USF_EAD_Matemática_financeira_e_análise_de_investimentos_Completo (1)

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ALESSANDRO FERREIRA ALVES
MATEMÁTICA FINANCEIRA E 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
2023
MATEMÁTICA FINANCEIRA E 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Alessandro Ferreira Alves
PRESIDENTE 
Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM
DIRETOR GERAL 
Jorge Apóstolos Siarcos 
REITOR 
Frei Gilberto Gonçalves Garcia, OFM 
VICE-REITOR 
Frei Thiago Alexandre Hayakawa, OFM
PRÓ-REITOR DE ADMINISTRAÇÃO E PLANEJAMENTO 
Adriel de Moura Cabral 
PRÓ-REITOR DE ENSINO, PESQUISA E EXTENSÃO 
Dilnei Giseli Lorenzi 
COORDENADOR DO NÚCLEO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - NEAD 
Franklin Portela Correia
CENTRO DE INOVAÇÃO E SOLUÇÕES EDUCACIONAIS - CISE
Franklin Portela Correia
 REVISÃO ORTOGRÁFICA
Bárbara de Oliveira Araujo
DESIGNER INSTRUCIONAL 
Tatiana Russo
Patricia Sponhardi
PROJETO GRÁFICO
Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE
CAPA
Centro de Inovação e Soluções Educacionais - CISE
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© 2023 Universidade São Francisco
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CASA NOSSA SENHORA DA PAZ – AÇÃO SOCIAL FRANCISCANA, PROVÍNCIA 
FRANCISCANA DA IMACULADA CONCEIÇÃO DO BRASIL – 
ORDEM DOS FRADES MENORES
O AUTOR
ALESSANDRO FERREIRA ALVES
Doutor em Matemática Aplicada pela Faculdade de Engenharia Elétrica e Computa-
ção (FEEC) da UNICAMP-SP no departamento de Telemática. Mestre em Matemática 
Pura pelo Instituto de Matemática, Estatística e Computação (IMECC) da UNICAMP-
-SP. Licenciado em Matemática pela Universidade Federal de Uberlândia (UFU-MG). 
É coordenador do Curso de Licenciatura em Matemática e Licenciatura em Física do 
Centro Universitário do Sul de Minas Gerais (UNIS-MG) desde o segundo semestre 
de 2007. Atua como docente nas áreas de Matemática, Física, Estatística, Gestão 
e Computação em diversos cursos de graduação e pós-graduação na modalidade 
presencial e a distância. É membro do CONSELHO UNIVERSITÁRIO – CONSUN do 
Grupo UNIS-MG desde o ano de 2009. Além disso, é professor autor no desenvol-
vimento de materiais para a modalidade a distância, tanto de cursos de graduação 
como de pós-graduação. Tem experiência na modalidade de Educação a Distância 
(EAD) desde o ano de 2005. De outra forma, atua em projetos de consultoria na área 
de Finanças, Estatística Aplicada ao Mercado e ao Controle Estatístico de Processos 
(CEP), e como revisor da revista SODEBRAS desde o ano de 2017. Salienta-se ainda 
que tem experiência em programas de stricto sensu como professor de disciplinas e 
orientador de dissertações de mestrado. Atualmente é avaliador do INEP/MEC para 
cursos de graduação e pós-graduação nas áreas de Matemática e Física bem como é 
membro titular do stricto sensu do Grupo UNIS-MG.X
SUMÁRIO
UNIDADE 01: MATEMÁTICA FINANCEIRA: REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E 
TAXAS DE JUROS ...................................................................................................8
1. Interpretando os elementos básicos da Matemática Financeira .........................9
2. A importância da liquidez no âmbito da 
Matemática Financeira ............................................................................................10
3. Princípios básicos e células fundamentais da Matemática Financeira ...............12
4. Conhecendo o DiAgrama de Fluxo de Caixa (DFC) ...........................................13
5. Descrevendo os Regimes de Capitalização ........................................................17
6. Aplicações dos Regimes de Capitalização na Gestão Financeira ......................18
7. Descrição das capitalizações usadas na Matemática Financeira .......................19
8. A Matemática Financeira no foco da HP 12C ......................................................20
9. Descrição formal das primeiras funções da HP 12C ...........................................21
10. Implementando Algumas Funções Matemáticas Básicas na HP 12C...............25
UNIDADE 02: VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO (OPERAÇÕES DE 
DESCONTO), JUROS SIMPLES E JUROS COMPOSTOS ..................................32
1. Descrição formal do regime linear de juros (ou juros simples) ...........................32
2. O valor futuro ou montante no regime linear de juros .........................................35
3. Taxa proporcional e taxa equivalente no 
regime simples ........................................................................................................37
4. Formalizando a equivalência financeira nos juros simples .................................38
5. Regime de capitalização composto (ou juros compostos) ..................................40
6. Descrição algébrica do regime exponencial de juros ..........................................42
7. Interpretando taxas equivalentes no 
regime exponencial .................................................................................................46
8. Taxa nominal e taxa efetiva: o que são? .............................................................48
9. Introdução aos descontos ...................................................................................50
10. Tipologia de títulos e conceitos fundamentais ...................................................51
11. Desconto simples ..............................................................................................52
12. Descontos compostos e aplicações ..................................................................56
UNIDADE 03: SÉRIES DE PAGAMENTOS E SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO .62
1. Aspectos introdutórios das séries de anuidades .................................................62
2. Conceitos básicos das séries de anuidades, pagamentos ou recebimentos ......63
3. Interpretando as séries de pagamentos iguais e antecipadas ............................69
4. Interpretando as séries de pagamentos variáveis ...............................................73
5. As teclas de atalho CF0, CFj, Nj, NPV e IRR para análise de problemas 
envolvendo as séries de pagamentos variáveis ......................................................76
6. Introduzindo os sistemas de amortização ...........................................................79
7. Conceitos preliminares envolvendo os sistemas de amortização .......................80
8. Sistema de Amortização Constante (SAC) .........................................................80
9. Construindo a planilha do Sistema de 
Amortização Constante ...........................................................................................81
10. Sistema Francês de Amortização (ou Tabela Price) ........................................87
11. Sistema de Amortização Misto (SAM) ...............................................................91
UNIDADE 04: ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: VALOR PRESENTE E 
PRESENTE LÍQUIDO, TIR E PAYBACK ................................................................94
1. Aspectos introdutórios dos indicadores financeiros para a caracterização da 
viabilidade de projetos organizacionais ...................................................................94
2. Valor presente líquido (VPL ou NPV) como indicador da rentabilidade do projeto 
 ................................................................................................................................95
3. Conceituação formal da taxa interna de retorno (TIR ou IRR) ............................103
4. A taxa interna de retorno como indicador associado ao risco de um projeto 
empresarial ..............................................................................................................109
5. Fluxo de caixa e taxa de mínima atratividade .....................................................110
6. Payback simples e payback descontado ............................................................114
7. Índice benefício-custo (IB/C) ...............................................................................117
8. O método da anuidade uniforme equivalente .....................................................119
8
1
Matemática Financeira: regimes de capitalização eenvolvendo os juros compostos, você pode pes-
quisar em Puccini (2017, p. 28 a 41), onde encontrará uma série de ilustrações sobre o tema.
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
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6. DESCRIÇÃO ALGÉBRICA DO REGIME EXPONENCIAL DE 
JUROS
Já vimos que, no regime exponencial de juros, a mensuração dos juros transcreve sem-
pre de modo acumulativo. Com o objetivo inicial de entendermos esse comportamento 
geométrico e nos familiarizarmos com as expressões específicas dos juros compostos, 
consideremos o exemplo a seguir.
Exemplo 10: suponhamos que Cauã faça um investimento em um banco estatal no valor 
de R$ 1.000,00, remunerado a 10% mensalmente no regime exponencial de juros. Des-
sa maneira, com base nessa situação, podemos caracterizar os valores relacionados 
como segue:
Portanto, temos que a expressão matemática característica dos juros compostos, asso-
ciando-se aos parâmetros n, i, PV e FV, pode ser vista sob a forma:
Final do 1º mês: o capital de R$ 1.000,00 investido por Cauã nos leva ao rendimento 
de R$ 100,00 (10% x R$ 1.000,00) e um valor futuro de R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 + 
R$ 100,00). Dessa forma, podemos escrever a expressão: FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 
= R$ 1.100,00.
Final do 2º mês: o valor futuro do mês anterior (R$ 1.100,00) é o capital para o 2º 
período (mês), servindo de base para a descrição dos juros desse período a ser 
recebido por Cauã. Logo, temos que FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10), ou seja, 
FV = 1.000,00 x (1 + 0,10)2 = R$ 1.210,00. Notemos que o valor futuro obtido por 
Cauã no 2º mês pode ser estratificado como:
R$ 1.000,00 capital aplicado por Cauã
R$ 100,00 juros referentes ao 1º mês (10% x R$ 1.000,00)
R$ 100,00 juros referentes ao 2º mês (10% x R$ 1.000,00)
R$ 10,00 juros sobre os juros produzidos no 1º mês (10% x R$ 100,00)
Final do 3º mês: seguindo o raciocínio anterior, mostrado nos dois primeiros pe-
ríodos, sem grandes dificuldades notamos que, para esse período, temos: FV = 
1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10), ou seja, FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) 
= R$1.331,00.
Final do enésimo mês: generalizando a argumentação descrita para os primeiros 
períodos ou meses, temos que o valor futuro aglomerado ao final do enésimo 
mês é descrito pela expressão: FV = 1.000,00 x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x (1 + 0,10) x 
...x (1 + 0,10), isto é, FV = 1.000,00 x (1 + 0,10)n. 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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PARA REFLETIR
Aqui, dizemos que o fator (1 + i)n é o Fator de Capitalização (ou de Valor Futuro), - FCC (i, n) 
a juros compostos, e o fator é o Fator de Atualização (ou de Valor Presente) – 
FAC (i, n) a juros compostos.
Em termos geométricos, visualizamos essa contextualização como é mostrado na Fi-
gura 4 a seguir.
Figura 04. A movimentação do capital no horizonte de tempo dos juros compostos.
Fonte: elaborada pelo autor.
FV = PV x FCC ( i , n )
PV
PV
FV
FV
PV = FV x FAC ( i , n )
n (escala de tempo)
Vamos trabalhar em alguns exemplos?
Exemplo 11: qual o valor de resgate de uma aplicação realizada por Alessandro, em um 
banco privado, no valor de R$ 12.000,00 em um título pelo período de 8 meses com 
base no regime exponencial a 3,5% a.m.?
Solução: conforme fizemos no caso dos juros simples, aqui também, inicialmente, iden-
tificamos os parâmetros conhecidos e, e em seguida, averiguamos qual expressão uti-
lizar para a descrição do parâmetro desconhecido. A partir do exemplo, percebemos 
que PV = 12.000,00, i = 3,5% ao mês = 0,035 a.m. e n = 8 meses. Logo, escrevemos:
FV = PV x (1 + i)n 
FV = 12.000,00 x (1 + 0,035)8 
FV = 15.801,71
FV =
FV
(1 + i)n
1
(1 + i)n
FV = PV x (1 + i)n
E, de modo derivativo, como:
Se for de nosso interesse a descrição de uma expressão para o cálculo direto dos juros no 
regime composto, basta partirmos de J = FV – PV que encontraremos a expressão J = PV 
x [(1 + i) – 1].
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
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FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa todos os registros da 
calculadora
12000 -12.000,00 Insere o valor da aplicação
8 8,00 Insere o prazo da aplicação em 
meses
3.5 3,50 Insere a taxa mensal de juros 
compostos da operação
 15.801,71 Valor de resgate realizado por 
Alessandro
Ou seja, o valor de resgate dessa aplicação é igual a R$ 15.801,71.
Vejamos agora como proceder com os cálculos, na HP 12C. Para tanto, temos a seguin-
te disposição de passos, na HP 12C.
Tabela 01. Exemplo 11.
Fonte: elaborada pelo autor.
Exemplo 12: vamos descrever a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de R$ 
40.000,00 realizada por Carla, ao final do ano passado, que gerou um valor acumulado 
de R$ 43.894,63, ao final de um quadrimestre.
Solução: do exemplo, notamos que PV = 40.000,00, n = 4 meses e FV = 43.894,63. 
Dessa forma, temos que:
FV = PV x (1 + i)n
√ √
3.894,63 = 40.000,00 x (1 + i)4
1,097366 = (1 + i)4
1,0235 = 1 + i
i = 0,0235 ou 2,35% ao mês
1,097366 = (1 + i)
= (1 + i)443.894,63
4 4
40.000,00
4
Deve ficar evidente que, para os cálculos na HP 12C, de acordo com a descrição do DFC 
inserida na primeira unidade, devemos sempre trocar o sinal ou de PV ou de FV, já que, se 
um é interpretado como uma entrada de caixa, o outro é encarado como uma saída de caixa.
SAIBA MAIS
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Ou seja, a taxa de juros mensal composta na operação financeira feita por Carla foi 
igual a i = 2,35% ao mês.
Vejamos agora como proceder em relação aos cálculos, na HP 12C. Para isso, temos a 
seguinte disposição de passos, na HP 12C:
Exemplo 13: uma aplicação de R$ 22.000,00, realizada em certa data, produz o valor 
futuro de R$ 26.596,40 a juros compostos de 2,4% ao mês. Qual o prazo relacionado a 
essa operação financeira? 
Solução: a partir do exemplo, percebemos que PV = 22.000,00, i = 2,4% ao mês = 0,024 
a.m. e FV = 26.596,40. A partir disso, podemos escrever que:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa todos os registros da 
calculadora
40000 -40.000,00 Insere o valor da aplicação feita 
por Carla
4 4,00 Insere o prazo da aplicação em 
meses
43.894,63 43.894,63
Insere o valor acumulado (valor 
futuro ou montante) obtido na 
aplicação
 2,35 Valor da taxa de juros
Fonte: elaborada pelo autor.
Tabela 02. Exemplo 12.
FV = PV x (1 + i)n
26.596,40 = 22.000,00 x (1 + 0,024)n
1,208927 = (1,024)n
0,082400 = n x log(1,024)
n = 0,082400
log (1,024)
n = 8 meses
= (1,024)n26.596,40
22.000,00
Portanto, o prazo da operação é igual a 8 meses.
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
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Vejamos agora como proceder com os cálculos, na HP 12C. Para isso, temos a seguin-
te disposição de passos, na HP 12C:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa todos os registros da 
calculadora
22000 -22.000,00 Insere o valor da aplicação
2.4 2,40 Insere a taxa de juros
26.596,40 26.596,40 Insere o valor futuro ou montante
 8 O prazo da operação (em meses)
Exemplo 14: vamos computar o juro pago por João Lucas envolvendo uma operação de 
financiamento no valor de R$ 88.000,00 pelo período de cinco meses e a juros compos-
tos de 4,5% ao mês.
Solução: observamos no exemplo que PV = 88.000,00, n = 5 meses e i = 4,5% a. m. = 
0,045 a.m. Logo, temos que: 
J = PV x [ (1 + i)n – 1] 
J = 88.000,00 x [ (1 + 0,045)5 – 1]
J = 21.664,02
Ou seja, o juro pago por João Lucas para esse financiamento foi igual a R$ 21.664,02.
7. INTERPRETANDO TAXAS EQUIVALENTES NO 
REGIME EXPONENCIAL
Já foi comentado que, no regime simples, duas taxas são chamadas equivalentes quan-
do são aplicadas a uma mesma quantia e geram resultados iguais. E no regime expo-
nencial? Como será? Aqui, noregime composto, continuamos com essa mesma con-
ceituação, todavia a maneira de cálculo é que se altera.
Tabela 03. Exemplo 13.
Fonte: elaborada pelo autor.
A única maneira que temos de computar o prazo da operação financeira envolvendo o regime 
composto é usando o logaritmo decimal (de base 10). Em verdade, ele constitui o único mé-
todo disponível para isolarmos o parâmetro n na expressão específica do regime composto.
SAIBA MAIS
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O fato se justifica essencialmente por conta de os juros compostos apresentarem uma 
capitalização geométrica ou exponencial, então a taxa equivalente, no regime compos-
to, será mensurada pela média geométrica da taxa de juros inserida em todo o período.
Em linhas matemáticas, segundo Assaf Neto (2017, p. 44), a expressão específica para 
a descrição da taxa equivalente composta é:
Em que temos:
q = número de períodos de capitalização.
iq = denota a taxa referente ao menor período.
i = denota a taxa referente ao maior período.
Vejamos dois exemplos que ilustram o cálculo da taxa equivalente composta.
Exemplo 15: qual a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao ano? 
Vamos encontrá-la?
Solução: para resolvermos essa questão exemplo, inicialmente destacamos qual a taxa 
de juros informada no exemplo, que nos levará à taxa da expressão de taxas equivalen-
tes a ser computada. Assim, observemos que:
q = 2 (já que 1 ano = 2 semestres)
i = i = 10% ao ano = 0,1 a.a. [taxa anual (maior período)]
Logo, devemos encontra a taxa iq = i2 (taxa referente ao menor período). Logo, na ex-
pressão para taxas equivalentes, temos que:
Então, concluímos que a taxa semestral equivalente para juros compostos a 10% ao 
ano é dada, aproximadamente, por 4,88%.
Exemplo 16: caracterizaremos a taxa anual equivalente para juros compostos a 7% 
ao bimestre.
Solução: nesse caso, devemos encontrar o valor de i, pois o maior período em questão 
é ano. Observemos também que, para o nosso exemplo, q = 6 (1 ano = 6 bimestres) 
bem como iq = i6 = 7% a.b. = 0,07 a.b. Logo, utilizando-se da fórmula característica para 
taxas equivalentes mostrada anteriormente, escrevemos: 
√qq 1 + i - 1i =
√ √q 1 + i - 1 ou i = 1 + i - 1iq = 2
2
1 + 0,1 - 1 ou i2 = 1,01 - 1i2 =
2√ √2
i2 = 1,04880 - 1 ou i2 = 0,04880 ou seja, i2 = 4,88% a.s. (ao semestre)~
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
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Elevando ambos os membros à potência 6, temos que:
Portanto, a taxa anual equivalente é de, aproximadamente, 50,07%.
8. TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA: O QUE SÃO?
Em vários problemas do mercado financeiro, como ocorre com a caderneta de pou-
pança, é necessário diferenciarmos taxa nominal de taxa efetiva de juros. Inicialmente, 
percebemos que, quando falamos que a caderneta de poupança com aniversário na 
data de hoje, gera 6% ao ano, isso não traduz a rentabilidade real dela, exatamente por 
conta do entendimento da taxa nominal e da taxa efetiva de juros. 
Na gestão financeira, quando mencionamos um custo efetivo (cartão de crédito, cheque 
especial, financiamentos etc.) ou rentabilidade efetiva (caderneta de poupança, outros 
meios de investimentos etc.), para que possa ser computado, em ambos contextos, 
devemos considerar a taxa efetiva de juros. 
Para sermos mais precisos ou mais específicos, conceituemos essas taxas.
Segundo Assaf Neto (2017, p. 46), a expressão específica para descrevermos a taxa 
efetiva de juros pode ser vista como:
Taxa Efetiva (i ) = (1 + i)q -1ƒ
1 + i - 1 ou i6 = 1 + i - 1iq =
q√ √6
1 + i - 1 ou ou 1,07 = 1 + i0,07 = 1 + 0,07 =6√ √6 1 + i√6
1 + i ou ( )(1,07) = 1 + i = (1,07) ou i = (1,07) -16 6√ 6 66
i = 0,500730351 ou seja i = 50,07% a.a. (ao ano)~
Deve ficar claro que, no regime composto, não podemos mais dividir ou multiplicar a taxa 
como fazíamos no regime linear de juros para obtermos taxas equivalentes.
SAIBA MAIS
GLOSSÁRIO
Taxa nominal de juros: falamos que uma taxa de juros é nominal quando a unidade do prazo 
de capitalização dos juros é distinto da unidade da taxa (adaptado de Puccini, 2017, p. 54).
Taxa efetiva de juros: denominamos a taxa efetiva de juros como sendo a taxa mensurada 
durante todo o período n, sendo caracterizada de modo exponencial com base nos períodos 
de capitalização (adaptado de Puccini, 2017, p. 54).
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Em que temos:
i = representa a taxa efetiva de juros.
q = representa o número de períodos de capitalização dos juros.
i = taxa proporcional (ao período de capitalização).
Exemplo 17: (Um Caso Real – Caderneta de Poupança) – se comentarmos que a ca-
derneta de poupança, com aniversário na data de hoje, rende 6% ao ano (unidade da 
taxa – anual), mas a sua capitalização é feita mês a mês, a juros compostos (unidade 
da formação dos juros), a taxa de 6% ao ano é uma taxa nominal de juros, não eviden-
cia, dessa maneira, a sua rentabilidade real. Para a descrição da real rentabilidade da 
caderneta de poupança em questão, torna-se necessário gerarmos a taxa efetiva, da 
seguinte forma.
No caso apresentado, a taxa de juros de 6% é uma taxa nominal, já que a capitalização 
é realizada mensalmente. De outra forma, notando que q = 12 (já que 1 ano = 12 me-
ses) e que i = = 0,5% ao mês, escrevemos:6%
12
Portanto, a rentabilidade efetiva da caderneta de poupança foi de 6,17% ao ano.
Exemplo 18: um banco estatal emprestou a quantia de R$ 8.000,00 a João para a aber-
tura de sua pequena empresa, durante o período de um ano, a uma taxa anual de 18% 
ao ano, com capitalização bimestral. Qual a taxa efetiva anual e o valor futuro que será 
devolvido por João, ao final do período?
Solução: nesse caso, percebemos que, como a capitalização é bimestral, podemos di-
zer que q = 6 (1 ano = 6 bimestres) e i = 18% ao ano. Logo: 
Taxa proporcional bimestral = = 3% a.b. = 0,03 a.b.
Então:
Taxa efetiva = (i ) = (1 + i)q – 1 = (1 + 0,03)6 – 1 = 0,194
Assim, a taxa efetiva será de, aproximadamente, 19,4% ao ano. Na descrição do valor 
futuro a ser devolvido por João, utilizamos a expressão característica dos juros compos-
tos, levando em consideração a taxa proporcional bimestral de 3% a.b., ou seja, temos 
n = 1 ano = 6 bimestres, PV = 8.000 e i = 3% ao bimestre. Dessa forma, temos que:
18%
6
ƒ
i = (1 + )q -1 ou i = (1 + )12 -1 ou i = (1 + 0,05)12 -1i
q ƒƒƒ
0,06
12
i = 0,617 ao ano ou i = 6,17% ao anoƒ ƒ
ƒ
50
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FV = PV x (1 + i)n
FV = 8.000 x (1 + 0,03)6
FV = 9.552,42 
Portanto, o valor futuro a ser devolvido por João será de, aproximadamente, R$ 9.552,00 
e a taxa efetiva será de, aproximadamente, 19,4% ao ano.
9. INTRODUÇÃO AOS DESCONTOS
Você já solicitou algum tipo de abatimento ao comprar algum produto? Já pediu desconto 
para pagar menos na antecipação de uma dívida de um empréstimo ou financiamento?
Nesse sentido, saberia interpretar de maneira formal o significado da terminologia descon-
to, em nosso cotidiano? Conseguiria distinguir os tipos de descontos que são praticados 
no mundo dos negócios e operar com as suas características na resolução de problemas 
envolvendo-os? Perguntas como essas ou similares é que responderemos neste momento.
Em verdade, Almeida (2016, p. 57) nos esclarece que desconto nada mais é do que 
uma espécie usual de abatimento direcionado ao valor a ser pago por um título de cré-
dito com vencimento em data futura, por uma pessoa ou empresa a um banco ou outro 
tipo de credor. A utilização direta desse abatimento pode ser feita com base no regime 
linear de juros, surgindo os descontos simples, frequentemente, empregados nas situ-
açõesdo âmbito do curto prazo. Também pode ser alicerçada no regime composto de 
juros, originando o que chamamos de descontos compostos. 
Especificamente, no regime linear de juros, podem ser identificados dois tipos de des-
contos, que são: 
É interessante ressaltarmos que a terminologia “desconto” faz parte do nosso cotidia-
no, seja em nível pessoal ou empresarial, principalmente, em períodos de dificuldades 
financeiras ou limitação de quantidades financeiras, no sentido de ganharmos um aba-
timento, em relação a uma dívida a ser paga (empréstimo ou financiamento, por exem-
plo), antecipando o pagamento dela. Portanto, os descontos são aplicações rotineiras. 
O desconto simples é uma aplicação vinculada diretamente à capitalização simples e 
será o nosso objeto de estudo inicial na sequência. Todavia, primeiramente, descreve-
remos os tipos de títulos que podem comparecer nessas situações.
 � Desconto “por fora” (também chamado de desconto bancário ou desconto 
comercial).
 � Desconto “por dentro” (também chamado de desconto racional).
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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is
co
Nota promissória: 
Usada entre pessoas físicas ou 
entre pessoas físicas e bancos. 
De modo geral, denota um título 
de crédito que equivale a uma pro-
messa de pagamento em data futu-
ra. Tem, por exemplo, o valor nomi-
nal do título, a data de vencimento, 
o nome e a assinatura do devedor.
Duplicata: 
Usada por pessoa jurídica, em 
função de uma pessoa física ou 
jurídica, para a qual vendeu pro-
dutos a prazo ou prestou servi-
ços a serem quitados em data 
futura (conforme contrato). Aqui, 
podemos ter o aceite do cliente, 
o valor nominal do título, a data 
de vencimento etc.
Letra de câmbio: 
Um tipo de título ao portador, lançado por um banco em operações de crédito dadas a 
pessoas físicas ou jurídicas. Aqui, podemos ter o valor do resgate, por exemplo.
10. TIPOLOGIA DE TÍTULOS E CONCEITOS FUNDAMENTAIS
É relevante reconhecermos que, quando um indivíduo ou empresa adquire uma deter-
minada dívida que deverá ser paga em data futura, é rotineiro que o devedor ofereça ao 
credor uma espécie de documento, comumente conhecido como título, que constitui a 
comprovação direta da dívida em questão. 
Dessa forma, segundo Assaf Neto (2017, p. 68), são exemplos específicos de títulos em 
operações de crédito:
Fo
nt
e:
 a
ce
rv
o 
do
 a
ut
or
.
Figura 05. Modelo de nota promissória.
Figura 06. Modelo de duplicata.
Fo
nt
e:
 a
ce
rv
o 
do
 a
ut
or
.
Fo
nt
e:
 a
ce
rv
o 
do
 a
ut
or
.
Figura 07. Modelo de letra de câmbio.
