APOSTILA -SOLIDOS 1 - 2023

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Unimar – Universidade de Marília ______ Curso: Engenharia Civil, Mecânica e Elétrica 
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 – grade nova Professora: Palmira Cordeiro Barbosa 
 
 
 
 
ISOSTÁTICA / MECÂNICA GERAL 
(grade velha) 
 
MECÂNICA DOS SÓLIDOS 1 
(grade nova) 
 
 
 
Notas de aula 
 
 
 
Professora Palmira Cordeiro Barbosa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Marília/SP 
2023 
Unimar – Universidade de Marília ______ Curso: Engenharia Civil, Mecânica e Elétrica 
Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 – grade nova Professora: Palmira Cordeiro Barbosa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esta apostila foi desenvolvida para auxiliar os alunos dos cursos de engenharia da 
Unimar na disciplina Mecânica dos Sólidos 1. Esta apostila vem sendo usada há vários 
anos , sendo que sempre tento atualiza-la, de acordo com avaliações do MEC e concursos. 
Os nomes destas duas disciplinas foram alterados para um único nome que é 
Mecânica dos Sólidos, a partir de 2021 até os dias atuais. 
Esta disciplina é fundamental para a formação do aluno, dentro da engenharia 
estrutural, sendo a primeira dentre uma série de disciplinas que se seguirão ao longo do 
curso como Resistência dos Materiais , Hiperestática, Sistemas Estruturais, Estruturas de 
Aço, Estruturas de Concreto, Estruturas de Madeira e Elementos de máquinas. 
Este material não tem a pretensão de abranger todos os conceitos de isostática, até 
porque existe uma vasta gama de livros de alta qualidade disponíveis sobre o assunto. No 
entanto, foi possível, através deste material, direcionar um pouco o assunto abordado para 
se adequar à carga horária disponível para estas disciplinas. 
Espero, deste modo, contribuir para um bom aprendizado de nossos alunos e 
estimulá-los a buscar aprofundamento cada vez maior na engenharia estrutural. 
 
Palmira Cordeiro Barbosa 
 
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Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1 – grade nova Professora: Palmira Cordeiro Barbosa 
 
PLANO DE ENSINO 
OBJETIVO DA DISCIPLINA 
O objetivo principal desta disciplina é fornecer aos alunos de engenharia os fundamentos 
teóricos de engenharia de estruturas, através da análise de estudos de caso, de modo a 
auxilia-los no projeto estrutural de obras civis e máquinas. 
EMENTA 
Conceitos fundamentais da engenharia das estruturas como: tração, compressão, flexão, 
torção, inércia, comportamento tensão - deformação, flambagem, esforços internos e 
análise de treliças. 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 
1. CONCEITOS DE TEORIA DAS ESTRUTURAS : tipos de elementos estruturais, direção 
longitudinal e transversal, conceito de força, momento, tensão, ponto material e corpo 
rígido. 
2. VINCULAÇÕES EM ESTRUTURAS PLANAS: tipos de Apoios em estruturas planas, 
estaticidade das estruturas, tipos de estruturas planas isostáticas. 
3. EQUILIBRIO DE PONTO MATERIAL: definição de ponto material, condição de equilíbrio 
de um corpo, lei dos senos e Teorema de Lamy. 
4. EQUILIBRIO DE CORPO RÍGIDO: cálculo de momentos e reações. 
5.DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM ESTRUTURAS PLANAS: definição 
de esforços solicitantes, método das seções, convenção de sinais. 
6.TRELIÇA:características básicas,tipos básicos de treliças, influência da inclinação das 
barras de treliça na sua resistência, estudo de estaticidade das treliças,Método dos Nós 
7.PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS: centroide , baricentro e 
momento de inércia. 
METODOLOGIA DE ENSINO 
 Aulas expositivas sobre os assuntos apresentados na ementa 
 resolução de exercícios em sala de aula 
 desenvolvimento de atividades envolvendo kit mola 
 desenvolvimento de trabalhos de estudo de caso 
 resolução de exercícios usando o aplicativo Ftool 
SISTEMA DE AVALIAÇÃO 
O aluno possui duas notas de avaliação: N1 e N2, sendo que: 
N1 = AVP1 + P1 
N2 = AVP2 + P2 
Média final = (N1+N2)/2 
AVP1 e AVP2 são notas de trabalhos e avaliações parciais. 
P1 e P2 são notas das provas regimentais bimestrais. 
A média final mínima para aprovação é 7,0. O aluno tem direito a fazer a PROVA 
SUBSTITUTIVA, que vai substituir a média bimestral mais baixa. Caso não atinja a média 
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final 7,0 o aluno deverá fazer o EXAME, para isso precisa ter a média final mínima de 4,0 
pontos. 
 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica tecnica e resistencia dos materiais. 19 ed, SAO PAULO: 
ERICA, 2016. 
 
