Funcoes_Eulerianas_Gama_e_Beta

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Elaborado pelos estudantes da Universidade pedagógica de Moçambique Delegação de Gaza 
(actualmente Universidade Save) 
Alex Monito Nhancololo 
Benedito Jeremias Nhatsolo 
Dalila Pedro Cossa 
Donaldo Daniel Quissico 
Edialésio Refinaldo Sumbe 
Lodovina Nazário Maússe 
 
 
 
 
 
 
 
Funções Eulerianas 
 
 
Licenciatura em Ensino de Matemática com Habilitações à Estatística 
 
 
 
 
 
 
Universidade Save 
Chongoene 
2020
 
 
 
Elaborado pelos estudantes da Universidade pedagógica de Moçambique Delegação de Gaza 
(actualmente Universidade Save) 
Alex Monito Nhancololo 
Benedito Jeremias Nhatsolo 
Dalila Pedro Cossa 
Donaldo Daniel Quissico 
Edialésio Refinaldo Sumbe 
Lodovina Nazário Maússe 
 
 
 
 
 
Funções Eulerianas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Save 
Chongoene 
2020
Trabalho prático elaborado no âmbito de 
leccionação Virtual da cadeira de Análise 
Harmónica, para efeitos de Avaliação, sob 
orientação do docente: 
 MSc. André Silvestre Cuinica 
 
 
 
Elaborado pelos estudantes da Universidade pedagógica de Moçambique Delegação de Gaza 
(actualmente Universidade Save) 
Índice 
1.0 Introdução ............................................................................................................................ 3 
1.1 Objectivos ......................................................................................................................... 3 
1.1.1Geral ............................................................................................................................ 3 
1.1.2 Específicos ................................................................................................................. 3 
1.2 Metodologias .................................................................................................................... 3 
2.0 Funções Eulerianas ............................................................................................................... 5 
2.1 Função Gama .......................................................................................................... 5 
2.1.1 Estudo da Convergência da Função Gama ................................................................ 5 
2.1.2 Propriedades da Função Gama ................................................................................... 7 
2.1.3 Demostração das propriedades .................................................................................. 7 
2.1.4 Valores Especiais da Função Gama ......................................................................... 11 
2.1.5 Relações entre Funções Gama ................................................................................. 11 
2.1.6 Exercícios Resolvidos .............................................................................................. 12 
2.1.7 Exercícios Propostos ................................................................................................ 16 
2.2 Função Beta β .................................................................................................... 17 
2.2.1 Definição .................................................................................................................. 17 
2.2.2 Critério de Convergência da Função beta ................................................................ 17 
2.2.3 Alguns Resultados Importantes ............................................................................... 17 
2.2.4 Definição de recorrência .......................................................................................... 18 
2.2.5 Aplicação das Funções Eulerianas ........................................................................... 18 
2.2.6 Exercícios Resolvidos .............................................................................................. 18 
2.2.7 Exercícios Propostos sobre Função Beta ................................................................. 21 
3.0 Conclusão ........................................................................................................................... 22 
4.0 Referencias Bibliográficas ................................................................................................. 23 
5.0 Apêndice: Nota Histórica das Funções Eulerianas ............................................................ 24 
5.1 Breve historial do Leonhard Euler .................................................................................. 24 
5.2 Nota Histórica da Função Beta ....................................................................................... 25 
 
 
 
