Resoluções-Lista-3

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Resoluções Lista 3 
1) Prove que as funções a seguir são homogêneas e determine o grau de cada uma delas. 
 
a)   33, yxyxf     3333, ytxttytxf      333, yxttytxf     333, yxttytxf  
    yxfttytxf ,, 2
3
  Homogênea de grau 
2
3
. 
b)  
22
310
,
x
yx
yxf

   
222
310
,
xt
tytx
tytxf

   
 
22 2
310
,
x
yx
t
t
tytxf

   
 
2
1
2
310
.,
x
yx
ttytxf

  
    yxfttytxf ,., 1  Homogênea de grau 1 
c)   5 26, xyyxf     5 226, ytxttytxf     5 236, xyttytxf     5 25 3 6, xyttytxf  
    yxfttytxf ,, 5
3
  Homogênea de grau 
5
3
. 
d)   3 22, yxyxf     3 2222, ytxttytxf      3 222, yxttytxf     3 223 2, yxttytxf  
    yxfttytxf ,, 3
2
  Homogênea de grau 
3
2
. 
 
2) Equações Homogêneas 
Obs: 
txxty
txy


 
a) 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
x
yx
y
2
'

  
x
yx
x
y
2




 02)(  yxxyx . Fazendo a mudança da variável y e também de y , 
obtém-se: 
 0).(2)(  txxtxxtxx . Podemos observar que ambos os termos possuem x como fator comum, 
logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 xtxxtxxtx  0).(2)1(  0).(2)1(  txxtxt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão, pois a primeira todos os fatores estão em função de x , temos: 
 022)1(  txxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 02)21(  txxtt  02)1(  txxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por )1.( tx  . 
  )1.(02)1( txtxxt   0
)1(
2





t
t
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 




0
)1(
2
t
t
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
 CtLnxLn  12 , aplicando as propriedades de logaritmos e substituindo C por kLn , obtém-se: 
 KLntxLn  2)1( , eliminando os logaritmos temos: 
 Ktx  2)1( , aplicando à distributiva e substitui 
x
y
t  , encontra-se: 
 K
x
y
yxK
x
y
x
y
xK
x
y
x
y
x 



























2
2
22
22121 . 
x
yx
y
2
'


Multiplicando tudo por x , encontra-se: 
 KxyxyxxK
x
y
yx 





 22
2
2)(2 . 
O primeiro termo da expressão representa o quadrado da diferença, logo a resposta final será: 
   KxyxKxyxyx 
222 2 
 
b) 
yx
yx
y


' 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
yx
yx
y


'  
yx
yx
x
y





 0)()(  yyxxyx .Fazendo a mudança da variável y e também de y , 
obtém-se: 
 0)).(()(  txxttxxxtxx . Podemos observar que ambos os termos possuem x como fator 
comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 xtxxttxxtx  0)).(1()1(  0)).(1()1(  txxttxt , aplicando a distributiva apenas 
na segunda expressão, pois a primeira todos os fatores estão em função de x , temos: 
 0)1( 2  ttxtxxtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1()1( 2  ttxxttt  0)1()21( 2  ttxxtt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por )21.( 2ttx  . 
  )21.(0)1()21( 22 ttxttxxtt   
 
0
)21(
1
2





tt
tt
x
x
, integrando a expressão, 
encontra-se: 
 
 




0
)21(
1
2tt
tt
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
 
 
 
 
 
 
 
 CttLnxLn  221
2
1
, multiplica-se por 2 para eliminar o denominador. 
 CttLnxLn 2212 2  , aplicando as propriedades de logaritmos e 
substituindo C2 por kLn , obtém-se: 
 KLnttxLn  )21( 22 , eliminando os logaritmos temos: 
 Kttx  )21( 22 , aplicando à distributiva e substitui 
x
y
t  , encontra-se: 
 K
x
y
x
y
xK
x
y
x
y
x 



























2
2
2
2
2 2121  Kyxyx  22 2 
c) 
xy
yx
y
2
'
22 

    tt
u
ttut
t
u
ttu 





 1
2
122221 2
 
Substituindo o valor encontrado na segunda integral, temos: 
 