BEER, Ferdinand P.; JOHNSTON. Mecânica dos Materiais. ed, PORTO ALEGRE: 
GRUPO A, 2015. 
 
HIBBELER, Russell Charles. Estática: Mecânica para engenharia. 12 ed, RIO DE 
JANEIRO: CAMPUS, 2011. 
 
 
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1 SUMÁRIO 
1. CONCEITOS DE TEORIA DAS ESTRUTURAS ........................................................... 2 
1.1 Tipos de Elementos Estruturais ................................................................................................. 2 
1.2 Direção longitudinal e transversal ............................................................................................. 3 
1.3 Conceito de Força ..................................................................................................................... 4 
1.4 Conceito de Momento .............................................................................................................. 6 
1.5 Conceito de Tensão ................................................................................................................... 8 
1.6 Conceito de ponto material e corpo rígido .............................................................................. 12 
2. VINCULAÇÕES EM ESTRUTURAS PLANAS ............................................................ 14 
2.1 Tipos de Apoios em estruturas planas ..................................................................................... 14 
2.2 Tipos de Estruturas planas quanto à estaticidade ................................................................... 19 
2.3 Tipos de Estruturas Planas Isostáticas ..................................................................................... 19 
3. EQUILÍBRIO DE PONTO MATERIAL ........................................................................ 21 
3.1 Definição de Ponto Material ................................................................................................... 21 
3.2 Condição de equilíbrio de um corpo ........................................................................................ 21 
3.3 Lei dos Senos e Teorema de Lamy ........................................................................................... 22 
3.4 Relações trigonométricas ........................................................................................................ 22 
3.5 Exercícios para casa ................................................................................................................ 23 
4. EQUILÍBRIO DE CORPO RÍGIDO ............................................................................... 26 
4.1 CÁLCULO DE MOMENTO .........................................................................................................26 
4.2 EXERCICIOS PARA CASA SOBRE MOMENTO ............................................................................ 27 
4.3 CÁLCULO DE REAÇÕES ............................................................................................................. 28 
4.4 EXERCÍCIOS PARA CASA SOBRE CÁLCULO DE REAÇÕES ........................................................... 30 
5. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM ESTRUTURAS PLANAS ..... 33 
5.1 Definição de esforços solicitantes ........................................................................................... 33 
5.2 Método das seções ................................................................................................................. 33 
5.3 Convenção de sinais ................................................................................................................ 34 
5.4 Exercícios em sala ................................................................................................................... 36 
5.5 Exercícios para casa ................................................................................................................ 39 
6 TRELIÇAS ........................................................................................................................ 42 
6.1 Definição ................................................................................................................................. 42 
6.2 Características básicas............................................................................................................. 42 
6.3 Tipos básicos de treliças .......................................................................................................... 44 
6.4 Influência da inclinação das barras de treliça em relação a sua resistência ............................. 44 
6.5 Estudo de Estaticidade das treliças ......................................................................................... 45 
6.6 Método dos Nós ( exercícios em sala) ..................................................................................... 45 
6.7 Exercícios para casa ................................................................................................................ 46 
7. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE FIGURAS PLANAS .................................. 49 
7.1 Centroide (C) ........................................................................................................................... 49 
7.2 Baricentro (G) ......................................................................................................................... 51 
7.3 Momento de Inércia (I) ........................................................................................................... 53 
7.4 Exercícios para casa ................................................................................................................ 55 
 
 
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1. CONCEITOS DE TEORIA DAS ESTRUTURAS 
1.1 TIPOS DE ELEMENTOS ESTRUTURAIS 
 
Os elementos estruturais fazem parte de 
uma estrutura como um todo. São definidos 
através de suas 3 dimensões: largura, altura e 
comprimento. 
 
Os elementos estruturais podem ser 
divididos em blocos, barras e lâminas. 
 
Figura 1.1 - Dimensões de um elemento 
estrutural 
Fonte: http://www.aquaol.com.br 
 
 
 Os blocos possuem suas três dimensões da mesma ordem de grandeza. 
 As barras possuem uma das dimensões bem maior que as outras duas. 
 As lâminas possuem uma das dimensões bem menor do que as outras duas. 
 
 
 
a) Bloco b) Barra c) lâmina 
Figura 1.2 – Blocos, barras e lâminas 
Fonte: http://wwwo.metalica.com.br/ 
 
Na engenharia, costuma-se adotar nomes específicos para determinados elementos 
(Figura 1.3), que são: 
 Barras comprimidas são chamadas pilares ou colunas 
 Barras horizontais são chamadas vigas. 
 Lâminas com cargas perpendiculares ao plano são chamadas lajes. 
 Lâminas com cargas paralelas ao plano costumam ser chamadas de paredes. 
http://www.aquaol.com.br/
http://wwwo.metalica.com.br/
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 Na engenharia mecânica, barras submetidas à torção costumam ser chamadas de 
eixos. 
 