)(n
3 
 
1.0 Introdução 
O presente trabalho procura mostrar o evoluir do conceito de funções eulerianas ao longo da 
segunda metade do século XVIII. Durante esse período, as concepções dominantes na análise 
eram substancialmente distintas das actuais. O conjunto dessas concepções designou-se como 
a visão algébrica da análise'. Esse período foi inaugurado em 1748, com a publicação da 
Introductio in analysin infinitorum de Leonhard Euler (1707-1783). Nesta obra, uma função 
era entendida como uma expressão analítica como uma fórmula. 
 Um dos aspectos principais da teoria de funções euleriana era a noção de continuidade, Esta 
noção era essencialmente geométrica. Assim, a continuidade era uma propriedade que 
caracterizava uma certa classe de curvas, as curvas representáveis por uma única expressão 
analítica, por uma única fórmula. A correspondência entre esta classe de curvas e o conjunto 
das funções era biunívoca, pelo que a noção de continuidade se tornava inseparável da noção 
de função. 
Contudo para a efectivação do trabalho e alcance dos objectivos de forma minuciosa, o autor 
recorrerá á pesquisa Bibliográfica, para a obtenção de informação, com auxílio de método de 
estudo de caso e a pesquisa é de abordagem qualitativa. 
Em termos estruturais o trabalho apresenta como elementos pré-textuais: Capa, índice, quanto 
aos elementos textuais apresenta a análise e Discussão onde fez se abordagem bibliográfica do 
assunto em estudo e nos elementos pós-textuais apresenta Conclusão e referencias 
Bibliográficas das obras e autores devidamente citados ao longo do trabalho. 
1.1 Objectivos 
Para a realização do trabalho de forma exaustiva e eficaz, o autor optou pelos seguintes 
objectivos: 
1.1.1Geral 
 Compreender as funções Eulerianas (Gama e Beta) 
1.1.2 Específicos 
 Definir o conceito de funções Eulerianas (Gama e Beta) 
 Descrever as funções Eulerianas (Gama e Beta) 
 Mencionar as aplicações das funções Eulerianas 
4 
 
1.2 Metodologias 
Qualquer actividade independentemente da sua natureza, para a sua realização de forma 
exaustiva e eficaz necessita de meios ou caminhos e os procedimentos que o guiarão ao 
alcance dos objectivos previamente traçados. 
Contudo o trabalho em estudo não distancia-se da regra, assim sendo, para sua realização 
recor-se-á a: 
 Pesquisa Bibliográfica quanto aos procedimentos; 
 Ao estudo de caso quanto ao método; 
 A pesquisa qualitativa quanto á abordagem. 
A opção por esta metodologia é pelo facto de permitir o fornecimento minucioso dos dados ou 
material para o alcance dos objectivos previamente traçados e por não ter limitação. 
Segundo Magibire (2019, p.62), pesquisa Bibliográfica é aquela desenvolvida com base em 
material já elaborado, constituído principalmente por livros e artigos científicos. 
Segundo Teixeira (2000, p.124), na Pesquisa Qualitativa o pesquisador procura reduzir a 
distância entre a teoria e dados, em contexto de acção usando a lógica fenomenológica, isto é, 
da compreensão dos fenómenos pela sua descrição e interpretação. 
Segundo Canastra, Haanstra e Vilanculos (2015, p.12) método de estudo de caso é um método 
privilegiado para estudar fenómenos ou acontecimentos sociais que revelem uma 
singularidade e, ao mesmo tempo, uma complexidade, em termos de apreensão global. 
Obs. Importa salientarque a opção pelo método qualitativo não invalida a utilização de 
alguns dados qualitativos (Oliveira, 2011, p.29). 
 
 
 
Elaborado pelos estudantes da Universidade pedagógica de Moçambique Delegação de Gaza 
(actualmente Universidade Save) 
2.0 Funções Eulerianas 
O nome Funções Eulerianas é em homenagem ao grande Matemático Suíço Leonard Euler 
(1707-1783), que contribuiu baste para a descoberta das mesmas. 
Funções Eulerianas são dois tipos de integrais impróprios também designados de Função 
Gama e Função Beta respectivamente, (LARA, 2013, p.151). 
2.1 Função Gama 
Definição: Seja, n um parâmetro qualquer, a integral imprópria em (1) chama-se Função 
Gama de parâmetro n e representa-se por: 
 
2.1.1 Estudo da Convergência da Função Gama 
Dado a função gama definida por:
 
O expoente n pode assumir três possíveis valores se: 
 
 
Logo para n finito a integral é convergente 
 
)(n );( nm
)(n
)(n
dxexn xn 

 
0
1)(
dxexn xn 

 
0
1)(
1Para a) n
 
 !)1(2
(Finito)k <n!)1(2
1
)(
)(x-
 xSeja
Finiton tornak,<n:0>,1:1
0
11
00
1
00 0
11
111
2
2
2
2
2
2


 






