
 
 
Observação 
Ao polinômio gerado pelo truncamento da Série de Taylor no termo de grau n dá-se o nome de 
polinômio aproximador de Taylor de grau n: 
 
(n)
2 n
n
f´(c) f´´ (c) f (c)p (x) = f(c)+ (x-c)+ (x-c) +...+ (x-c)
1! 2! n!
 
 
Observe ainda que: 
 
� O polinômio aproximador de grau 1 é a reta tangente à função. 
 
� A Série de Maclaurin é a Série de Taylor com centro c = 0. 
 
Exemplo 
Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados: 
 
⒜? f(x) = sen(x) , c = π
2
 ⒜? 1f(x) = 
1-x
 , c = 3 ⒜? 1f(x) = 
x
 , c = 1 
 
Exercício 17 
Obtenha a série de Taylor para as funções com os centros indicados: 
 
⒜? f(x) = ln(x+1) , c = 0 ⒜? f(x) = lnx , c = 1 ⒜? -2xf(x) = e , c = 0 
⒜? f(x) = cos(x) , c = π ⒜? f(x) = sen(2x) , c = π ⒜? 1f(x) =
x-1
 , c = 0 
 
 
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25 
Exercício 18 
Aproxime a função ( ) x2exf = por um polinômio de Maclaurin de grau 3. Avalie ( )0,5f 
através deste resultado e compare com o valor obtido via calculadora para ( ) ee 0,5 2 =× 
 
Exercício 19 
Expresse e calcule as integrais indefinidas como séries de potências centradas em zero. 
⒜? ( ) dx3xsen∫ , considerando a série como um polinômio de grau 7 
⒜? dxe 2x∫ − , considerando a série como um polinômio de grau 6 
 
Exercício 20 
Aproxime as integrais definidas como as mesmas séries de potências centradas em zero 
determinadas no exercício 19. 
⒜? ( )∫
1
0
dx3xsen , considerando a série como um polinômio de grau 7 
⒜? dxe
1
0
x
2
∫
−
, considerando a série como um polinômio de grau 6 
 
Respostas 
Exercício 1 
⒜? 15 ⒜? 1,463611... ⒜? 0,96875 
⒜? -0,783333... ⒜? 0,33333 ⒜? -1,998079... 
 
Exercício 2 
(a) , (b) , (c) e (f) 
 
Exercício 3 
⒜? C ; S = 3 ⒜? C ; S = 32 ⒜? C ; S = 
1
- 
10
 
⒜? C ; S = 7
7 1+
 
⒜? D ⒜? D ⒜? (g) C ; S = 12 ⒜? D 
⒜? C ; S = 9 ⒜? C ; S = 8- 45 ⒜? C ; S = 
1
7
 
 
 
Exercício 4 
2n
n =1
48
10
∞
∑ 
 
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26 
 
Exercício 5 
⒜? 152/999 ⒜? 65/9 ⒜? 542/45 
 
Exercícios 6 
⒜? 
n +
lim 1 1 0
→ ∞
= ≠ 
⒜? 01
1
1lim
n
1nlim
n
11lim
nnn
≠=





=




 +
=





+
∞+→∞+→∞+→
 
⒜? 2
n + n + n + n +
2
1 1 1
sen cos
1 1n n nlim n sen = lim lim lim cos 1 0
1 1n n
n n
→ ∞ → ∞ → ∞ → ∞
        
⋅ −                    
⋅ = = = ≠    
          
−      
      
 
 
Exercício 7 
⒜? D ⒜? C ⒜? C ⒜? C ⒜? D 
 
Exercício 8 
2 33 2
n = 1 n = 1
1 1
 = 
nn
∞ ∞
∑ ∑ (Série-p) 
2 2
 p = = <1
3 3
 (Série divergente) 
 
n -1
2 3 4
n =1
1 1 1 1 11+ ...
6 6 6 6 6
∞  
= + + + + 
 
∑ (Série geométrica) 
1
a =1 ; r =
6
 ; 
1 1
r = = <1
6 6
 (Série convergente) 
** A série dada é a soma de uma série divergente com uma série convergente, logo ela é uma 
série divergente. 
 
Exercício 9 
30 m 
 
Exercício 10 
⒜? C� ⒜? D� ⒜? C� ⒜? D� ⒜? C� ⒜? D� ⒜? C� ⒜? D�
�
Exercício 11 
⒜? C� ⒜? C� ⒜? D� ⒜? D� ⒜? D� ⒜? C�
�
 
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27 
Exercício 12 
⒜? C ⒜? C ⒜? C ⒜? C ⒜? D ⒜? C 
 
Exercício 13 
⒜? C� ⒜? C� ⒜? D� ⒜? D� ⒜? D� ⒜? C� ⒜? D� ⒜? D� ⒜? C�
�
Exercício 14 
⒜? [ )-2;0 ⒜? (2; 4] ⒜? (-5; 5) ⒜? 0 ⒜? [2; 4) 
⒜? IR ⒜? (-5; 1) 
 
Exercício 15 
⒜? ( )∑∞
=
−
0n
n
x ⒜? n
0n
x∑
∞
=
− ⒜? 2n
0n
x)(∑
∞
=
 ⒜? n3
0n
x
+
∞
=
∑ 
 
Exercício 16 
⒜? ∑∞
=
=++++
0n
n32
!n
x
!3
x
!2
x
x1 L ⒜? ( )( )∑
∞
=
+
+
−
=+−+−
0n
12nn753
!12n
x1
!7
x
!5
x
!3
x
x L 
⒜? ∑∞
=
=++++
0n
n32
 xxxx1 L �
 
Exercício 17 
⒜? ∑∞
=
+
−
1n
n1n
n
x1)(
 ⒜? 
n
1)(x1)(
n
1n
1n −
−∑
∞
=
−
 ⒜? ∑∞
=
−
0n
nn
n!
x2)(
 
⒜? ∑∞
=
+
−−
0n
2n1n
(2n)!
π)(x1)(
 ⒜? ∑∞
=
++
+
−−
0n
n12n12n
1)!(2n
1)(π).(x(2)
 
⒜? n
0n
x∑
∞
=
− 
 
Exercício 18 
( ) ( )∑
+∞
=
=+++++==
0n
n
432x2
n!
2x
x
3
2
x
3
42x2x1exf L
 
Polinômio de grau 3: ( ) 32 x
3
42x2x1xP +++= 
( ) 2,66670,5P = e 2,7183e = 
 
Exercício 19 
⒜? ( ) Cx
4480
243
x
80
27
x
8
9
x
2
3dxx
560
243
x
40
81
x
2
93xdx3xsen 8642753 +−+−=





−+−= ∫∫ 
 
SEQUÊNCIAS & SÉRIES 
CLÁUDIA BATISTELA / LUIZ C. RENZ / MARIA DE LOURDES MILANEZ 
28 
⒜? 
42
x
10!
x
3
x
xdx
!3
x
!2
x
x1dxe
75364
2x2
−+−=





−+−= ∫∫
−
 
 
 
Exercício 20 
⒜? ( )
4480
2949
x
4480
243
x
80
27
x
8
9
x
2
3dx3xsen
1
0
8642
1
0
=−+−=∫ 
⒜? 35
26
42
x
10!
x
3
x
xdxe
1
0
7531
0
x
2
=−+−=∫
−