Figura 1.3 – Laje, viga e pilar 
Fonte: Botelho (2006) 
1.2 DIREÇÃO LONGITUDINAL E TRANSVERSAL 
 
Quando se trabalha com barras, é necessário definir duas direções principais: 
 direção longitudinal 
 direção transversal. 
A direção longitudinal acontece na direção da maior dimensão da peça, ou seja, na 
direção do comprimento. A direção transversal acontece perpendicularmente à direção 
longitudinal, conforme apresentado na Figura 1.4. 
 
 
 direção transversal 
 
 
 direção longitudinal 
 
Figura1.4 – Direção longitudinal e transversal 
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Agora, observe a Figura 1.5: quando se deseja analisar uma região específica dentro 
do comprimento da peça, é comum imaginar um corte na direção transversal da barra, nesta 
região. A figura plana que surge a partir deste corte é chamada seção transversal. Por 
exemplo, a barra apresentada na Figura 5 possui seção transversal retangular. 
 
 
 
 
 Figura 1.5 – Seção transversal 
1.3 CONCEITO DE FORÇA 
 
Força é algo que altera ou tenta alterar a 
condição de um corpo. Ou seja, um corpo , 
quando submetido a uma força qualquer, pode 
deslocar, deformar ou mesmo romper. 
 
 
Figura 1.6 – Exemplo de força 
Fonte: http://refensdafisica.tumblr.com/ 
Em relação à direção, as forças podem ser divididas em: 
 força normal 
 força de cisalhamento. 
A força normal atua perpendicularmente à área de atuação e pode ser de dois tipos: 
força normal de compressão (Figura 1.7a) e força normal de tração (Figura 1.7b). A força 
normal de compressão gera encurtamento na peça enquanto a força normal de tração gera 
alongamento na peça. A força de cisalhamento atua paralelamente à área de incidência 
(Figura 1.8). 
 
Figura 1.7 – Força normal 
Fonte: http://www.mspc.eng.br/ 
 
Figura 1.8 – Força de cisalhamento 
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Exemplo de esforços de tração e compressão 
Em relação a área de abrangência, pode-se definir as forças como: 
 força concentrada 
 força distribuída linear 
 força distribuída por área 
 
Figura 1.9 – Forças concentradas e distribuídas. Fonte: Hibbeler (2010) 
 
As figuras a seguir apresentam exemplos destas forças. 
 
Figura 1.10 – Exemplo de carga concentrada 
Fonte: Engenharia do mundo 
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Figura 1.11 – Exemplo de carga distribuída linear 
Fonte: Titanium Consultoria e projetos 
 
 
Figura 1.12 – Exemplo de carga distribuída por área 
Fonte: Correio Brasiziliense 
1.4 CONCEITO DE MOMENTO 
 
Quando a força encontra-se 
aplicada a uma certa distância do ponto 
analisado, ela tende a fazer com que a 
estrutura gire em torno deste ponto. 
Este fenômeno é chamado de 
momento que é dado por: 
 M = F x d. Figura 1.13 – Conceito de Momento 
Fonte: www.mundoeducação.bol.uol.com.br 
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A carga momento gera curvatura 
do elemento Numa barra, esta curvatura 
pode acontecer mas três direções 
conforme mostrado na Figura 1.15. 
Figura 1.14 – Exemplo de carga-momento 
Fonte: Jornal de Brasília 
 
(a) Momento fletor Mz ( flexão lateral ) 
 
 
(b) Momento fletor Mx ( flexão vertical) 
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(c) Momento torçor My 
 
 
Figura 1.15 – Momentos em elementos de barra 
 
1.5 CONCEITO DE TENSÃO 
 
Tensão é usualmente definida como sendo a relação entre força e área. 
 𝐓𝐞𝐧𝐬ã𝐨 =
𝐅𝐨𝐫ç𝐚
Á𝐫𝐞𝐚
 
No entanto, de forma geral pode-se dizer que tensões são forças internas que 
surgem numa peça quando esta é submetida a forças externas. Existem dois tipos básicos 
de tensões: Tensão Normal e Tensão de Cisalhamento. 
 
a) Tensão normal 
A tensão normal pode ser de compressão ou tração. 
Ou seja, uma força normal de compressão gera tensão de compressão. 
E uma força normal de tração gera tensão de tração. 
 
Figura 1.16 – Força de tração gera tensão de tração numa barra 
Fonte: www.luizcaludioo.com 
 
Na Flexão, numa mesma seção transversal existem tensões normais de tração e 
compressão, ao mesmo tempo. 
http://www.luizcaludioo.com/
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Figura 1.17 – Tensões de tração e compressão na flexão 
Fonte: www.luizcaludioo.com 
 
b) Tensão de cisalhamento 
 
A tensão de cisalhamento acontece numa seção devido a ação de forças paralelas 
à seção. Na conexão por pinos, o cisalhamento acontece no pino. Na conexão colada, o 
cisalhamento acontece na região colada. 
 
