P1_est105_II2013_gabarito

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UFV- CCE - DET
EST 105 - 1a avaliação - 20 semestre de 2013 - 19/out/13
Nome: Matŕıcula:
Assinatura: . Favor apresentar documento com foto.
• São 4 questões em páginas numeradas de 1 a 7, total de 30 pontos, FAVOR CON-
FERIR ANTES DE INICIAR.
• Interpretar corretamente as questões é parte da avaliação, portanto não é permitido
questionamentos durante a prova !
• É OBRIGATÓRIO APRESENTAR OS CÁLCULOS organizadamente, para ter
direito à revisão.
• NOTA ZERO se mostrar a resposta correta e não apresentar os cálculos ou se
apresentar valores incorretos utilizados nos cálculos.
• ATENÇÃO: Sua nota será divulgada no sistema SAPIENS: informe a seguir em
qual turma está matriculado.
---------------------------------------------------
TURMA HORÁRIO SALA PROFESSOR
---------------------------------------------------
T1 2a 10-12 5a 08-10 PVB310 Ana Carolina
---------------------------------------------------
T2 2a 16-18 5a 14-16 PVB310 Ana Carolina
---------------------------------------------------
T3 2a 08-10 4a 10-12 PVB310 Moyses
---------------------------------------------------
T4 3a 10-12 6a 08-10 PVB310 Paulo Cecon
---------------------------------------------------
T5 3a 16-18 6a 14-16 PVB310 Policarpo
---------------------------------------------------
T7 4a 08-10 6a 10-12 PVB206 Moyses
---------------------------------------------------
T8 4a 18:30-20:10 6a 20:30-22:10 PVB306 Paulo Emiliano
---------------------------------------------------
T9 3a 14-16 5a 16-18 PVB310 CHOS (coordenador)
---------------------------------------------------
T10 4a 14-16 6a 16-18 PVB107 CHOS
---------------------------------------------------
T20 - Tutoria Especial - Janeo (monitor II)
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1
FORMULÁRIO
X =
n∑
i=1
Xi
n
ou X =
k∑
i=1
fiXi
k∑
i=1
fi
Md =
X(n
2 ) +X(n
2
+1)
2
ou Md = X(n+1
2 )
XH =
n
n∑
i=1
1
Xi
ou XH =
k∑
i=1
fi
k∑
i=1
fi
Xi
XG = n
√√√√ n∏
i=1
Xi ou XG =
k∑
i=1
fi
√√√√ k∏
i=1
Xfi
i
SQDX =
n∑
i=1
X2
i −
(
n∑
i=1
Xi
)2
n
ou SQDX =
k∑
i=1
fiX
2
i −
(
k∑
i=1
fiXi
)2
k∑
i=1
fi
S2
X =
SQDX
n− 1
ou S2
X =
SQDX
k∑
i=1
fi − 1
SX =
√
S2
X S(X) =
SX√
n
CVX(%) =
SX
X
100%
ρ̂XY = rXY =
SPDXY√
SQDX SQDY
SPDXY =
n∑
i=1
XiYi −
(
n∑
i=1
Xi
)(
n∑
i=1
Yi
)
n
Yi = β0 + β1Xi + εi ε̂i = Yi − Ŷi
Ŷi = β̂0 + β̂1Xi β̂1 =
SPDXY
SQDX
= rXY
SY
SX
β̂0 = Y − β̂1X
r2(%) =
SQregressão
SQtotal
100%
SQregressão = β̂2