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
2
É interessante salientarmos que os procedimentos algébricos envolvendo o desconto 
podem ser realizados altivamente do regime de capitalização a ser considerado confor-
me visualizaremos logo a seguir.
11. DESCONTO SIMPLES
Segundo Assaf Neto (2017, p. 72), a teoria de descontos que leva em consideração 
o regime linear de juros é aplicável, especificamente, para as operações do âmbito 
de curto prazo, de modo contrário, os descontos pautados no regime exponencial são 
utilizados para as situações que envolvem longo prazo. Particularmente comentando, 
baseando-nos nos juros simples, temos dois tipos, supramencionados: o Desconto 
"por fora" (desconto bancário ou desconto comercial) e o Desconto "por dentro" (ou 
desconto racional).
Vejamos as principais propriedades deles a seguir.
11.1 DESCONTO POR FORA (OU DESCONTO BANCÁRIO OU DESCON-
TO COMERCIAL)
Assaf Neto (2017, p. 74), apresenta que o desconto por fora, desconto bancário ou des-
conto comercial é aquele em que a taxa de desconto incide apenas sobre o valor nomi-
nal. Esse tipo de desconto, no mercado financeiro, indica aplicabilidade voltada para as 
operações de crédito comercial e bancário, no contexto do curto prazo. 
Assim, observamos que, independentemente do título, todos apresentam uma data de 
vencimento (data futura). Entretanto, a pessoa devedora poderá resgatar de maneira an-
tecipada, ganhando um abatimento que, no linguajar popular, é chamado de desconto. 
De acordo com Assaf Neto (2017, p. 71), a teoria sobre descontos equivale a uma apli-
cação direta dos regimes de capitalização (juros). Logo, para a discussão da teoria se 
faz relevante o conhecimento dos elementos básicos, que são: valor nominal, desconto 
e valor líquido. Vejamos a descrição de cada um deles a seguir.
Valor nominal: 
Valor definido para o título de crédito em sua data de vencimento, isto é, o valor 
futuro da operação.
Desconto: 
Diferença entre o valor nominal do título e o seu valor líquido, descrito nos perío-
dos que antecedem o seu vencimento.
Valor líquido (valor descontado ou valor atual): 
Valor atual na data do desconto, sendo formalmente visto como a subtração entre 
o valor nominal e o desconto, ou seja, valor líquido = valor nominal – desconto.
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SAIBA MAIS
Vejamos dois exemplos acerca desse tipo de desconto.
Exemplo 19: caracterizaremos o desconto bancário que deverá incidir sobre um título no 
valor de R$ 1.050,00, representando a obrigação de pagamento contraído por Alessan-
dro na aquisição de um eletrodoméstico, quitado noventa dias antes do vencimento, a 
uma taxa de 2,5% a.m. 
Solução: nesse caso, conforme trabalhado nos problemas envolvendo os regimes de 
capitalização, devemos observar, incialmente, quais elementos são colocados como 
conhecidos no enunciado do exemplo e identificar o parâmetro a ser computado.
Dessa maneira, de acordo com a descrição teórica e dizeres do problema, notamos que 
N = 1.050, n = 90 dias e i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. Logo, pela expressão característica 
envolvendo o desconto bancário mostrada anteriormente, temos que:
D = N x i x n
D = 1.050 x x 90 
D = 78,75
Portanto, o desconto obtido por Alessandro nessa operação foi de R$ 78,75, ou seja, Ales-
sandro pagará pelo eletrodoméstico a quantia de R$ 1.050,00 – R$ 78,75 = R$ 971,25.
Exemplo 20: uma nota promissória no valor de R$ 4.500,00, quitada seis meses antes 
do seu vencimento, ficou simplificada à quantia de R$ 1.900,00. Qual foi a taxa mensal 
utilizada nessa operação financeira?
Em linhas algébricas, as expressões envolvendo o cálculo do desconto bancário são muito 
similares às que apresentamos no regime linear de juros. Dessa forma, se denotarmos os 
elementos como segue, D = desconto, N = valor nominal, L = valor líquido recebido após o 
desconto, i = taxa e n = período de tempo, pela natureza do desconto bancário, escrevemos: 
0,025
30
D = N x i x n
Ou, ainda, podemos notar, sem grandes dificuldades, que: 
L = N – N x i x n
Portanto:
L = N x (1 – i x n)
Segundo Feijó (2015, p. 68), a antecipação de pagamentos pode ser diretamente utilizada 
para a obtenção de descontos atrativos e referenciada em momentos em que a pessoa ou 
empresa esteja com a saúde financeira estruturada (valores monetários disponíveis).
54
Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
2
Solução: nesse caso, podemos observar que N = 4.500, n = 6 meses e L = 1.900. 
Vamos solucionar o presente exemplo de duas formas diferentes, sendo que, em uma 
delas, determinaremos a taxa por intermédio do cálculo do desconto e, na outra, utiliza-
remos diretamente a expressão do valor líquido. 
1ª Forma: utilizando diretamente o conceito de desconto, temos:
D = N – L = 4.500 – 1.900 = 2.600
Então: 
D = N x i x n
2.600 = 4.500 x 6 x i
Ou seja:
i = 0,09629 a.m. ou 9,629% a.m.
2ª Forma: utilizando diretamente a expressão do valor líquido, escrevemos:
L = N x (1 – i x n) 
1.900 = 4.500 x (1 – i x 6)
 = 1 – 6 x i
i = 0,09629 a.m. ou 9,629% a.m.
0,42222 = 1 – 6 x i
0,42222 – 1 = 6 x i
0,57778 = 6 x i
0,57778 = i
6
Logo, a taxa mensal utilizada nessa operação financeira foi de 9,629% a.m.
11.2 DESCONTO PORDENTRO (OU DESCONTO RACIONAL)
O desconto por dentro ou desconto racional, de acordo com Assaf Neto (2017, p. 76), é 
visto como sendo aquele em que a taxa de desconto incide sobre o valor líquido ou valor 
descontado. Nesse momento, é relevante expor que, para o desconto por dentro, utili-
zamos uma dada taxa aplicada em um valor não conhecido, situação muito semelhante 
às operações financeiras relacionadas a lucros sobre vendas. 
Nessa direção, chamando por (Dr) o desconto por dentro ou desconto racional, a sua 
expressão matemática característica é dada por: 
1.900
4.500
Dr = L x i x n
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De outra forma, como é sabido que:
Portanto, podemos escrever para o cálculo do desconto que: 
R$ 6.864,00 – R$ 6.000,00 = R$ 864,00.
Exemplo 22: caracterizemos a taxa a ser aplicada em um desconto por dentro, por inter-
médio de uma duplicata no valor de R$ 1.200,00, de tal modo que ela se reduza a R$ 
1.000,00, no período de 45 dias antes do vencimento.
Solução: segundo o enunciado do exemplo, notamos que N = 1.200, n = 45 dias = 2,5 
meses. Dessa maneira, escrevemos: 
Ou seja, 
N
1+i x n
6.864
1+ x360,12
30
L =
N
1+i x nL =
1.000 = 
1.000 x (1 + 2,5 x i) = 1.200 
1.200
1 + i x (2,5)
L = 6.000
L =
L+ Dr = N
Segue que o valor líquido é caracterizado pela expressão:
N
1+i x nL =
Vejamos dois exemplos ilustrativos na sequência para nos familiarizarmos com as 
expressões características do desconto racional.
Exemplo 21: vamos encontrar o desconto por dentro de uma nota promissória no valor 
de R$ 6.864,00, a uma taxa de 12% ao mês. O devedor é o senhor Alessandro, que 
efetuou o pagamento 36 dias antes do vencimento.
Solução: de acordo com o enunciado do exemplo, podemos observar que N = 6.864, i = 
0,12 a.m. = a.d. e n = 36 dias. Assim, com base no que acabamos de apresentar acerca 
do desconto por dentro, temos que:
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
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1.200
1.0001.000.(1 + 2,5 x i) =
1 + 2,5 x i = 1,2 ou 2,5 x i = 0,2 ou i = ou i = 8% a.m.
Portanto, a taxa deve ser igual a 8% ao mês.
12. DESCONTOS COMPOSTOS E APLICAÇÕES
Com relação ao desconto envolvendo o regime exponencial de juros (comportamento ge-
ométrico), temos que o desconto composto é, frequentemente, utilizado em situações de 
longo prazo e, analogamente ao desconto simples, associado ao regime linear de juros, 
aqui também temos o desconto composto por dentro (ou desconto composto racional) e o 
desconto composto por fora (ou desconto composto comercial). 
A seguir, conheceremos as suas principais informações e propriedades associadas. 
Vejamos as informações básicas e propriedades envolvendo-os.
12.1 DESCONTO COMPOSTO POR FORA (OU DESCONTO 
COMERCIAL)
Segundo Assaf Neto (2017, p. 83), o desconto composto por fora é conhecido pela in-
cidência contínua da taxa de desconto sobre o valor nominal do título de crédito, que é 
descontado, em cada período, dos descontos obtidos em períodos prévios. 
É relevante mencionarmos que, no âmbito do mercado financeiro brasileiro, o desconto 
composto por fora tem utilização prática bastante reduzida ou restrita. Dessa maneira, 
as expressões características para cálculos algébricos para essa tipologia de desconto, 
segundo Assaf Neto (2017, p. 84), podem ser obtidas como segue: 
Onde:
 : valor líquido (ou valor do descontado por fora).
N: valor nominal do título.
n: período.
i: taxa de juros.
Além disso, chamando como o valor do desconto por fora, vem que:
N (1 - i)n
F
VF =
V
FD
DF = N - VF
0,2
2,5
Ou seja, 
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co
= 69.374,40
= 80.000 (1 - 0,035)4
Vamos praticar em exemplos esse tipo de desconto composto?
Exemplo 23: a ARGEPAL Ltda, uma empresa do ramo automotivo, tem o valor devido 
de R$ 80.000,00 a uma instituição financeira estatal, referente a um empréstimo cujo 
vencimento é para daqui a dez meses. Entretanto, com quatro meses de antecedência, 
a empresa em questão decide quitar integralmente a sua dívida e solicita à instituição 
financeira um abatimento. O gerente financeiro responsável pelas atividades da ARGE-
PAL Ltda na referida instituição financeira informa que trabalha de acordo com o concei-
to de desconto composto por fora, sendo sua taxa de desconto fixada previamente em 
3,5% ao mês, para esse tipo específico de operação financeira. Assim, qual valor líquido 
a ARGEPAL Ltda deverá pagar à instituição financeira quando da quitação antecipada 
de seu empréstimo devido?
Solução: inicialmente, observemos que, segundo o enunciado do nosso exemplo, temos 
que N = 80.000, n = 4 meses e i = 3,5% ao mês = 0,035 a.m. Deve ficar evidente que é 
nosso objetivo caracterizar o valor de VF. Logo, com base na expressão característica 
para , descrita anteriormente, escrevemos que:
Solução: de acordo com o enunciado do exemplo, percebemos, sem grandes dificulda-
des, que DF = 39.000, n = 5 meses e i = 3% ao mês = 0,03 a.m. Além disso, temos como 
intuito descrever o valor do parâmetro N. Logo, escrevemos que:
Portanto, o valor nominal do título de Carlos foi de R$ 276.074,92.
DF = [1 - (1F - i)n]
DF = N[1 -(1 -i)n]
39.000 = N[1 -(1 -0,03)5] 
39.000 = N x (0,141266)
N = 276.074,92
VF
VF
VF
= N(1 - i)n
Portanto, o valor líquido que a ARGEPAL Ltda deve pagar de modo antecipado ao ven-
cimento de seu empréstimo no banco privado é de R$ 69.374,40.
Exemplo 24: Carlos desconta uma nota promissória a uma taxa de 3% ao mês em um 
banco privado, cinco meses antes de seu vencimento. É sabido que a operação finan-
ceira em questão determinou um desconto na ordem de R$ 39.000,00 e que foi utilizado 
o conceito de desconto composto por fora. Nesse contexto, qual o valor nominal da nota 
promissória em que Carlos é o devedor?
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
2
De outro modo, foi visto que o desconto é caracterizado pela diferença entre o valor 
nominal (valor de resgate) e o valor descontado (valor presente).
Vamos praticar em exemplos esse tipo de desconto composto?
Exemplo 25: qual é o valor do desconto racional de uma duplicata de valor nominal igual a R$ 
15.000,00, descontada cinco meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 2,4% ao mês, 
realizada pela empresa Virtual Ltda em um banco estatal?
12.2 DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO
Assaf Neto (2017, p. 87), aponta que, de forma contrária ao apresentado no desconto com-
posto por fora, o desconto composto por dentro é alicerçado no valor atual e no valor nominal 
de um título de crédito, apresentando várias aplicações na gestão financeira de forma geral. 
Resumidamente, é determinado também por intermédio das relações dos juros com-
postos ou regime exponencial de juros. Logo, o valor descontado racional ( Vr ) equivale 
ao valor presente dos regime exponencial, conforme visto anteriormente. Especifica-
mente falando, segundo Assaf Neto (2017, p. 87), no âmbito algébrico, escrevemos:
Solução: aqui podemos observar, com base no enunciado, que N = 15.000, n = 5 meses e i 
= 2,4% ao mês = 0,024 a.m. Além disso, é de nosso interesse computar o valor de Dr . Logo, 
podemos escrever: 
Portanto, o valor de desconto racional da duplicata da AFA Ltda, segundo as condições esta-
belecidas no exemplo, é igual a R$ 1.677,00.
Exemplo 26: um banco estabelece à Anelina Ltda a quantia de R$ 6.800,00, precedente do 
desconto de uma nota promissória de valor nominal equivalente a R$ 9.000,00, descontada 
a uma taxa de 4% ao mês, feito no segundo semestre do ano corrente. Qual foi o prazo de 
antecipação executado pela empresa Anelina Ltda, perante a operação financeira?
Solução: notemos que, de acordo com o enunciado do exemplo, temos que = 6.800, N = 
9.000 e i = 4% ao mês = 0,004 a.m. Além disso, é de nosso ensejo computar ovalor de n, que 
denota o prazo de antecipação em que foi descontada a nota promissória da Anelina Ltda. 
Dessa maneira, podemos escrever:
Vr = N
(1 + i)n
Dr = N 1 - 1
(1 + i)n( (
Dr = 1.677,00
Dr = N 1 - 1
(1 + i)n( (
Dr = 15.000 1 - 1
(1 + 0,024)5( (
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Nesse instante, aplicando o logaritmo na base 10 para isolarmos o parâmetro n, confor-
me apresentado na terceira unidade do nosso material (cálculo algébrico do valor de n 
no regime composto), como segue:
CONCLUSÃO
Nesta unidade foi possível observar algumas das principais aplicações da matemática 
financeira, dentre elas algumas que certamente fazem parte do seu dia a dia. Entender 
o comportamento e as práticas de juros utilizadas pelas instituições financeiras e orga-
nizações nos ajudará na interpretação correta e precisa das informações financeiras 
que cercam o processo de tomada de decisão.
log (1,04) = log 1,323529
n x (log 1,04) = log 1,323529
n = 7,15 meses
n = 4 meses e 4 dias
Vr = 
6.800 = 
(1,04)n = 
(1,04)n = 1,323529
N
9.000
9.000
(1 + i)n
(1 + 0,04)n
6.800
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, Jarbas Thaunahy Santos de. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 2017. 
CAMARGOS, Marcos Antônio de. Matemática financeira: aplicada a produtos financeiros e à análise de 
investimentos. São Paulo: Saraiva, 2013. [Minha Biblioteca]. 
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel®. 4. 
ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 
FEIJÓ, Ricardo Luís Chaves. Matemática financeira com conceitos econômicos e cálculo diferencial: utiliza-
ção da HP-12C e planilha Excel. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2015. 
FERREIRA, Roberto G. Matemática financeira aplicada: mercado de capitais, administração financeira, 
finanças pessoais. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2014. 
HOJI, Masakazu. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016. [Minha Biblio-
teca]. 
OLIVEIRA, Gustavo Faria de. Matemática financeira descomplicada: para os cursos de economia, ad-
ministração e contabilidade. São Paulo: Atlas, 2013. 
POMPEO, José Nicolau; HAZZAN, Samuel. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2014. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
UNIDADE 3
SÉRIES DE PAGAMENTOS E 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
1. ASPECTOS INTRODUTÓRIOS DAS SÉRIES DE ANUIDADES
Poderíamos iniciar a nossa tratativa, neste instante, com a seguinte indagação: qual 
a importância prática das séries de pagamentos ou anuidades em operações do mer-
cado financeiro? A resposta é bem racional e direta. Feijó (2015, p. 43) expõe que as 
organizações estão inquietas para comercializar seus produtos e serviços, e nós, con-
sumidores, estamos aptos para adquiri-los. Logo, as séries de anuidades compõem o 
nosso cotidiano diário. Todavia, nem sempre o consumo é racional, ou seja, com base 
nas reais necessidades da pessoa, e rotineiramente, ocorre por irracionalidade. Em 
verdade, não poupamos para comprar à vista e, como somos irracionais, consumimos 
de qualquer forma (sem coerência e planejamento).
No Brasil, de acordo com Almeida (2016, p. 104), a compra financiada é uma situação rela-
cionada a nossa cultura e muito usada. Desde a abertura econômica, nos anos 1990, o bra-
sileiro tem tido acesso a uma grande variedade de produtos, essencialmente, importados e, 
por conseguinte, seja qual for o produto ou serviço, as pessoas devem pesquisar, antes de 
fazer uma compra, por conta de promoções e oportunidades de mercado. Em um contexto 
no qual a taxa básica de juros é, razoavelmente, alta, a compra financiada, em geral, tem 
juros inseridos e pode sair mais cara do que deveria para a pessoa compradora.
É relevante ressaltarmos que, no mundo globalizado atual, temos alguns agravantes 
com associação da inadimplência e débitos, que é o uso do cartão de crédito de forma 
desestruturada e irracional.
No mercado brasileiro, a taxa básica de juros é a taxa SELIC, divulgada em termos periódicos pelo 
Banco Central do Brasil, que é o alicerce para o cômputo dos índices de preços e da inflação.
CURIOSIDADE
SAIBA MAIS
Segundo Ferreira (2014, p. 56), é importante ressaltarmos que os indivíduos se endividam com a 
utilização do cartão de crédito comprando em diversas parcelas, surgindo assim uma série de pa-
gamentos. Se não houver um planejamento financeiro prévio, isso pode comprometer as entradas 
futuras e, consequentemente, esses indivíduos podem se tornar potenciais inadimplentes. 
A irracionalidade do consumo faz com que os indivíduos pratiquem compras em longo prazo, sejam 
em pagamentos iguais ou em variáveis.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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As operações com cartão de cré-
dito estão se tornando cada vez 
mais contínuas e populares. Por 
conta disso, é bom que alguns 
requisitos básicos de uso sejam 
seguidos e que diversos cálculos 
sejam mensurados em caso de 
inadimplência. Dessa forma, tor-
na-se essencial para os indivíduos 
físicos ou jurídicos o conhecimen-
to dos tipos de séries de anuida-
des, bem como de suas principais 
propriedades e aplicabilidades.
Com base nesse contexto, apre-
sentaremos a tipologia das séries de anuidades que são estruturadas e quais os as-
pectos o consumidor deve levar em consideração, na hora de executar determinada 
compra, independentemente do número de prestações. Salientamos que as séries de 
pagamentos estão, intimamente, ligadas aos sistemas de amortização. De modo geral, 
antes de se escolher o sistema de amortização em si, você deve levar em consideração 
a situação financeira da pessoa ou da empresa que deseja realizar o financiamento.
De outro modo, descrevemos as principais aplicabilidades e particularidades dos siste-
mas de amortização. Vamos conhecer então tal aparato?
2. CONCEITOS BÁSICOS DAS SÉRIES DE ANUIDADES, 
PAGAMENTOS OU RECEBIMENTOS
Em um primeiro momento, é de extrema relevância a introdução de algumas conceitu-
ações essenciais e simples, que estão vinculadas na teoria das séries de pagamentos, 
recebimentos ou anuidades, para uma plena averiguação do contexto a ser trabalhado 
em aplicações cotidianas da Matemática Financeira e da Análise de Investimentos. Ve-
jamos a descrição de cada um desses elementos de forma detalhada a seguir, com 
base em Assaf Neto (2017, p. 88):
Fo
nt
e:
 1
23
rf
Figura 01. Fatores que influenciam constantemente o au-
mento da inadimplência.
 � Chamamos de série de pagamentos ou recebimentos, série de prestações ou anui-
dades, toda sequência finita ou infinita de pagamentos ou recebimentos em datas 
previamente preestabelecidas.
 � Cada um destes pagamentos ou recebimentos, referenciados a uma mesma taxa no 
regime geométrico de juros, será dito termo da série ou termo da anuidade. De outro 
modo, o intervalo de tempo entre dois períodos é dito período e a soma dos períodos 
descreve a duração da série.
 � O valor atual ou valor presente de uma série de pagamentos ou anuidades é o 
somatório dos valores atualizados dos seus termos. Essa soma está relacionada para 
uma mesma data e uma mesma taxa de juros compostos.
64
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
Como já é sabido, um Fluxo de Caixa (DFC) descreve uma série de pagamentos ou 
de recebimentos que devem acontecer em dados intervalos de tempo. Isso nos indica 
que, para analisarmos todo tipo de série, independentemente de suas particularidades, 
devemos nos pautar no DFC que a simula.
Um ponto interessante que gostaríamosde sublinhar é que é muito comum depararmos 
com operações financeiras que representaremos por um fluxo de caixa. Ilustrando, em-
préstimos e financiamentos de distintas tipologias envolvem uma sequência de desem-
bolsos de caixa para quem executa os pagamentos. Analogamente, temos os fluxos de 
pagamentos/recebimentos de prestações, oriundas de compras a prazo, de investimen-
tos pessoais e/ou empresariais, de dividendos etc. Além disso, pode acontecer também 
o caso em que se tem o pagamento pelo uso, sem que compareça a amortização, como 
acontece com os aluguéis.
2.1 CLASSIFICANDO AS SÉRIES DE ANUIDADES
Outro ponto a ser analisado e detalhado para as séries de anuidades é com relação à 
classificação delas. Dessa maneira, de acordo com Oliveira (2013, p. 88), apresenta 
que, uma série de pagamentos ou anuidades é classificada de acordo com alguns cri-
térios, sendo eles:
 � O montante ou valor futuro de uma série de pagamentos ou anuidades é a 
soma dos montantes ou valores futuros dos seus termos, vinculados a uma 
mesma data e a uma mesma taxa de juros compostos.
1º critério (quanto à cardinalidade de termos): 
Aqui, podemos ter uma série de pagamentos finita ou uma série infinita. Logo, 
classificamos em: 
 � Série finita: aquela série que tem o último pagamento ou a última presta-
ção (apresenta um número finito de termos). 
 � Série infinita (ou perpétua): aquela série que não tem o último pagamento 
ou a última prestação (apresenta infinitos termos).
2º critério (quanto à natureza dos termos da série): 
Aqui, temos as séries uniformes e as séries não uniformes. Isto é:
 � Série uniforme: quando os termos são todos iguais (ou seja, uniformes).
 � Série não uniforme (ou variável): quando os termos que a compõem são 
distintos (não uniformes).
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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2.2 INTERPRETANDO AS SÉRIES DE PAGAMENTOS 
IGUAIS POSTECIPADAS
Vejamos agora o primeiro tipo de série muito usado no contexto da gestão financeira. 
Provavelmente, você se lembrará de alguma operação financeira realizada com base 
nesse tipo de série. Em um primeiro momento, ressaltamos que uma série de paga-
mentos iguais com termos vencidos apresenta as seguintes características principais e 
peculiares com base em Pompeo (2014, p. 91):
3º critério (quanto ao intervalo de termos da série): 
Aqui, temos as séries periódicas e as séries não periódicas. Portanto, classifica-
mos em:
 � Série periódica: quando o intervalo de tempo entre dois termos consecuti-
vos da série é constante, ou seja, quando o ele não se altera.
 � Série não periódica: quando o intervalo de tempo entre dois termos suces-
sivos se altera, ou seja, não é constante. 
4º critério (quanto ao vencimento de termos da série): 
Aqui, temos as séries postecipadas e as séries antecipadas. Sendo que:
 � Série postecipada (ou vencida): quando os termos ocorrem ao final de cada 
período. Aqui, para ficar mais evidente, temos que o primeiro termo ocorre 
no final do primeiro período e assim por diante.
 � Série antecipada: quando os termos ocorrerem no início de cada período. 
Isso quer dizer, para ficar mais claro, que o primeiro termo ocorre no início 
do primeiro período e assim por diante.
5º critério (quanto à ocorrência do primeiro termo da série): 
Aqui, temos as séries diferidas e as séries não diferidas. Assim:
 � Série diferida: quando o primeiro termo só ocorre após alguns períodos; 
a este prazo damos o nome de prazo de diferimento ou prazo de carência.
 � Série não diferida: quando não temos a existência do prazo de diferimento 
ou prazo de carência.
 � Os pagamentos são periódicos e sem diferimento;
 � Os termos são iguais;
 � O intervalo de tempo entre cada termo é constante;
66
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
0 1 2 3
PV
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
4 n–1 n
Figura 02. Interpretação geométrica da amortização no contexto das séries de pagamentos iguais 
postecipadas.
Fo
nt
e:
 e
la
bo
ra
da
 p
el
o 
au
to
r.
Assim, Almeida (2016, p. 79) nos apresenta que, no contexto da amortização, o valor 
presente (PV) de uma série de pagamentos iguais e termos vencidos pode ser compu-
tado pela expressão matemática: 
 � Os termos ocorrem ao final dos períodos;
 � O primeiro termo ocorre ao final do primeiro período.
Logo, segundo Almeida (2016, p. 78), cada termo da série de pagamentos ou recebi-
mentos iguais pode ser denotado por PMT (veja a tecla na HP 12C) e as demais variá-
veis serão descritas pelos símbolos já conhecidos (PV, i, n e FV). Ou seja, temos que: 
PV = valor presente, valor atual, capital inicial ou principal;
FV = valor futuro ou montante;
i = taxa de juros compostos (mês, trimestre etc.);
n = número de pagamentos, recebimentos ou anuidades.
Em linhas geométricas, temos duas situações a serem interpretadas: amortização e 
capitalização. Vamos entender as entrelinhas cada uma delas.
AMORTIZAÇÃO
Usando a simbologia descrita anteriormente, para essa situação no contexto das séries 
de pagamentos postecipadas de termos iguais, temos o seguinte diagrama de fluxo de 
caixa (DFC) relacionado (Figura 02).
PV = PMT x ,
(1 + i)n - 1
(1 + i)n x 1
O termo amortização pode ser interpretado como o ato de saldarmos uma determinada dívida, por 
meio de parcelas periódicas (pagamentos, recebimentos ou anuidades), constantes ou não.
