Capítulo 1 - Tensão

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Mecânica dos Sólidos
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TENSÃOTENSÃO
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Faremos uma revisão dos princípios 
importantes da estática e mostraremos 
como eles são usados para determinar 
os esforços internos em um corpo.
Objetivos:Objetivos:
Além disso, apresentaremos os 
conceitos de tensão normal, tensão de 
cisalhamento e tensão admissível.
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1.1 Introdução
1.2 Equilíbrio de um Corpo Deformável
1.3 Tensão
1.4 Tensão Normal Média
1.5 Tensão de Cisalhamento Média
1.6 Tensão Admissível
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1.1 Introdução
Mecânica dos 
Corpos Rígidos
Estática
Cinemática
Dinâmica
É uma ciência 
física aplicada que 
trata do estudo 
das forças e dos 
movimentos 
Mecânica dos 
Corpos 
Deformáveis
Mecânica dos 
Fluidos
Mecânica dos 
Sólidos
Fluidos 
Incompressíveis
Fluidos 
Compressíveis
MECÂNICA
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A Resistência dos Materiais é um ramo da Mecânica que 
estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um 
corpo deformável e a intensidade das forças interna s que 
atuam dentro do corpo (Hibbeler, 2004).
A Mecânica dos Materiais é um ramo da Mecânica que 
lida com o comportamento dos corpos sólidos sujeito s a lida com o comportamento dos corpos sólidos sujeito s a 
diversos tipos de carregamentos. Tem como finalidad e 
determinar tensões, deformações e deslocamentos nas 
estruturas e em seus componentes (Gere, 2003).
A Mecânica dos Sólidos tem como objetivo principal 
fornecer ao engenheiro os meios que possibilitam an alisar 
e projetar máquinas e estruturas (Beer e Johnston, 1982).
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No projeto de qualquer 
estrutura ou máquina, em 
primeiro lugar, é necessário 
usar os princípios da estática 
para determinar as forças que 
agem sobre os vários 
elementos e em seu interior.
O tamanho dos elementos, sua 
deflexão e estabilidade dependem 
não só das forças internas, mas 
também do tipo de material de que 
são feitos. Assim, conhecer o 
comportamento do materialcomportamento do material é 
fundamental na disciplina de 
Resistência dos Materiais.
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1.2 Equilíbrio de um Corpo Deformável
Para um corpo em equilíbrio 
estático, as forças e momentos 
externos são anulados e não 
produzem nenhum movimento de 
translação ou rotação no corpo.
A condição necessária 
e suficiente para o 
equilíbrio estático de 
um corpo é que a força 
resultante e o 
momento resultante de 
( )∑ ∑
∑
=×=
=
0
0
FrM
F
o
�
�
�
�
Equações de Equilíbrio:Equações de Equilíbrio:
momento resultante de 
todas forças externas 
formem um sistema 
equivalente a zero.
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Para estruturas tridimensionais, o equilíbrio estát ico 
é verificado se decompormos as duas equações de 
equilíbrio segundo 3 eixos cartesianos ortogonais, 
resultando em 6 equações de equilíbrio. 







=
=
=







=
=
=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
0
0
0
0
0
0
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
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Oz
yx
z
MM
MM
F
=
==
=
0
0
E, em estruturas 
bidimensionais, se 
todas as forças e 
momentos atuam 
no plano da 
estrutura, então:
∑
∑
∑
=
=
=
0
0
0
A
y
x
M
F
F
Sendo A um 
ponto qualquer 
no plano da 
estrutura.
Assim as equações de equilíbrio ficam reduzidas a:
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Tipos de apoios em uma estrutura plana
Apoio do 1º gênero
Apoio 
equivalente a 
uma força 
(reação) com 
linha de ação 
definida.
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Balancim de ponte: apoio do 1º gêneroBalancim de ponte: apoio do 1º gênero
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Roletes de ponte: apoio do 1º gêneroRoletes de ponte: apoio do 1º gênero
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Apoio equivalente a 
uma força (reação) 
com direção 
desconhecida .