 
2
2
21
2
1
2
1
2
1
221
1
ttLnuLn
u
u
u
u
tt
tt








   
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
 
xy
yx
x
y
2
22 



 02)( 22  xxyxyx . Fazendo a mudança da variável y e também de 
y , obtém-se: 
 0)).((2)( 222  txxttxxxxtx  0).(2)( 2222  txxttxxxtx Podemos observar que 
ambos os termos possuem x2 como fator comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a 
expressão toda por ele. 
 0).(2)( 2222  txxttxxxtx 
2222 0).(2)1( xtxxttxxtx  
0).(2)1( 2  txxttxt , aplicando a distributiva apenas na segunda expressão, pois a primeira o 
fator está em função de x , temos: 
 0).(2)1( 2  txxttxt  022)1( 22  ttxxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 02)21( 22  ttxxtt  02)1( 2  ttxxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por )1.( 2tx  . 
 02)1( 2  ttxxt )1.( 2tx   0
)1(
2
2





t
tt
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 



0
)1(
2
2
t
t
t
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
CtLnxLn  )1( 2
 
Aplicando a propriedade dos logaritmos e eliminando os logaritmos, encontra-se: 
 CtxLn  )1( 2
 KLntxLn  )1( 2
 Ktx  )1( 2 . 
Fazendo a mudança de variável e aplicando a distributiva, temos: 
Ktx  )1( 2
 K
x
y
x 






2
2
1  K
x
y
x 
2
. Como último passo, eliminamos os denominadores. 
K
x
y
x 
2
 K
x
y
x 
2
)(x  Kxyx  22
 Kxxy  22 
Resposta: Kxxy  22 
 
d) 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
22
'
yx
xy
y

  
22 yx
xy
x
y




 0)( 22  yyxxxy . Fazendo a mudança da variável y e também de y
, obtém-se: 
 0)).(()( 22  txxttxxxtxx . Podemos observar que ambos os termos possuem x2 como fator 
comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 xtxxttxxtx  0)).(1( 222
 0)).(1( 2  txxttxt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão, pois a primeira o fator está em função de x , temos: 
 023  txttxxtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1()( 23  ttxxttt  0)1( 23  ttxxt 
xy
yx
y
2
'
22 

22
'
yx
xy
y


O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por 3.tx . 
 323 .0)1( txttxxt   0
)1(
3
2




t
tt
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 

0
1
3
2
3
t
t
t
t
tx
x
, resolvendo a integral encontramos: 
CtLn
t
xLn 
22
1

22
1
t
CtLnxLn  
Aplicando a propriedade dos logaritmos e fazendo a mudança de variável, encontra-se: 

22
1
t
CxtLn   
2
.2
1












v
y
C
x
y
xLn  
2
2
.2
1
x
y
CyLn  . 
Aplicando a divisão de fração no segundo membro e deixando a expressão em função de y, tem-se: 
 
2
2
2y
x
CyLn   
2
2
2 y
x
c
ey

 
2
2
2. y
x
c eey

 , como Euller de c, é uma constante, podemos mudar o 
termo para k.  
2
2
2. y
x
eKy

 
 
e) 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
 
x
yx
x
y 23 



 0)23(  yxxyx .Fazendo a mudança da variável y e também de y , 
obtém-se: 
 0)()23(  txxtxxtxx  0)()23(  txxtxxtx 
Podemos observar que ambos os termos possuem x como fator comum, logo podemos colocá-lo em 
evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 xtxxtxxtx  0)()23(  0)()23(  txxtxt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão,pois a primeira todos os fatores estão em função de x , temos: 
 0)23(  txxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)23(  txxtt  0)3(  txxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por )3( tx  . 
 )3(0)3( txtxxt   0
)3(





t
t
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 




0
)3( t
t
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
 CtLnxLn  3 , aplicando as propriedades de logaritmos e substituindo C por kLn , obtém-se: 
 KLn
t
x
Ln 
 )3(
, eliminando os logaritmos temos: 
 K
t
x

3
, multiplicando cruzado, aplicando à distributiva e substitui 
x
y
t  , encontra-se: 
 












x
ky
kx
x
y
kkxktkxtKx 333)3( . 
x
yx
y
23
'


x
yx
y
23
'


Multiplicando toda expressão por x e colocando em função de y , temos: 
)(3 x
x
ky
kx 