 











kndxxe
Paradxekndxxe
temosmembrostodosemAplicandodxxedxxe
temosmembrostodosemxAplicandonxexe
temosmembrostodosemeeulerAplicandoee
portudondoMultiplica
knFórma
knx
knx
nnx
nnnx
x
x
x
a
x
x
x
x


 
0
1dxxe nx
6 
 
 
b) Para ∫ ∫ ∫ 
Sabe-se que integral ∫ é convergente. Todavia falta verificar a convergência 
da integral ∫ para ∫ ∫ ∫ 
Como a integral ∫ também converge, implica que ∫ será 
convergente para . 
c) 
Assumindo ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
A integral ∫ Isto é pelo critério da comparação a integral ∫ divergirá para 
 
 


 




 















0
1
0
1
00 0
1
1
11
1
1
1
econvergent é tan
2<
<
<
)( Seja
1<:0>,
,0lim
 x],[0; em contínua é ,)(a,1 para que 0> 0,>:2
2
2
22
2
2
dxxequeseconcluitoPor
dxxe
temosmembrostodosemAplicandodxedxxe
exe
xeexe
xerrxEntão
xequevide
xexffuncãonrxForma
nx
nx
nx
nx
nnx
n
n
x
nxa
x
x
xx
x
x
7 
 
2.1.2 Propriedades da Função Gama 
P1: é convergente para qualquer 
P2: Para qualquer , = 
P3: Para qualquer , 
P4: Para qualquer , 
 
P5: = (n-1)! 
P.6: = (n-1) 
 
 
Gráfico da Função Gama 
 
Figura 1. 1: Gráfico da Função Gama 
Fonte: Coleção Schaum, 2012, p.157 
2.1.3 Demostração das propriedades 
a) P1: é convergente para qualquer 
 
 
)(n
)1(  n !)( nnn 
)(
)1()(




nsen
nn
 )(nn
n
n )1( 
)(n
)(n )1(  n
)(n
   





 
b
nx
b
bnx
b
xn dxxnexedxex
0
2
0
1
0
1 )1(limlim
Seja 
 
  










b
b
b
b
b
b
xn
xn
duvuvdvudxex
dxexn
0
0
00
1
0
1
limlimlim
)(
8 
 
 
 
Como o integra converge então é convergente para qualquer , pelo teste e integral 
b) P2: Para qualquer , = 
Substituindo na integral (1), n por 
 
 
  )1()1(
0
2
0
1
0
1 limlim   






b
nx
b
bnx
b
xn dxxenxedxex
 
 
 
 
).1(1)
1
1
0(]
11
[
]
1
[0
)11(:).1.(,1
])3()[()1(
)3()[()1(
limlim
limlimlimlim
limlimlim
limlim
limlim
0
0
0
00
21
0
01
0
0
0
21
0
111
0
11
0
32
0
1
0
1
0
32
0
1
0
1
a
ee
dxe
e
dxedxxexedxex
dxxexedxexsetemappelanse
dxxenxenxedxex
dxxnexenxedxex
b
b
b
b
x
b
x
b
b
x
b
b
x
b
b
b
x
b
x
b
b
b
x
b
b
b
nx
b
nxbnx
b
xn
b
nx
b
nxbnx
b
xn










































)(n
)1(  n nnn  )(
 
 





































b
nx
b
xn
b
nx
bb
xn
b
nx
b
xx
b
xn
b
nx
b
bnx
b
xn
b
nx
b
bnx
b
xn
dxxendxex
dxxendxex
dxxenx
e
x
e
dxex
dxxenxedxex
dxxenxedxex
0
1
0
0
1
0
0
10
0
0
1
0
0
0
21
0
11
0
11
lim
limlim
lim[lim
limlim
limlim
01)(n
01)(n
)]
11
(1)(n
1)(n
)11(=1)(n
 111)2(1)1().1()1(1)11(:1
).1(...;6;5;4;3;2;1:
).1()(1)(n
1)(n
)1(
)(
0
1
0










apelan
setemmenterespectivabequacãonanigualfornSearecorrênciPor
bnn
dxxendxex
n
nxxn

NB: Substituindo b por , resultará na 
retirada do limite 
9 
 
Logo =n! 
c) P3: Para qualquer , 
Se Substituindo n por tem-se: 
 