1SQDX = β̂1SPDXY = (SPDXY )2/SQDX SQtotal = SQDY
2
1.(5 pontos) Dado que,
20∑
i=1
Xi = 100,
20∑
i=1
X2
i = 250,
10∑
j=1
Yj = 40,
10∑
j=1
Y 2
j = 65,
15∑
k=1
k 6=4,7
Zk = 12 e
15∑
k=1
k 6=4,7
Z2
k = 32,
Utilize as propriedades de somatório e calcule:
20∑
i=1
10∑
j=1
15∑
k=1
k 6=4,7
(Xi − Yj + Zk)2
Solução:
20∑
i=1
10∑
j=1
15∑
k=1
k 6=4,7
(Xi − Yj + Zk)2 =
20∑
i=1
10∑
j=1
15∑
k=1
k 6=4,7
(
X2
i − 2XiYj + Y 2
j + 2XiZk − 2YjZk + Z2
k
)
= 130
20∑
i=1
X2
i − 2× 13
20∑
i=1
Xi
10∑
j=1
Yj + 20× 13
10∑
j=1
Y 2
j +
+ 2× 10
20∑
i=1
Xi
15∑
k=1
k 6=4,7
Zk − 2× 20
10∑
j=1
Yj
15∑
k=1
k 6=4,7
Zk + 20× 10
15∑
k=1
k 6=4,7
Z2
k
= 32500− 104000 + 16900 + 24000− 19200 + 6400
= −43400
3
2.(5 pontos) Dado que,
n∑
k=1
k =
n(n+ 1)
2
,
n∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n+ 1)
6
e
n∑
k=1
k3 =
[
n(n+ 1)
2
]2
,
Utilize as propriedades de somatório e calcule:
30∑
k=1
(2k − 1)3
5
Solução: Sabemos que
(a− b)3 = (a− b)2 (a− b) =
(
a2 − 2ab+ b2
)
(a− b)
=
(
a2 − 2ab+ b2
)
(a− b) = a3 − 2a2b+ ab2 − a2b+ 2ab2 − b3
= a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3
Em nosso problema a = 2k e b = 1, assim
(2k − 1)3 = 8k3 − 12k2 + 6k − 1
30∑
i=1
(2k − 1)3
5
=
30∑
i=1
(8k3 − 12k2 + 6k − 1)
5
=
1
5
(
30∑
i=1
8k3 −
30∑
i=1
12k2 +
30∑
i=1
6k −
30∑
i=1
1
)
=
1
5
(
8
30∑
i=1
k3 − 12
30∑
i=1
k2 + 6
30∑
i=1
k − 30
)
=
1
5
(8× 216225− 12× 9455 + 6× 465− 30)
=
1619100
5
= 323820
4
3.(10 pontos) Duas amostras aleatórias de 20 Lobos Guará, obtidas em duas localidades
distintas (Serra do Caraça e Serra do Brigadeiro), foram examinadas por um grupo de
veterinários da UFV, com o intuito de se estimar a prevalência de um certo tipo de
parasita. Os resultados são apresentados na tabela a seguir,
número de Serra do Caraça Serra do Brigadeiro
parasitas 0 2 3 5 7 0 1 3 6 8
lobos 5 3 3 6 3 8 3 5 2 2
Pede-se:
a.(3 pontos) O número médio de parasitas por amostra.
Solução: Consideremos A : “Serra do Caraça” e B : “Serra do Brigadeiro”.
Para A temos que
5∑
i=1
Xi = 66 e
5∑
i=1
X2
i = 336.
Para B temos que
5∑
i=1
Xi = 46 e
5∑
i=1
X2
i = 248.
Desta forma as médias são: X̄A = 66
20
= 3, 3 e X̄B = 46
20
= 2, 3
b.(2 ponto) Qual das duas estimativas de média está associada a uma maior precisão?
Justifique.
Solução: Temos que
S (XA) =
√
1
20−1
(
336− (66)2
20
)
∼= 2, 4942 e S (XB) =
√
1
20−1
(
248− (46)2
20
)
∼= 2, 7357,
dáı S
(
X̄A
)
= S(XA)√
n
= 2,4942√
20
∼= 0, 5577 e S
(
X̄B
)
= S(XB)√
n
= 2,7357√
20
∼= 0, 6117.
Como S
(
X̄A
)