  






x
kxy
xkx 32
 kyxkx  32
 ykxkx  32
 xKxy 32  
f) 02)( 22  yxyxyx 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0))((2)( 222  txxttxxxxtx . Podemos observar que ambos os termos possuem x2 como fator 
comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 2222 0)(2)1( xtxxttxxtx   0)(2)1( 2  txxttxt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão, pois a primeira o fator está em função de x , temos: 
 022)1( 22  txtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 02)21( 22  txtxtt    0231 2  txtxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por .x . 
   xtxtxt  0231 2
 0
31
2
2





t
tt
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 




0
31
2
2t
tt
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
CtLnxLn  231
3
1
, multiplicando tudo por 3, aplicando a propriedade dos logaritmos e fazendo a 
mudança de variável, encontra-se: 
 CtLnxLn  231
3
1
3  CtLnxLn 3313 2     KLntxLn  23 31    Ktx  23 31 
K
x
y
x 









2
2
3 3
1  Kxyx  23 3 
g)     042  yyxxyx 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0))(4()2(  txxttxxxtxx . Podemos observar que ambos os termos possuem x2 como fator 
comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 xtxxttxxtx  0))(41()2(    0)(41)2(  txxttxt , aplicando a distributiva 
apenas na segunda expressão, pois a primeira o fator está em função de x , temos: 
 044)2( 2  ttxtxxtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
   041)42( 2  ttxxttt    041)422( 2  ttxxtt    041)21(2 2  ttxxtt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por )21.( 2ttx  . 
   )21.(041)21(2 22 ttxttxxtt   
 
0
)21(
41
2
2





tt
tt
x
x
, integrando a expressão, 
encontra-se: 
 
 




0
)21(
41
2
2tt
tt
x
x
, resolvendo a integral 
encontramos: 
 
 



0
2
1
u
u
x
x
 
 
Nota: 
 t
u
t
t
t
u
ttu
41
41
21 2







 
 
 







u
u
u
t
u
t
41
41
 
 
 
CttLnxLn  24212 , aplicando a propriedade dos logaritmos e fazendo a mudança de variável, 
encontra-se: 
 CttLnxLn  2212  CttLnxLn  22 21    KLnttxLn  22 21    Kttx  22 21
 K
x
y
x
y
x 





















2
2 21  Kyxyx  22 2 
 
h) 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0))(()( 222  txxttxxxxtx . Podemos observar que ambos os termos possuem x2 como fator 
comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 2222 0)()1( xtxxttxxtx   0)()1( 2  txxttxt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão, pois a primeira o fator está em função de x , temos: 
 0)1( 22  txtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1( 22  txtxtt  0 txtx 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por .x . 
 xtxtx  0  0

tt
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 

0tt
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
C
t
xLn 
2
2
, multiplicando toda expressão por 2 para eliminarmos o denominador, aplicando a 
propriedade dos logaritmos e fazendo a mudança de variável, encontra-se: 
 )2(
2
2
 C
t
xLn  CtxLn 22 2   22 tCxLn  
2
.2 tc eex  
2
2
.2 x
y
eKx  
 
i) 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0)().(  txxtxxxtx . Podemos observar que ambos os termos possuem x como fator comum, 
logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 0)().(  txxtxxxtx  xtxxtxxtx  0)()1(  0)()1(  txxtxt , aplicando a 
distributiva apenas na segunda expressão, pois a primeira o fator está em função de x , temos: 
 0)()1(  txxtxt  0)1(  txxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1(  txxtxt  0)1(  txxtt  0 txx 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por x . 
 0 txx  xtxx  0  0

t
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 

0t
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
 CtxLn  , substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
 CtxLn   .. C
x
y
xLn 





 , multiplicando tudo por x , obtemos: 
 CxyxxLn  
0)( 22  xydydxyx
0)(  xdydxyx
 
j) 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0)()).(( 222  txxtxxxtxxt  0)()( 2222  txxtxxtxxt . Podemos observar que ambos 
os termos possuem x2 como fator comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda 
por ele. 
 