Como Pela integral (P1) tem-se 
 
 
Seja: , obtém-se , e substituindo na função gama obtém-se ∫ ∫ ∫ 
 
 
 
 
 ∫ 
 
Seja ∫ ∫ 
 ∫ ( ∫ ) ∫ ∫ 
=4 ∫ ∫ =4 ∫ ∫ 
 
1.d) é integral dupla facilmente calculada em coordenadas polares: 
Onde { 
 { { 

!1234)3()2()1()()1(:
241234)35()25()15()5(6)4().1()4(4)14(:4
6123)24()14()4(2)3().1()3(3)13(:3
212)13()3(1)2().1()2(2)12(:2
)4(
)2(
nnnnnnnnnn
bpelan
bpelan
bpelan









)()1( nnn 
)(
)1()(




nsen
nn
:
2
1
n
2
1
n
)1..1()
2
1
()
2
1
()
2
1
()
2
1
1()
2
1
( 2 b
:
2
1
n
).1( c
)
2
1
(
2
)
2
1
(2 


 
2
)
2
1
(2 


  2 2
2
)
2
1
(2 


 
).1()
2
1
(
0
2
1
0
1
2
1
cdxexdxex xx 




 
10 
 
{ 
 =∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 = 
=
 
 
Substituindo n por em ambos membros 
Tem-se: (1.b.1) = 
d) P4: Para qualquer , 
Para então 
 
Substituindo, pelo valor de (2) na função gama 
 Obs: A noção de factorial nos guia para a informação sobre uma função gama com parâmetro 
n+1, em mais de um caminho. 
No século XVIII, Sterling apresentou uma fórmula para qualquer parâmetro inteiro positivo. 
 
Por consequência da fórmula de Sterling, para valores suficientemente grandes
(2.2) 
2
)
2
1
(2 


  

b
lim


b
lim
2
)
2
1
(2 


  







2
0
1
2
0
0)(
2
0
0 ]1
1
[lim
2
1
][lim.
2
1
][lim.
2
1
2
22



bb
b
b
br
b e
deeded
2
)
2
1
(2 


   
4
0
22
1
2
1
)1(
2
1 0
2
0
2
 




  d
)2()
2
1
(
)
2
1
(
4
4)
2
1
(
4
)
2
1
(4)
2
1
(2 222
2






 
2
1
)(
)1()(




nsen
nn
)( 

nsen
 








 
)
2
()(
)
2
1
(2
2
sen
nsen
 )(nn
n
n )1( 
 )(nn 


2
1
)1
2
1
(
 )(nn ,
)
2
1
(
2
1

 )(nn 
2)(,
2
1


nn
)1.2(
!
2
lim
1
n
en nn
n



!
2
1)(n!
1
n
en
n
nn  


11 
 
2.1.4 Valores Especiais da Função Gama 
 (2.2) 
 (2.3) 
2.1.5 Relações entre Funções Gama 
 é Chamada Fórmula de Duplicação 
 
 (2.6) 
 
Obs. A função esta definida para todo e se anula nos pontos pois 
 é infinita. Em outras palavras a singularidade que a função teria nos pontos pode ser 
removidapondo o valor da função como sendo 
 
Figura 1. 2: Função inversa da função Gama 
Fonte: Colecção Schaum, 2012 
 
 
 
 

n
n
INn
2
)12(531
)
2
1
(n:

  
)12(531
2)1(
)
2
1
(-n:


 
n
INn
n 
(2.4) (2n))
2
1
(n(n)2 12  n
(2.5) (nk))(2)
1
(k)
2
(k)
1
(k(n) 22
1 1)-(n





nk
n
n
n
nn

n
k
k
knnn
k




 )()2)(1(
321
lim1)(n


k
n
n
n e
k
n
ne







 
  1
(n)
1
1

 n
1
Rn ......,2,1,0 
 n
 n
nf


1
)(0
12 
 
2.1.6 Exercícios Resolvidos 
Determine a convergência das seguintes séries aplicando as propriedades da função gama, e 
calcule o respectivo integral caso convirjam. 
 