CURIOSIDADE
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Onde é conhecido como o fator de valor atual, para uma série de 
pagamentos iguais e termos vencidos. Reforçamos que:
PV = valor presente, valor atual, capital inicial ou principal;
i = taxa de juros compostos (mês, trimestre etc.);
n = número de pagamentos, recebimentos ou anuidades.
Além disso, notemos, sem grandes dificuldades, que o valor dos pagamentos iguais 
(PMT) na amortização é caracterizado com base na expressão derivativa:
Onde é denominado de fator de recuperação de capital, para uma série 
de pagamentos iguais. Para fins didáticos, vejamos o exemplo a seguir.
Exemplo 1: uma loja de departamentos comercializa certo produto em seis prestações 
mensais iguais no valor de R$ 72,30, sendo a primeira paga 30 dias após a aquisição 
do item. Se a taxa de juros de crédito pessoal da loja é de 6,5% ao mês, qual é o preço 
à vista desse produto?
Solução: Nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
6 6,00 Insere o número de prestações 
mensais
6.5 6,50 Insere a taxa mensal de juros
72.30 - 72,30 Valor da prestação mensal
 350,01 Preço à vista do produto
Portanto, o valor R$ 350,01 denota o valor à vista do produto ou, ainda, descreve o valor 
presente da série de pagamentos relacionada em questão.
(1 + i)n - 1
(1 + i)n x 1
(1 + i)n x 1
(1 + i)n - 1
IMPORTANTE
Aqui não precisamos nos preocupar com a ordem de entrada dos parâmetros conhecidos, ou seja, 
podemos seguir qualquer ordem de entrada dos parâmetros conhecidos e, ao final, pedimos o 
parâmetro desconhecido.
68
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
CAPITALIZAÇÃO
Dando continuidade, também com base na nomenclatura comentada anteriormente, 
para a capitalização no contexto das séries de pagamentos de termos iguais e venci-
dos, temos o seguinte Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) associado:
Assim, Puccini (2017, p. 198) esclarece que, no âmbito da capitalização, o Valor Futuro 
(FV) de uma série de pagamentos iguais e termos vencidos pode ser mensurado pela 
descrição matemática:
Onde é conhecido como fator de acumulação de capital, para uma série 
de pagamentos iguais. De outro modo, observamos que o valor dos pagamentos iguais 
(PMT) na capitalização é caracterizado com base na fórmula derivativa:
Em que é conhecido como fator de formação de capitalpara uma série de 
pagamentos iguais.
Salientamos que nos interessaremos na resolução de situações práticas associadas 
à gestão financeira, a partir da implementação numérica na HP 12C, em que apresen-
0 1 2 3 4 n – 1
FV
PMT PMTPMTPMTPMTPMT
Figura 03. Interpretação geométrica da capitalização no contexto das séries de pagamentos iguais 
postecipadas.
Fonte: elaborada pelo autor.
FV = PMT x ,
(1 + i)n - 1
i
PMT = FV x ,(1 + i)n - 1
i
(1 + i)n - 1
i
(1 + i)n - 1
i
A expressão matemática 
(1+i)n - 1
(1+i)n x i é também conhecida por fator de correção da amortização e é 
descrita internacionalmente por , onde se lê: “a n-cantoneira i”.
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taremos sua praticidade e dinamismo na resolução de problemas práticos envolvendo 
as séries de pagamentos iguais e de termos vencidos. Vejamos dois exemplos para 
fixação dos conceitos discutidos até aqui. 
Exemplo 2: uma instituição financeira privada, que trabalha com uma taxa de juros de 
8% ao mês, concede um empréstimo de R$ 3.000,00 para o aposentado Alberto, a ser 
amortizado em 6 prestações mensais iguais, a primeira vencendo em 30 dias. Determi-
ne o valor da prestação de Alberto, mês a mês. 
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
Portanto, com base no empréstimo solicitado por Alberto, ele deverá pagar, sob o ponto 
de vista da série de pagamentos iguais e de termos vencidos, o valor R$ 648,05 em 
cada prestação. 
3. INTERPRETANDO AS SÉRIES DE PAGAMENTOS IGUAIS E 
ANTECIPADAS
Já vimos que as séries de pagamentos iguais e de termos postecipados, que talvez seja 
a que você mais se utilizou na sua vida pessoal ou empresarial. Entretanto, temos outra 
tipologia de séries também, frequentemente, usada no mercado financeiro, que são as 
séries de pagamentos iguais e de termos antecipados. Vamos averiguar? Inicialmente, 
observemos que uma série de pagamentos iguais com termos antecipados apresenta 
as seguintes características principais e peculiares:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
8 8,00 Insere a taxa mensal
6 6,00 Insere o número de prestações 
mensais
3000 - 3000,00 Insere o valor do empréstimo
 648,95 Valor da prestação mensal a ser 
paga por Alberto
 � Os pagamentos são periódicos e sem diferimento;
 � Os termos são iguais;
 � Os termos ocorrem no início dos períodos;
 � O primeiro termo ocorre no início do primeiro período, a primeira prestação é 
paga ou recebida na data do contrato do empréstimo ou financiamento.
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
Dessa maneira, segundo Puccini (2017, p. 118), cada termo da série de pagamentos ou 
recebimentos iguais pode ser denotado por PMT (veja a tecla na HP 12C) e as demais vari-
áveis serão caracterizadas pela simbologia já conhecida (PV, i, n e FV). Ou seja, temos que: 
PV = valor presente, valor atual, capital inicial ou principal;
FV = valor futuro ou montante;
i = taxa de juros compostos (mês, trimestre etc.);
n = número de pagamentos, recebimentos ou anuidades.
Geometricamente, mais uma vez, temos duas situações a serem interpretadas: amor-
tização e capitalização. Vamos entender, nas entrelinhas cada uma delas, como segue 
no contexto das séries antecipadas.
AMORTIZAÇÃO
Usando a simbologia descrita anteriormente, para essa operação no âmbito das séries 
de pagamentos antecipadas de termos iguais, temos o seguinte Diagrama de Fluxo de 
Caixa (DFC) relacionado.
0 1 2 3 4 n – 1 n
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
PV
Figura 04. Interpretação geométrica da amortização no contexto das séries de pagamentos iguais e 
antecipados.
Fonte: elaborada pelo autor.
Sobre o tema, Puccini (2017, p. 120) afirma que, no contexto da amortização, o Valor 
Presente (PV) de uma série de pagamentos iguais e antecipados pode ser calculado 
pela expressão matemática dada por:
PV = PMT x (1 + i) x .
(1 + i)n x i
(1 + i)n - 1
Em termos de implementação, aqui o raciocínio a ser utilizado é muito similar ao do caso das séries 
de pagamentos iguais e postecipados. A diferença é que devemos primeiramente falar para a HP 
12C que se trata de uma série antecipada, conforme descreveremos um pouco mais a frente.
CURIOSIDADE
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Além disso, observamos que o valor dos pagamentos iguais (PMT) na amortização é 
caracterizado com base na expressão derivativa:
Logo, no contexto da capitalização, o Valor Futuro (FV) de uma série de pagamentos iguais 
e antecipados pode ser caracterizado pela expressão matemática (Puccini 2017, p. 122):
Fonte: elaborada pelo autor.
CAPITALIZAÇÃO
Para a capitalização no contexto das séries de pagamentos de termos iguais e anteci-
pados, também com base na nomenclatura inserida anteriormente, temos o seguinte 
Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) associado a ela.
0 1 2 3 4 n – 1 n
PMT PMT PMT PMT PMT PMT
PV
Figura 05. Interpretação geométrica da capitalização no contexto das séries de pagamentos iguais e 
antecipados.
Vejamos alguns exemplos práticos que envolvem a aplicabilidade das séries de paga-
mentos iguais e antecipadas, que podem aparecer no nosso cotidiano e no mercado 
financeiro como um todo. Todavia, em um primeiro instante, para implementarmos nu-
mericamente na HP 12C problemas envolvendo as séries antecipadas, devemos clicar 
nas funções , aparecendo no visor a palavra BEGIN, que significa “início”, 
ou seja, pagamentos ou recebimentos feitos no início de cada período. Para retirarmos 
dessa situação, basta pressionarmos as funções .
Exemplo 3: vamos caracterizar o preço à vista de um componente elétrico, comprado 
em três prestações iguais, mensais e sucessivas, no valor de R$ 33,98. Sabe-se que a 
primeira prestação será paga na data da compra e a taxa de juros da loja de departa-
mentos é equivalente a 6,25% ao mês.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
PMT = x .
(1 + i) x
(1 + i)n x i
(1 + i)n - 1
PV
FV = PMT x (1 + i) x .(1 + i)n - 1
i
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
Portanto, o valor R$ 94,08 descreve o valor à vista do componente elétrico ou, ainda, re-
presenta o valor presente para essa série de pagamentos iguais e de termos antecipados.
Exemplo 4: o preço à vista de uma televisão em um hipermercado é dado por R$ 
1.350,00 ou ele pode ser comercializado em seis prestações mensais, iguais e sucessi-
vas, sendo, a primeira paga na data da compra. Sabendo-se que o hipermercado opera 
com uma taxa de juros de 7% ao mês, qual o valor da prestação mensal?
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
 0,00 BEGIN Para resolvermos problemas com 
pagamentos antecipados
3 3,00 BEGIN Introduzimos o número de paga-
mentos mensais
6.25 6,25 BEGIN Introduzimos a taxa mensal
33.98 - 33,98 BEGIN Introduzimos o valor dos paga-
mentos iguais
 96,06 BEGIN Preço à vista do componente 
elétrico
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
 0,00 BEGIN Para resolvermos problemas com 
pagamentos antecipados
1350 -1.350,00 BEGIN Preço à vista do aparelho de TV
6 6,00 BEGIN Insere o número de prestações 
mensais da operação em questão
7 7,00 BEGIN Introduzimos a taxa mensal
 264,70 BEGIN Valor da prestação mensal da 
compra do aparelho de TV
Dessa forma, com base nessa série de pagamentos iguais e de termos antecipados, R$ 
264,70 descreve o valor de cada prestação para a aquisição do aparelho de televisão. 
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4. INTERPRETANDO AS SÉRIES DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS
Chegamos ao momento de trabalharmos com as séries não uniformes, ou seja, aquelas 
em que os pagamentos são diferentes. Em um primeiro momento, poderíamos indagar: 
como vamos fazer sem o PMT? De modo geral, apesar de não termos mais a opção da 
função PMT que descreve nas entrelinhas, os valores dos pagamentos iguais em séries 
postecipadas (ou de termos vencidos) e em séries antecipadas, aqui podemos ter tam-
bém algumas funções auxiliares que de alguma forma facilitarão o nosso entendimento 
e, por conseguinte, as nossas resoluções envolvendo a tipologia de série de anuidade.
Dessa forma, convidamos você a conhecer e a implementar problemas envolvendo 
esse tipo peculiar de série de anuidade.
No contexto que envolve as séries de pagamentos não uniformes (ou variáveis), temos 
que o valor presente é calculado pelo somatório dos valores atualizados de cada um de 
seus pagamentos referenciados a uma mesma taxa i, enquanto o valor futuro pode ser 
caracterizado pelo somatório dos valores capitalizados de cada pagamento ou, ainda, 
capitalizando-se o valor presente para a data futura desejada.
Vejamos essa argumentação, geometricamente como segue, para o caso da amortiza-
ção, ou seja, envolvendo o valor presente e os pagamentos, recebimentos ou anuida-
des distintas (não uniformes).
O Valor Presente é calculado pela soma dos valores atualizados de cada um de seus ter-
mos a uma mesma taxa i.
O Valor Futuro pode ser determinado pelo somatório dos montantes de cada termo ou, 
capitalizando o valor presente para a data futura desejada.
Figura 06. Cálculo do valor presente e do valor futuro no contexto das séries de pagamentos variáveis ou 
não uniformes.
Fonte: elaborada pelo autor.
1 2 3 n – 1 n
PMT1
PMT2
PMT3
PMTn-1
PMTn
PV
Figura 07. Interpretação geométrica da amortização no contexto das séries de pagamentos variáveis ou 
não uniformes.
Fonte: elaborada pelo autor.
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
Puccini (2017, p. 134) expõe que, no âmbito da amortização, o Valor Presente (PV) de 
uma série de pagamentos variáveis pode ser computado pela expressão matemática 
dada por:
De outra forma, Puccini (2017, p. 134) também explica que o Valor Futuro (FV) pode ser 
obtido por intermédio da expressão matemática dada por:
Ou, ainda, podemos caracterizar o Valor Futuro (FV) por meio da fórmula FV = PV x (1 + 
i) , onde PV denota o valor presente da série em questão. 
Observemos a Figura a seguir, que nos mostra a interpretação geométrica para a capi-
talização no contexto das séries não uniformes.
A cunho de ilustração, observemos o exemplo abaixo.
Exemplo 5: vamos computar o valor presente de uma série de cinco pagamentos men-
sais consecutivos, nos valores de R$ 1.700,00, R$ 3.000,00, R$ 1.250,00, R$ 2.300,00 
e R$ 3.550,00, respectivamente, a uma taxa de 1,32% ao mês, realizado por Alberto em 
um banco estatal no fim do ano passado.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
Figura 08. Interpretação geométrica da capitalização no contexto das séries de pagamentos variáveis ou 
não uniformes.
0 1 2 3 n – 1 n
FV
PMT1
PMT2
PMT3
PMTn–1
PMTn
Fonte: elaborada pelo autor.
FV = PMT1 x (1 + i)n-1 + PMT2 x (1 + i)n-2 + ... + PMTn
PV= + + + ... .
PMT1 PMT2 PMT3 PMTn 
1+i (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n
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FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
1.32 1,32 Insere a taxa mensal da opera-
ção em questão
1700 -1.700,00 Valor do primeiro pagamento feito 
por Alberto
1 1,00 Prazo do primeiro pagamento 
feito por Alberto
 1.677,85 Valor atualizado do primeiro 
pagamento feito por Alberto
3000 -3.000,00 Valor do segundo pagamento 
feito por Alberto
2 2,00 Prazo do segundo pagamento 
feito por Alberto
 2.922,34 Valor atualizado do segundo 
pagamento feito por Alberto
 4.600,19 Valor presente dos dois primeiros 
pagamentos feitos por Alberto
1250 -1.250,00 Valor do terceiro pagamento feito 
por Alberto
3 3,00 Prazo do terceiro pagamento feito 
por Alberto
 1.201,78 Valor atualizado do terceiro paga-
mento feito por Alberto
 5.801,97 Valor presente dos três primeiros 
pagamentos feitos por Alberto
2300 -2.300,00 Valor do quarto pagamento feito 
por Alberto
4 4,00 Prazo do quarto pagamento feito 
por Alberto
 2.182,46 Valor atualizado do quarto paga-
mento feito por Alberto
 7.984,44 Valor presente dos quatro primei-
ros pagamentos feitos por Alberto
3550 -3.550,00 Valor do quinto pagamento feito 
por Alberto
 5 5,00 Prazo do quinto pagamento feito 
por Alberto
 3.324,70 Valor atualizado do quinto paga-
mento feito por Alberto
 11.309,14 Valor presente dos cinco paga-
mentos feitos por Alberto
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
Logo, R$ 11.309,14 representa o valor presente desse fluxo de cinco pagamentos variáveis, 
feitos por Alberto, quando analisados na data de hoje (data zero), ou seja, o valor seria o 
equivalente do fluxo desses cinco pagamentos variáveis, quando colocados na data de hoje.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
11309.14 -11.309,14 Valor presente dos cinco paga-
mentos feitos por Alberto
5 5,00 Insere o prazo em meses
 12.075,51 Valor Futuro
De outra forma, comentamos que, para computarmos o valor futuro, ao final do quinto 
mês, pela HP 12C, podemos proceder da seguinte maneira:
Portanto, R$ 12.075,51 descreve o valor futuro (montante) da capitalização feita para o 
valor presente da série de cinco pagamentos descritos anteriormente. Esse valor tam-
bém poderia ser encontrado se fizéssemos a capitalização de cada um desses paga-
mentos para a data cinco e se efetuássemos a soma deles capitalizados. 
5. AS TECLAS DE ATALHO CF0, CFj, Nj, NPV E IRR PARA 
ANÁLISE DE PROBLEMAS ENVOLVENDO AS SÉRIES DE 
PAGAMENTOS VARIÁVEIS
É importante salientarmos que, mesmo não tendo a presença do PMT, podemos facilitar 
ou simplificar os cálculos envolvendo implementações, na HP 12C, das séries de paga-
mentos variáveis ou não uniformes, com base em algumas funções especiais, também 
conhecidas nesse contexto como teclas de atalho.
Para simplificação de tal abordagem, podemos usar cinco funções específicas da HP 2C, 
na implementação do cálculo, envolvendo o valor presente de uma série não uniforme. Es-
sencialmente, as funções são CF0, CFj, Nj, NPV e IRR, em que a função denota o fluxo 
de caixa na data zero (fluxo de caixa inicial), a função representa o número de vezes 
que o valor do fluxo de caixa de ordem j (CFj) se repete em sequência, a função 
descreve o valor presente líquido e a função caracteriza a taxa interna de retorno. 
Ressaltamos que, como ponderação relevante, que toda vez que a série não uniforme em 
questão não apresenta fluxo de caixa no momento zero, isto é, se tivermos CF0 = 0, então 
o valor presente da série é equivalente ao valor presente líquido.
Série não uniforme CF0=0
Valor presente da 
série = valor pre-
sente líquido
Essa informação 
facilita muito a re-
solução de proble-
mas específicos
Figura 09. Interpretando o valor presente de uma série não uniforme quando CF0 = 0.
Fonte: elaborada pelo autor.
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CURIOSIDADE
Exemplo 6: a empresa Seguradora Beta finalizou o pagamento de um dado emprésti-
mo no último ano corrente, sendo que ele foi quitado em quatro pagamentos anuais e 
sucessivos nos valores de R$ 25.000,00, R$ 35.000,00, R$ 40.000,00 e R$ 50.000,00, 
respectivamente. A taxa de juros vinculada à operação foi de 27% a.a. Qual o valor do 
empréstimo feito pela empresa Seguradora Beta?
Solução: nessecaso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
Portanto, R$ 80.132,76 representa o valor do empréstimo feito pela empresa em ques-
tão. Ou seja, é como se pensássemos em atualizar cada um desses pagamentos para 
a data zero e, na sequência, somássemos todos eles. Em outras palavras, o valor R$ 
80.132,76 denota a equivalência dos pagamentos atualizados e somados na data zero.
Exemplo 7: Marcelo acaba de montar uma pequena empresa na área de cosméticos. 
Em seu planejamento estratégico, descreve que o investimento tem três anos de 
vida útil, podendo gerar receitas mensais conforme a Tabela 1, mostrada a seguir. 
Considerando que a taxa de desconto será equivalente a 36% ao ano, com capitali-
zação realizada mês a mês, qual seria o valor do investimento feito por Marcelo na 
data atual?
Falando em termos formais com relação à função , a HP 12C mensura diretamente o valor 
presente de até 20 (vinte) grupos de fluxo de caixa (excluindo o fluxo inicial), cada grupo contendo 
um máximo de 99 fluxos iguais.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0 Limpa os registros
25000 25.000,00 Fluxo na data 1 (primeiro pagamento)
35000 35.000,00 Fluxo na data 2 (segundo pagamento)
40000 40.000,00 Fluxo na data 3 (terceiro pagamento)
50000 50.000,00 Fluxo na data 4 (quarto pagamento)
27 27,00 Taxa de juros anual da operação de empréstimo 
(em %)
 80.132,76 Valor do empréstimo feito pela empresa Seguradora 
Beta
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
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Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
MESES NÚMERO DE MESES VALOR (EM R$)
1 a 12 12 8.000,00
13 a 20 08 9.000,00
21 a 24 04 10.000,00
25 a 35 11 15.000,00
36 01 20.000,00
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
8000 8.000,00 Valor dos fluxos do primeiro 
grupo
12 12,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
9000 9.000,00 Valor dos fluxos do segundo grupo
8 8,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
10000 10.000,00 Valor dos fluxos do terceiro grupo
4 4,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
15000 15.000,00 Valor dos fluxos do quarto grupo
11 11,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
20000 20.000,00 Valor do fluxo do quinto grupo
36 12 i> 3,00 Taxa mensal (em %)
 219.699,76 Valor do investimento na data de 
hoje
Portanto, concluímos que, na data atual, o valor do investimento realizado por Marcelo 
seria de R$ 219.699,76.
Tabela 01. Dados referentes ao exemplo. 
Fonte: elaborada pelo autor.
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CURIOSIDADE
6. INTRODUZINDO OS SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO
Em um primeiro instante, denominamos de amortização o ato de quitação de uma de-
terminada dívida. Sabemos que a disponibilidade de recursos é, sem dúvida, fator pre-
ponderante na decisão da implantação de um investimento, como a construção da casa 
própria, a aquisição de um equipamento industrial, a compra de um veículo, a aquisição 
de uma moto etc. A prazo ou à vista, sempre é necessário que tenhamos disponibili-
dade de recursos. Na ausência deles, ou se forem insuficientes, devemos procurar os 
conhecidos financiamentos ou empréstimos, principalmente em instituições financeiras 
privadas ou estatais.
Segundo a gestão financeira, os empréstimos podem ser de períodos curto, médio e 
longo. Os empréstimos de curto e de médio prazo caracterizam-se, originalmente, por 
serem saldados em até doze prestações ou pagamentos. São visualizados como ope-
rações de crédito realizadas pela organização ou pessoa, para suprir necessidades de 
capital de giro ou saldar, essencialmente, dívidas rotineiras.
De outra forma, os empréstimos de 
longo prazo (financiamentos), por 
existirem diversas modalidades de 
devolução do principal (ou do capital 
emprestado) e dos encargos finan-
ceiros peculiares, têm uma tratativa 
particular. Essas operações de cré-
dito têm suas condições previamen-
te fixadas por contratos bilaterais 
entre a organização e/ou pessoa e a 
instituição financeira financiadora.
Salientamos que o valor desses empréstimos (o principal ou capital inicial) deverá ser 
devolvido à instituição financeira, juntamente com os juros cobrados na operação. As 
maneiras pelas quais o principal pode ser devolvido conjuntamente com os juros são 
conhecidas rotineiramente como sistemas de amortização.
Figura 10. Financiamentos comuns de nosso cotidiano.
Fo
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e:
 1
23
rf.
Nesse momento, vamos nos familiarizar com os principais tipos de sistemas de amorti-
zação praticados no mercado financeiro brasileiro?
Os empréstimos ou financiamentos de longo período devem ter tratamento diretamente, já que as 
maneiras mais usuais de pagamento de uma dívida são distintas no sentido de como são obtidas 
as parcelas (podendo ser constantes, variáveis ou até únicas).
80
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
7. CONCEITOS PRELIMINARES ENVOLVENDO OS SISTEMAS 
DE AMORTIZAÇÃO
Para melhor entendimento dos sistemas de amortização, é primordial a interpretação e o 
conhecimento prévio de alguns elementos básicos para a criação de toda a tratativa teó-
rica. Esses conceitos são descritos na sequência com as suas principais especificidades. 
A partir do instante que introduzimos algumas ponderações gerais bem como apresen-
tamos os principais elementos que formam a teoria da amortização, é de nosso interes-
se, agora, discutirmos nas entrelinhas os principais sistemas de amortização inseridos 
no âmbito do mercado financeiro, que são: Sistema de Amortização Constante (SAC), 
Sistema Francês de Amortização (Price) e o Sistema de Amortização Misto (SAM).
8. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO CONSTANTE (SAC)
Segundo Puccini (2017, p. 189), o Sistema de Amortização Constante (SAC) também é 
conhecido como Sistema Hamburguês e passou a ser amplamente utilizado pelo Siste-
ma Financeiro de Habitação (SFH), a partir de 1971, que o adotou nos financiamentos 
de compra da casa própria. Atualmente, ele é muito usado para financiamentos de lon-
go prazo. De modo geral, o SAC é caracterizado por ter todas as parcelas de amorti-
zação do valor do principal uniformes, ou seja, elas são sempre iguais (ou constantes).
Assim, o valor da amortização é definido pela divisão do capital emprestado pelo número 
de prestações de amortizações. De outra forma, os juros são computados, a cada perío-
Sendo assim, de acordo com Camargos (2013, p. 99) definimos:
 ` Credor: indivíduo ou instituição financeira que concede o empréstimo 
ou o financiamento.
 ` Devedor ou mutuário: indivíduo ou organização que recebe o empréstimo 
ou financiamento.
 ` Taxa de juros: taxa contratada por ambas as partes no contrato bilateral.
 ` Prestação: somatório envolvendo a amortização acrescida dos juros e outros encargos financeiros pagos 
em um determinado momento.
 ` Amortização: relaciona-se às parcelas de devolutiva do principal 
(capital emprestado).
 ` Prazo de amortização: intervalo de tempo durante o qual serão pagas as prestações de amortizações.
 ` Saldo devedor: trata-se essencialmente do estado da dívida (débito) em determinado período.
 ` IOF: imposto sobre operações financeiras.
 ` Prazo de carência: equivale ao período compreendido entre a primeira liberação do empréstimo ou finan-
ciamento e o pagamento da primeira amortização.
 ` Prazo total: considera-se a soma do prazo de carência com o prazo 
 ` de amortização.
 ` Planilha: quadro em que são colocados os valores referentes ao empréstimo ou financiamento. Constitui-se 
de várias colunas que apresentam, após cada pagamento, a parcela de juros pagos, a amortização, a pres-
tação, os encargos financeiros (IOF, aval, comissões, taxa de abertura de crédito, etc.) e o saldo devedor.
GLOSSÁRIO
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do, multiplicando-se o valor da taxa de juros acordada pelo saldo devedor existente so-
bre o período imediatamente anterior, tendo valores decrescentes nos períodos (os juros 
diminuem período a período). O valor de cada prestação, a cada período, é equivalente 
à adição da amortização e dos encargos financeiros (juros, comissões etc.), sendo perió-
dica, sucessiva e decrescente em progressão aritmética (PA), de razão dada pelo produto 
da taxa de juros pela parcela de amortização. De forma sumarizada, temos as seguintes 
propriedades para o Sistema Hamburguês ou Sistema de Amortização Constante (SAC):
 � As parcelas de amortização do principal são constantes;
 � Os juros têm valores decrescentes nos períodos;
 � A prestação é periódica, sucessiva e decrescente em PA.
9. CONSTRUINDO A PLANILHA DO SISTEMA DE 
AMORTIZAÇÃO CONSTANTE
Para montarmos a planilha relacionada ao SAC, seguimos a sequência de passos ou 
etapas que descrevemos a seguir. Basicamente, a tratativa é feita com base nos aspec-
tos teóricos apontados na seção anterior.