2222 0)()( xtxxtxxttx   0)()( 2  txxtxtt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão, pois a primeira o fator está em função de x , temos: 
 0)( 2  txxtxtt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)( 2  txxttt  02  txtxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por 2xt . 
 22 0 xttxtxt   0
2




t
t
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 



0
2t
t
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
 C
t
xLn 
1
, multiplica-se por t para eliminar o denominador. 
 CtxLnt 1. , substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
 











x
y
CxLn
x
y
.1. , multiplicando tudo por x , obtemos: 
 yCxxyLn . 
 
k) 
 
Multiplicando cruzado encontra-se: 
 0)()(  yxyxxy 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0))(()(  txxtxtxxxtx 
Podemos observar que ambos os termos possuem x como fator comum, logo podemos colocá-lo em 
evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 xtxxttxxtx  0))(1()1(  0))(1()1(  txxttxt , aplicando a distributiva apenas 
na segunda expressão, pois a primeira todos os fatores estão em função de x , temos: 
 0)1( 2  txtxtxtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1()1( 2  ttxxttt  0)1()1( 2  ttxxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por )1( 2tx  . 
 )]1([0)1()1( 22 txttxxt   0
)1(
).1(
2





t
tt
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 




0
)1(
).1(
2t
tt
x
x
, podemos separar a segunda integral em duas novas integrais para resolvermos: 
  







0
)1()1(
.1
22 t
tt
t
t
x
x
, a primeira integral é uma integral de tabela, a segunda também se 
encontra na tabela de integrais, enquanto que a terceiratem que aplicar o método da substituição: 
0)( 22  dyxdxyxy
xy
xy
dx
dy



 CtLnarctgtxLn  21
2
1
, multiplica-se toda expressão por 2 para eliminarmos o denominador. 
)2(1
2
1 2  CtLnarctgtxLn  CtLnarctgtxLn 2122 2  , aplicando as propriedades dos 
logaritmos na 1ª e 3ª integrais e usando o conceito de que ttgarctgt 122  , fazemos as conversões 
necessárias, bem como a mudança de 
x
y
t  . 
CttgtLnxLn  122 21    CttgtxLn  122 21  C
x
y
tg
x
y
xxLn 











 1
2
2
22 2 
 C
x
y
tgyxLn 





 122 2 
 
l) 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0)).((2)).(3( 22  txxttxxxtxx  0).(2).3( 2222  txxttxxxtx Podemos observar que 
ambos os termos possuem x2 como fator comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a 
expressão toda por ele. 
 
022).31(0).(2).31(0).(2).31( 2222222  ttxxtxttxxttxtxtxxttxxtx 
Agrupamos os termos semelhantes )1(0.2).1(02)2.31( 2222 txttxxtttxxtt  

 
0
1
2
2




t
t
t
x
x
, integrando
   



0
1
2
2
t
t
t
x
x
 
 CtLnxLn  21 , aplicando a propriedade do logaritmo e substituindo C por KLn , obtém-se: 
KLn
t
x
Ln 
 21
, cancelando o Ln de ambos os lados, encontra-se: K
t
x

 21
, substituindo t por 
x
y
e 
multiplicando cruzado e tirando o mínimo, obtém-se: 





 






















2
22
2
22
2 11)1(
x
yx
Kx
x
y
Kx
x
y
KxtKx , se multiplicarmos cruzado, tem-
se: )( 223 yxKx  . 
Aplicando o ponto 1)2( y que foi dado, encontra-se: 
3
8
38)14(8))1()2(()2( 223  KKKK . 
Substituindo na solução geral, )(
3
8 223 yxx  . 
Manipulando a expressão na seguinte ordem: 
1º) Multiplica-se cruzado; 
2º) Aplica-se a distributiva no segundo membro; 
3º) Isola-se o y2; 
4º) Escreve-se a expressão em função de y; 
5º) Coloca-se e extraí o fator comum da expressão de dentro da raiz; 
6º) O valor que está multiplicando a raiz, pode voltar dividindo ambos os membros: 
 
 
8
38
388883)(83)(
3
8 32
322223223223 xx
yxxyyxxyxxyxx

 
1)2(,02)3( 22  yxydydxyx

8
3
1
8
3
1
8
3 2
3
2 x
xy
x
xy
x
xy 





  
8
3
1
x
x
y
 
 
m) 
Multiplicando toda a expressão por x e igualando a expressão a zero, temos: 
 