Resolução ∑ ∫ : 
Sabe-se que 
 
Então no nosso integral tem-se. ∫ ∫ 
 
 




















0
0
4
0
93
0
23
0
3
)
)
)
)
)
2
x
x
x
x
x
exe
exd
exc
exb
exa
)!1()(
0
1  

 nexn xn
dxexn xn 

 
0
1)(
)!14()4(
0
14  

 xex
!3)(
0
3  

xexn
13 
 
 
 
 
 ∫ : ∫ o 
integral não é convergente, consequentemente a série também não converge. 
 
 ∫ : ∫ √ ∫ ∫ Apesar de ter se transformado esta 
não assemelha-se à função gama, como n>0 então converge, logo vamos calcular o integral 
 ∫ ∫ 
 ∫ ∫ ( ) ∫ ( ) ∫ 
 ∫ ∫ , 
∫ 
Sabe-se pela relação de função gama que 
 ∫ 
∫ =
 
∫ =
 
123)(
0
3  

xexn
6
0
3

  xex


 
0
23) xexb



0
93) xexc
)( 2
5

n
n
INn
2
)12(531
)
2
1
(n:

  
 )( 2
5 
n
n
2
)12( 

22
)122(  
22
)14( 

4
3
Seja 𝑢 ; 𝑥 𝑢 , 𝑑𝑢 du 
𝑛 , 𝑛 , 𝑛 5 
 𝑛 5 𝑛 5 
14 
 
∫ = 
∫ 
 
 ∫ : ∫ ,porém não está na forma da função gama. 
∫ ∫ ∫ √ ∫ ∫ ∫ ∫ logo a integral obtida pode ser reduzida 
à forma da função gama, vide que 5 . 
Contudo a integral fica: ∫ 5 , como 
5 é maior que zero então a integral 
converge, consequentemente a série também converge, faltando apenas determinar o integral 
Sabe-se pela relação de função gama que 
 
 ∫ 
 ∫ 
 ∫ =
 
 ∫ = 
∫ ∫ 
 ∫ 
 

972
3
324




0
4 2
) xexd

n
n
INn
2
)12(531
)
2
1
(n:

  
 )( 2
5 
n
n
2
)12( 

22 2
)14(
2
)122( 



4
3

8
3

8
3

8
3



0
) xexe
Seja 𝑥 √𝑢 𝑑𝑢 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑥 𝑑𝑢 √𝑢 
 𝑛 5 𝑛 5 
15 
 
 ∫ : ∫ ∫ , falta calcular o 
próprio integral. 
=∫ 
=∫ =∫ 
=∫ 
Sabe-se de P2: Que Para qualquer , = 
Então 
= ∫ = ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)(n
)2(
)2(
)1(  n !)( nnn 
n
nnnnn !)(!)( 
)2(
)2(
16 
 
2.1.7 Exercícios Propostos 
Determine a convergência das seguintes séries, pelo teste de Integral aplicando as 
propriedades da função gama. 
 
 
 
2) Usando o conhecimento adquirido nos semestres anteriores em diversas cadeiras de 
cálculo, resolva os mesmos exercícios acima resolvidos aplicando a integração por 
partes, ou outro critério a sua escolha e confirme a veracidade das soluções dos 
mesmos obtida aplicando conhecimentos da função gama. Eis os exercícios abaixam: 
 
 
 







 


 









0
0
1
0
0
0
3
0
9
)cos(
)
1
)
)
1
)
)
) 2
3
p
p
axm
x
x
x
x
x
f
x
x
e
exd
x
e
c
exb
exa
n




















0
0
4
0
93
0
23
0
3
)
)
)
)
)
2
x
x
x
x
x
exe
exd
exc
exb
exa
17 
 
2.2 Função Beta β 
2.2.1 Definição 
Em matemática, a função beta, também chamada de integral de Euler de primeiro tipo ou 
função Euleriana, é a função definida pela integral definida por: 
β ∫ (3.0) de parâmetros m e n. 
2.2.2 Critério de Convergência da Função beta 
Seja a função Beta definida em 3, então: 
a) Se a integral (3.0) é própria convergente. 
b) Se esta integral é impropria convergente. 
2.2.3 Alguns Resultados Importantes (3.1) 
= 2∫ (3.2) 
 ∫ (3.3) 
 ∫ (3.4) 
 (3.5) (3.6) 
 (3.7) 
 
 
   
 nm
nm


18 
 
2.2.4 Definição de recorrência 
1. Cálculo directo 
 
 
2. Função beta em relação a função gama 
 
3. Relação dos complementos 
 
2.2.5 Aplicação das Funções Eulerianas 
As funções Eulerianas podem ser aplicadas para o cálculo da densidade de uma variável 
aleatória 
Se X é uma distribuição beta com parâmetros m e n, a sua função densidade de probabilidade 
é obtida recorrendo à fórmula. 
 