1º passo: cálculo da parcela de amortização 
O valor da parcela de amortização (A) é caracterizado diretamente pelo quociente (I) 
A = , onde: PV = principal (valor do empréstimo ou do financiamento) e n = número 
de amortizações.
2º passo: cálculo do saldo devedor
O valor do saldo devedor de cada período t, (Pt), é dado pela expressão matemática (II) 
Pt = P t-1 – A = A x (n – t). 
3º passo: cálculo do valor dos juros
O valor dos juros de cada período t, (Jt ), é dado pela expressão matemática (III) Jt = i x 
Pt-1 , onde i = taxa de juros.
4º passo: cálculo do valor da prestação de cada período do SAC
O valor da prestação para cada período t, (PMTt ), é dado pela expressão característica 
(IV) PMTt = A + Jt .
Vejamos um exemplo de aplicação desse sistema.
Exemplo 8: a microempresa AFA Consultoria solicita um empréstimo em uma instituição 
financeira estatal no valor de R$ 100.000,00, para a compra de um aparelho destinado 
a sua UTI móvel. Dessa maneira, a instituição libera a quantia, no ato da assinatura do 
contrato, pelo sistema de amortização SAC. A taxa de juros operada pela instituição é 
de 6% ao mês e o principal será amortizado em cinco parcelas mensais. Dessa forma:
PV 
n
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
1º passo: 
O cálculo da parcela da amortização mensal será feito pela fórmula:
 
2º passo: 
O saldo devedor, após o pagamento de cada prestação mensal, é dado pela 
fórmula (II), descrita anteriormente. Assim, escrevemos:
 � Saldo devedor ao final do primeiro mês: P1 = 100.000 – 20.000 = 80.000.
 � Saldo devedor ao final do segundo mês: P2 = 80.000 – 20.000 = 60.000.
 � Saldo devedor ao final do terceiro mês: P3 = 60.000 – 20.000 = 40.000.
 � Saldo devedor ao final do quarto mês: P4 = 40.000 – 20.000 = 20.000.
 � Saldo devedor ao final do quinto mês: P5 = 20.000 – 20.000 = 0.
3º passo: 
O cálculo dos juros de cada mês é feito pela fórmula (III), apresentada anterior-
mente. Logo, escrevemos:
 � Juros do primeiro mês: J1 = 0,06 x 100.000 = 6.000.
 � Juros do segundo mês: J2 = 0,06 x 80.000 = 4.800.
 � Juros do terceiro mês: J3 = 0,06 x 60.000 = 3.600.
 � Juros do quarto mês: J4 = 0,06 x 40.000 = 2.400.
 � Juros do quinto mês: J5 = 0,06 x 20.000 = 1.200.
a. Construiremos a planilha da operação de crédito realizada pela AFA Consultoria.
b. Computaremos o custo efetivo (mensal) do empréstimo realizado pela 
 AFA Consultoria.
Solução: de acordo com o enunciado do exemplo, notamos que PV = R$ 100.000,00, n = 5 
meses e i = 6% ao mês = 0,06 ao mês. Então, vejamos a montagem da planilha, como segue.
a. Construção da planilha
Vamos desenvolver as etapas descritas anteriormente:
A = = 20.000, logo A = R$ 20.000/mês.100.000 
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MÊS Pi A Ji PMTi
0 100.000 - - -
1 80.000 20.000 6.000 26.000
2 60.000 20.000 4.800 24.800
3 40.000 20.000 3.600 23.600
4 20.000 20.000 2.400 22.400
5 0 20.000 1.200 21.200
Total 100.000 18.000 118.000
Tabela 01. Planilha da operação de crédito.
Fonte: elaborada pelo autor.
4º passo: 
O valor da prestação mensal do SAC é dado pela expressão (IV), descrita ante-
riormente. Então, escrevemos:
 � Prestação ao final do primeiro mês: PMT1 = 20.000 + 6.000 = 26.0000.
 � Prestação ao final do segundo mês: PMT2 = 20.000 + 4.800 = 24.800.
 � Prestação ao final do terceiro mês: PMT3 = 20.000 + 3.600 = 23.600.
 � Prestação ao final do quarto mês: PMT4 = 20.000 + 2.400 = 22.400.
 � Prestação ao final do quinto mês: PMT5 = 20.000 + 1.200 = 21.200.
A partir dos cálculos anteriores ou informações, podemos montar a planilha da 
operação de crédito realizada pela AFA Consultoria, como segue na Tabela 02:
 � Uma vez montada a planilha da operação de crédito feita pela AFA, com-
putamos o seu custo efetivo mensal. A representação gráfica do diagrama 
de fluxo de caixa (DFC) na visão da instituição é mostrada na Figura a 
seguir. Observe claramente que DFC é montado com base nos valores 
identificados para os pagamentos da Tabela.
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Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
100000 -100.000,00 Valor empréstimo
26000 26.000,00 Valor do primeiro pagamento
24800 24.800,00 Valor do segundo pagamento
23600 23.600,00 Valor do terceiro pagamento
22400 22.400,00 Valor do quarto pagamento
21200 21.200,00 Valor do quinto pagamento
 6,00 Custo efetivo mensal (em %)
1 2 3 4 5 (meses)
26.000
100.000
24.80
23.600
22.400
21.200
Figura 11. Representação gráfica do DFC associado do exemplo.
Fonte: elaborada pelo autor.
 � Podemos solucionar o exemplo implementando na HP 12C com o cálcu-
lo da taxa interna de retorno do fluxo de caixa apresentado anteriormente. 
Os passos são apresentados a seguir:
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MÊS PT A JT TAC IOF PMTT
0 100.000 - *500 **3.500 4.000
1 100.000 - 6.000 - - 6.000
2 100.000 - 6.000 - - 6.000
3 100.000 - 6.000 - - 6.000
4 80.000 20.000 6.000 - - 26.000
5 60.000 20.000 4.800 - - 24.800
6 40.000 20.000 3.600 - - 23.600
7 20.000 20.000 2.400 - - 22.400
8 0 20.000 1.200 - - 21.200
TOTAL 100.000 36.000 500 3.500 140.000
* Taxa de abertura de crédito = TAC = 0,5% de 100.000 = 500;
** IOF = 3,5 de 100.000 = 3.500.
Tabela 02. Planilha do exemplo.
Fonte: elaborada pelo autor.
Portanto, conclui-se que o custo efetivo será de 6% ao mês (equivalente à taxa interna 
de retorno em questão), pois a empresa não paga qualquer outro encargo financeiro ao 
banco, apenas a taxa de juros de 6% ao mês. Deve ficar evidente que a taxa de 5% ao 
mês representa, essencialmente, o custo da operação de empréstimo com base no SAC.
Exemplo 9: para esse exemplo, trabalharemos com os mesmos dados do exemplo an-
terior, considerando, entretanto, que a instituição financeira concedeu quatro meses de 
carência à AFA Consultoria e os juros serão pagos mês a mês. De outra forma, deverão 
ser pagos, no ato, a taxa de abertura de crédito de 0,5% sobre o valor financiado bem 
como o IOF de 3,5% sobre o valor do financiamento. Logo, pede-se:
 � A montagem da planilha vinculada a essa operação de financiamento.
 � A determinação do custo efetivo (anual) vinculado a essa operação de financiamento.
Solução: nesse caso, temos que:
 � Utilizando-se dos cálculos do exemplo anterior, temos a planilha descrita na Tabela 03:
86
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
 � O diagrama de fluxo de caixa na visão da instituição financeira para essa ope-
ração é mostrado na figura a seguir:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO DA 
FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
100000taxas de juros UNIDADE 1
MATEMÁTICA FINANCEIRA: 
REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO E 
TAXAS DE JUROS
Não é novidade para ninguém que vivemos em um mundo globalizado e extremamente 
concorrido, onde percebe-se que a parte mais sensível, seja no aspecto pessoal ou 
organizacional, é, sem dúvida nenhuma, o “bolso”. Em outras palavras, quando comen-
tamos situações que envolvem “dinheiro”, temos uma reação impulsiva e inquieta, já 
que a saúde financeira é tudo.
Dessa forma, segundo Castelo Branco (2015, p. 5), em um primeiro instante, podemos 
encarar a Matemática Financeira como sendo a parte da Matemática Aplicada, que 
analisa as situações financeiras, ao longo da escala de tempo, ou seja, a Matemática 
Financeira estuda a evolução do dinheiro, ao longo do tempo. 
É importante salientarmos que, frequente-
mente, encontramos problemas em nosso 
dia a dia pessoal ou profissional, que de-
pendem diretamente das conceituações e 
métodos da Matemática Financeira. Alguns 
exemplos são: quando financiamos um au-
tomóvel ou uma casa própria e desejamos 
saber quanto pagaríamos, mensalmente, 
pelas prestações desses financiamentos; 
quando necessitamos saber qual o melhor 
tipo de investimento (caderneta de poupan-
ça ou outro); quando desejamos computar qual o custo efetivo do nosso cartão de 
crédito; ou, ainda, quando necessitamos interpretar os indicadores com relação à 
rentabilidade e ao risco de investimentos. Em todas essas situações, usamos dire-
tamente e indiretamente os princípios da Matemática Financeira. Essencialmente 
falando, ela se encontra presente no nosso dia a dia.
Deve ficar evidente que, para o pleno conhecimento e entendimento das operações 
financeiras, precisamos utilizar ferramentas simples e de procedimentos mais sofistica-
dos. A título de ilustração, para as operações financeiras, que são mensuradas ao longo 
do tempo, é necessário conhecermos uma das ferramentas primordiais da Matemática 
Financeira: o Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC). O DFC é uma espécie de represen-
tação dinâmica e simples envolvendo as movimentações financeiras, no decorrer da 
escala de tempo da operação.
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Figura 01. Aplicações cotidianas da mate-
mática financeira.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
GLOSSÁRIO
IMPORTANTE
1. INTERPRETANDO OS ELEMENTOS BÁSICOS DA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
A fim de inserirmos os primeiros elementos fundamentais para a construção de todo o 
aparato envolvendo a Matemática Financeira e a Análise de Investimentos, tomaremos 
como referência o seguinte exemplo introdutório: 
Exemplo 1: se o seu cunhado, João Lucas, pedisse a você o valor de R$ 3.000,00 
emprestado, para ser pago no início do próximo ano, você acharia a proposta atraente? 
Independentemente do indivíduo e por melhor que sejam as intenções dele, é plausível 
que tal operação financeira em um primeiro instante não lhe agrade.
Note que algumas inquietações poderiam surgir naturalmente, tais como: 
 � João Lucas realmente liquidará o empréstimo na data acordada?
 � Será que, tendo tal quantia em mãos, seria possível você comprar algo agora? Isso 
continuaria tendo o mesmo valor monetário no início do próximo ano? Ou sofreria mo-
dificações relevantes?
 � Todavia, se continuasse com os R$ 3.000,00 em mãos, você poderia também resolver 
algumas de suas necessidades básicas ou secundárias, ou até mesmo poderia aplicá-
-los em algum fundo de investimento (renda fixa, caderneta de poupança, aquisição, 
fundo de ações, tesouro nacional, etc.) gerando assim bonificações ou receitas.
Os temas abordados até aqui são de fundamental importância para compreendermos a 
aplicabilidade da Matemática Financeira em nosso contexto atual.
Baseando-nos nas ponderações apresentadas, podemos observar que o ponto-chave da 
Matemática Financeira se concentra na afirmação de que o dinheiro tem custo asso-
ciado ao tempo ou, ainda, que o dinheiro se modifica com o passar do tempo, gerando 
remuneração, rendimento, ganhos, perdas etc.
De outro modo, devemos salientar que temos alguns fatores influenciam, de forma direta, 
a preferência pelo dinheiro no momento atual (data de hoje). Dentre eles, listamos:
Segundo Feijó (2015, p. 7), a representação de uma situação-problema relacionando o valor 
inicial, o período de tempo e a taxa de juros é rotineiramente denominada de fluxo de caixa.
Conforme Almeida (2016), a Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada que fun-
damentalmente interpreta o valor do dinheiro no horizonte do tempo. Ela apresenta como alicerce 
básico as interpretações e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro evidencia-
dos em vários tempos ou períodos.
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1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
PARA REFLETIR
GLOSSÁRIO
Segundo Assaf Neto (2017, p. 9), o valor do dinheiro no tempo está intimamente ligado à inter-
pretação de que seu valor varia com o passar do tempo, quer evidenciado por investimentos, 
empréstimos, financiamentos etc. Assim, surge a ideia básica do termo juros, que é a remu-
neração que pagamos pelo aluguel de determinada quantia de dinheiro em um dado período.
2. A IMPORTÂNCIA DA LIQUIDEZ NO ÂMBITO DA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Já foi comentado que a Matemática Financeira tem como objetivo principal estudar o 
valor do dinheiro no tempo. Como comparar tais valores na escala de tempo? Inicial-
mente, é interessante averiguarmos a conceituação de liquidez.
Risco: 
É notório que sempre teremos a possibilidade de as coisas fugirem do nosso 
alcance, ou seja, de não ocorrerem conforme esperamos (contas anormais, por 
exemplo, podem surgir).
Utilidade: 
Quando investimos um determinado valor em dinheiro, isso pode ser interpretado 
como se estivéssemos deixando de comprar (consumir) agora para comprarmos no 
futuro, que manifestamente só será atraente se tivermos algum tipo de compensação. 
Oportunidade: 
Independentemente do contexto, é sabido que os recursos financeiros estão 
cada vez mais escassos ou limitados e, logo, a posse atual deles, na data de 
hoje, faz com que, de alguma forma, aproveitemos as várias oportunidades de 
mercado que podem aparecer (promoções diversas, liquidações etc.).
Para melhor entendimento do conceito, vejamos mais uma questão ilustrativa.
Exemplo 2: você prefere receber R$ 1.000,00 hoje ou daqui a trinta dias? Se a sua res-
posta foi hoje é porque, para o leitor, mil reais hoje tem um valor maior do que daqui a 
trinta dias. Você já se perguntou o porquê disso?
O tempo é uma variável importantíssima para a Matemática Financeira, já que, como comentamos 
anteriormente, o dinheiro tem custo associado diretamente ao horizonte do tempo.
Segundo Ferreira (2014, p. 16), liquidez significa a capacidade que uma aplicação financeira tem 
de se transformar em dinheiro. Dessa forma, quanto mais rápido o resgate da aplicação ocorrer, 
maior será a liquidez.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
GLOSSÁRIO
Certamente, uma das razões é o que se convencionou chamar na Matemática Financeira 
de preferência pela liquidez. E qual é a razão de darmos preferência pela liquidez? É 
pela insegurança gerada, quando pensamos na possibilidade de, ao final dos trinta dias, 
não contarmos mais com o dinheiro, ou ainda, de não contarmos com o mesmo poder 
aquisitivo que o dinheiro pode nos proporcionar hoje.
Exemplo 3: Considere agora que um amigo está passando por um período financeiro 
difícil e que você, em função de sua cautela, conseguiu juntar uma pequena reserva, ao 
longo dos anos de trabalho. Você, portanto, tem condições de ajudar o seu amigo, em-
prestando-lhe uma parte de sua reserva financeira.
Suponha que retire parte dessa reserva, que deve estar aplicada em algumas das di-
versas alternativas de investimento, a quantia de R$ 5.000,00. Então, disponibiliza o 
valor para o seu amigo enfrentar as dificuldades dele, que, como você espera, devem 
ser momentâneas.4000 
 96000 
-96.000,00 Valor emprestado
6000 6.000,00 Valor dos fluxos do primeiro 
grupo
3 3,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
26000 26.000,00 Valor do fluxo do segundo grupo
24800 24.800,00 Valor do fluxo do terceiro grupo
23600 23.600,00 Valor do fluxo do quarto grupo
22400 22.400,00 Valor do fluxo do quinto grupo
21200 21.200,00 Valor do fluxo do sexto grupo
Assim, o custo efetivo do empréstimo é equivalente à taxa interna de retorno do fluxo de 
caixa mostrado anteriormente. Dessa forma, vamos implementar o seu cálculo na HP 
12C, como segue:
Fonte: elaborada pelo autor.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 (meses)
100.000
4.000
6.000
26.000
24.800 23.600
22.400
21.200
Figura 12. Representação gráfica do DFC do exemplo.
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10. SISTEMA FRANCÊS DE AMORTIZAÇÃO (OU TABELA PRICE) 
Segundo Puccini (2017, p. 199), esse sistema também é conhecido popularmente pelas 
nomenclaturas “Sistema Price ou Tabela Price2” ou “Sistema de Prestação Constan-
te”. Ele é muito utilizado nas compras a prazo de bens de consumo (com crédito direto 
ao consumidor). O sistema estipula que as prestações devem ser iguais, periódicas 
e sucessivas. Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, são decrescentes e as 
parcelas de amortização assumem valores crescentes. A soma dessas duas parcelas 
permanece sempre igual ao valor da prestação. 
Com o auxílio da calculadora HP 12C, podemos obter, facilmente, as parcelas de capital 
(amortização) e as de juros, correspondentes a cada prestação, o saldo devedor após 
cada pagamento, a soma das parcelas de juros consecutivas e o valor das amortiza-
ções acumuladas até certo período. Conforme aponta Almeida (2016, p. 110), o Siste-
ma Price apresenta as seguintes características, que devem ser conhecidas para o seu 
entendimento, na prática do mercado financeiro como um todo:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO DA 
FUNÇÃO
 6,84 Custo efetivo mensal (em %)
100 1 1,07 1 + a taxa mensal (forma unitária)
12 1 100 121,28 Custo efetivo anual (em %)
 � Quando a taxa de juros for anual, com pagamento mensal, semestral ou tri-
mestral, usa-se a taxa proporcional ao período de pagamento;
 � Quando a taxa de juros for mensal, com pagamento semestral, trimestral ou 
anual, usa-se a taxa equivalente ao período de pagamento.
Exemplo 10: um empréstimo de R$ 70.000,00, feito pelo AFA Consultoria, deve ser liqui-
dado em 5 prestações mensais, pelo Sistema Price, sendo que a primeira vence um mês 
após a data do contrato. A taxa de juros cobrada é de 36% ao ano. Calcule o valor das 
prestações, os valores das parcelas de amortização, as parcelas de juros de cada presta-
ção e o saldo devedor após cada pagamento. Por fim, construa a planilha do empréstimo.
Solução: nesse caso, usaremos na calculadora HP 12C, a função amarela AMORT, que 
permite o desdobramento das prestações iguais (PMT) em amortizações e juros. Com 
essa função, também poderemos calcular o total de juros e amortizações entre duas 
prestações, conforme mostrado a seguir:
88
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
De acordo com os cálculos apresentados, podemos construir a seguinte planilha 
do empréstimo:
MÊS PT A JT PMTT
0 70.000 - - -
1 56.815,18 13.184,82 2.100 15.284,82
2 43.234,82 13.580,36 1.704,46 15.284,82
3 29.247,04 13.987,78 1.297,04 15.248,82
Tabela 03. Planilha do exemplo.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
70000 70.000,00 Valor emprestado
5 5,00 Número de prestações mensais
3 3,00 Taxa de juros mensal (usamos a taxa proporcional 
ao período) (ver observação acima)
 15.284,82 Valor das prestações mensais
1 2.100,00 Juros referentes à primeira prestação
y> 13.184,82 Amortização referente à primeira prestação
RCL -56.815,18 Saldo devedor após o pagamento da primeira 
prestação
1 1.704,46 Juros referentes à segunda prestação
y> 13.580,36 Amortização referente à segunda prestação
RCL -43.234,82 Saldo devedor após o pagamento da segunda 
prestação
1 1.297,04 Juros referentes à terceira prestação
y> 13.987,78 Amortização referente à terceira prestação
RCL -29.247,04 Saldo devedor após o pagamento da terceira 
prestação
1 877,41 Juros referentes à quarta prestação
y> 14.407,41 Amortização referente à quarta prestação
RCL -14.839,63 Saldo devedor após o pagamento da quarta 
prestação
1 445,19 Juros referentes à quinta prestação
y> 14.839,63 Amortização referente à quinta prestação
RCL -0,00 Saldo devedor
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MÊS PT A JT PMTT
4 14.839,63 14.407,41 877,41 15.284,82
5 0,00 14.839,63 445,19 15.284,82
TOTAL - 70.000,00 6.424,10 76.424,10
70.000
15.284,82
(meses)0 1 2 3 4 5
Figura 13. DFC associado.
Fonte: elaborada pelo autor.
O fluxo de caixa na visão da instituição financeira é mostrado na Figura 13, a seguir.
Exemplo 11: um empréstimo de R$ 90.000,00, feito pela AFA Consultoria, deve ser liqui-
dado em quatro prestações trimestrais, pelo Sistema Price, a uma taxa de juros de 3,5% 
ao mês. Elabore a planilha do empréstimo.
Solução: observe que, nesse caso, temos que PV = 90.000,00, n = 4 trimestres e i = 
3,5% ao mês = 0,035 ao mês. Além disso, da teoria sobre taxas, sabemos que a taxa 
trimestral composta equivalente a 3,5% ao mês é dada por i = 10,87% ao trimestre. 
Vejamos a resolução, via HP 12C, a seguir:
Os dados do exemplo (PV, n e i) podem ser introduzidos em qualquer ordem na calculadora 
HP 12C.
IMPORTANTE
90
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
90000 -90.000,00 Valor emprestado
90000 -90.000,00 Valor emprestado
4 4,00 Número de prestações trimestrais
10.87 10,87 Taxa de juros trimestral (usamos a 
taxa equivalente composta)
 28.928,89 Valor das prestações trimestrais
1 9.783,00 Juros referentes à primeira prestação
y> 19.145,89 Amortização referente à primeira 
prestação
RCL -70.854,11 Saldo devedor após o pagamento da 
primeira prestação
1 7.701,84 Juros referentes à segunda prestação
y> 21.227,05 Amortização referente à segunda 
prestação
RCL -49.627,06 Saldo devedor após o pagamento da 
segunda prestação
1 5.394,46 Juros referentes à terceira prestação
y> 23.534,43 Amortização referente à terceira 
prestação
RCL -26.092,62 Saldo devedor após o pagamento da 
terceira prestação
1 2.836,27 Juros referentes à quarta prestação
y> 26.902,62 Amortização referente à quarta 
prestação
RCL -0,00 Saldo devedor
Portanto, temos a planilha associada mostrada na Tabela 04:
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TRIMESTRE PT A JT PMTT
0 90.000
1 70.854,11 19.145,89 9.783,00 28.928,89
2 49.627,06 21.227,05 7.701,84 28.928,89
3 26.092,62 23.534,43 5.394,46 28.928,89
4 0,00 26.092,62 2.836,27 28.928,89
TOTAL 90.000,00 25.715,57 115.715,57
Tabela 04. Planilha do exemplo.
Fonte: elaborada pelo autor.
90.000
28.928,82
0 1 2 3 4 (trimestres)
Figura 14. DFC associado.
Fonte: elaborada pelo autor.
E o fluxo de caixa da instituição financeira mostrado na Figura 14, a seguir:
11. SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO (SAM)
Segundo Neto (2017, p. 207), historicamente, podemos assegurar que o Sistema de 
Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido, originalmente, para as operações de finan-
ciamento do Sistema Financeiro de Habitação. Atualmente, é chamado também de Sis-
tema de Amortizações Crescentes (SACRE). Representa a médiaaritmética entre o 
Sistema Francês (SAF) ou Price e o Sistema de Amortização Constante (SAC), e, a 
partir disso, explica-se a sua conceituação. Para cada um dos valores de seu plano 
de pagamentos, deve-se somar aqueles obtidos pelo SAF com os do SAC e efetuar a 
divisão por dois.
Aproximadamente, até a metade do período de financiamento, as amortizações são 
menores do que as do Sistema Price. Por consequência, a queda do saldo devedor é 
mais acentuada e são menores as chances de resíduo ao final do contrato, como pode 
ocorrer no Sistema Price. Uma das desvantagens do SAM é que suas prestações 
92
Séries de pagamentos e sistemas de amortização
3
iniciais são, ligeiramente, mais altas do que as do Price. Contudo, após a metade do 
período, o mutuário sentirá uma queda substancial no comprometimento de sua renda 
com o pagamento das prestações.
Vejamos, na Figura a seguir, uma comparação geométrica entre os valores dos três 
sistemas de amortização discutidos anteriormente. 
Fonte: elaborada pelo autor.
Prestações
Sistema Francês
SAM
SAC
Tempo
Figura 15. Gráfico comparativo entre os três sistemas de amortização.
Para finalizarmos a discussão com relação aos sistemas de amortização, é interessante 
ressaltarmos que, na prática empresarial, para os financiamentos voltados para o crédi-
to imobiliário, atualmente, é utilizado o sistema SAC, enquanto que, para financiamen-
tos de carros, motos e bens em geral, utiliza-se o Price.
Além disso, no ponto de vista de custo, podemos mencionar que os dois sistemas são 
equivalentes. Deve-se notar que, no SAC, você amortiza o saldo devedor mais rápido 
do que no Price. Como os juros são pagos sobre o saldo devedor, no SAC paga-se 
menos juros. No entanto, seguindo o SAC, você só pagará mais do que deve ao banco 
em um período de tempo menor.
Por outro lado, podemos levar em consideração que o SAC é ideal para pessoas ou 
empresas que querem reduzir o peso das parcelas, no decorrer do financiamento, pa-
gando menos por mês ao final do prazo. Já o Sistema Price é indicado para as pessoas 
ou empresas que esperam aumentar a sua renda e, consequentemente, uma redução 
relativa do custo da parcela em seu orçamento. 
Para maiores informações acerca da aplicabilidade dos sistemas de amortização nas diversas ope-
rações de empréstimos e financiamentos, você pode pesquisar em Hoji (2016, p. 112-117).
PESQUISE
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, Jarbas Thaunahy Santos de. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 2017. 
CAMARGOS, Marcos Antônio de. Matemática financeira: aplicada a produtos financeiros e à análise de inves-
timentos. São Paulo: Saraiva, 2013. [Minha Biblioteca]. 
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel®. 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 
FEIJÓ, Ricardo Luís Chaves. Matemática financeira com conceitos econômicos e cálculo diferencial: utiliza-
ção da HP-12C e planilha Excel. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2015. 
FERREIRA, Roberto G. Matemática financeira aplicada: mercado de capitais, administração financeira, finan-
ças pessoais. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2014. 
HOJI, Masakazu. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016. [Minha Biblioteca]. 
OLIVEIRA, Gustavo Faria de. Matemática financeira descomplicada: para os cursos de economia, administra-
ção e contabilidade. São Paulo: Atlas, 2013. 