 )(332 xxy
x
y
xy 


  xxyyxy  )( 332
 0)( 233  yxyxxy . 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
   0)()( 22333  txxtxtxxxxt 
Podemos observar que ambos os termos possuem x3 como fator comum, logo podemos colocá-lo em 
evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 32333 0)()1( xtxxttxxtx   0)()1( 23  txxttxt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão, pois a primeira todos os fatores estão em função de x , temos: 
 0)1( 233  txtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1( 233  txtxtt  02  txtx 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por x . 
 )(02 xtxtx   02 

tt
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 

02 tt
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
 C
t
xLn 
3
3
, multiplica-se por 3 para eliminar o denominador. 
 CtxLn  33 , substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
 C
x
y
xLn 
3
3
3 , multiplicando tudo por 3x , obtemos: 

3333 CxyxLnx  
 
Aplicando o ponto 2)1( y que foi dado, encontra-se: 
  3333 )1(2)1()1( CLn   CLn  811 , como 01 Ln , temos que C = 8. 
Substituindo na solução geral, temos 

3333 8xyxLnx  
 
n) 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 
0).(.cot0cot 











 txxtxx
x
tx
gxtxyxx
x
y
gxy . Observa-se que no primeiro parêntese 
a expressão 
x
tx
gx cot , pode ser simplificada, obtendo apenas gtx cot , colocando o fator comum em 
evidência e dividindo a expressão toda por ele obtém-se: 
2)1(,332  yxy
dx
dy
xy
0)cot(  xdydx
x
y
gxy
 0)..().cot(0)...().cot(  txxtxgttxtxxtxxgttx . 
Aplicando a distributiva e agrupando os termos semelhantes, tem-se: 
 gtxtxxgttxxtgtttxxtxgtt cot.0..cot0.).cot(0..).cot(  
 0
cos
.
0
cos
0
cot












t
tsent
x
x
sent
t
t
x
x
gt
t
x
x
. 
  

0.. tttg
x
x
 CtLnxLn  sec  KLn
t
x
Ln 
sec
 K
t
x

sec
 
 K
x
y
x







sec
 K
x
y
x 





cos. 
 
o)   0 yxyxxy 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 
  0)(.  txxttxxxtxdx    0)(2  txxttxxtxdx 
Colocando o fator comum em evidência, dividindo a expressão por esse fator comum e aplicamos a 
distributiva. 
   xtxxttxtxdx  0)(1    0)(1  txxtttdx 
   01 2
1









 txxtttdx  02
1
2
3
 txttxxtxttdx  2
3
12
1
2
3
01










 txttxxt  
 02
3



 
t
t
tt
x
x
, integrando todos os termos e aplicando propriedades de logaritmos, temos: 
  


 
02
3
t
t
tt
x
x
 CtLn
t
xLn 



2
1
2
1
 C
t
tLnxLn 
2
1
2
 
t
CxtLn
2
 
Substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
t
CxtLn
2
  
x
y
KLn
x
y
xLn
2






 
x
y
KyLn
2
 . Para eliminar a raiz, podemos elevar cada 
termo ao expoente 2, assim: 
x
y
KyLn
2
   
2
2 2













x
y
KyLn   
x
y
KyLn
42
 . 
Observamos que no segundo membro temos uma divisão de frações e depois eliminando o denominador, 
encontramos: 
 
x
y
KyLn
42
   
y
x
KyLn
42
    y
y
x
KyLn 
42
   xKyLny 4
2
 
p) 
y
x
x
y
x
y



 
Tirando o mínimo e eliminando os denominadores, temos: 
Nota: 
cos
1
sec
cos
cos
cot



sen
tg
sen
g
 
y
x
x
y
x
y



xxy    yxyxxy  22
   022  yxyxxy 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0))(()( 222  txxttxxxxxt . Podemos observar que ambos os termos possuem x2 como fator 
comum, logo podemos colocá-lo em evidência e dividir a expressão toda por ele. 
 2222 0)()1( xtxxttxxtx   0)()1( 2  txxttxt , aplicando a distributiva apenas na 
segunda expressão, pois a primeira o fator está em função de x , temos: 
 0)1( 22  txtxtxt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1( 22  txtxtt  0 txtx 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por .x . 
 xtxtx  0  0

tt
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 

0tt
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
C
t
xLn 
2
2
, multiplicando toda expressão por 2 para eliminarmos o denominador, aplicando a 
propriedade dos logaritmos e fazendo a mudança de variável, encontra-se: 
 )2(
2
2
 C
t
xLn  CtxLn 22 2   22 tKxLn  
2
2
2
x
y
KxLn  2x 
2222 yKxxLnx 
 2222 KxxLnxy  
ou 
 22 tKxLn  
2
2
2
x
y
KLnxLn   
2
2
2
x
y
KxLn  2x  222 KxLnxy  
q) 
yx
yx
x
y