Figura 1.18 – Tensão de cisalhamento numa barra 
 
Figura 1.19 – Cisalhamento em chapas 
Fonte:Hibbeler(2010) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.20- Cisalhamento em vigas ocorre na seção A 
A A 
http://www.luizcaludioo.com/
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A Figura 1.21 apresenta outro tipo de carregamento que também gera tensões de 
cisalhamento, que é a torção. 
 
Figura 1.21 – Viga com torção apoiada em dois pilares 
Fonte: Barry Onoyue 
 
EXERCÍCIO 1- Enade arquitetura: Considere os dois tipos de trincas estruturais 
representadas nas vigas A e B abaixo, frequentes em construções realizadas sem a devida 
orientação técnica, seja na Favela da Maré, seja nas periferias das grandes cidades 
brasileiras, malgrado o saber construtivo popular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 2- A Casa Baeta(1956), projeto de Vilanova Artigas, apresenta solução 
estrutural ousada , com previsão de uso de escora inclinada para garantir o balanço de 4,5 
metros, na região da sala (Figura 1) . Por problemas na execução da obra, a escora 
idealizada por Artigas foi substituída por um pilar improvisado em concreto (Figura 2), 
construído do lado de fora da casa. Em reforma recente, o arquiteto Ângelo Bucci recuperou 
a integridade estrutural da casa, reconstituindo o elemento de sustentação central do 
projeto original, conforme Figura 3. 
 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
 
Figura 3 
 
Qual das justificativas abaixo explica a necessidade deste elemento estrutural? 
 
a) Impossibilidade de construção de elemento fechado de sustentação, que dividiria o 
espaço interno. 
b) Excesso de peso da laje intermediária 
c) Peculiaridade da geometria do pilar 
d) Necessidade de atirantar a laje intermediária 
e) Ausência de elementos ornamentais internos 
 
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EXERCÍCIO 3: Enade-Arquitetura: Analisando-se a imagem, constata-se que o elemento 
construtivo assinalado com o X é: 
 
 
 
a) Tirante 
b) Pilar metálico 
c) Viga vagão 
d) Armação da viga 
e) Peça da treliça de cobertura 
 
1.6 CONCEITO DE PONTO MATERIAL E CORPO RÍGIDO 
 
a) Ponto material ( bloco) 
 
Define-se ponto material como um corpo que possui massa, mas suas dimensões 
são desprezadas no cálculo. Trata-se de uma simplificação permitida em alguns casos onde 
pode-se admitir que todas as forças atuantes no corpo são aplicadas no mesmo ponto. 
 
 Condições de Equilíbrio de ponto material 
∑Fx = 0 𝑒 ∑Fy = 0 
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b) Corpo Rígido (barras) 
Em barras, não dá para considerar que todas as forças estão atuando no mesmo 
ponto. Nestes casos, usamos o conceito de corpo rígido. 
 
 
 Condições de Equilíbrio de corpo rígido 
{
∑𝑭𝒙 = 𝟎
∑𝑭𝒚 = 𝟎
∑𝑴𝑨 = 𝟎
 
 
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2. VINCULAÇÕES EM ESTRUTURAS PLANAS 
 
Bem, quando temos corpos em formato de barras , temos usar um conceito de 
Equilíbrio de Corpo Rígido e não mais, Equilíbrio de Ponto Material. 
 Na teoria de Equilíbrio de Corpo Rígido, o equilíbrio acontece quando se restringe 
não só as translações em x e y(como acontece como equilíbrio de ponto material), mas 
também a rotação. Sendo assim, as Condições de equilíbrio de Corpo Rígido podem ser 
dadas por: 
{
 
 
 
 ∑𝑭𝒙 = 𝟎
∑𝑭𝒚 = 𝟎
∑𝑴𝑨 = 𝟎
 
 Para isso, primeiramente vamos compreender os tipos de apoios existentes em 
estruturas planas. 
2.1 TIPOS DE APOIOS EM ESTRUTURAS PLANAS 
 
a) Apoio do 1º. Gênero ou apoio articulado móvel 
( impede a translação na direção perpendicular ao apoio) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apoio do 1º. Genero em Pontes rolantes 
 
Apoio do 1º. Genero em ponte 
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b) Apoio do 2º. Gênero ou apoio articulado fixo 
(impede a translação na direção perpendicular e paralela ao apoio) 
 
 
 
 
Apoio do 2º. Gênero para pilares de madeira 
 
 
Apoio rotulado em vigas metálicas 
 
 
Apoio rotulado fixo em vigas de concreto armado 
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c) Apoio do 3º. Gênero ou apoio engastado 
( impede as duas translações e a rotação do apoio) 
 
 
 
 
 
 
Apoio engastado em vigas metálicas(fonte:www.cartografia.ufpr.br) 
 