POMPEO, José Nicolau; HAZZAN, Samuel. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2014. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
94
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
UNIDADE 4
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS: 
VALOR PRESENTE E PRESENTE 
 LÍQUIDO, TIR E PAYBACK
1. ASPECTOS INTRODUTÓRIOS DOS INDICADORES 
FINANCEIROS PARA A CARACTERIZAÇÃO DA VIABILIDADE DE 
PROJETOS ORGANIZACIONAIS
Ferreira (2014) afirma que, no mundo atual e globalizado, é sabido que há intensa 
competitividade entre pessoas e organizações, em, cada vez mais, faz-se de extrema 
relevância a tomada de decisão gerencial com confiabilidade, principalmente, em re-
lação à prática financeira e à análise de investimentos.
Assim, indivíduos e empresas buscam ferramentas para alicerçarem suas tomadas de 
decisões nas questões da gestão financeira ou análise de investimentos. Particularmen-
te, uma das decisões mais difíceis, em nível empresarial ou até mesmo pessoal, seria a 
de decidir o momento certo de investir em um determinado projeto ou empreendimento.
Para isso, temos alguns indicadores financeiros que podem mensurar e auxiliar, dentre 
os quais, citamos: o valor presente líquido (VPL ou NPV), a taxa interna de retorno (IRR 
ou TIR), o payback, dentre outros. Salientamos que as conceituações envolvendo o 
VPL e a TIR foram apresentadas na terceira unidade.
Em outras palavras, isso nos prescreve que, compreender e se familiarizar com alguns indi-
cadores relacionados às situações de investimentos, se torna um diferencial para o mercado. 
Para iniciarmos esse aparato, Almeida (2016) nos informa que a orçamentação de ca-
pital é a nomenclatura dada ao procedimento de tomada de decisões para buscar e 
adquirir ativos no âmbito do longo prazo. Com esse objetivo, existem diversas técnicas 
ou métodos, convenções e critérios que são, frequentemente, utilizados na identificação 
desse processo de decisão. Assim, denominaremos esses procedimentos de indicado-
res financeiros para mensuração da viabilidade econômica de projetos diversos.
Em um primeiro momento, é preciso evidenciar que os indicadores para a averiguação 
da viabilidade de projetos organizacionais se classificam em dois grandes grupos: os 
associados à rentabilidade em si do projeto e os relacionados ao risco associado ao 
projeto. Vejamos a Figura 01:
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e:
 e
la
bo
ra
da
 p
el
o 
au
to
r.
INDICADORES ASSOCIADOS À 
RENTABILIDADE DO PROJETO 
(GANHO OU CRIAÇÃO DE RIQUEZA)
Valor Presente Líquido (VPL) Taxa Interna de Retorno 
(TIR ou IRR)
Período de Recuperação do 
Investimento (Pay-back)
Ponto de Fisher
Valor Presente Líquido 
Anualizado (VPLa)
Índice Custo Benefício
Retorno Adicional sobre 
o Investimento (ROIA)
INDICADORES ASSOCIADOS 
AO RISCO DO PROJETO
Figura 01. Classificação dos indicadores financeiros.
De acordo com Feijó (2015, p. 142), o valor presente líquido (VPL ou NPV), a taxa in-
terna de retorno (TIR ou IRR) e o payback são métodos, rotineiramente, usados para 
mensurar a rentabilidade e analisar a viabilidade econômica das alternativas de investi-
mento em um primeiro momento.
2. VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL OU NPV) COMO 
INDICADOR DA RENTABILIDADE DO PROJETO
Neste momento, descreveremos o valor 
presente líquido de uma série de paga-
mentos como um indicador voltado para a 
caracterização da viabilidade de determi-
nados projetos organizacionais. 
Segundo Assaf Neto (2017), podemos in-
terpretar o valor presente líquido NPV de 
uma série de pagamentos (recebimentos 
ou anuidades), descontado a uma taxa, 
como sendo caracterizado pela diferen-
ça do valor presente da série em questão 
menos o fluxo de caixa na data zero valor 
do fluxo inicial.
Figura 02. O valor presente líquido é usado para 
medir a rentabilidade.
Fo
nt
e:
 1
23
rf.
96
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
Em termos matemáticos, podemos escrever que o NPV ou VPL de uma série de paga-
mentos é descrito pela fórmula característica a seguir:
Onde, 
Ela representa, formalmente, o valor presente da série em questão. Dessa maneira, 
com relação ao valor presente líquido, temos a seguinte análise para a averiguação da 
atratividade do ganhoadicional com relação a um dado projeto ou empreendimento.
Figura 03. Caracterização da atratividade do projeto em análise via interpretação do VPL.
Projeto economicamente viável
NPV > 0
Projeto economicamente inviável
NPV 0, então haverá um ganho adicional (expresso em 
valores atuais) em relação ao mesmo investimento aplicado a uma taxa de desconto, isto é, o inves-
timento será atrativo financeiramente falando. 
De forma contrária, se NPV 0,00 Limpa os registradores da calcu-
ladora
10000 -10.000,00 Inserimos o valor do empréstimo 
feito por Roberto
3000 3.000,00 Valor do primeiro pagamento feito 
por Roberto
5000 5.000,00 Valor do segundo pagamento 
feito por Roberto
7500 7.500,00 Valor do terceiro pagamento feito 
por Roberto
7 7,00
Taxa mensal de juros (%) da 
operação de empréstimo feito 
por Roberto
 3.293,17
Valor presente líquido ou valor 
atual do empréstimo feito por 
Roberto na instituição financeira 
em questão
EMULADOR da Calculadora Financeira HP 12c. Superdownloads, [s.l.], 17 out. 2008. Dis-
ponível em: http://www.superdownloads.com.br/download/51/emulador-da-calculadora-finan-
ceira-hp-12c/. Acesso em: 10 fev. 2020.
HP 12C Gold on-line - emulador da famosa calculadora financeira. Fazer Fácil, [s.l., s.d.]. Dis-
ponível em: http://www.fazerfacil.com.br/calculadoras/hp12c.html. Acesso em: 10 fev. 2020.
Para tablets e smartphones: você pode pesquisar por simulador da HP 12C na sua loja de referên-
cia, de acordo com a marca de seu aparelho (Play Store para Android ou Apple Store para IOS).
98
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
 � Dessa forma, como NPV = R$ 63.149,66, que é maior do que R$ 60.000,00 
(preço à vista), a melhor opção seria a compra à vista. Se você também tivesse 
a alternativa de aplicar seus recursos financeiros em um título de renda fixa em 
um banco privado a uma rentabilidade de 3% ao mês seria mais interessante do 
que a compra à vista.
 � Para a taxa de juros de 3,5%:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
3 3,00 Taxa mensal de juros (em %)
25000 25.000,00 Valor da entrada (fluxo inicial)
1200 1.200,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
2000 2.000,00 Valor dos fluxos do segundo grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
2500 2.500,00 Valor dos fluxos do terceiro grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
 63.149,66 Valor presente
Assim, o valor NPV = R$ 3.293,17 descreve a diferença entre a soma dos valores 
atualizados dos fluxos de pagamentos menos o valor do empréstimo em questão, 
de R$ 10.000,00.
Exemplo 2: uma imobiliária de Bragança Paulista (SP) colocou à venda um apartamen-
to por R$ 60.000,00 à vista ou em três anos de prazo, com entrada equivalente a R$ 
25.000,00 juntamente com 12 prestações mensais de R$ 1.200,00 no primeiro ano, 
mais 12 prestações mensais de R$ 2.000,00 no segundo ano, e mais 12 prestações 
mensais de R$ 2.500,00 no último ano. Vamos supor que seja de seu interesse adquirir 
o imóvel até mesmo à vista. Nesse sentido, qual seria a sua decisão? O que decidiria se 
tivéssemos as taxas de 3,5% ao mês e a de 4% ao mês?
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C, para cada um 
dos casos referenciados para a taxa de juros.
 � Para a taxa de juros de 3% ao mês:
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FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
3,5 3,50 Taxa mensal de juros (em %)
25000 25.000,00 Valor da entrada (fluxo inicial)
1200 1.200,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
2000 2.000,00 Valor dos fluxos do segundo grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
2500 2.500,00 Valor dos fluxos do terceiro grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
 59.966,38 Valor presente
Assim, para a taxa de juros igual a 3,5% ao mês, percebemos que NPV = R$ 59.966,38, 
que é um valor muito próximo de R$ 60.000,00 (preço à vista), portanto, poderíamos 
declarar que, nesse caso, seria indiferente comprar à vista ou a prazo com a taxa de 
3,5% ao mês. Em outras palavras, temos aqui a presença da descapitalização do 
valor que poderia ser investido de R$ 60.000,00.
 � Para a taxa de juros de 4% ao mês:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
4 4,00 Taxa mensal de juros (em %)
25000 25.000,00 Valor da entrada (fluxo inicial)
1200 1.200,00 Valor dos fluxos do primeiro 
grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
2000 2.000,00 Valor dos fluxos do segundo grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
100
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
Então, como NPV = R$ 57.139,16, que é menor do que R$ 60.000,00 (preço à vista), a 
melhor opção seria pela compra a prazo. Ou, ainda, temos aqui a presença da descapi-
talização do valor que poderia ser investido de R$ 60.000,00.
Exemplo 3: a Bela Face Ltda é uma pequena empresa, situada no interior paulista, que 
trabalha com produtos na área de cosméticos. Neste ano, ela iniciou, de forma bem 
simples e estruturada, o seu processo de expansão para cidades próximas a sua ma-
triz. A partir desse contexto, vamos averiguar se o projeto da empresa Bela Face Ltda, 
mostrado a seguir, pode ser aceito, considerando uma taxa de juros exponencial na 
ordem de 8% ao mês.
900
91
8.000
2900=900+2.000
10 (meses)
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 04. Representação geométrica (diagrama de fluxo de caixa) do projeto da Bela Face Ltda.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
2500 2.500,00 Valor dos fluxos do terceiro grupo
12 12,00 Número de fluxos iguais
 57.139,16 Valor presente
Valor do investimento inicial da Bela Face Ltda = R$ 8.000,00
Vida útil ou horizonte do projeto da Bela Face Ltda = 10 meses
Receitas líquidas mensais estimadas da Bela Face Ltda = R$ 900,00
Valor residual = R$ 2.000,00
Solução: primeiramente,vejamos a representação geométrica ou o fluxo de caixa do 
projeto de expansão da Bela Face LTDA, conforme ilustramos na Figura 04:
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Portanto, para averiguarmos se esse projeto é ou não atrativo, em termos de rentabili-
dade, devemos caracterizar o valor presente líquido (VPL ou NPV) e usar o critério de 
tomada de decisão dele.
Para tal, solucionando no foco da HP 12C (cálculo do valor presente líquido), temos a 
sequência de passos, conforme demonstrado a seguir:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
8000 -8.000,00 Valor do investimento inicial do 
projeto Bela Face Ltda
900 900,00 Valor da primeira receita líquida 
mensal do projeto Bela Face Ltda
9 9,00
Número de vezes que esse valor 
se repete no fluxo do projeto Bela 
Face Ltda
2900 2.900,00
Valor da décima receita líquida 
mensal do projeto da Bela Face 
Ltda
8 8,00 Taxa mensal de juros (em %) do 
projeto Bela Face Ltda
 -1.034,54 Valor presente líquido do projeto 
da Bela Face Ltda
Fonte: elaborada pelo autor.
Dessa forma, como podemos observar que o NPV = – 1.034,54 0,00 Limpa os registradores da calcu-
ladora
200000 - 200.000,00 Valor do investimento inicial da 
empresa
50000 50.000,00 Receita anual líquida estimada 
pela empresa
10 10,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
18 18,00 Taxa anual de juros (em %) do 
projeto da empresa
 24.704,31 Valor presente líquido do projeto 
da empresa
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Portanto, como o valor presente líquido é igual a NPV = 24.704,31 > 0, concluímos que 
o projeto é atrativo, ou seja, ele é financeiramente, rentável para a sua empresa, logo, 
deve ser implementado.
3. CONCEITUAÇÃO FORMAL DA TAXA INTERNA DE RETORNO 
(TIR OU IRR)
De acordo com Hoji (2016), podemos interpretar a Taxa Interna de Retorno (IRR ou TIR) 
como a taxa de desconto que faz com que o valor presente líquido de um fluxo de 
caixa igual seja igual a zero.
Em outras palavras, a taxa interna de retorno será caracterizada a partir do momento 
em que igualamos a expressão característica do valor presente líquido a zero, ou 
seja, da igualdade:
Igualando a zero, obtemos:
Ou, ainda, sem grandes dificuldades, escrevemos:
CFj CF0 =
n
j=1
Σ (1+i)j
Vejamos alguns exemplos da aplicabilidade do cálculo da taxa interna de retorno no 
foco da HP 12C.
Exemplo 5: vamos computar a taxa interna de retorno vinculada a uma operação 
de empréstimo feita por Cauã, em uma instituição financeira privada, no valor de R$ 
15.000,00, a ser liquidado em quatro prestações mensais de R$ 4.500,00, R$ 5.000,00, 
R$ 3.500,00 e R$ 5.500,00. 
NPV=
CF1 CF2 CF3 + + + +... CFn -CF0,1+i (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n
CF1 CF2 CF3 + + + +... CFn -CF0 = 01+i (1+i)2 (1+i)3 (1+i)n
É relevante comentarmos que, em linhas práticas do mercado financeiro e de análise de investi-
mentos, a taxa interna de retorno (IRR) iguala, no momento zero, o valor presente das entradas (re-
cebimentos) com o das saídas (pagamentos) previstas no fluxo de caixa em questão. Em verdade, 
a taxa interna de retorno, nas operações de empréstimos ou financiamentos ou de aplicações de 
recursos financeiros, nada mais é do que a taxa de juros da operação em questão.
IMPORTANTE
104
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
Castelo Branco (2015) indica que a HP 12C computa esse cálculo usando a função 
 (que significa Internal Rate Return), que comparece nas teclas da memória 
financeira dela. Nesse sentido, a sequência de passos para a caracterização da IRR é 
apresentada na sequência.
15.000
4.500
5.000
3.500
5.500
Figura 06. Representação geométrica (diagrama de fluxo de caixa) do projeto.
Fonte: elaborada pelo autor.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores da calcu-
ladora
15000 -15.000,00 Valor do empréstimo feito por 
Cauã
4500 4.500,00 Valor do primeiro pagamento feito 
por Cauã
5000 5.000,00 Valor do segundo pagamento feito 
por Cauã
3500 3.500,00 Valor do terceiro pagamento feito 
por Cauã
5500 5.500,00 Valor do quarto pagamento feito 
por Cauã
 8,81 Taxa interna de retorno mensal 
(em %)
Solução: inicialmente, descrevemos, o diagrama de fluxo de caixa dessa operação to-
mando como referência a instituição financeira em que Cauã fez o empréstimo, ou seja, 
faremos a representação dele na visão da instituição financeira. Observe a Figura 08.
105
4
Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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Observemos que a taxa encontrada, IRR = 8,81% ao mês, seria a taxa necessária para 
deixarmos equivalente o fluxo inicial (R$ 15.000,00) com a soma dos valores atualiza-
dos na data zero dos fluxos de pagamentos.
Exemplo 6: um componente eletrônico comercializado no valor de R$ 45.000,00 é total-
mente financiado para quitação em nove prestações mensais. As três primeiras devem 
ser iguais a R$ 4.500,00, as duas seguintes, no valor de R$ 5.000,00, as três próximas, 
de R$ 6.500,00 e a nona prestação, no valor de R$ 7.500,00. Dessa forma, qual a taxa 
interna de retorno associada a essa operação de compra?
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
45000 -45.000,00 Valor do financiamento
4500 4.500,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo
3 3,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
5000 5.000,00 Valor dos fluxos do segundo 
grupo
2 2,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
6500 6.500,00 Valor dos fluxos do terceiro grupo
3 3,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
7500 7.500,00 Valor do fluxo do quarto grupo
 2,16 Taxa interna de retorno mensal 
(em %)
Deve ficar claro que a taxa IRR = 2,16% ao mês representa o custo efetivo da operação, 
ou seja, a verdadeira taxa inserida na operação desse financiamento.
A função da HP 12C guarda o valor do investimento inicial (valor emprestado ouvalor 
financiado) no registrador zero da calculadora (R0), enquanto a função guarda os fluxos 
de caixa nos registradores R1, R2, R3, etc.
RELEMBRE
106
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
Exemplo 7: Carlos é um típico consumidor brasileiro e comprou um objeto pelo sistema 
de crediário (financiado). O pagamento deve ser feito em seis prestações mensais, 
iguais e sucessivas, no valor de R$ 86,92. Sabendo-se que o valor financiado pela loja 
equivale a R$ 340,00 e que a primeira prestação será quitada ao final do quarto mês 
(três meses de carência), pede-se que você:
340
0 86,92
9 (meses)4
Figura 07. Representação geométrica (diagrama de fluxo de caixa) do projeto do exemplo.
Fonte: elaborada pelo autor.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
 NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
340 340,00 Valor financiado
0 0,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo
3 3,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
86.92 -86,92 Valor dos fluxos do segundo grupo
6 6,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
 6,91 Taxa de juros mensal cobrada 
pela loja (em %)
a) Desenhe o fluxo de caixa sob o ponto de vista do consumidor.
b) Identifique a taxa de juros cobrada pela loja.
Solução: nesse caso, temos que:
a) O fluxo de caixa sob o ponto de vista do consumidor Carlos é apresenta-
do na Figura 07, a seguir.
b) Resolvendo na HP 12C, temos a sequência de passos mostradas a seguir:
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Assim, a taxa de juros, IRR = 6,91% ao mês, descreve o efetivo custo da operação em 
questão levando em consideração o prazo de diferimento. Em outras palavras, observe 
que o prazo de carência (períodos em que não ocorrem pagamentos) faz com que o 
custo efetivo fique maior.
Exemplo 8: computemos o valor da taxa interna de retorno anual, relacionada a um em-
préstimo feito por Carlos Henrique no valor de R$ 5.500,00, em uma instituição financei-
ra privada, a ser liquidado em três pagamentos mensais equivalentes a R$ 1.500,00, R$ 
2.000,00 e R$ 2.500,00, respectivamente.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
5500 -5.500,00 Valor do empréstimo feito por 
Carlos Henrique
1500 1.500,00
Valor do fluxo do primeiro grupo 
de pagamento feito por Carlos 
Henrique
2000 2.000,00
Valor do fluxo do segundo grupo 
de pagamento feito por Carlos 
Henrique
2500 2.500,00
Valor do fluxo do terceiro grupo 
de pagamento feito por Carlos 
Henrique
 4,12 Taxa interna de retorno mensal 
(em %) – forma percentual
100 1 1,04 1 + a taxa interna de retorno 
mensal (forma unitária)
12 1 100 62,33 Taxa interna de retorno anual (em 
%) – forma percentual
Exemplo 9: uma pequena empresa da área de logística deseja ampliar a sua área de 
atuação. Para isso, estuda a implementação de um novo projeto estratégico de migra-
ção para outros estados. Assim, temos as seguintes informações: 
Custo inicial = R$ 30.000,00
Valor residual = R$ 5.000,00
Vida econômica = 10 anos
Receita anual = R$ 13.000,00
Custo operacional anual = R$ 6.000,00
108
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
De outro modo, podemos caracterizar a taxa como segue:
Qual a taxa interna de retorno (IRR) anual desse investimento realizado pela empresa 
da área logística?
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
30000 -30.000,00 Investimento inicial feito pela 
empresa
7000 7.000,00
Valor do fluxo do primeiro grupo 
(receita líquida anual) feito pela 
empresa
9 9,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
12000 12.000,00 Valor do fluxo do segundo grupo 
feito pela empresa
 20,15
Taxa interna de retorno anual (em 
%) do projeto implementado pela 
empresa
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
30000 -30.000,00 Custo inicial do investimento feito 
por Alessandro
10 10,00 Vida econômica (em anos)
7000 7.000,00 Receita líquida anual
5000 5.000,00 Valor residual
 20,15
Taxa interna de retorno anual (em 
%) do projeto implementado pela 
empresa
Segundo Castelo Branco (2015, p. 128), temos que o valor residual descreve uma entrada de caixa 
diferente das padronizadas no último momento da operação financeira em questão.
CURIOSIDADE
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Exemplo 10: um apartamento, em um bairro popular da cidade de Bragança Paulista 
(SP), está sendo negociado por uma construtora por R$ 50.000,00 à vista ou liquidan-
do-se 30% desse valor no ato da assinatura do contrato e o restante em cinco paga-
mentos mensais, iguais e sucessivos, equivalentes a R$ 3.000,00, seguidos de mais 
sete pagamentos mensais, iguais e sucessivos, de R$ 4.000,00. Qual o valor da taxa 
de juros implícita inserida nessa operação de compra do apartamento em Bragança 
Paulista (SP)?
Solução: o que deve ser evidenciado, em um primeiro momento é que a taxa implícita de 
juros corresponde à taxa interna de retorno. Nesse caso, temos a seguinte disposição 
de passos, na HP 12C:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
50000 50.000,00 Valor à vista do apartamento
30 35.000,00 Valor financiado para a aquisição 
do apartamento
3000 3.000,00 Valor dos fluxos do primeiro grupo 
para pagamento do apartamento
5 5,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
4000 4.000,00 Valor dos fluxos do segundo grupo 
para pagamento do apartamento
7 7,00 Número de vezes que esse valor 
se repete
 3,11
Taxa de juros mensal (em %) do 
plano de aquisição do apartamen-
to em questão
4. A TAXA INTERNA DE RETORNO COMO INDICADOR 
ASSOCIADO AO RISCO DE UM PROJETO EMPRESARIAL
A taxa interna de retorno (IRR ou TIR), segundo Camargos (2013), pode ser vista como 
um indicador associado ao risco do negócio ou de dado projeto a ser implementado. O 
critério alicerçado na TIR também é de fácil entendimento. Entretanto, necessitamos de 
uma conceituação inicial para que possamos descrevê-lo. Em verdade, é necessário, 
para atribuirmos o critério via TIR do conceito de taxa de mínima atratividade (TMA), que 
descreveremos na sequência.
110
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
DRE ANO 0 ANO 1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 ANO 5
Capacidade de produção 100%
(=) Receita total 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(-) Custo de Merc. vendidas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(-) Impostos 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(=) Lucro bruto 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(-) Despesas Financeiras 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(-) Custos Variáveis 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(-) Custos Fixos 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(+) Outras Receitas 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(=) Lucro Operacional 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(-) Depreciação 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(=) Lucro antes do IR 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(-) Imposto de renda 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(=) Lucro Líquido 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
5. FLUXO DE CAIXA E TAXA DE MÍNIMA ATRATIVIDADE
Na Contabilidade, uma projeção de fluxo de caixa demonstra todos os pagamentos (di-
reito) e recebimentos esperados em um determinado período de tempo. Dessa forma, 
fluxo de caixa (cash flow) pode ser entendido como uma representação de entradas e 
saídas de recursos financeiros no tempo. Essa forma de representação, muito utilizadano estudo das finanças, permite uma visualização mais adequada do capital, possibi-
litando a realização de análises conforme a necessidade e interesse tanto do gestor 
financeiro quanto do investidor. 
A estruturação de um fluxo de caixa tem por base a Demonstração e Resultado do Exer-
cício (DRE) simplificada, conforme modelo apresentado abaixo:
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GLOSSÁRIO
DRE ANO 0 ANO 1 ANO 2 ANO 3 ANO 4 ANO 5
(-) Amortização 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(+) Depreciação 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
(=) Fluxo de Caixa Líquido 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
A fim de facilitar o entendimento, temos que o lucro bruto se refere à receita total reti-
rada dos valores dos impostos, e o lucro operacional é o lucro bruto menos as várias 
despesas que sem a depreciação chega-se ao lucro antes do imposto de renda, cha-
mado de lucro tributável. Quando retiramos do lucro líquido a amortização (pagamento 
da dívida) e acrescentamos a depreciação, chegamos ao fluxo de caixa líquido, base de 
toda a análise financeira. É importante salientarmos que esse não é um modelo único, 
mas apenas uma referência que apresentamos para nossos estudos.
Para que um investidor tenha condições de aceitar (considerar viável) ou rejeitar (con-
siderar inviável) determinado projeto de investimento, é indispensável que ele tenha, à 
sua disposição, um elemento de comparação. Esse elemento de comparação, denomi-
nado Taxa Mínima de Atratividade (TMA), representa o custo de oportunidade do capital 
investido, que pode corresponder à taxa de aplicação básica no mercado (caderneta de 
poupança, títulos do tesouro etc.), no caso de pessoas físicas, e ao custo médio ponde-
rado do capital, no caso de empresas.
Portanto, a tomada de decisão, com relação ao ato de investir, sempre terá pelo menos 
duas alternativas a serem interpretadas pela empresa ou organização: investir no capi-
tal ou investir na taxa de mínima atratividade. Segundo Hoji (2016), é preciso ficar claro 
que a definição de riqueza gerada deve levar em conta somente o que excedeu sobre 
aquilo que a empresa já tem, isto é, o que será obtido além da aplicação do capital na 
taxa de mínima atratividade (TMA). Vale ressaltar que, cada indivíduo e cada empresa, 
têm uma taxa mínima de atratividade diferente. No caso de empresas, essa taxa varia 
de acordo com o seu ramo de negócio e com a sua estrutura de capital.
Nesse sentido, o critério de decisão sobre a implementação ou não de um projeto via 
TIR é apresentado na Figura 08.
Fonte: elaborada pelo autor.
A taxa de mínima atratividade (TMA) seria a melhor taxa para uma organização, com baixo grau 
de risco associado, disponível para aplicação do capital em estudo (adaptado de Assaf Neto, 2017).
112
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
TIR > TMA => Indica que há mais ganho 
investindo-se no projeto do que na TMA
Conclusão via TIR
Figura 08. O critério da viabilidade de um projeto tendo como referência a taxa interna de retorno.
Fonte: elaborada pelo autor.
Na gestão financeira e, por conseguinte, na análise de investimentos, tal definição há 
muito defendida pelos gestores econômicos, é frequentemente conhecida como lucro 
residual. No cotidiano do mercado financeiro, uma variação dessa definição de exce-
dente tem sido chamada de Valor Econômico Agregado ou Economic Value Added 
(EVA). De outra forma, o alicerce de estabelecimento de uma estimativa para a TMA é 
uma taxa de juros inserida no mercado financeiro. Comumente, as taxas de juros que 
mais são utilizadas como TMA são:
Vejamos alguns exemplos de aplicabilidade do cálculo da taxa interna de retorno sendo 
visualizada como um indicador para a caracterização da viabilidade de diversos proje-
tos empresariais.