2
52
 
yx
yx
x
y





2
52
     yyxxyx  252      0252  yyxxyx 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
    0)(252  txxttxxxtxx      0)(252  txxttxxtx . 
Colocando o fator comum em evidência, dividindo a expressão por esse fator comum e aplicamos a 
distributiva. 
     xtxxttxxtx  0)(252      0)(252  txxttxt 
   02252 2  ttxtxxtxtxt      02252 2  ttxxttt 
      22 320232 ttxttxxtt  
 
 
0
)32(
2
2





t
tt
t
x
x
, integrando todos os termos temos: 
 
 
   




0
32
2
2tt
tt
x
x
  






0
2
4
1
3
t
t
t
t
x
x
 
 CtLntLnxLn  2413 
     xLnKLntLntLn 
43
21 
Aplicando as propriedades dos logaritmos temos: 
    xLnKLntLntLn 
34
12  
 
  x
K
Ln
t
t
Ln 


3
4
1
2
 
Nota: 
  tttt  2132 2 
 
 Observação: 
A integral 
 
  

232
2
tt
tt
, sai por 
integrais parciais. 
 
  )2()1(32
2
2 t
B
t
A
tt
t






 
   tBtAt  122 
p/ 1t  3A 
p/ 2t  4B 
 

 
  x
K
t
t



3
4
1
2
, substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
 
  x
K
t
t



3
4
1
2
 
x
K
x
y
x
y















3
4
1
2
 
x
K
x
yx
x
yx






 





 
3
4
2
 
 
  x
K
x
yx
x
yx



3
3
4
4
2
 
 
 
  x
K
yxx
yxx



34
43 2
    34
2 yxKyx  
 
r) 
2
22
'
x
yxyx
y

 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
2
22
'
x
yxyx
y

  
2
22
x
yxyx
x
y 



   0222  yxxyxyx . Fazendo a mudança da variável y e 
também de y , obtém-se: 
 0)().( 2222  txxtxxxttxxx . Colocando o termo comum em evidência e dividindo a expressão 
toda por ele, temos: 
 0)()( 22222  txxtxxxttxx  2222 0)()1( xtxxtxxttx  
 0)()1( 2  txxtxtt , aplicando a distributiva apenas na segunda expressão, pois a primeira 
todos os fatores estão em função de x , temos: 
 0)()1( 2  txxtxtt  0)1( 2  txxtxtt , agrupamos os termos semelhantes. 
 0)1( 2  txxttt  0)1( 2  txxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por )1.( 2tx  . 
 0)1( 2  txxt  0
)1( 2





t
t
x
x
, integrando a expressão, encontra-se: 
 




0
)1( 2t
t
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
   CtarctgxLn  , manipulando a expressão, temos: 
   CtarctgxLn    tarctgCxLn  , eliminando o logaritmo temos: 
   CtarctgxLn    tarctgC eex . 
 tarctgKex  , substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
  tarctgKex   






 x
y
arctg
Kex 
 
s) 






x
y
xyxxy
2
cos' ,   11 y 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 







x
y
xyxxy
2
cos'  








x
y
xyx
x
y
x
2
cos x  0
2
cos 











 yxxx
x
y
xy 
 0
2
cos 











 yxxx
x
y
xy . Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
 0
2
cos 











 yxxx
x
y
xy    0
2
cos 











 txxtxxx
x
tx
xtx . Colocando o termo comum 
em evidência e dividindo a expressão toda por ele, temos: 
   0
2
cos 











 txxtxxx
x
tx
xtx       xtxxtxxttx  012cos 
      012cos  txxtxtt , aplicando a distributiva apenas na segunda expressão, pois a 
primeira todos os fatores estão em função de x , temos: 
      012cos  txxtxtt     012cos  txxtxtt , agrupamos os termos 
semelhantes. 
    012cos  txxttt     012cos  txxt    0cos2 2  txxt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por  tx 2cos . 
    txtxxt 22 cos0cos2   
 
0
cos
2
2




t
t
x
x
, integrando a 
expressão, encontra-se: 
   