 
 2.2.6 Exercícios Resolvidos 
1.Resolva os seguintes integrais definidos aplicando as propriedades da função Beta e Gama 
(se necessário). ∫ 
 ∫ ∫ √ 
d) ∫ 
e) Determine a função densidade de uma variável aleatória com distribuição beta: 
 
 
 





1
0
)!1(
,
n
i
im
n
nm
     
 nm
nm
nm


,
entaonmncomnmse ,110,1 
     
   

nsen
nn
nn
nn
nnnm 


 )()1(
1
1
),1(,
  0,,10,)1(
)()(
)(
)(,~ 11  nmxxx
nm
nm
xfnmXSe bm  



 2,6
19 
 
Resolução ∫ , 
Como o integral está na forma de uma função β ∫ , resta nos 
determinar os valores de m e n, e proceder cm os cálculos. ∫ ∫ ,onde m e n são respectivamente 3 e 4. 
Sabe-se da relação entre função gama e beta que: 
 
 ∫ = 
∫ = 
 ∫ = 
∫ = 
∫ = 
∫ = 
∫ = 
 ∫ ∫ 
∫ 
∫ 
∫ ∫ 
 
 
     
 nm
nm
nm


,
   
 43
43


   
 43
43


 !143
)!14()!13(


!6
!3!2 
!3456
!312


256
1

60
1
   
 nm
nm


   
 nm
nm


2
   
 112
11


 22
11


12
1
)!12(2
1



 
= 2∫ 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑛 𝜋 𝜃 
 𝑚 𝑛 
20 
 
 ∫ √ ∫ dx 
∫ √ 
 
 
∫ √ 
∫ √ 5 
 
d) ∫= ∫ 
 ∫ = 
 ∫ = 
∫ = 
∫ = 
e) Determine a função densidade de uma variável aleatória com distribuição beta: 
Sabe-se que 
 
Onde m e n são respectivamente iguais a 6 e 2 
 
 
 
 
 
= 
   
 
   
 4
5
4
5
1
1






nm
nm
 
 4
9
4
51


    




4
5
4
5
4
5
4
4
4
9
4
4
4
9
4
5
)(
)(
)(
)(
4
5 5
4
   
 nm
nm


   
 2
1
2
3
2
3
2
1
2 

   
 
         
22222
11 2
1
2
1
2
1
2
2
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3  







 
2
2
1
4

 2,6
  0,,10,)1(
)()(
)(
)(,~ 11  nmxxx
nm
nm
xfnmXSe nm  



11 )1(
)()(
)(
)(  


 nm xx
nm
nm
xf
1216 )1(
)2()6(
)26(
)(  


 xxxf
)1(
)2()6(
)8(
)( 5 xxxf 



)1(
)!12()!16(
)!18(
)( 5 xxxf 



)1(
!1!5
!7
)( 5 xxxf 

 )1(
!1!5
!567 5 xx 


)1(67 5 xx 
 𝑚 𝑛 5 𝑛 5 
= (n-1)
 
 
 𝑚 𝑛 𝑛 
 
21 
 
 
2.2.7 Exercícios Propostos sobre Função Beta 
1. Aplicando os conhecimentos adquiridos no estudo da função Beta, e gama (se 
necessário), resolva s seguintes integrais. 
 ∫ ∫ ∫ 
d) ∫ 
2. Numa fábrica de máquinas impressoras, a esperança de funcionamento a longo prazo tem 
uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade , 
onde x é medido em dias. 
a) Qual é a probabilidade de as máquinas funcionarem menos de 5 anos? 
b) Qual é a probabilidade de as máquinas funcionarem após de 5 anos? 
 