Apoio do 2º gênero
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Vinculação de uma pá de retroescavadeira:Vinculação de uma pá de retroescavadeira:
apoio do 2º gênero ou rótulaapoio do 2º gênero ou rótula
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Apoio rotulado em ponte:Apoio rotulado em ponte:
apoio do 2º gênero ou rótulaapoio do 2º gênero ou rótula
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Apoio equivalente a 
uma força (reação) de 
direção desconhecida 
e um momento .
Apoio do 3º gênero
ou engaste
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Fixação de uma estrutura: apoio do 3º gênero ou enga steFixação de uma estrutura: apoio do 3º gênero ou enga ste
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Cabe destacar que a aplicação correta das 
equações de equilíbrio exige a especificação 
completa de todas as forças conhecidas ou 
desconhecidas que agem sobre o corpo.
A melhor maneira de levar em conta 
essas forças é desenhar o diagrama de 
corpo livre do elemento estrutural.corpo livre do elemento estrutural.
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Esforços Internos
Os esforços internos 
são as forças e 
momentos 
necessários para 
manter a integridade manter a integridade 
de um corpo que 
está submetido a 
um conjunto de 
forças externas.
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Método das Seções
Para obtermos as 
solicitações internas 
que agem sobre uma 
determinada região no 
interior de um corpo, é interior de um corpo, é 
necessário aplicarmos 
o Método das Seções.
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1) Desenhar um diagrama de 
corpo livre da estrutura.
2) Incluir todas as 
forças externas.
3) Incluir todas as 
reações de apoio .
4) Dividir a estrutura em 
duas partes através de 
um plano (seção).
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5) Tomar isoladamente uma 
das partes da estrutura.
6) No plano da 
Essas forças 
representam os 
efeitos do material 
da parte superior do 
corpo atuando sobre 
o material adjacente 
da parte inferior.
6) No plano da 
seção deverão 
surgir forças que 
mantenham a parte 
isolada da estrutura 
em equilíbrio .
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7) Calcular a força 
resultante e o momento 
resultante, em relação ao 
centróide da seção, das 
forças necessárias para 
manter a parte isolada do 
( )∑ ∑
∑
=×=
=
0
0
FrM
F
o
�
�
�
�
manter a parte isolada do 
corpo em equilíbrio.
8) Aplicar as equações 
de equilíbrio à parte do 
corpo que foi isolada.
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9) Decompor a força 
resultante e o 
momento 
resultante segundo 
as direções normal 
e tangencial ao 
plano da seção plano da seção 
transversal.
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Esforços Internos Simples
Esforço normal N : é uma força que atua 
perperdicularmente ao plano da seção e 
segundo o eixo da estrutura. Surge quando 
as forças externas tendem a empurrar ou 
puxar as duas partes do corpo.
Momento torsor T : é um momento 
cujo eixo de atuação é perpendicular 
ao plano da seção. Surge quando as 
cargas externas tendem a torcer uma 
parte do corpo em relação à outra.
Momento fletor M : é um momento 
cujo eixo de atuação encontra-se 
contido no plano da seção. Surge 
quando as cargas externas tendem a 
fletir o corpo em relação a esse eixo.
Esforço cortante V : é uma força de 
corte que atua no próprio plano da 
seção. Surge quando as cargas 
externas tendem a provocar o 
deslizamento das duas partes do corpo.
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Estrutura contida em um Plano xoy: Cargas Coplanare s
Se a estrutura e o carregamento estiverem 
contidos em um único plano, podemos aplicar 
também o Método das Seções.
Basta secionar a estrutura e aplicar as 
equações de equilíbrio bidimensionais.






=
=
=
∑
∑
∑
0
0
0
O
y
x
M
F
F
equações de equilíbrio bidimensionais.
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Esforços simples no Plano xoy
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1.3 Tensão
O efeito que um lado da seção exerce sobre 
o outro pode ser reduzido a uma força 
resultante e a um momento resultante 
aplicados no centróide da seção.
Porém a interação 
entre os dois lados da 
seção transversal não 
ocorre apenas no 
ponto do centróide.
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Para isso 
consideramos um 
elemento de área 
É necessário, então, determinarmos 
como acontece essa interação entre os 
dois lados da seção, ponto a ponto.
elemento de área 
∆∆∆∆A muito pequeno.
Sobre este elemento 
de área atua 
apenas uma força 
elementar ∆∆∆∆F.