Exemplo 11: uma empresa da área computacional cuja taxa de mínima atratividade, 
após o imposto de renda, é de 12% ao ano, está averiguando a viabilidade financeira 
de um novo investimento. O fluxo de caixa anual do projeto de investimentos em análise 
está representado no DFC mostrado na Figura 09, a seguir:
 � Selic;
 � Taxa Básica Financeira (TBF);
 � Taxa Referencial (TR);
 � Taxa de Juros de Longo Prazo (TJLP);
 � Taxa do Sistema Especial de Liquidação e Custódia.
Em verdade, quando se comenta sobre investimento em nível empresarial isso significa, em 
linhas contábeis, um desembolso feito com o intuito de gerar um fluxo de benefícios futuros, 
frequentemente superior a doze meses. Além disso, a grande área de aplicação dos méto-
dos de investimentos empresariais está associada ao mecanismo de obtermos indicadores 
usados na seleção de alternativas de investimentos e, mais atualmente, na compreensão e 
caracterização do impacto desses investimentos no EVA (Economic Value Added) de depar-
tamentos de negócios.
CURIOSIDADE
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Figura 09. Representação geométrica do diagrama de fluxo de caixa do exemplo.
30 50 70 90 110 130 130 130130
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
380
Fonte: elaborada pelo autor.
Considerando o contexto apresentado, caracterize os indicadores de valor presente 
líquido e taxa interna de retorno e argumente sobre a atratividade do projeto, com base 
nesses dois indicadores.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos, na HP 12C.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
380 - 380,00 Fluxo de caixa na data zero
30 30,00 Fluxo de caixa na data 1
50 50,00 Fluxo de caixa na data 2
70 70,00 Fluxo de caixa na data 3
90 90,00 Fluxo de caixa na data 4
110 110,00 Fluxo de caixa na data 5
130 70,00 Fluxo de caixa que se repete
4 4,00 Número de vezes que o último 
fluxo de caixa se repete
12 12,00 Taxa de juros da operação
f 80,14 Valor presente líquido
Agora vamos determinar o valor da taxa interna de retorno como segue.
114
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
380 - 380,00 Fluxo de caixa na data zero
30 30,00 Fluxo de caixa na data 1
50 50,00 Fluxo de caixa na data 2
70 70,00 Fluxo de caixa na data 3
90 90,00 Fluxo de caixa na data 4
110 110,00 Fluxo de caixa na data 5
130 70,00 Fluxo de caixa que se repete
4 4,00 Número de vezes que o último 
fluxo de caixa se repete
f 16,19 Valor da taxa interna de retorno 
anual (em %) – forma unitária
Por fim, podemos concluir que, tanto pelo valor presente líquido NPV (já que NPV = 80,14 > 0) 
quanto pela taxa interna de retorno IRR (IRR = 16,19% a.a. > 12% a.a.), podemos comprovar 
que o projeto em questão é atrativo para a organização, ou seja, ele deve ser implementado. 
De outro modo, concluímos que o projeto em questão é rentável e apresenta um baixo risco. 
6. PAYBACK SIMPLES E PAYBACK DESCONTADO
6.1. PAYBACK SIMPLES 
Quando desejamos conhecer o tempo para recuperação do investimento inicial, ou seja, 
quantos períodos decorrerão até que os fluxos de caixa previstos se igualem ao investimen-
to inicial, utilizamos o indicador payback simples (PBS). Esse indicador é utilizado para 
identificar o tempo de recuperação de investimento do ponto de vista contábil e não pondera 
o custo do capital/taxa mínima de atratividade, sendo esse seu grande defeito. Não pode-
mos considerar um projeto como viável somente tomando como referência esse indicador.
O cálculo do payback simples é feito por meio de subtrações sucessivas entre o investimen-
to inicial e os respectivos retornos, até o momento em que os retornos superem o investi-
mento (inversão do sinal na operação). Se o resultado não for exatamente “zero”, estrutu-
ramos uma regrade três, simples, para calcularmos o tempo exato da inversão de sinal. 
Exemplo 12: uma empresa fez um investimento, no momento zero, de R$ 150.000,00, 
obtendo o retorno de R$ 60.000,00, do ano 1 até o ano 5, conforme o quadro a seguir. 
Calcule o payback simples desse fluxo.
j FCj SALDO OU BALANÇO (Sj)
0 - R$ 150.000 - R$ 150.000
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Solução: observe que, entre o segundo e o terceiro ano da vigência do projeto, a coluna 
do saldo (balanço) mostra que o somatório dos fluxos de caixa se iguala ao investi-
mento inicial (o saldo passa de negativo para positivo). Para finalizar o cálculo do PBS, 
elaboramos uma regra de três:
1 ------ 60.000 (a variação de 1 ano é de 60.000,00 – ano 2 para ano 3).
x ------ 30.000 (o prazo para o valor ser “zero” é x e o valor para se chegar ao zero é 30.000).
Resolvendo a regra de três, temos:
R$ 30.000
R$ 60.000
=
0,5 ano, que corresponde a 180 dias, portanto, o tempo de retorno 
do capital investido pelo PBS é de 2,5 anos.
6.2. PAYBACK DESCONTADO
O payback descontado (PBD) é similar ao payback simples. A diferença está no fato 
de que antes de efetuarmos as subtrações sucessivas, de forma a encontrarmos o pra-
zo em que há inversão dos sinais do fluxo de caixa, é necessário calcularmos os valores 
descontados a uma determinada taxa de mínima atratividade (TMA).
Esse indicador é utilizado para identificar o tempo de recuperação de investimento, con-
siderado o custo do capital/taxa mínima de atratividade. O indicador payback desconta-
do é utilizado como complemento do indicador valor presente líquido (VPL). A fórmula 
para calcularmos o valor descontado é de desconto racional composto, ou a do cálculo 
do capital nos juros compostos. Assim:
Va = 
N
(1 + i)n
Exemplo 13: considerando o fluxo de caixa do Exemplo 12 e a taxa mínima de atrativi-
dade (TMA) de 12% ao ano, calcule o PBD.
Solução: nesse caso, temos que:
j FCj SALDO OU BALANÇO (Sj)
1 + R$ 60.000 - R$ 90.000
2 + R$ 60.000 - R$ 30.000
3 + R$ 60.000 + R$ 30.000
4 + R$ 60.000 + R$ 90.000
5 + R$ 60.000 + R$ 150.000
116
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
Cálculo do valor presente do terceiro retorno estimado em R$ 60.000:
Cálculo do valor presente do primeiro retorno estimado em R$ 60.000:
Cálculo do valor presente do segundo retorno estimado em R$ 60.000:
Cálculo do valor presente do quarto retorno estimado em R$ 60.000:
J FCj PVj DO FCj
SALDO OU 
BALANÇO (Sj)
0 - R$ 150.000 - R$ 150.000 - R$ 150.000
1 R$ 60.000 + R$ 53.571 - R$ 96.429
2 R$ 60.000 + R$ 47.832 - R$ 48.597
3 R$ 60.000 + R$ 42.707 - R$ 5.890
4 R$ 60.000 + R$ 38.131 + R$ 32.241
5 R$ 60.000 + R$ 34.046 + R$ 66.287
Cálculo do valor presente do quinto retorno estimado em R$ 60.000:
Va =
38.131 (5.890 + 32.241) ------ 1 ano
5.890 ------ x
x = 5.890/38.131
x = 0,15
Va =
Va =
Va =
Va =
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
FC
FC
FC
FC
FC
(1 + TMA)
(1 + TMA)
(1 + TMA)
(1 + TMA)
(1 + TMA)
(1 + 0,12)
(1 + 0,12)
(1 + 0,12)
(1 + 0,12)
R$ 60.000,00
R$ 60.000,00
R$ 60.000,00
R$ 60.000,00
R$ 60.000,00
R$ 53.571
R$ 42.707
R$ 38.131
R$ 34.046
R$ 47.832
1
3
4
5
3
4
5
2
j
j
j
j
j
j
j
j
(1 + 0,12)2
Observe que, entre o terceiro e o quarto ano da vigência do projeto, a coluna do saldo 
(balanço) mostra que o valor presente dos fluxos de caixa se iguala ao investimento 
inicial (o saldo passa de negativo para positivo). Para finalizar o cálculo do PBD, estru-
turamos uma regra de três conforme foi feito na PBS:
(somamos os valores, 
pois é a diferença deles)
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Logo:
PBD = 3+0,15 = 3,15 anos, ou seja, 3 anos, 1 mês e 24 dias (tomado como base o 
ano com 360 dias). Para chegarmos a 1 mês e 24 dias, são montadas regras de três 
simples novamente.
7. ÍNDICE BENEFÍCIO-CUSTO (IB/C)
O índice benefício-custo é o indicador que permite encontrar a relação existente entre 
o valor presente dos fluxos de caixa esperados (benefícios) e o investimento inicial 
(custos). Entretanto, é um indicador que não deve ser utilizado isoladamente nem para 
comparar projetos, pois pode nos induzir a uma seleção não adequada. O índice bene-
fício-custo, para projetos convencionais, é dado por:
IB/C=
FC0
FCj
(1 + TMA)jΣ [n
j=1 [
Observe que o IB/C nada mais é do que a soma dos retornos na data zero, divididos 
pelo investimento inicial sem considerarmos o seu sinal. A fórmula apresentada facilita 
o cálculo, que também pode ser feito isoladamente. Nesse caso, o cálculo poderia tam-
bém ser feito por série de pagamentos, pois os retornos são todos iguais e estão distri-
buídos de forma uniforme no tempo. Infelizmente, na prática, não é isso o que ocorre.
A Tabela 01 nos mostra os elementos e a notação para o IBC.
ELEMENTOS NOTAÇÃO
Índice benefício-custo IB/C
Fluxo de caixa esperado (benefício) do j-ésimo período FCj
Fluxo de caixa (investimento no tempo zero) FC0
Períodos de avaliação n
Taxa mínima de atratividade TMA
Tabela 01. Elementos/notação.
Fonte: elaborada pelo autor.
Exemplo 14: considerando o enunciado do Exemplo 12 e a taxa mínima de atratividade 
(TMA) de 12% ao ano, calcule o IB/C.
118
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
Vejamos agora o cálculo via a HP 12C.
Cálculo utilizando a HP 12C por fluxo de caixa:
Podemos interpretar o índice 1,44 da seguinte forma: para cada unidade monetária (R$ 
1,00) investida no projeto, retornam à unidade monetária mais 0,44 centavos (R$ 0,44).
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
 0,00 Fluxo de caixa na data zero
 60.000 Fluxo de caixa na data 1
 5 Número de vezes que o último fluxo de 
caixa se repete
 12 Taxa de juros da operação 
 216.286,5721 Somatória Série de Pagamentos
150.000 1,4419 Investimento
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 0,00 Limpa os registradores
 0,00 Anuidades comuns
 0 Valor Futuro
 60.000 Parcela
 5 Número de períodos
 12 Taxa de juros
Cálculo utilizando a HP 12C por série de pagamentos:
IB/C =
IB/C=
=
+
FC0 150.000
150.000
R$ 216.287
R$ 150.000
1, 44= =53.571 + 47.832 + 42.707 + 38.131 + 34.046
FCj
(1 + TMA)J
60.000
(1 + 0,12)1
+60.000
(1 + 0,12)1 +
60.000
(1 + 0,12)1 +
60.000
(1 + 0,12)1
60.000
(1 + 0,12)1
Σ[n
j=1 [
Perceba que o cálculo também poderia ser realizado da forma como foi feito para o cálculo do 
payback descontado, pois a lógica é a mesma.
PARA REFLETIR
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR?
DESCRIÇÃO 
DA FUNÇÃO
 216.286,5721 Somatória Série de Pagamentos
÷ 150.000 Investimento
1,4419
8. O MÉTODO DA ANUIDADE UNIFORME EQUIVALENTE
Segundo Assaf Neto (2017), é de extrema relevância para todo o estudo específico so-
bre aplicação de capital que seja baseado dentro do contexto de um horizonte de tempo 
de planejamento uniforme. 
Em outras palavras, isso nos sugere que, para os projetos poderem ser direcionados 
a uma comparação, é necessário que sejam comparáveis. Todavia, sendo o VPL uma 
ferramenta útil para avaliar alternativas de investimento com base na rentabilidade, ele 
não responde a todas as indagações sobre a vantagem econômica de uma alternativa 
em relação à outra, que tenha duração prevista distinta.
Podemos ilustrar o problema analisando duas alternativas de prazos distintos, em que 
A e B poderiam ser tipos de componentes que realizam o mesmo trabalho, sendo que 
A tem vida útil de 1 ano e B, de 3 anos. Observemos a Tabela 02 ilustrativa a seguir.
ALTERNATIVA ANO 0 ANO 1 ANO 2 ANO 3 TIR VPL (10%)
A – R$10 R$13 30,00% R$1,82
B -R$10 R$5 R$5 R$5 23,38% R$2,43
Tabela 02. Fluxo de caixa das alternativas A eB do exemplo.
Fonte: elaborada pelo autor.
Percebemos, no quadro, que a escolha pela taxa interna de retorno e pelo valor presen-
te líquido é discordante. Pela TIR, a alternativa A deveria ser escolhida, enquanto pelo 
VPL, deveria ser a alternativa B.
Se referenciarmos o VPL como critério ótimo de seleção, a alternativa B será es-
colhida. Entretanto, argumentamos que a solução válida requer que as alternativas 
sejam levadas para um horizonte econômico habitual ou comum. Para tal, seria ne-
cessário admitirmos que o componente A possa ser substituído uma ou mais vezes, 
ao fim de sua vida útil, por outro idêntico, até que seu horizonte econômico seja 
igualado ao da alternativa B.
120
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
A Tabela 03 evidencia o fluxo de caixa da alternativa A, já considerando as substituições 
consecutivas necessárias para igualar seu horizonte econômico ao da alternativa B.
Na presente ilustração, os horizontes se equivalem no terceiro ano, após duas substi-
tuições do equipamento A.
Quais as consequências aqui?
Horizonte econômico
Alternativa A
Alternativa B
$10
$10
0
0
1
1
2 3
3
$5
$13
Figura 10. Horizonte das alternativas A e B.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
ANO 0 ANO 1 ANO 2 ANO 3 VPL (10%)
Fluxo da Máquina A – R$10,00 R$13,00 - - -
1a substituição 
de A - – R$10,00 R$13,00 -
2a substituição 
de A - - – R$10,00 R$13,00 -
Fluxo de caixa 
líquido – R$10,00 R$3,00 R$3,00 R$13,00 R$4,97
Tabela 03. Fluxo de caixa da alternativa A após as substituições para igualar com o horizonte da alternativa B.
Notemos que, sendo equivalentes os horizontes econômicos das duas alternativas, por 
intermédio da repetição sucessiva da alternativa de menor duração, a alternativa A pas-
sa a ser mais aconselhável, dado que o VPL de A, com suas duas substituições, agora 
é maior em relação ao VPL de B (R$4,97 > R$2,43). 
De modo consequente, na comparação de alternativas de duração distinta, a aplicação 
direta do método do VPL como critério de escolha, sem igualar a priori os horizontes 
O procedimento citado no texto é denominado frequentemente no mercado financeiro regra da 
cadeia. Os horizontes econômicos das duas alternativas são igualados em alguma data futura 
que seja equivalente ao mínimo múltiplo comum (m.m.c.) dos prazos de ambas (adaptado de 
Assaf Neto, 2017).
GLOSSÁRIO
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AE = VPL
a n |K%
Onde: 
econômicos das alternativas, pode resultar em decisões incoerentes com a maximiza-
ção do valor da organização.
Como os horizontes econômicos das alternativas são igualados em um período igual ao 
mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de seus prazos, seria um trabalho cansativo aplicar-
mos essa argumentação se, por exemplo, a duração da alternativa A fosse 18 anos e 
a de B fosse igual a 42 anos. Isso porque os horizontes econômicos seriam igualados 
somente no 126º ano, o que resultaria em sete repetições sucessivas para A e três para 
B, que aumentaria, de forma considerável, os cálculos envolvidos no processo.
Assim, uma metodologia alternativa, mais prática em relação à de substituições ou re-
petições sucessivas, é a conhecida como anuidade equivalente (AE). Esse indicador 
financeiro, em verdade, nos mostra de que maneira seria distribuída a renda econômica 
gerada pelo projeto se a associada distribuição fosse equivalente para cada ano. Em 
outras palavras, equivale a dividir o VPL ao longo da vida útil do projeto, modificando-o 
em uma série uniforme equivalente, que pode ser, obviamente, comparada entre proje-
tos de duração distinta.
Segundo Assaf Neto (2017), a anuidade equivalente (AE) pode ser calculada por meio da 
seguinte expressão matemática:
a n |K% [= fator de valor presente de séries uniformes =
(1 + k)n -1
(1 + k) n -k [
AE = anuidade equivalente;
K = custo do capital;
n = prazo de alternativas;
Na nossa ilustração, as AEs das alternativas A e B são as seguintes:
AEA =
AEB =
=
=
=
=
VPL
VPLB
R$1,82
R$2,43
R$ 2,00 / ano
R$ 0,98 / ano
a1|10%
a3|10% (1,10)3 - 1 
(1,10)3 x 0,10[ [
(1,10)1 - 1 
(1,10)1 x 0,10[ [
122
Análise de investimentos: valor presente e presente líquido, TIR e payback
4
CONCLUSÃO
Vimos que os indicadores de mensuração da viabilidade de projetos empresariais po-
dem ser classificados segundo dois tipos, sendo que uma parte deles mensura a ren-
tabilidade do projeto em si (em que citamos o valor presente líquido), enquanto outros 
descreve o risco associado ao projeto propriamente dito (em que citamos a taxa interna 
de retorno). É importante ficar claro que, para tal abordagem, independentemente do 
grupo em questão, se torna necessário o conhecimento pleno dos regimes de capitali-
zação, séries de anuidades e sistemas de amortização.
Como AEA é maior do que AEB , temos que a alternativa A é mais favorável. AE denota como 
o VPL, criação de valor. Selecionamos a alternativa que gera mais valor por unidade de 
tempo. A metodologia de AE não coloca, de forma explícita, a repetição das alternativas, 
como o faz o processo de substituições sucessivas, mas sim de modo implícito.
De outro modo, a metodologia supõe, implicitamente, que as alternativas serão substi-
tuídas por outras equivalentes ao término de seu prazo. Essa hipótese poderá ser lógica 
e terá alguma consistência, se a dinâmica das modificações tecnológicas do equipa-
mento for muito lenta e todas as outras condições permanecerem inalteradas.
ROIA: é conhecido como retorno operacional sobre o investimento, sendo encarado como o 
ganho extra obtido mediante determinado investimento (adaptado de Ferreira, 2014, p. 98).
Índice IBC: é conhecido como sendo as expectativas de ganho por unidade de capital investida no 
âmbito de tempo de todo o horizonte da operação (adaptado de Oliveira, 2013, p. 104).
Ponto de Fischer: na ótica da análise de investimentos, o ponto de Fischer pode ser encarado 
como a localidade em que é indiferente a escolha dos projetos (adaptado de Pompeo, 2014, p. 110).
Para maiores detalhes e mais exemplos sobre tais indicadores, você pode pesquisar em Puccini 
(2017, p. 118-143).
SAIBA MAIS
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, Jarbas Thaunahy Santos de. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016.
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 2017. 
CAMARGOS, Marcos Antônio de. Matemática financeira: Aplicada a produtos financeiros e à análise de inves-
timentos. São Paulo: Saraiva, 2013. [Minha Biblioteca]. 
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel®. 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.
HOJI, Masakazu. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016. [Minha Bibliote-
ca].
FEIJÓ, Ricardo Luís Chaves. Matemática financeira com conceitos econômicos e cálculo diferencial: utiliza-
ção da HP-12C e planilha Excel. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2015. 
FERREIRA, Roberto G. Matemática financeira aplicada: mercado de capitais, administração financeira, finan-
ças pessoais. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2014. 
OLIVEIRA, Gustavo Faria de. Matemática financeira descomplicada: para os cursos de economia, administra-
ção e contabilidade. São Paulo: Atlas, 2013. 
POMPEO, José Nicolau; HAZZAN, Samuel. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2014. 
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
	Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
	1. Interpretando os elementos básicos da Matemática Financeira
	2. A importância da liquidez no âmbito da 
Matemática Financeira
	3. Princípios básicos e células fundamentais da Matemática Financeira
	4. Conhecendo o DiAgrama de Fluxo de Caixa (DFC)
	5. Descrevendo os Regimes de Capitalização6. Aplicações dos Regimes de Capitalização na Gestão Financeira
	7. Descrição das capitalizações usadas na Matemática Financeira
	8. A Matemática Financeira no foco da HP 12C
	9. Descrição formal das primeiras funções da HP 12C
	10. Implementando Algumas Funções Matemáticas Básicas na HP 12C
	Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
	1. Descrição formal do regime linear de juros (ou juros simples)
	2. O valor futuro ou montante no regime linear de juros
	3. Taxa proporcional e taxa equivalente no 
regime simples
	4. Formalizando a equivalência financeira nos juros simples
	5. Regime de capitalização composto (ou juros compostos)
	6. Descrição algébrica do regime exponencial de juros
	7. Interpretando taxas equivalentes no 
regime exponencial
	8. Taxa nominal e taxa efetiva: o que são?
	9. Introdução aos descontos
	10. Tipologia de títulos e conceitos fundamentais
	11. Desconto simples
	12. Descontos compostos e aplicações
	Séries de pagamentos e 
sistemas de amortização
	1. Aspectos introdutórios das séries de anuidades
	2. Conceitos básicos das séries de anuidades, pagamentos ou recebimentos
	3. Interpretando as séries de pagamentos iguais e antecipadas
	4. Interpretando as séries de pagamentos variáveis
	5. As teclas de atalho CF0, CFj, Nj, NPV e IRR para análise de problemas envolvendo as séries de pagamentos variáveis
	6. Introduzindo os sistemas de amortização
	7. Conceitos preliminares envolvendo os sistemas de amortização
	8. Sistema de Amortização Constante (SAC)
	9. Construindo a planilha do Sistema de 
Amortização Constante
	10. Sistema Francês de Amortização (ou Tabela Price) 
	11. Sistema de Amortização Misto (SAM)
	Análise de investimentos: 
valor presente e presente
 líquido, TIR e payback
	1. Aspectos introdutórios dos indicadores financeiros para a caracterização da viabilidade de projetos organizacionais
	2. Valor presente líquido (VPL ou NPV) como indicador da rentabilidade do projeto
	3. Conceituação formal da taxa interna de retorno (TIR ou IRR)
	4. A taxa interna de retorno como indicador associado ao risco de um projeto empresarial
	5. Fluxo de caixa e taxa de mínima atratividade
	6. Payback simples e payback descontado
	7. Índice benefício-custo (IB/C)
	8. O método da anuidade uniforme equivalenteVocê disponibilizaria esse dinheiro para receber ao final de um ano 
os mesmos R$ 5.000,00? Se a sua resposta foi sim, provavelmente, você preza muito 
o valor da amizade. Entretanto, prudência é sempre necessária. Na primeira reflexão, 
você considerou que preferiria receber mil reais hoje, ao invés de daqui a 30 dias, não 
é isso? Então, deve empregar esse raciocínio quando o assunto for empréstimo, pois 
você estará se privando do uso do capital que emprestará ao seu amigo. Imaginamos 
que não queira explorar o seu amigo, mas também não deve descuidar do capital que 
conseguiu obter com muito esforço.
Um cuidado que nos remete à definição apresentada inicialmente e que é uma das mais 
importantes na Matemática Financeira: o conceito de juro. De acordo com Oliveira (2013, 
p. 12), “[j]uro é a remuneração do capital empregado ou emprestado, podendo ser enten-
dido de uma forma simplificada, como o aluguel pago pela utilização do capital”.
No mercado financeiro, temos uma série de outros termos empregados, que estudaremos 
ao longo de nossas unidades. Neste momento, chamamos a atenção para duas termino-
logias que comparecem muito em nosso cotidiano. São elas: inflação e deflação.
Para exemplificar, imagine que você vá ao supermercado, este mês, com R$ 500,00 e 
que compre X itens. Se retornar no mês seguinte com esses R$ 500,00 e só consegue 
adquirir um número menor do que os X itens é porque tivemos a presença da inflação. 
Contrariamente, teríamos a deflação.
Segundo Pompeo (2014, p. 34), inflação pode ser interpretada como a perda do valor de 
compra de nossa moeda, ou seja, a perda do poder de compra da nossa moeda.
Além disso, deflação denota a redução dos preços no contexto geral, ou seja, representa nas 
entrelinhas o que acontece de forma contrária com a inflação.
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1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
3. PRINCÍPIOS BÁSICOS E CÉLULAS FUNDAMENTAIS DA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Com base nas considerações anteriores, para trabalharmos com as diversas situações-
-problema, no contexto financeiro e da análise de investimentos, devemos alicerçar as 
nossas interpretações em dois princípios, denominados de princípios básicos da Mate-
mática Financeira.
Princípio Básico 1
Só podemos realizar a comparação 
de valores monetários (R$), se eles 
estiverem referenciados na mesma 
data. Essa data é chamada comu-
mente de data focal ou data de com-
paração ou data comum.
Princípio Básico 2: 
Só podemos operacionalizar as ex-
pressões algébricas da Matemática 
Financeira, se os parâmetros en-
volvidos estiverem referenciados na 
mesma unidade de tempo (que pode 
ser mês, ano, dia, semestre, trimes-
tre, quadrimestre etc.).
Jamais podemos nos esquecer desses dois princípios básicos, caso contrário, comete-
remos erros primários de interpretação e averiguação de cálculos financeiros. Especi-
ficamente falando, se trabalharmos com dada operação financeira e o período estiver 
denotado em meses, devemos utilizar para os outros parâmetros, como para a taxa, a 
unidade de tempo mês (taxa mensal de juros) e assim por diante.
De outra forma, segundo Puccini (2017, p. 21), é interessante observarmos que, inde-
pendentemente de como os juros (valor pago pelo aluguel do dinheiro em dado período) 
são computados ou mensurados, temos que tais procedimentos são descritos com base 
em alguns elementos fundamentais, rotineiramente, conhecidos como células funda-
mentais da Matemática Financeira. São elas:
Capital Inicial, Valor Presente, Principal ou Valor Atual: 
Termo proveniente do inglês (Present Value – valor presente), que caracteriza 
a quantidade de dinheiro que um indivíduo tem na data atual e que concorda 
em investir ou emprestar para alguém ou para alguma instituição financeira, 
durante certo tempo, com remuneração previamente acordada. Na literatura, 
são utilizadas as seguintes notações: PV, P ou C. Adotaremos a notação PV.
