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Segunda Prova de Cálculo II – Prof. Fausto Lima Custódio – 2009.1
Esta prova se passa em um formigueiro no Egito antigo, em uma época onde haviam os simples mortais e os sacerdotes, considerados uma raça superior. O que os simples mortais não sabiam é que a raça superior era na verdade constituída por engenheiros, matemáticos, físicos e afins...
(1 ponto) As formigas viviam em um formigueiro com a forma de um parabolóide, com equação dada por onde as medidas estavam em cm. Certo dia uma formiga mortal encontra uma sacerdote e pergunta: “Se eu caminhar na superfície do formigueiro, seguindo um caminho em que minha altura não varie, qual será a forma de minha trajetória?” A sacerdote pensa “basta eu descobrir como são as curvas de nível”. Faça um esboço das curvas de nível para esta superfície para ao menos dois valores de k.
(1 ponto) Intrigada por conhecer os limites de sua morada, a mortal indaga a sacerdote sobre qual seria a altura do ponto mais alto do formigueiro. A sacerdote sabe que o ponto mais alto fica em (0,0), e imediatamente responde a pergunta da mortal. Mostre através de uma tabela de valores o valor encontrado pela sacerdote para o .
(3 pontos) A mortal reside num ponto de coordenadas (2,2) do formigueiro, e o sacerdote para demonstrar seu poder, afirmava ser capar de determinar rapidamente a altura das moradas das vizinhas da mortal. O que a mortal não sabia, é que a sacerdote estava usando uma aproximação linear para acelerar os cálculos. Explique porque a função é diferenciável em (2,2), faça a linearização da função e use esta aproximação para calcular f(2,05;1,95).
(1 ponto) Mas preocupada em não cometer erros excessivos com as aproximações a sacerdote calcula dz e (z para o caso anterior. Qual a diferença percentual entre estes dois valores?
(1 ponto) Certo dia, a sacerdote profetiza para a mortal: “se um dia um gigante (humano) pisar no formigueiro, e seu pé obedecer a uma certa equação, ele destruirá primeiro a sua casa, pois será o primeiro ponto a ser atingido, por isso é importante que você continue pagando seus impostos para que tenhamos verba para monitorar e calcular as trajetórias de todos os gigantes, para que possamos defender seu lar (?!?!)”. Sabendo que para as formigas o pé humano pode ser aproximado por um plano, encontre a equação do plano tangente que tocará a superfície nos ponto (2,2) e (0,0).
(3 pontos) Estando sobre a superfície do formigueiro no ponto (2,2) e pensando se seria mais vantagem dar a volta, ou escalar e descer para chegar do outro lado do formigueiro, a mortal pergunta qual a taxa de variação da altura do formigueiro se ela se dirigir ao ponto (0,0) (já estava ficando espertinha...). Além desta resposta a sacerdote informou que a taxa de variação máxima teria certo valor e certa direção. Quais foram as três respostas do sacerdote?
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