Apoio engastado em estruturas de concreto 
 
Símbolos para apoios no plano 
 
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EXERCÍCIO 1-Enade- Engenharia: Em termos de esquematização estrutural de edifícios, 
um erro bastante comum está em considerar as condições de engastamento, total ou 
parcial, das lajes e vigas, que podem ser agravadas no caso de edifícios altos ou com peças 
de inércia muito diferentes entre si. Para o engastamento parcial de vigas, deve-se 
considerar o que recomenda o item 3.2.3, da ABNT NBR 6118, para apoios extremos. 
Falhas na adoção do modelo estrutural correto poderão levar ao surgimento de trincas nas 
vigas, alvenarias e revestimentos, sendo necessária a sua manutenção. 
 
Para a viga apresentada acima, qual o sistema estrutural correto a ser adotado para seu 
cálculo? 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO 2: A Figura 1 apresenta a Galeria de Exposição do Museu de Arte Moderna 
do Rio de Janeiro, projetado por Affonso Eduardo Reidy. As Figuras 2 e 3 apresentam o 
detalhe das armaduras nos apoios. Com relação aos vínculos A,B,C e D, conclui-se que: 
 
 
 
 
Figura 1 
 
Figura 2 
 
Figura 3 
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2.2 TIPOS DE ESTRUTURAS PLANAS QUANTO À ESTATICIDADE 
 
a) Situação 1 
 
 
 
 
 
 
Estruturas Hipostáticas: número de apoios é insuficiente para manter a estruturas em 
equilíbrio. 
 
b) Situação 2 
 
 
 
 
 
Estruturas Isostáticas: número de apoios é apenas suficiente para manter a estruturas em 
equilíbrio. 
 
c) Situação 3 
 
 
 
Estruturas Hiperestáticas: número de apoios é mais do que suficiente para manter a 
estruturas em equilíbrio. 
2.3 TIPOS DE ESTRUTURAS PLANAS ISOSTÁTICAS 
 
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EXERCÍCIO 3: As Figuras 1 e 2 abaixo apresentam o Prédio de processamento de dados 
da Escola de engenharia de São Carlos. De acordo com o que foi desenvolvido em sala a 
respeito dos tipos de apoio no plano, como seria possível representar o(s) apoio(s) do pilar 
central do prédio apresentado? 
 
 
Figura1 Figura 2 
 
Figura 3 -Pilar central do prédio 
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3. EQUILÍBRIO DE PONTO MATERIAL 
 
3.1 DEFINIÇÃO DE PONTO MATERIAL 
 
Define-se ponto material como um corpo que possui massa, mas suas dimensões 
são desprezadas no cálculo. Trata-se de uma simplificação permitida em alguns casos onde 
pode-se admitir que todas as forças atuantes no corpo são aplicadas no mesmo ponto. Por 
exemplo, na Figura 1.a, temos uma caçamba que é mantida em equilíbrio através da tração 
no cabo. Temos duas forças atuantes na caçamba: o peso da caçamba, representado pela 
força W e a tração nos cabos, representada pela força T. Estas duas forças não estão 
aplicadas no mesmo ponto, mas é possível resolver este exercício admitindo que T e W 
estão aplicadas no mesmo ponto conforme Figura 1.b. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura 1.a Figura 1.b 
3.2 CONDIÇÃO DE EQUILÍBRIO DE UM CORPO 
 
O equilíbrio de um corpo é definido pela 1ª. Lei de Newton: 
“Se a resultante de forças que atuam num corpo é igual a zero, então este corpo permanece em 
repouso( se estava em repouso) ou se move em linha reta com velocidade constante( se 
originalmente estava em movimento)” 
T 
W
T 
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No entanto, para que um corpo esteja em 
equilíbrio, é necessário que a resultante de 
todas as forças que atuam sobre este corpo 
seja nula. Por exemplo, na Figura 2, temos 
quatro forças atuando sobre o ponto. Este 
ponto estará em equilíbrio se atender as 
duas Condições de Equilíbrio de Ponto 
Material abaixo: 
∑Fx = 0 𝑒 ∑Fy = 0 
 
Figura 2 
 
3.3 LEI DOS SENOS E TEOREMA DE LAMY 
 
 
 
Teorema de lamy 
 
3.4 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
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Exemplo 1: Dois cabos estão atados em C, 
onde é aplicada uma carga. Determine as 
trações em AC e BC através dos seguintes 
métodos: 
 
a) Teorema de Lamy 
b) Decomposição de forças 
 
 
 
Exemplo 2: Determine o ângulo α para : 
 
a) Menor tração possível no cabo BC 
b) Tração igual nos dois cabos 
 
Em cada caso, determine as trações nos dois 
cabos. 
 