)1(42)( 5 xxxf 
22 
 
3.0 Conclusão 
Concluímos que as funções Eulerianas são dois tipos de integrais impróprios também 
designados de Função Gama e Função Beta respectivamente. 
As funções Eulerianas podem ser aplicadas para o cálculo da densidade de uma variável 
aleatória. Se X é uma distribuição beta com parâmetros m e n, a sua função densidade de 
probabilidade. 
 
)(n );( nm
23 
 
4.0 Referencias Bibliográficas 
ÁVILA, G. S. Introdução à Análise Matematica ., (2ed. ed.), São Paulo: Blucher, 1999 
ÁVILA, G. S. Cálculo das funções de uma variável (Vol. 2).,Rio de Janeiro: LTC Editora. 
2004. 
JUNIOR Oldemir Brill..Integral imprópria e Funções Eulerianas.,Campo Mourão, 2010. 
LARA Idemauro António Rodrigues..Cálculo Diferencial e Integral., Piraciba SP, 2013 
SPIEGEL R.M..Análise de Fourier.Schaum., McGraw-Hill, são Paulo 
 
 
 
24 
 
5.0 Apêndice: Nota Histórica das Funções Eulerianas 
5.1 Breve historial do Leonhard Euler 
Matemático suíço, que viveu entre 1707 e 1783. Euler apresentou uma valiosa contribuição 
para o uso da geometria das coordenadas no espaço tridimensional. Este apresentou equações 
gerais para três classes de superfícies (cilindros, cones, superfícies de revolução). Euler 
escreveu duas notas sobre o sistema de coordenadas polares tão perfeitas e sistemáticas que 
por vezes dá-se o nome de “sistema Euler”. 
Ao nos referirmos a Leonhard Euler estamos falando do escritor de matemática mais 
produtivo de todos os tempos. Com 886 trabalhos publicados, a maioria deles no final de sua 
vida, quando já estava completamente cego, Euler foi tão importante não apenas para a 
matemática, mas também a física, engenharia e astronomia. Para se ter uma idéia, a Academia 
de Ciências de São Petersburgo continuou a publicar trabalhos novos de Euler por mais de 30 
anos depois da sua morte. 
Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão: a introdução da 
função gama, a relação entre o cálculo diferencial de Leibniz e o método das fluxões de 
Newton e a resolução de equações diferenciais com a utilização do fator integrante. 
Euler foi o primeiro a tratar seno e cosseno como funções. Devemos a ele as notações f(x) 
para uma função, e para a base do logaritmo natural, i para a raiz quadrada de −1, para a 
somatória, para derivadas de graus elevados, entre muitas outras. 
Um acontecimento interessante: Euler foi um cristão por toda a sua vida e frequentemente lia 
a Bíblia a sua família. Uma história sobre sua religião durante sua estada na Rússia envolve o 
dito filósofo ateu Diderot. Diderot foi convidado à corte por Catarina, mas tornou-se 
inconveniente ao tentar converter todos ao ateísmo. Catarina pediu a Euler que ajudasse, e 
Euler disse a Diderot, que era ignorante em matemática, que lhe daria uma prova matemática 
da existência de Deus, se ele quisesse ouvir. Diderot disse que sim, e, conforme conta De 
Morgan, Euler se aproximou de Diderot e disse, sério, em um tom de perfeita convicção: “
, portanto, Deus existe”. Diderot ficou sem resposta, e a corte caiu na gargalhada. 
 

yd n
x
n
bna


25 
 
5.2 Nota Histórica da Função Beta 
Gabriele Veneziano (Florença, 7 de Setembro de 1942) é um físico teórico italiano. Era 
pesquisador do CERN no ano de 1968, onde estudava certas propriedades da força nuclear 
forte. Até então viera trabalhando nesse problema quando descobriu que a função beta de 
Euler servia para descrever muitas propriedades das partículas sob a influência da força 
nuclear forte. Entretanto, a explicação por que a função beta servia tão bem só foi descoberta 
dois anos depois, em 1970, pelos trabalhos de Leonard Susskind, da Universidade de 
Stanford, de Holger Nielsen, do Instituto Niels Bohr, e de Yochiro Nambu, da Universidade 
de Chicago, dando uma explicação em função da hipótese que veio a ser a origem da teoria 
das cordas.