Taxa de Juros: 
Termo de origem inglesa (oriundo de interest rate – taxa de juros). Geralmen-
te, está diretamente associado a sua maneira de existência, ou seja, pode ser 
mensal, semestral, anual, trimestral, bimestral, diário etc. Além disso, é interes-
sante afirmarmos que, se expressarmos a taxa como “2% ao mês”, por exem-
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
4. CONHECENDO O DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA (DFC)
Já mencionamos, anteriormente, a relevância de conhecermos a ferramenta gráfica 
do Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC), que constitui uma importante disposição gráfica 
para a interpretação de qualquer operação, no contexto da Matemática Financeira e da 
Análise de Investimentos.
De modo geral, essa descrição geométrica trabalha, efetivamente, com as compara-
ções envolvendo as diversas entradas e saídas de caixa ao longo do tempo da ope-
ração interpretada. Antes de discutirmos em linhas específicas o DFC, vejamos uma 
ilustração envolvendo tal representação gráfica.
Exemplo 4: sua herdeira quer uma boneca que custa R$ 100,00 à vista, mas que tam-
bém pode ser adquirida em duas prestações mensais (entrada no ato) no valor de R$ 
60,00. Se deixar de comprar à vista, você pagaria um valor muito maior? Qual seria a 
taxa de juros nessa situação?
Solução: inicialmente, notemos que se trata de uma operação, até certo ponto, simples 
e bastante frequente no dia a dia de quem tem filhos. Assim, poderíamos pensar, de 
modo irracional e impulsivo, que se pagou R$ 120,00 (duas parcelas de R$ 60,00) para 
plo, ela estará na forma percentual, enquanto a expressão na forma “0,02 ao 
mês” representa a taxa na sua forma unitária. Utilizaremos a representação i.
Juros: 
Caracteriza o valor do que arcamos pelo aluguel do dinheiro no horizonte de 
tempo de dada operação financeira. Em outras palavras, pode ser evidenciado 
como a compensação que pagamos a um indivíduo ou instituição financeira 
que ceda, de forma temporária, uma quantia de dinheiro. Para os juros, utiliza-
remos a notação J.
Valor Futuro ou Montante: 
Pode ser descrito matematicamente como o somatório do capital inicial mais 
os juros computados durante o período de tempo. É a soma que tem como 
parcelas o capital inicial e os juros. Termo proveniente do inglês Future Value. 
Usaremos a notação FV ou M para representá-lo.
Tempo ou período de capitalização: 
Denota a duração (meses, semestres, anos etc.) da operação financeira abor-
dada. Utilizaremos a simbologia n.
Para a descrição das operações algébricas no âmbito da Matemática Financeira, utilizare-
mos a taxa na sua forma unitária, enquanto a implementação numérica em alguns meca-
nismos específicos pode demandá-la na forma percentual.
IMPORTANTE
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Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
a boneca financiada no valor de R$ 100,00, com uma taxa de juros de 20%. Todavia, 
apesar de aparentemente óbvio, o raciocínio não está coerente. Ao comprar e pagar 
a boneca no valor de R$ 100,00 e considerando que já tenha realizado o pagamento 
de R$ 60,00 (no ato), você financiou apenas a quantia de R$ 40,00, acordando com o 
pagamento no valor de R$ 60,00 após 30 dias (ou após 1 mês). Portanto, a taxa de juros 
incidente sobre a operação de compra da boneca será dada por:
0
0 1
1
R$ 100,00
R$ 60,00 R$ 60,00
Fluxo de caixa 
líquido da operação
R$ 40,00
R$ 60,00
Figura 02. O Diagrama de Fluxo de Caixa da ilustração analisada.
Fonte: elaborada pelo autor.
Por conta disso, torna-se essencial o conhecimento do Diagrama de Fluxo de Caixa. 
Vejamos a Figura 02, a seguir, que nos mostra em linhas geométricas a argumentação 
utilizada neste exemplo.
50% = [(60/40 – 1) x 100%]
De modo específico, a representação gráfica tem como componentes principais: a 
escala horizontal, além das entradas e saídas de dinheiro. Vejamos cada um deles 
na sequência. 
 � A escala horizontal nos mostra o tempo, que pode ser visualizado em meses, anos, 
semestres, bimestres, dias etc.
 � Os pontos ilustrativos 0 e n são as posições relativasentre as datas de tempo. Peculiarmente 
comentando, o 0 denota a data inicial, enquanto o ponto n descreve o número de períodos 
corridos de acordo com a unidade de tempo empregada.
 � As entradas de dinheiro nos mostram os recebimentos. Aqui sempre utilizaremos o sinal 
positivo, comumente denotado por setas apontadas para cima.
 � De forma contrária, as saídas de caixa mostram os pagamentos. Assim, utilizaremos 
sempre o sinal negativo para representá-las, descrito por setas apontadas para baixo.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
Figura 03. Convenções básicas do DFC.
Fonte: elaborada pelo autor.
Figura 04. Representações padronizadas do DFC usadas no mercado financeiro.
Para sermos um pouco mais precisos ao falar em linhas gráficas, vejamos os dois tra-
tamentos específicos que envolvem os diagramas de fluxo de caixa a seguir. Deve ficar 
evidenciado que, na abordagem a seguir, temos o DFC para operações de empréstimo 
e aplicação na visão da pessoa que toma determinada quantia emprestada e na visão 
da pessoa que aplica dada quantia. Vejamos a Figura 04, a seguir.
Escala horizontal = tempo Entradas de dinheiro = 
recebimentos
Entradas (setas 
apontadas para cima) 
 
Saídas (seta apontada 
para baixo)
Saídas de dinheiro = 
pagamentos
Fonte: elaborada pelo autor.
DFC
0
0 n
(valor presente + juros) PV (valor aplicado)
período de capitlização
período de capitlização
(valor presente + juros)
FV = PV + J
PV (valor de empréstimo)
DFC DE UMA OPERAÇÃO DE EMPRÉSTIMO DFC DE UMA OPERAÇÃO DE APLICAÇÃO
n
FV = PV + J
Vejamos mais algumas ilustrações específicas relacionadas ao DFC, no contexto de 
operações da Matemática Financeira e da Análise de Investimentos. 
Exemplo 5: um empréstimo realizado por Gustavo, no valor de R$ 500,00, em uma ins-
tituição financeira, no início desse ano, deverá ser quitado mediante um pagamento no 
valor de R$ 540,00, dentro do prazo de seis meses. Ele pode ser interpretado geometri-
camente conforme nos mostra a Figura 05 (abaixo).
16
1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
Exemplo 6: a microempresa AFA Consultoria estuda abrir um novo escritório em uma 
cidade do interior paulista, o que demandará um investimento inicial de R$ 300.000,00. 
Assim, os dispêndios anuais relacionados aos cinco anos de vida do negócio estão es-
timados em R$ 80.000,00 e as receitas, em R$ 200.000,00. Qual seria o diagrama de 
fluxo de caixa associado a essa operação estudada pela AFA Consultoria?
Solução: nesse caso, primeiramente, vamos mostrar a descrição geométrica (DFC bru-
to) relacionada ao investimento estudado pela empresa AFA Consultoria, como segue. 
Para tal, vejamos a Figura 06.
n = 6 meses
R$ 500,00 (PV)
- R$ 540,00 (PV)
0
Figura 05. Diagrama de Fluxo do empréstimo no valor de R$ 500,00 realizado por Gustavo.
Fonte: elaborada pelo autor.
Fonte: elaborada pelo autor.
0
R
$200.000,00
- R
$80.000,00- R$300.000,00
- R
$80.000,00
- R
$80.000,00
- R
$80.000,00
- R
$80.000,00
R
$200.000,00
R
$200.000,00
R
$200.000,00
R
$200.000,00
1 2 3 4 5 n
Figura 06. Diagrama de Fluxo de Caixa bruto do estudo da AFA Consultoria.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
Com base na representação anterior (Fig. 07), nesse momento, podemos realizar o 
contrabalanceamento das entradas e saídas de caixa, obtendo assim o diagrama de 
fluxo de caixa líquido de tal operação, como pode se observar na Figura 07.
Fonte: elaborada pelo autor.
0 1 2 3 4 5 n
R
$120.000,00
R
$120.000,00
R
$120.000,00
R
$120.000,00
R
$120.000,00
- R$300.000,00
Figura 07. Diagrama de Fluxo de Caixa líquido do estudo da AFA Consultoria.
5. DESCREVENDO OS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO
Já foi comentado que, o que se paga pelo aluguel do dinheiro, ao longo do tempo, é uma 
espécie de compensação ou remuneração, que no linguajar próprio da Matemática Finan-
ceira denominamos de juros. Nessa abordagem, temos duas formas para a consideração 
da evolução do dinheiro ao longo do tempo: o Regime de Capitalização Simples, Re-
gime de Capitalização Linear (RCS) ou Juros Simples, e o Regime de Capitalização 
Composto, Regime de Capitalização Exponencial (RCC) ou Juros Compostos.
Todavia, antes de descrevermos as primeiras propriedades dos regimes específicos de 
capitalização, definamos o significado da terminologia Regime de Capitalização.
De acordo com Assaf Neto (2017, p. 18), podemos evidenciar as características funda-
mentais dos dois regimes de capitalização das seguintes formas:
Denominamos de Regime de Capitalização o esquema pelo qual computamos o juro asso-
ciado a uma quantia quando aplicada ou tomada emprestada, durante certo período de tempo.
GLOSSÁRIO
18
1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
6. APLICAÇÕES DOS REGIMES DE CAPITALIZAÇÃO NA 
GESTÃO FINANCEIRA
Já sabemos sobre os pontos que caracterizam, de modo primário, as distinções entre os 
dois regimes de capitalização. Logo, na prática de mercado financeiro que envolve a Ma-
temática Financeira e a Análise de Investimentos, eles também apresentam relevantes e 
diferentes aplicabilidades.
Conforme Assaf Neto (2007, p. 21), os juros simples apresentam aplicações bem restritas 
(ou peculiares) e limitadas, visualizadas essencialmente nas operações financeiras do curto 
prazo. Isso nos mostra que os juros simples são, frequentemente, empregados nas situa-
ções da gestão financeira que apresentam prazos reduzidos, sendo que não costumam 
apurar o seu percentual de custo (ou rentabilidade) por esse regime, como acontece, por 
exemplo, com o cheque especial, a caderneta de poupança e o cartão de crédito.
Regime de Capitalização Simples (RCS): 
Possui comportamento linear, ou seja, cresce segundo uma progressão arit-
mética (PA). Em outras palavras, nesse regime, os juros crescem linearmente 
com o passar do tempo. Fundamentalmente, aqui, os juros são caracterizados 
apenas sobre a quantia inicial da dada operação financeira (seja ela emprésti-
mo ou aplicação), isto é, sobre o valor presente.
Regime de Capitalização Composto (RCC): 
Tem comportamento geométrico ou exponencial (equivalente a uma progressão ge-
ométrica – PG). No regime de juros compostos, os juros são computados não ape-
nas sobre a quantia inicial (PV), mas também, nos valores acumulados até o período 
imediatamente anterior. No linguajar popular surge a expressão “juros sobre juros”. 
Segundo Castelo Branco (2015, p. 23), nas taxas praticadas no mercado financeiro, temos 
algumas taxas referenciadas no regime linear, como o que acontece com a taxa proporcio-
nal, todavia a caracterização dos montantes envolvendo custos efetivos e rentabilidades 
efetivas, levamos em consideração o comportamento exponencial. Assim, quando falamos 
especificamente que a caderneta de poupança recompensa anualmente a uma taxa de 
juros de 6% ao ano para seus investidores, creditando todo mês o rendimento proporcional 
de 0,5% (6% / 12 = 0,5% a.m.), usamos a ideia da taxa proporcional ao período de capita-
lização (mês a mês), entretanto, para o cômputo da rentabilidade efetiva, temos de utilizar 
o regime composto de juros. Aqui temos que a taxa referenciada para essa operação é 
linear, mas os rendimentos são caracterizados com base no regime exponencial de juros, 
ocorrendo ao longo dos meses, juros sobre juros.
CURIOSIDADE
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
De outro modo, quando tratamos sobre a aplicabilidade dos juros compostos, temos 
que ele é utilizado em larga escala no mercado financeiro, sendo que as operações se 
baseiam efetivamente no regime composto de juros. Dentre elas, citamos: cartão de 
crédito, financiamentos de carros, crédito imobiliário, cheque especial etc. Aqui, temos 
os cálculos sendo caracterizados de forma exponencial.
É interessante sabermos que, tecnicamente, o regime compostoé mais correto do que 
o regime linear de juros. Por conta disso, ele apresenta grande aplicabilidade nas ope-
rações do mercado financeiro, seja nacionalmente ou não.
7. DESCRIÇÃO DAS CAPITALIZAÇÕES USADAS NA 
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Já foi visto que o regime de capitalização pode ser interpretado como o processo pelo 
qual os juros são formados, bem como incorporados ao valor inicial ou ao principal (ou 
capital inicial). Em outra direção, temos dois tipos específicos de capitalização. Você os 
conhece? Vamos identificar tais capitalizações?
Em verdade, quando se fala da interpretação das operações e situações no contexto fi-
nanceiro, surge o que chamamos de formas de capitalização, que também são classifica-
das em dois tipos. São elas: a Capitalização Contínua e a Capitalização Descontínua.
Neste sentido, diferenciamos as duas como segue:
Capitalização Contínua: 
Para esse tipo de capitalização, o processamento se dá em intervalos de tempo 
muito reduzidos, fundamentalmente, entendidos por intervalos infinitesimais, 
ou seja, apresentam grande continuidade de capitalização.
Capitalização Descontínua: 
Aqui temos a capitalização sendo alicerçada em períodos de tempo discretos, 
isto é, para essa tipologia de capitalização os juros são formados apenas ao 
final de cada período de tempo. Este é o tipo que visualizamos nas operações 
usuais do mercado financeiro, tais como caderneta de poupança, cartão de 
crédito, cheque especial etc.
PARA REFLETIR
Os juros simples são usados na gestão financeira em operações do âmbito do curto prazo, 
enquanto os juros compostos são amplamente usados inclusive para a descrição do com-
portamento dos índices de preços da economia brasileira e mundial. No mercado financeiro, 
entendemos por curto prazo um período inferior a um ano, enquanto o de longo prazo é aquele 
superior a um ano. 
20
1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
CURIOSIDADE
Segundo Hoji (2016, p. 23), a HP 12C é um dos principais instrumentos financeiros dis-
ponibilizados no mercado. Criada na década de 80, mais precisamente no ano de 1981, 
é considerada uma das calculadoras mais antigas e está entre os elementos da família 
HP originada naquela década.
8. A MATEMÁTICA FINANCEIRA NO FOCO DA HP 12C
Neste instante, estamos interessados em apresentar e aplicar algumas das funções 
básicas na principal ferramenta de implementação dos procedimentos da Matemática 
Financeira e Análise de Investimentos, que é a calculadora HP 12C. Este aparato é fun-
damental para simplificarmos o cálculo da solução de problemas no cunho financeiro.
Discutiremos, assim, a resolutiva de aplicações envolvendo porcentagem: porcentagem 
sobre o total, bem como problemas relacionados às funções matemáticas básicas. 
Ressaltamos que a principal diferença entre a HP 12C e as nossas calculadoras tra-
dicionais (científicas) é precisamente o mecanismo de entrada de dados, já que, na HP 
12C, esse processo se baseia na Notação Polonesa Reversa (NPR), expressão oriun-
da do inglês (Reverse Polish Notation). Nela, primeiramente, entramos com os dados e, 
depois, com o sinal da operação desejada. 
Figura 09. A família HP12C criada nos anos 1980.
Fo
nt
e:
 e
la
bo
ra
da
 p
el
o 
au
to
r.
Figura 08. Os modelos atuais da calculadora HP 12C.
Fo
nt
e:
 w
w
w
.h
p.
co
m
HP 12C
HP 11C
HP 15C
HP 16C
HP 10C
Você conseguiria imaginar o gasto que um filho poderia trazer aos seus pais ao final dos seus pri-
meiros 24 anos de estudo? Em verdade, se tomarmos como referência um gasto médio mensal 
no valor de R$ 2.000, temos que, com base nas conceituações e métodos da Matemática Finan-
ceira, nos primeiros 24 anos de vida um filho dá um gasto de aproximadamente R$ 1.200.128,00.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
Além disso, é relevante salientarmos de início que suas características essenciais le-
vam em consideração o fato de ter mais de 120 funções específicas para a gestão de 
negócios, que também nos permite trabalhar, simultaneamente, com 20 Diagramas de 
Fluxo de Caixa. É interessante também comentarmos que, atualmente, temos simu-
ladores gratuitos da HP 12C para computadores, bem como diversos aplicativos para 
smartphones e tablets.
Fonte: elaborada pelo autor.
Apresenta mais de 120 funções específicas para a área de negócios
Trabalhamos simultaneamente com 20 DFCs
Utiliza a Notação Polonesa Reversa (NPR): entrada mais rápida de dados
Figura 10. Propriedades operacionais e essenciais da HP 12C.
9. DESCRIÇÃO FORMAL DAS PRIMEIRAS FUNÇÕES DA HP 12C
Com o objetivo inicial e básico de nos familiarizarmos com a HP 12C, poderíamos nos 
indagar: como proceder para averiguar se a minha HP 12C está em perfeitas con-
dições? Para respondermos a tal indagação, com a calculadora desligada, devemos 
pressionar e segurar a tecla X; em seguida, pressionamos a tecla ON e então soltamos 
o X. Logo, aparecerá running no visor e depois –8,8,8,8,8,8,8,8,8,8, mostrando que a 
calculadora em questão está em condições normais. Contrariamente, se essa sequên-
cia não aparecer no visor significa que a calculadora está com algum problema.
Adicionalmente, Camargos (2013, p. 34) aponta que:
Além disso, pontuamos que a HP 12C tem quatro memórias (X, Y, Z e T), chamadas de 
memórias principais, que funcionam como uma espécie de tambor rotativo. Dessa manei-
ra, a memória X é aquela cujo conteúdo está aparecendo no visor. Todas as operações 
aritméticas são efetuadas tendo como referência os conteúdos das memórias X e Y.
 � O que diferencia efetivamente a HP 12C das demais calculadoras científicas é exata-
mente a maneira de inserirmos os dados. 
 � As calculadoras cientificas descrevem os cálculos de modo direto, ou seja, seguindo 
naturalmente os procedimentos operacionais matemáticos.
 � Exemplificando, para caracterizarmos a soma envolvendo os números 5 e 4 (5 + 4) 
na HP 12C, inicialmente entramos com o valor 5, a seguir, com a tecla ENTER e com 
o valor 4 e, por fim, clicamos em e o resultado 9 aparece no visor da calculadora.
22
1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
IMPORTANTE
Memória X Memória Y
Memória T Memória Z
Memórias: 
tambor rotativo
Figura 11. As quatro memórias principais da HP 12C.
Fo
nt
e:
 e
la
bo
ra
da
 p
el
o 
au
to
r.
Fonte: elaborada pelo autor.
Tipos de Funções
Função normal Função amarela Função azul 
Figura 12. Tipologia de funções das teclas da HP 12C.
A tecla serve para ligarmos ou desligarmos a HP 12C, enquanto a função 
troca o sinal do número que aparece no visor (importante para a questão envolvendo 
entrada e saída de caixa por meio do diagrama de fluxo de caixa identificado). Ilustrando, 
se tivermos o interesse de trocar o sinal do número 76, procedemos do seguinte modo:
76 resultando – 76 (no visor)
Outro ponto importante a ser comentado, teoricamente simples, é o fato de que a HP 
12C pode operar com três tipos diferentes de funções, como acontece também nas 
calculadoras científicas do nosso dia a dia. São elas:
01. Função Normal, escrita na face superior de cada tecla.
02. Função Amarela, , escrita na parte superior de cada tecla.
03. Função Azul, , escrita na face lateral inferior da tecla.
A tecla é usada para calcularmos o inverso multiplicativo de um número real x, tal que 
x 0. Se acionarmos a tecla azul e, a seguir, a mesma tecla , ela passará a realizar a 
função azul . 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
Vejamos mais algumas ilustrações iniciais envolvendo a parte básica da HP 12C. 
Exemplo 7: armazenaremos os valores 98, – 180 e 459 nas memórias secundárias, e 
indexadas pelos números 5, 7 e .2, escolhidos de modo aleatório e, na sequência, cha-
maremos novamente tais números. Para tanto, procedemos como segue: 
98 5
180 7
459 .2
Dessa maneira, para recuperarmos osvalores armazenados nas memórias 5, 7 e .2 fazemos:
 5 no visor aparecerá 98
 7 no visor aparecerá – 180
 .2 no visor aparecerá 459
E qual seria o procedimento para limparmos algum valor digitado incorretamente na 
HP 12C? Ou, ainda, como podemos limpar os diversos registros dela? O que é a sua 
memória financeira? Para respondermos a essas perguntas, descrevemos a seguir as 
teclas ou funções de limpeza constituintes na calculadora HP 12C.
FUNÇÃO FUNÇÃO 
FUNÇÃO 
FUNÇÃO 
FUNÇÃO 
Com tal função 
limpamos o visor 
(memória X da 
HP 12C). Deve 
ficar evidente que 
essa função limpa 
somente o conteúdo 
do visor e 
nada mais.
Com ela limpamos 
o conteúdo inserido 
nas memórias 
financeiras, isto é, 
ela coloca zeros 
para as teclas , 
, , 
e . Ressalta-
mos que tal função 
limpa apenas a linha 
financeira da 
HP 12C.
Aqui temos a função 
que limpa por 
completo os conte-
údos da memória 
principal, secundária 
e financeira. Ou 
seja, com tal função 
limpamos todos os 
registros armazena-
dos na HP 12C.
Com essa função 
podemos cancelar o 
prefixo amarelo 
ou o prefixo 
azul .
Limpamos os pro-
gramas que foram 
criados e armazena-
dos na HP 12C.
De outro modo, a função serve para armazenarmos e operarmos com as 20 memórias 
fixas existentes na calculadora HP 12C, denominadas de memórias secundárias. Tais memó-
rias podem ser indexadas pelos dígitos de 0 a 9 ou fr .0 a .9. Além disso, a função serve 
para chamarmos os valores das 20 memórias (0 a 9 ou .0 a .9) para o visor.
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1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
Não podemos nos esquecer de que, assim como acontece nas calculadoras científicas 
tradicionais, as teclas , , e servem para efetuarmos as operações arit-
méticas matemáticas.
Exemplo 8: vamos apresentar os cálculos envolvendo algumas operações usuais de 
soma, diferença, multiplicação e divisão. 
a. 12 + 49 + 5,8.
b. 37 – 12
c. 5,7 x 2,5
d. 58,2 2,6
e. 10 + (6 x 4) – 13
f. (10 + 7) x (15 – 8)
Solução: nesse caso, para computarmos os cálculos seguimos os procedimentos des-
critos a seguir:
a) 12 49 5,8 , 
Aparece no visor o resultado final igual a 66,80.
b) 37 12 , 
Aparece no visor o resultado final igual a 25.
c) 5,7 2,5 , 
Aparece no visor o resultado final igual a 14,25.
d) 58,2 2,6 , 
Aparece no visor o resultado final igual a 22,38.
e) 10 6 4 13 , 
CLX 
 
Figura 13. As teclas de limpeza na HP 12C.
Fonte: elaborada pelo autor.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
10. IMPLEMENTANDO ALGUMAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS 
BÁSICAS NA HP 12C
Apresentaremos nesse momento a implementação de algumas funções matemáticas 
básicas e que são importantes na descrição de cálculos financeiras, envolvendo por 
exemplo, a potenciação, radiciação e porcentagens.
Exemplo 9: vamos caracterizar na HP 12C os valores correspondentes aos números: 
Solução: neste caso, temos a seguinte disposição de passos na HP 12C.
Aparece no visor o resultado final igual a 21.
f) 10 7 15 8 , 
Aparece no visor o resultado final igual a 119.
6 ; (1,09) ; (2,75) , (5 + 4) ÷ (8 + 5) .5 -6 3 2145/360
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
 0,00 Limpamos todos os registros 
da calculadora
6 5 7.776,00 Resultado de 65 
 0,00 Limpa o O que aparece no visor?
1.09 6 0,60 Resultado de (1,09)-6
 0,00 Limpa o O que aparece no visor?
2.75 2,75 A base
145 360 1,50 Resultado de (2,75)
 0,00 Limpa o O que aparece no visor?
Tabela 01. Exemplo 12.
Para trocarmos o ponto pela vírgula na HP 12C, seguimos os passos:
- Desligue a calculadora.
- Com a calculadora desligada, pressione ao mesmo tempo as teclas ON e “.”
- Solte a tecla ON e logo após a tecla “.”
CURIOSIDADE
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Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
GLOSSÁRIO
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos na HP 12C.
Exemplo 11: Alessandro é um típico brasileiro que sempre solicita algum tipo de descon-
to ou abatimento em algumas de suas compras. Assim, ao final do mês passado, ele 
fez algumas pesquisas para a aquisição de um novo automóvel, sendo que, dentre as 
várias ofertas que obteve, uma lhe atraiu mais atenção para com um abatimento. Espe-
cificamente, um automóvel que custaria R$47.590,00 a prazo estava com um desconto 
de 18% se fosse pago à vista. Se Alessandro optou por tal oferta, quanto custou o carro 
à vista para ele?
Fonte: elaborado pelo autor.
Fonte: elaborado pelo autor.
Exemplo 10: vamos computar os resultados, por intermédio da HP 12C, dos números: 
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
 0,00 Limpamos todos os registros da calculadora
4 0,25 ¼ em fração decimal
 0,00 Limpa o O que aparece no visor?
1.35 2 
 1,16 (1,35)1/2 em fração decimal
 0,00 Limpa o O que aparece no visor?
1.22 - -
6 0,97 (1,22)-1/6 em fração decimal
 0,00 Limpa o O que aparece no visor?
7 56 0,13 em fração decimal7—56
Tabela 02. Exemplo 13.
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
5 4 3 - -
 8 5 2 4,31 Resultado de (5 + 4)3 ÷ (8 + 5)2 
, (1,35) ; (1,22)1
4
1 / 2 -1 / 6 7
56e .
A porcentagem (%) permite que caracterizemos a porcentagem de um determinado número. O 
símbolo (%) descreve uma fração com denominador igual a 100. 
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
GLOSSÁRIO
FUNÇÕES O QUE APARECE NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
 0,00 Limpamos todos os registros da 
calculadora
47590 18 
 8.566,20 Valor de 18% de 47.590, ou seja, o 
valor do carro a vista para Alessandro
Fonte: elaborado pelo autor.