 
Resp.: a) α = 35°,TAC=410N e TBC= 286,80N 
 
 b) α = 55° , TAC = TBC = 305N 
 
 
 
3.5 EXERCÍCIOS PARA CASA 
 
1.Dois cabos estão atados em C, onde é 
aplicada uma carga. Determine as trações 
em AC e BC. Adote 
g= 9,81m/s2. 
 
 
 
 
 
Resp.: TAC = 2636,65N e TBC = 1720,95N 
 
 
 
 
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24 
 
2. Dois cabos estão atados em C, onde é 
aplicada uma carga. Sabendo que P = 
400N e α = 75° , determine as trações em 
AC e BC. 
 
 
 
Resp.: TAC = 326,08N e TBC = 368,64N 
 
 
 
3.Duas forças P e Q de intensidade 600Ne 800N respectivamente são aplicadas à 
conexão de um avião. Sabendo que a 
conexão está em equilíbrio, determine a 
tração nas barras A e B. 
 
 
 
Resp.: TA = 230,94N e TB = 577,35N 
 
 
4.Dois cabos estão atados no ponto A, 
sujeito a uma carga de 960N. Sabendo que 
P = 640N, determine a tração em cada 
cabo. 
 
Resp.: TAB = 600,94N e TAC = 344N 
 
 
 
 5.Dois cabos estão atados no ponto A e 
sujeitos a uma carga de 960N. Determine 
o intervalo de valores de P para os quais 
os dois cabos permanecem esticados. 
 
Resp.: 291,5 ≤ P ≤ 1600 
 
 
 
Ex. 5 e 6 
6.Nos cabos da figura da questão 2.3, a maior tração permitida é de 300N no cabo AC e de 
400N no cabo BC. Determine: 
a) A maior força P que pode ser aplicada em C 
b) O valor correspondente de α 
 
Resp.: P = 409,8N e α = 68,5° 
 
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7..A manga A com 7,5 kg desliza sem atrito 
em um eixo vertical. Ela está presa por um 
fio, através de uma polia sem atrito a um 
peso de 8,5 kg. Determine a altura h para 
que o sistema esteja em equilíbrio. Adote 
g=10m/s2 
 
 
Resp.: h = 0,75m 
 
8.A força P é aplicada a uma pequena roda 
que se desloca sobre um cabo ACB. 
Sabendo que a tração nas duas partes do 
cabo é de 750N, determine o módulo e a 
direção de P. 
 
 
Resp.: P = 913N e α = 7,5° 
 
 
9.A manga A pode deslizar livremente 
sobre o eixo horizontal, sem atrito. A mola 
presa à manga tem constante 1751N/m e 
elongação nula quando a manga está 
diretamente embaixo do suporte B. 
Determine a intensidade da força P 
necessária para manter o equilíbrio 
quando: 
a) c = 228 mm 
b) c = 406 mm 
 
 
 
Resp.: a) 80N b) 285N 
 
 
 
 
 
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4. EQUILÍBRIO DE CORPO RÍGIDO 
 
Foi visto, no capítulo anterior que, para resolver exercícios de ponto material são 
necessárias duas equações de equilíbrio. Nos exercícios que envolvem equilíbrio de corpo 
rígido (barras), precisa-se de 3 equações de equilíbrio que são: 
Equações de Equilíbrio
{
 
 
 
 ∑𝐹𝑥 = 0
∑𝐹𝑦 = 0
∑𝑀 = 0
 
 
Observe que, em barras, precisamos garantir também que o corpo não sofra rotação 
em torno do seu eixo, pois também isso será considerado perda de equilíbrio. 
4.1 CÁLCULO DE MOMENTO 
 
O momento de uma força F em relação a um ponto O é determinado por: 
MoF = F x d´ 
Onde: 
F é a força aplicada 
d´ é a distância da força F ao ponto O , perpendicular à F 
 
(a) MOF = F x d (b) MOF = F x d x cos α 
 
 
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27 
 
EXEMPLO 1: Uma força vertical de 450N 
é aplicada na extremidade de uma 
alavanca que está presa no ponto O. 
Determine: 
a) O valor do momento M desta força em 
relação ao ponto O 
b) O valor da força horizontal Fh que, 
aplicada no ponto A, gera o mesmo 
momento M 
c) O valor e inclinação da força mínima 
que, aplicada no ponto A, gera o 
mesmo momento M. 
 
 
4.2 EXERCICIOS PARA CASA SOBRE MOMENTO 
1.Uma força de 150N é aplicada à alavanca AB. 
O comprimento da alavanca é 0,2m e α = 30°. 
Determine o momento da força em relação a B 
decompondo a força: 
a) em componentes horizontal e vertical 
b) em uma componente ao longo de AB e em 
outra perpendicular a AB. 
 
 
 
 
Resp.: Mb = 17,20N.m Horário 
 
 
Questão 1 e Questão 2 
2.Uma força de 150N é aplicada à alavanca AB. O comprimento da alavanca é 0,2m e o 
momento da força em relação a B é 22,5N.m. Determine α . 
 