A força ∆∆∆∆F
pode ser 
decomposta 
em ∆∆∆∆Fx, ∆∆∆∆Fy,
e ∆∆∆∆Fz.
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Tensão normal: é a força 
por unidade de área que 
atua no sentido 
perpendicular à ∆A.
lim ZFσ ∆
=
Tensão de cisalhamento: é a 
força por unidade de área 
que atua tangente à ∆A.
0
lim x
zx
A
F
A
τ
∆ →
∆
=
∆
Surge então o conceito de Tensão:
0
lim Z
z
A
F
A
σ
∆ →
∆
=
∆
Se a força normal “puxa” 
o elemento ∆A, temos 
uma tensão de traçãotensão de tração . 
Se a força normal 
“empurra” o elemento 
∆A, temos uma tensão tensão 
de compressãode compressão .
0A A∆ → ∆
0
lim y
zy
A
F
A
τ
∆ →
∆
=
∆
O eixo z especifica a 
orientação da área, 
enquanto x e y referem-
se às retas de direção 
das tensões de 
cisalhamento.
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Estado Geral de Tensão
Se o corpo for também 
secionado por planos paralelos 
ao plano x-z e ao plano y-z, 
podemos cortar um elemento 
cúbico do volume do material. 
Esse elemento 
cúbico representa o 
estado de tensão no 
ponto analisado. 
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Esse estado de tensão é 
então caracterizado pelos 
três componentes que atuam 
em cada face do elemento .
Estado Geral de TensãoEstado Geral de Tensão
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Nas faces opostas do cubo existem tensões normais d e 
mesmo módulo e sentido oposto, por equilíbrio de fo rças.
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E, nas faces 
adjacentes do cubo 
existem tensões 
tangenciais de mesmo 
módulo e sentido 
oposto, por equilíbrio 
de momentos.
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Portanto, são necessárias apenas 6 componentes de 
tensão para definir o estado geral de tensão em um ponto.
Tensor de tensões simétrico:
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Felizmente, na prática, muitos 
problemas podem ser reduzidos a 
um estado plano de tensões.
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Com isso, é necessário Com isso, é necessário 
determinar apenas 3 determinar apenas 3 
componentes de tensão:componentes de tensão:
No estado plano de tensões 
as componentes fora do 
plano são todas nulas.






=
yxy
xyx
στ
τσ
T
componentes de tensão:componentes de tensão:
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Unidades
A unidade de tensão no Sistema Internacional de Uni dades 
(SI) é o Newton por metro quadrado (N/m²), ou Pasca l (Pa).
= 21 1Pa N m=1 1Pa N m
O Pascal é uma unidade pequena para medir tensões e m Engenharia.
Na prática usam -se múltiplos do Pascal:
kPa = 103 Pa (quilopascal)
MPa = 106 Pa (megapascal)
GPa = 109 Pa (gigapascal)
Observação:
6
2 6 2 2
1 1
10 1
10
N N N
MPa
mm m m−= = =
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Já no Sistema Inglês de Unidades, a 
tensão é especificada por:
libra por polegada quadrada: 
psi (pound per square inch) 2
lb
psi
in
=
1 psi = 0,006895 MPa
1 ksi =6,895 MPa
Conversão de unidades!
quilolibra por polegada quadrada: 
ksi (kilopound per square inch) 1000ksi psi=
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1.4 Tensão Normal Média
Frequentemente, 
elementos estruturais 
ou mecânicos são 
compridos e delgados. 
Além disso, estão sujeitos 
a cargas axiais que em 
geral estão aplicadas nas 
extremidades do elemento.
Aqui, discutiremos a distribuição de tensão 
média que atua na seção transversal de 
elementos submetidos a solicitações axiais.
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Para isso, é necessário considerarmos 
duas Hipóteses Simplificadoras:
“A barra deve permanecer reta antes e “A barra deve permanecer reta antes e 
depois da aplicação da carga e, além depois da aplicação da carga e, além 
disso, sua seção transversal deve disso, sua seção transversal deve 
permanecer plana durante a deformação permanecer plana durante a deformação 
(mudança de volume e forma).”(mudança de volume e forma).”(mudança de volume e forma).”(mudança de volume e forma).”
Será analisada a região central da 
barra, evitando as regiões próximas 
às cargasaplicadas.