Tabela 03. Exemplo 14.
Exemplo 12: um eletrodoméstico adquirido pelo valor de R$ 980,00 foi vendido com um 
lucro na ordem de 23% sobre o preço de compra. Qual o valor pelo qual o eletrodomés-
tico foi vendido?
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos para a resolução do problema.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos.
Assim, observamos que o valor de R$ 1.205,40 representa o valor de compra acrescido 
do lucro de 23% sobre o preço de aquisição do eletrodoméstico.
FUNÇÕES O QUE APARECE NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
 0,00 Limpamos todos os registros da 
calculadora
980 980,00 Preço de compra do eletrodoméstico
23 1.205,40 Preço de venda do eletrodoméstico
Fonte: elaborado pelo autor.
Tabela 04. Exemplo 15.
Exemplo 13: caracterizaremos em termos percentuais, o quanto 85 representa em rela-
ção ao valor 214.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos para a resolução do problema.
FUNÇÕES O QUE APARECE NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
 0,00 Limpamos todos os registros 
da calculadora
214 85 
 39,72 Indica que 45 é igual a 30% de 150
Fonte: elaborado pelo autor.
Tabela 05. Exemplo 16.
A porcentagem do total (%T) nos possibilita computar quanto um número representa, percentual-
mente falando, em relação a outro número. 
28
1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
Observe que, com tal procedimento, podemos, nas entrelinhas de diversas operações 
do mercado, computar quanto em linhas percentuais uma determinada quantia repre-
senta em um todo, assim sendo em algumas situações práticas, seja a nível pessoal ou 
empresarial, nos deparamos com situações desse tipo.
Exemplo 15: se considerarmos que o preço de um equipamento, em maio de 2019, era 
de R$ 230,00 e, em junho de 2019, passou a ser de R$ 274,00,vamos caracterizar a 
variação percentual de preços desse referido equipamento.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos:
FUNÇÕES O QUE APARECE 
NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
 0,00 Limpamos todos os registros da calculadora
1550 1.550,00 Valor da primeira prestação
3450 5.000,00 Soma da primeira e da segunda prestação
4720 9.720,00 Soma da primeira, da segunda e da terceira prestação
5200 14.920,00 Total
1550 10,39 % da primeira prestação sobre o total
 3450 23,12 % da segunda prestação sobre o total
 4720 31,64 % da terceira prestação sobre o total
 5200 34,85 % da quarta prestação sobre o total
Tabela 06. Exemplo 17.
Fonte: elaborado pelo autor.
Exemplo 14: Ricardo contraiu uma dívida que deve ser liquidada em quatro prestações 
mensais. Dessa forma, considerando essa operação, caracterizaremos o valor da soma 
das prestações R$ 1.550,00, R$ 3.450,00, R$ 4.720,00 e R$ 5.200,00 e a participação 
percentual de cada uma delas no total das prestações. Cada um desses valores repre-
senta uma prestação de Ricardo na referida dívida contraída.
Solução: nesse caso, temos a seguinte disposição de passos para a resolução do pro-
blema via HP 12C.
A Diferença Percentual entre Dois Números (%) pode ser determinada na HP 12C a partir do mo-
mento em que digitamos o primeiro valor (valor antigo) e na sequência o novo valor (valor atual). 
GLOSSÁRIO
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
FUNÇÕES O QUE APARECE NO VISOR? DESCRIÇÃO DA FUNÇÃO 
 0,00 Limpamos todos os registros 
da calculadora
230 230,00 Valor antigo
274 19,13 % de aumento
Tabela 07. Exemplo 18.
Fonte: elaborado pelo autor.
Aqui, podemos observar que esse procedimento nos dá uma maneira de computarmos 
os aumentos de preços ou até mesmo a redução de preços para que possamos deter-
minar facilmente índices relacionados à inflação e à deflação.
CONCLUSÃO
Vimos que a Matemática Financeira é um ramo da Matemática Aplicada que se preo-
cupa com a evolução do dinheiro ao longo do tempo, surgindo, assim, como uma im-
portante ferramenta de gestão para a maximização de resultados, sejam eles em nível 
pessoal ou empresarial, no âmbito financeiro. Logo, a partir do estudo realizado nesta 
unidade, temos que:
 � Os juros são o que pagamos pelo aluguel do dinheiro ao longo do tempo;
 � Os elementos fundamentais da Matemática Financeira são: PV, i, FV, n, J e PMT;
 � O Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) é uma relevante disposição gráfica para entendi-
mento e interpretação mais detalhada, com relação às operações financeiras em geral;
 � O montante ou valor futuro é calculado matematicamente como a soma envolvendo o 
valor presente e o valor do juro;
 � O esquema pelo qual os juros são calculados é o que chamamos de regime de capitali-
zação. Temos dois tipos de regimes: o regime de capitalização simples, em que os juros 
incidem apenas sobre a quantia inicial; e o regime de capitalização composto, no qual os 
juros são calculados sobre o montante do período anterior;
 � A HP 12C constitui uma importante ferramenta para a tratativa da resolução de pro-
blemas de cunho financeiro.
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1
Matemática Financeira: regimes de capitalização e taxas de juros
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ALMEIDA, Jarbas Thaunahy Santos de. Matemática financeira. Rio de Janeiro: LTC, 2016. 
ASSAF NETO, Alexandre. Matemática financeira: edição universitária. São Paulo: Atlas, 2017. 
HOJI, Masakazu. Matemática financeira: didática, objetiva e prática. São Paulo: Atlas, 2016. [Minha Biblio-
teca]. 
CAMARGOS, Marcos Antônio de. Matemática financeira: aplicada a produtos financeiros e à análise de in-
vestimentos. São Paulo: Saraiva, 2013. [Minha Biblioteca]. 
CASTELO BRANCO, Anísio Costa. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft 
Excel®. 4. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015. 
FEIJÓ, Ricardo Luís Chaves. Matemática financeira com conceitos econômicos e cálculo diferencial: utiliza-
ção da HP-12C e planilha Excel. 2. ed. São Paulo: Atlas, 2015. 
FERREIRA, Roberto G. Matemática financeira aplicada: mercado de capitais, administração financeira, finan-
ças pessoais. 8. ed. São Paulo: Atlas, 2014. 
OLIVEIRA, Gustavo Faria de. Matemática financeira descomplicada: para os cursos de economia, adminis-
tração e contabilidade. São Paulo: Atlas, 2013. 
POMPEO, José Nicolau; HAZZAN, Samuel. Matemática financeira. 7. ed. São Paulo: Saraiva, 2014.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática financeira: objetiva e aplicada. 10. ed. São Paulo: Saraiva, 2017.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
2
UNIDADE 2
VALOR PRESENTE E VALOR 
FUTURO (OPERAÇÕES DE 
DESCONTO), JUROS SIMPLES E 
JUROS COMPOSTOS
1. DESCRIÇÃO FORMAL DO REGIME LINEAR DE JUROS (OU 
JUROS SIMPLES)
Já vimos que o regime linear de juros ou juros simples são computados tendo como 
referência apenas o valor inicial (valor presente, capital ou principal). Além disso, foi 
colocado que os juros simples apresentam uma aplicabilidade restrita, no contexto do 
mercado financeiro como um todo, particularmente, associado às operações do curto 
prazo; em outras situações do mercado, ainda que de forma indireta, são utilizados 
juntamente com alguns de seus conceitos derivativos, como acontece com a caderneta 
de poupança.
É interessante mencionarmos que, frequentemente, os juros simples são calculados 
de modo periódico, exatamente ao final de um período (mês, dia, ano etc.), de acordo 
com o período de tempo previamente fixado diante de uma operação de investimento 
ou empréstimo abordada.
Deve ficar evidenciado que, se temos uma taxa fixa e o aluguel do dinheiro é computado 
tendo como referência o valor inicial, estamos diante do regime linear de juros.
Vejamos na sequência a descrição de modo intuitivo das principais expressões que envol-
vem o regime de juros simples e que serão o alicerce para a resolução de problemas diver-
sos via metodologia algébrica. Para tal, vamos considerar um exemplo inicial, como segue.
Exemplo 1: suponhamos que Carlos Henrique, com problemas de caixa nesse mês, pro-
cure um banco privado a fim de efetuar um empréstimo no valor de R$ 2.000,00, e que 
serão pagos 5% ao mês de aluguel por essa quantia. Dessa maneira, como podemos 
caracterizar os valores relacionados dessa operação?
Para computarmos os valores dos juros que deverão ser pagos por Carlos Henrique ao 
final do primeiro mês (primeiro período), inicialmente interpretamos que a taxa de juros 
é igual a 5% e o valor presente, igual a R$ 2.000,00. Logo, basta calcularmos 5% de R$ 
2.000,00, ou seja:
Juros pagos por Carlos Henrique ao final do primeiro mês: (5%) x (R$ 2.000,00) x (1) = 
(0,05) x (R$ 2.000,00) x (1) = R$ 100,00.
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Matemática Financeira e Análise de Investimentos
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De outro modo, no final do segundo mês, Carlos Henrique terá de pagar os juros dados 
por % de R$ 2.000,00 multiplicado agora por 2 (por conta do segundo período), ou seja:
Juros pagos por Carlos Henrique ao final do segundo mês: (5%) x (R$ 2.000,00) x (2) = 
(0,05) x (R$ 2.000,00) x (2) = R$ 200,00.
Seguindo esse raciocínio para o final do terceiro período ou terceiro mês, teremos:
Juros pagos por Carlos Henrique ao final do terceiro mês: (5%) x (R$ 2.000,00) x (3) = 
(0,05) x (R$ 2.000,00) x (3) = R$ 300,00.
Logo, para um período n qualquer ou para o nº mês, temos que:
Juros pagos por Carlos Henrique ao final do enésimo mês: (5%) x (R$ 2.000,00) x (n) = 
(0,05) x (R$ 2.000,00) x (n).
Nessa direção, com a ideia de generalização da descrição anterior, segundo Almeida 
(2016, p. 21), podemos descrever como expressão característica para o cálculo dos 
juros no regime linear a expressão matemática dada por:
J = PV x i x n
Onde:J = valor dos juros expressos em unidades monetárias.
PV = capital. É o valor (em R$) representativo de determinado momento.
i = taxa de juros, expressa em sua forma unitária.
n = prazo.
De modo derivativo, se for de interesse caracterizarmos os parâmetros PV, i ou n, pro-
cedemos como segue:
PV =
J
i x n i =
J
PV x n n =
J
PV x i
Lembremos que a transformação de 5% em 0,05 leva em consideração que o símbolo % re-
presenta a fração com denominador igual a 100. Assim, quando tivermos a % após o número, 
ressaltamos que ele equivale à fração .
SAIBA MAIS
IMPORTANTE
Não podemos nos esquecer de trabalhar com os parâmetros n e i descritos na mesma unida-
de (mês, ano, trimestre, etc.).
34
Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
2
Vejamos mais alguns exemplos que ilustram a aplicação das expressões anteriores 
vinculadas aos juros simples.
Exemplo 2: (adaptado de Assaf Neto [2017, p. 24]) – Alessandro realiza uma aplicação em 
uma instituição financeira na ordem de R$ 30.000,00, durante o período de cinco meses a 
uma taxa linear de juros de 3,5% ao mês. Quanto Alessandro obteve de rendimento?
Solução: para solucionarmos os problemas envolvendo o regime simples, primeiramen-
te devemos interpretar os parâmetros conhecidos, bem como o parâmetro desconheci-
do, além de nos utilizarmos das expressões anteriores por comodidade. Aqui, temos PV 
= 30.000 (valor presente), n = 5 meses (período), i = 3,5% ao mês = 0,035 a.m. (taxa 
de juros). Logo:
J = PV x i x n
J = 30.000 x 0,035 x 5
J = 5.250,00
Ou seja, Alessandro terá uma remuneração ou juro igual a R$ 5.250,00 com base em tal 
operação.
Exemplo 3: (adaptado de Hoji, [2016, p. 30]) – um capital de R$ 2.500,00 é aplicado por 
Cauã em um banco privado, durante o período de um ano, considerando uma taxa line-
ar de juros de 2% ao mês. Qual seria o valor dos juros simples obtidos nessa operação? 
Solução: nesse caso, primeiramente, note que temos PV = 2.500 (valor presente), n = 
1 ano = 12 meses (período), i = 2,0% ao mês = 0,02 a.m. (taxa de juros). É importante 
reforçarmos que, como a taxa está dada em meses, temos de transformar o período em 
meses. Daí, com base na expressão característica dos juros simples, vem que:
J = PV x i x n
J = 2.500 x 0,02 x 12
J = 600,00
Ou seja, o juro obtido por Cauã nessa operação de aplicação foi de R$ 600,00.
Exemplo 4: (adaptado de Camargos, [2013, p. 22]) – qual a taxa mensal de juros simples 
que deve incidir em um capital para que ele duplique de valor no período de doze meses?
Solução: inicialmente, repare que, de acordo com o enunciado, o juro é igual ao próprio 
capital inicial, ou seja, temos a equivalência J = PV. Logo, vem que: 
J = PV x i x n
PV = PV x i x 12
i = 
i = = 0,83333...
PV
1
PV x 12
12
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Ou seja, a taxa será igual a 8,33% ao mês.
Exemplo 5: ilustrando de forma peculiar, com base nos critérios apresentados, a taxa de 
juros de 12% ao ano nos leva ao:
Juro exato:
2. O VALOR FUTURO OU MONTANTE NO REGIME LINEAR DE JUROS
É sabido que um capital inicial, quando sujeito a uma taxa periódica de juros por determina-
do horizonte de tempo, gera um valor acumulado denominado de Montante ou Valor Futuro, 
identificado no regime linear por FV ou M. Isso nos mostra que o valor futuro é a soma das 
parcelas PV e J, ou seja, FV = PV + J x E, como no regime linear temos que J = PV x i x n, 
obtemos a expressão característica do valor futuro no regime simples dada por:
= 0,032877% ao dia
12%
365 dias
= 0,033333% ao dia12%
360 dias
FV
(1 + i x n)
Juro comercial:
FV = PV x (1 + i x n) ou M = C x (1 + i x n)
Deve ficar claro que o valor do capital inicial (PV) nessa expressão característica pode 
ser visualizado como PV = . Além disso, Assaf Neto (2017, p. 39) nos diz que 
Segundo Castelo Branco (2015, p. 24), na prática da gestão financeira chamamos de ano 
comercial aquele que considera o mês com 30 dias e o ano com 360 dias. Assim, o cálculo do 
juro é dito juro comercial ou ordinário. 
De outro modo, pelo tempo exato, usamos fundamentalmente o calendário do ano civil (365 
dias) e, desta forma, o juro caracterizado aqui é dito juro exato.
GLOSSÁRIO
PARA REFLETIR
Com base no exemplo anterior, em um primeiro momento podemos pensar que a diferença 
obtida entre as taxas pode ser considerada muito pequena ou até mesmo desprezível. No en-
tanto, para os cálculos financeiros, dependendo dos valores associados, essa diferença pode 
resultar em quantias razoáveis e que não podem ser desprezados em linhas monetárias.
o fator (1 + i x n) é rotineiramente chamado de Fator de Capitalização (ou de Valor Futu-
ro – FCS) do regime linear de juros. De forma contrária, o inverso desse fator, ou seja,
 é chamado de Fator de Atualização (ou de Valor Presente – FAS). 1
(1 + i x n)
36
Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
2
Vejamos alguns exemplos ilustrativos referentes ao que acabamos de apresentar com 
relação ao valor futuro e expressões derivativas no âmbito dos juros simples.
Exemplo 6: (adaptado de Feijó, [2015, p. 28]) – Alessandro aplica R$ 18.000,00 à taxa 
linear de juros de 1,5% ao mês, durante oito meses. Qual o valor resgatado ao final 
desse período específico?
Solução: nesse caso, claramente, notamos que PV = 18.000, n = 8 meses e i = 1,5% 
ao mês = 0,015 ao mês. Assim sendo, com a expressão característica do valor futuro 
temos que:
FV = PV x (1 + i x n)
FV = 18.000 x (1 + 0,015 x 8)
FV = 18.000 x (1 + 0,12)
FV = 18.000 x 1,12
FV = 20.160,00
Ou seja, o valor resgatado por Alessandro é de R$20.160,00, ao final desse 
período específico.
Exemplo 7: (adaptado de Feijó, [2015, p. 28]) Alessandro aplica certa quantia à taxa 
linear de juros de 1,5% ao mês durante oito meses, resgatando ao final de tal período 
R$ 20.160,00. Qual o valor aplicado por Alessandro?
Solução: nesse caso, notamos que FV = 20.160, n = 8 meses e i = 1,5% ao mês = 0,015 
ao mês. Assim, com a expressão característica do valor futuro vem que:
FV = PV x (1 + i x n)
20.160 = PV x (1 + 0,015 x 8)
20.160 = PV x (1 + 0,12)
20.160 = 1,12 x PV 
PV =
PV = 18.000
Ou seja, o valor aplicado por Alessandro é de R$18.000,00.
20.160
1,12
Observe que, para os dois últimos exemplos, trabalhamos com a mesma expressão carac-
terística que relaciona PV, FV, i e n no regime linear de juros. Todavia, no sexto exemplo 
computamos o valor de FV tendo o conhecimento de PV, enquanto no sétimo exemplo calcu-
lamos PV conhecendo o valor de FV.
IMPORTANTE
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GLOSSÁRIO
3. TAXA PROPORCIONAL E TAXA EQUIVALENTE NO 
REGIME SIMPLES
É interessante pontuarmos que, para uma interpretação mais sucinta e objetiva do sig-
nificado das taxas proporcionais e equivalentes, precisamos ter em mente que qualquer 
operação de cunho financeiro apresenta dois tipos de prazos, que são:
Particularmente, para uma taxa de juros de 36% ao ano, se a capitalização for padroni-
zada mês a mês (ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano), o percentual de juros 
que indicará sobre o capital a cada mês será de:
(1) O prazo vinculado à taxa de juros.
(2) O prazo de capitalização dos juros.
Vamos supor que Alessandro realize um empréstimo bancário sob a taxa de 24% ao 
ano. Podemos notar que o prazo referente à taxa de juros é o ano. A seguir, identifica-
mos o período de ocorrência dos juros. Logo, ao referenciarmos que os encargos serão 
computados sobre o valor presente apenas ao final de cada ano, os dois prazos consi-
derados apresentam as unidades idênticas.
Todavia, em diversas outras situações, esses prazos não estão associados à mesma uni-
dade de tempo. Ilustrando, é sabido que a operação da caderneta de poupança remunera 
aos seus aplicadores a uma taxa de juros de 6% ao ano,que é utilizada ou capitalizada 
ao capital inicial, mês a mês, por meio de um percentual proporcional de 0,5%. Note então 
que aqui os dois prazos (o prazo da taxa e o prazo de capitalização) não são coincidentes. 
Logo, descrevemos esses prazos diferentes na mesma unidade de tempo. Assim, ou 
transformamos o prazo específico da taxa em prazo de capitalização ou, contrariamente, 
o período de capitalização passa a ser descrito na unidade de tempo da taxa de juros.
Nesse sentido, devido ao seu próprio comportamento linear no âmbito dos juros sim-
ples, essa transformação é realizada por intermédio da taxa proporcional de juros.
Taxa proporcional = = 3% ao mês
36%
12
A taxa proporcional de juros (também conhecida como taxa linear ou taxa nominal) é a 
taxa computada a partir do quociente entre a taxa de juros utilizada na operação financeira e 
o número de vezes em que incidirão os juros (número de períodos de capitalização) (adapta-
do de Ferreira, 2014, p. 32).
Vejamos uma situação bem simples para fixarmos essa argumentação. Em verdade, com-
putemos os juros produzidos pelo capital de R$ 2.000,00, seguindo os dois casos a seguir:
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
2
4. FORMALIZANDO A EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA NOS JUROS SIMPLES
De modo geral, já é sabido que a problematização da equivalência financeira fundamentalmen-
te, constitui a argumentação básica da Matemática Financeira e da Análise de Investimentos.
 � Taxa de 4% ao mês, durante 6 meses.
 � Taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres.
No primeiro caso, observamos que:
{
PV = 2.000
n = 6 meses
i = 4% a.m. = 0,04 a.m.
{
PV = 2.000
n = 2 trimestres
i = 12% a.t. = 0,12 a.t.
Então,
J = 2.000 x 6 x 0,04 = R$480,00.
No segundo caso, notamos que:
Logo:
J = 2.000 x 2 x 0,12 = R$480,00
Como os juros produzidos são iguais, podemos dizer que 4% ao mês e 12% ao trimes-
tre são taxas equivalentes.
Nos juros simples, taxas proporcionais (nominais ou lineares) e taxas equivalentes são consi-
deradas a mesma coisa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como pro-
porcionais ou equivalentes, ou seja: juros simples: taxas equivalentes ou taxas proporcionais.
Capitais equivalentes
Falamos que dois ou mais capitais representativos de certa data são equivalentes quando, a 
certa taxa de juros, produzem resultados iguais em uma data comum (denominada data focal 
ou data comum de comparação).
PARA REFLETIR
IMPORTANTE
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Exemplo 8: verificaremos se R$ 438.080,00, identificado na data futura de 8 meses 
(daqui a 8 meses), é equivalente ao recebimento de R$ 296.000,00 na data de hoje, 
admitindo uma taxa de juros simples de 6% ao mês.
Solução: nesse caso, a interpretação do exemplo é mostrada na Figura 01 (abaixo).
Logo, devemos notar que:
FV = 296.000 x (1 + 0,06 x 8) = 296.000 x (1 + 0,48) = 296.000 x (1,48) = R$ 438.080,00
e
0 8
FV = 296.000 x (1 + 0,06 x 8) = 296.000 x (1 + 0,48) = 296.000 x (1,48)
R$ 296.000,00 R$438.080,00 
438.080
(1=0,48)PV= = =438.080
(1,48)
438.080
(1+0,6 8)
Figura 01. Interpretação geométrica do Exemplo 8.
Fonte: elaborada pelo autor.
438.080
(1=0,48)PV= = =438.080
(1,48)
438.080
(1+0,6 8) = R$ 296.000,00
Dessa maneira, caracterizamos que R$ 296.000,00 hoje é equivalente a R$ 438.000,00 
daqui a 8 meses, considerando uma taxa de juros linear igual a 6% ao mês.
Exemplo 9: uma dívida contraída por Alessandro no valor de R$ 48.000,00 vencerá 
daqui a exatos 6 meses. Alessandro deseja resgatar a dívida quitando R$ 4.800,00 
na data atual, R$ 14.000,00 de hoje a 2 meses, e o restante um mês após a data do 
vencimento. Sendo o momento desse último pagamento definido como a data comum 
de comparação dessa operação, e sabendo-se que é de 34,8% ao ano a taxa linear de 
juros acordada, determine o montante do pagamento a ser feito por Alessandro.
Solução: nesse caso, a Figura 2, a seguir, nos mostra a interpretação geométrica da 
situação, ou seja, o DFC da operação conforme discutido na primeira unidade.
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Valor presente e valor futuro (operações de desconto), juros simples e juros compostos
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Dívida Original
4.800,00 14.000,00
48.000,00
M
0 2 6 7
Figura 02. Interpretação do DFC do Exemplo 9.
Fonte: elaborada pelo autor.
Logo, com base na disposição anterior, escrevemos:
Data Focal: Momento 7 – devemos capitalizar todos os capitais (4.800,00, 14.000,00 e 
48.000,00) para a data 7 (mês 7).
Logo:
Assim, concluímos que o valor único proposto por Alessandro, a fim de substituir suas obri-
gações iniciais, é de R$ 27.587,60. Adicionalmente, notamos que tal valor de R$ 27.587,60 
é o que equivale às obrigações iniciais de Alessandro quando comparado na data 7.
5. REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTO (OU JUROS 
COMPOSTOS)
Já mencionamos que os juros simples são mensurados apenas sobre o valor inicial com 
base em uma taxa previamente fixada. Contrariamente, também já comentamos que os 
juros compostos são caracterizados sobre o valor futuro ou montante do período logo 
anterior e, por conta disso, surge a antiga terminologia popular “juros sobre juros”.
48.000 x = 4.800,00 x + 14.000,00 x + M
48.000 x 1,029 = 4.800,00 x 1,203 + 14.000,00 x 1,145 + M
49.392,00 = 5.774,40 + 16.030,00 + M
M = R$27.587,60
1+ x1
0,348
12( ) 1+ x7
0,348
12( ) 1+ x5
0,348
12( )
48.000 x = 4.800,00 x + 14.000,00 x + M( )1+ x5
0,348
12( )1+ 
0,348
12 ( )1+ 
2,436
12
48.000 x (1 + 0,029) = 4.800,00 x 1,203 + 14.000,00 x + M( )1+ 
1,74
12
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Adicionalmente, é interessante mencionarmos que, em termos técnicos, para a 
prática da Matemática Financeira e Análise de Investimentos, o regime exponen-
cial de juros é superior ao regime linear de juros. Um dos motivos para isso ocorrer 
se fundamenta exatamente na chance de fracionarmos os prazos associados, que 
são utilizadas diretamente na gestão financeira e análise de investimentos (enten-
dimento em períodos discretos). Em verdade, quando estivermos no âmbito dos 
juros compostos, podemos apurar a equivalência dos capitais, independentemen-
te da data em questão. Vejamos a Figura 3, que apresenta um comparativo gráfico 
entre os dois regimes.
Fo
nt
e:
 e
la
bo
ra
da
 p
el
o 
au
to
r.
Juros 
Compostos
Juros 
Simples
Figura 03. Comparativo geométrico entre os dois regimes.
No regime composto de juros, considera-se que os juros formados em cada período de 
tempo são agrupados ao capital, descrevendo então o valor futuro (capital mais juros) 
daquele determinado período. Logicamente, esse referido valor futuro, por seu lado, 
acumulará juros no próximo período, gerando um novo valor futuro (composto do capital 
inicial, dos juros acumulados e dos juros sobre juros formados em períodos previamen-
te anteriores) e assim por diante.
Ressaltamos que, na maioria das operações que envolvem a gestão financeira, temos a 
aplicabilidade do regime exponencial de juros, já que, na prática do mercado financeiro, 
trabalhamos com operações em longo prazo. Nesse contexto, as operações de emprés-
timos, financiamentos, cartões de crédito, cheque especial, entre outros, se alicerçam 
essencialmente nos juros compostos para os seus cálculos relacionados.
Segundo Pompeo (2014, p. 32), no regime composto de juros, os juros são computados a cada 
período e incorporados ao principal para a determinação dos juros do período subsequente.
GLOSSÁRIO
SAIBA MAIS
Para maiores detalhes sobre as aplicações