Resp.: α = 16,41° 
 
 
3. Uma força P de 300N é aplicada ao ponto A. 
a) Calcule o momento de P em relação a O 
utilizando as componentes horizontal e 
vertical da força 
b) Calcule o momento de P em relação a O 
utilizando as componentes nas direções AO e 
perpendicular a AO. 
 
 
Resp.: M = 20,55 N. m AH 
 
 
 
 
 
 
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28 
 
4.3 CÁLCULO DE REAÇÕES 
 
EXEMPLO 2: Para as estruturas abaixo, determine as reações nos apoios: 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: Uma empilhadeira de 2500 Kg é utilizada para levantar uma caixa de 1200Kg. 
Determine a reação em cada uma das rodas da empilhadeira: 
a) Dianteiras (A) 
b) Traseiras (B) 
 
 
 
 
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29 
 
EXEMPLO 4: Para a estrutura abaixo, determine as reações nos apoios. 
 
a) 
 
b) 
 
 
 
EXEMPLO 5: A alavanca AB está articulada 
em C e presa a um cabo de controle em A. 
Se a alavanca está sujeita a uma força 
horizontal de 400N em B, determine: 
a) A tração no cabo 
b) A reação C (soma vetorial de Hc e Vc) 
 
 
Resp.: Tcabo = 300N e Rc = 360,5N 
 
 
 
 
EXEMPLO 6: As coberturas pênseis 
costumam ter grande apelo estético para 
utilização em cobertura de ginásios, 
teatros ou pavilhões de exposição. Vamos 
admitir uma estrutura de cobertura sujeita 
a uma carga de 80 kgf/m2. A cobertura 
possui vão de 30m x 40m conforme 
mostrado na figura. Determine o momento 
transferido para os pilares CA e DB para 
X=10m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 
 
 
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30 
 
4.4 EXERCÍCIOS PARA CASA SOBRE CÁLCULO DE REAÇÕES 
 
1..A barra AB é mantida na posição pelo 
cabo AC. Sabendo que c = 1400mm e 
que o momento em relação a B da força 
exercida pela corda no ponto A é de 420 
N.m, determine a força de tração na 
corda. 
 
 
 
 
Resp.: 772N 
 
2.Um carrinho de mão é utilizado para 
transportar um cilindro de ar comprimido. 
Sabendo que o peso total do carrinho e 
do cilindro é de 900N, determine: 
a) A força vertical P que deve ser 
aplicada ao braço do carrinho para 
manter o sistema na posição 
ilustrada 
b) A reação correspondente em cada 
uma das rodas 
 
 
 
 
Resp.: P = 118N e R = 391N 
 
3.Um guindaste montado em um 
caminhão é utilizado para erguer uma 
carga de 3000N. Os pesos da lança AB e 
do caminhão estão indicados na figura e 
o ângulo α = 45°. Determine a reação em 
cada uma das rodas: 
c) Dianteiras (A) 
d) Traseiras (B) 
 
 
 
Resp.: a) 9826,5N b) 4798N 
 
 
4.Para o guindaste do problema 3.9, determine o menor valor possível de α para que o 
caminhão não tombe se uma carga de 15kN precisar ser levantada. 
 
Resp.: 62° 
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315.Três cargas são aplicadas a uma viga 
leve suspensa por cabos presos em B e 
D. Desprezando o peso da viga, 
determine o intervalo de valores de Q 
para os quais nenhum dos dois cabos 
fica frouxo quando P = 0. 
 
 
 
 
 
Resp.: 500N < Q > 11000N 
 
 
6.Em um suporte em forma de T é 
aplicada uma carga de 200N. Determine 
as reações em A e C. 
 
 
 
Resp.: VA = 489N↓ , VC = 662N ↑ e 
 Hc = 100N← 
 
7.Duas hastes AB e DE estão ligadas 
por um perfil. Sabendo que a tração na 
haste AB é 750N, determine: 
c) A tração na haste DE 
d) As reações horizontal e vertical 
em C 
 
 
Resp.: TDE = 625N, Hc = 450N→, Vc = 
1225N↑ 
 
 
 
8.Para a mesma situação do problema anterior, determine a maior força que pode ser 
aplicada pela haste AB no perfil se o maior valor permitido para a reação em C é de 
2000N. 
Resp.: 1150N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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32 
 
9.Uma treliça pode ser apoiada das três maneiras abaixo. Determine as reações nos 
apoios em cada caso. 
 
 
Resp.: a) RA = 4,27 kN 20,6° para esquerda e para cima e VB = 4,50 kN↑ 
b) VA = 1,5 kN↑ e RB = 6,02 kN 48,4° para esquerda e para cima 
c) RA = 2,05 kN 47° para esquerda e para cima e RB = 5,20 kN 
perpendicular a B 
 
 
10.Uma barra leve AD está suspensa por um 
cabo BE e suporta um bloco de 20 Kg preso 
em C. As extremidades A e D da barra estão 
em contato, sem atrito, com as paredes 
verticais. Determine a força de tração no 
cabo BE e as reações em A e D. 
 