Então, linhas horizontais e verticais 
deformam -se uniformemente quando a 
barra está submetida ao carregamento P.
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“Para que a barra sofra uma “Para que a barra sofra uma 
deformação uniformedeformação uniforme , considera, considera--se se 
que a carga que a carga PP seja aplicada ao longo seja aplicada ao longo 
do eixo centróide da seção do eixo centróide da seção 
transversal e que o material seja transversal e que o material seja 
homogêneo e isotrópico.”homogêneo e isotrópico.”
Material homogêneo →→→→→→→→ possui as mesmas propriedades 
físicas e mecânicas em todo o seu volume.
Material isotrópico →→→→→→→→ possui as mesmas propriedades 
físicas e mecânicas em todas as direções.
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A barra está 
submetida a uma 
deformação 
uniforme constante
Resultado de 
uma tensão 
normal 
constante
P
A
σ =
σ →→→→ tensão normal média 
Portanto:
σ →→→→ tensão normal média 
em qualquer ponto da área 
da seção transversal;
P →→→→ resultante da força 
normal interna, aplicada no 
centróide da área da seção 
transversal;
A →→→→ área da seção 
transversal da barra. 
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1.5 Tensão de Cisalhamento Média
Já para discutirmos a tensão de 
cisalhamento média, vamos 
considerar que os apoios são 
rígidos e que a carga F é 
suficientemente grande para 
provocar deformação e falha da provocar deformação e falha da 
barra ao longo dos planos AB e CD. 
O diagrama de corpo livre do 
segmento central não apoiado da 
barra indica que a força de 
cisalhamento V = F/2 deve ser 
aplicada em cada seção para 
manter o segmento em equilíbrio.
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Assim, a tensão de Assim, a tensão de 
cisalhamento média cisalhamento média 
distribuída sobre cada área distribuída sobre cada área 
secionada é definida por:secionada é definida por:
med
V
A
τ =med A
τ =
ττττmed →→→→ tensão de cisalhamento média na seção, que 
se supõe ser a mesma em cada ponto da seção;
V →→→→ resultante interna da força de cisalhamento na 
seção, determinada pelas equações de equilíbrio;
A →→→→ área da seção transversal. 
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Tipos de Cisalhamento
Cisalhamento Simples – considerando as juntas 
sobrepostas de aço (a) e madeira (c) e os 
diagramas de corpo livre (b) e (d), a área de seção 
Na prática, existem dois tipos de 
cisalhamento que merecem destaque:
diagramas de corpo livre (b) e (d), a área de seção 
transversal do parafuso e a superfície de fixação 
entre os elementos estão submetidas apenas a 
uma força de cisalhamento simples V = F.
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Conexão parafusada 
na qual o parafuso é 
submetido a 
cisalhamento simples.
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Cisalhamento Duplo – considerando as juntas de 
dupla sobreposição de aço (a) e madeira (c) e os 
diagramas de corpo livre (b) e (d), temos uma 
condição de cisalhamento duplo . Por consequência, 
V = F/2 atua em cada área secionada.
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Conexão parafusada na qual o parafuso é 
submetido a cisalhamento duplo.
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1.6 Tensão Admissível
O engenheiro responsável 
pelo projeto de elementos 
estruturais ou mecânicos 
deve restringir a tensão do 
material a um nível seguro. 
Tensão Tensão 
AdmissívelAdmissível
Para garantir a segurança, é 
necessário escolher uma tensão 
admissível que limite a carga 
aplicada a um valor menor do 
que a carga que possa levar o 
elemento à ruptura.
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Um dos métodos para especificar a 
carga de projeto de um elemento é 
usar um número denominado Fator 
de Segurança ( F.S.).
. . rup
adm
F
F S
F
=
Frup →→→→ carga de ruptura do material, 
obtida através de testes experimentais
Fadm →→→→ carga admissível
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Se a carga aplicada ao elemento for relacionada lin earmente à 
tensão desenvolvida no interior do elemento, como n o caso da 
tensão normal média e da tensão de cisalhamento média .
P
A
σ = med
V
A
τ =
É possível expressar o F.S. como a relação 
entre a tensão de ruptura e a tensão admissível:
. . rup
adm
F S
σ
σ
= . . rup
adm
F S
τ
τ
=