0sec2 2 tt
x
x
, resolvendo a integral encontramos: 
   CttgxLn 2 , manipulando a expressão, temos: 
   CttgxLn 2
  ttgCxLn 2 , substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
 






x
y
tgCxLn 2 
Substituindo o ponto 1)1( y na solução geral, obtém-se: 
 






x
y
tgCxLn 2
 






1
1
1 tgCLn   1tgC  , logo a solução será: 
R:  12 tgxLn
x
y
tg 





 ou   12 tgxxarctgy  
 
t)  xyyyx 3'2 2  ,   11 y 
Transformando 'y em 
x
y


e multiplicando cruzado encontra-se: 
 xyyyx 3'2 2    xyy
x
y
x 32 22 


x    023 22  yxxxyy 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
   023 22  yxxxyy      02.3 222  txxtxxtxxxt . Colocando o termo comum em 
evidência e dividindo a expressão toda por ele, temos: 
     023 2222  txxtxxtxxt      2222 023 xtxxtxxttx  
     0232  txxtxtt , aplicando a distributiva apenas na segunda expressão, pois a primeira 
todos os fatores estão em função de x , temos: 
     0232  txxtxtt    02232  txxtxtt , agrupamos os termos semelhantes. 
   02232  txxttt    022  txxtt 
O resultado acima encontrado, já pode ser resolvido por variável separável, basta apenas dividirmos a 
expressão por  ttx 2 . 
 
Observação: 
Pelas identidades trigonométricas 
 
 
2
2cos1
cos2 t
t

 , temos: 
   tt 2cos1cos2 2  e 
 
 t
t
cos
1
sec  
 
Nota:  12  tttt
 
 
 
    ttxtxxtt  22 02  
 
0
2
2





tt
t
x
x
, integrando a 
expressão, encontra-se: 
 
   




0
2
2 tt
t
x
x
  






0
1
22
t
t
t
t
x
x
 
 CtLntLnxLn  122     xLnKLntLntLn  12 
Aplicando as propriedades dos logaritmos temos: 
 
x
K
Ln
t
t
Ln 




 
2
1
 

 
x
K
t
t


2
2
1
, substituindo 
x
y
t  , encontra-se: 
 
x
K
t
t


2
2
1
 
x
K
x
y
x
y














2
2
1
 
x
K
x
y
x
xy












 
2
2
 
 
x
K
x
y
x
xy


2
2
2
2
 
 
x
K
yx
xyx


22
22
   22
Kyxyx  
Substituindo o ponto 1)1( y na solução geral, obtém-se: 
  22
Kyxyx      22
111.1 K  K4 
  22
Kyxyx     22
4yxyx   
 
4
2
2 xyx
y

 
u) 06)32( 22  xydydxyx 
3
1
)1( y . 
Fazendo a mudança da variável y e também de y , obtém-se: 
0))((6))(32( 22  txxttxxdxtxx  0).(6)32( 2222  txxttxdxxtx . 
Colocando o fator comum em evidência, dividindo a expressão por esse fator comum e aplicamos a 
distributiva. 
 2222 0).(6)32( xtxxttxdxtx   0).(6)32( 2  txxttdxt 
 066)32( 22  ttxxtdxt  06)632( 22  ttxdxtt  )92(06)92( 22 txttxdxt  
 0
)92(
6
2




t
t
t
x
x
, integrando todos os termos temos: 
  



0
)92(
6
2
t
t
t
x
x
 CtLnxLn  292
3
1
 
Multiplica-se toda a expressão por 3 para eliminar o denominador e 
aplicando as propriedades dos logaritmos temos: 
KLntxLnCtLnxLn  )92.(3923 232 
 Ktx  )92.( 23 , aplicando à distributiva e substitui 
x
y
t  , encontra-se: 
KxyxK
x
y
xx 





 23
2
2
33 92.92 . 
Substituindo o ponto 
3
1
)1( y na solução geral, obtém-se: 
Kxyx  23 92    K






2
3
3
1
).1.(912  112  KK . 
Resposta: 192 23  xyx 
Nota: 
t
u
t
t
t
u
tu
18
18
92 2






 








 


u
u
u
t
u
t
3
1
18
.6
 
 
 
Observação: 
A integral 
  

tt
t
2
2
, sai por integrais 
parciais. 
  11
2




t
B
t
A
tt
 
  BttA  12 
p/ 0t  2A 
p/ 1t  2B