Resp.: TBE = 196,2N 
 HA = 73,6N→ e HD = 73,6N← 
 
 
 
 
 
 
 
 
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33 
 
5. DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES EM 
ESTRUTURAS PLANAS 
5.1 DEFINIÇÃO DE ESFORÇOS SOLICITANTES 
 
Esforços Solicitantes ou esforços internos são aqueles que surgem dentro do 
material devido aos carregamento externos. Os esforços internos, no plano, que veremos 
nesta disciplina são: 
 Esforço (força) cortante ou cisalhante, representado pela letra V 
 Esforço (força) normal de compressão ou tração, representado pela letra N 
 Momento fletor (momento), representado pela letra M 
 
Vejamos a barra representada pela Figura 5.1. Porque será que as vigas da ponte 
possuem sua altura aumentada gradativamente a medida que se aproximam dos apoios? 
Isto acontece porque, na região próxima aos apoios, acontece um aumento do esforço 
cortante obrigando o aumento de altura. 
 
Figura 5.1 – Viga de ponte com seção variável 
 
Deste modo, é fundamental determinar estes esforços pois, em função deles, são 
dimensionadas as estruturas. Para determinar estes esforços, utiliza-se o Método das 
Seções que será apresentado no próximo ítem. 
5.2 MÉTODO DAS SEÇÕES 
 
O Método das Seções diz que, se um corpo está em equilíbrio então, parte dele 
também estará em equilíbrio. Analisemos a Figura 5.2 que mostra o processo usado para 
determinação dos esforços internos numa viga. No ítem a) apresenta a estrutura original, 
na qual se deseja determinar os esforços solicitantes. O ítem b) apresenta as reações de 
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34 
 
apoio calculadas em função das 3 equações de equilíbrio. Agora imagine que nós vamos 
dividir a viga AB em duas partes: AC e CB, conforme apresentado nos itens c) e d) da 
Figura 5.2. Segundo o Método das Seções, se a estrutura do item b) está equilibrada, então 
as estruturas dos itens c) e d) também estão equilibradas devido a consideração das forças 
internas Vc, Mc e Nc. 
Observe que, dependendo da parte, esquerda ou direita, que se deseja trabalhar, o 
sentido dos vetores que representam os esforços solicitantes mudam. Isto acontece devido 
a convenção de sinais. 
 
 
a) Estrutura original carregada 
 
 
b) Reações ( Ay, Ax e By ) determinadas pelas 3 
equações de equilíbrio 
 
 
c) Esforços solicitantes (Nc,Mc e Vc) determinados 
pelas 3 equações de equilíbrio a partir da parte à 
esquerda da seção C 
 
 
d) Esforços solicitantes (Nc,Mc e Vc) determinados 
pelas 3 equações de equilíbrio a partir da parte 
à direita da seção C 
Figura 5.2-Método das seções em viga biapoiada 
5.3 CONVENÇÃO DE SINAIS 
 
De uma forma geral, convencionou-se como positivos os seguintes sentidos de 
deformação para os esforços solicitantes: 
 Esforço normal: 
 
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35 
 
 
 Esforço Cortante: 
 
 Momento Fletor: 
 
Momento fletor positivo: Tração embaixo e compressão 
em cima 
 
Momento fletor negativo: Tração em cima e compressão 
embaixo 
Usando o Método das Seções, deve-se usar apenas uma parte da barra. O quadro 
a seguir apresenta a convenção de positivo de acordo o lado que se está trabalhando, ou 
seja, direito ou esquerdo. 
 DIREITA ESQUERDA 
 
NORMAL 
 
 
 
 
CORTANTE 
 
 
 
 
 
MOMENTO 
 
 
 
 
Para simplificar esta convenção, de agora em diante usaremos uma convenção 
geral, representada pela Figura 5.3. 
: 
 
 
Figura 5.3 – Convenção geral de sinais 
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36 
 
5.4 EXERCÍCIOS EM SALA 
 
 
EXEMPLO 1: Para a coluna ao lado, 
determine os esforços solicitantes nas 
seções: 
a) S1 
b) S2 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Para a barra abaixo, 
determine pelo Método das Seções, os 
esforços solicitantes nas seções: 
a) A-A 
b) B-B 
 
 
 
 
EXEMPLO 3: Para a barra em balanço a 
seguir, determine pelo Método das 
Seções, os esforços solicitantes numa 
seção situada 1,0m a direita de A. 
 
 
 
 
EXEMPLO 4: Para as estruturas dos exemplos 1,2 e 3, faça: 
 
a) Diagrama de esforço normal (DEN) 
b) Diagrama de esforço cortante (DEC) 
c) Diagrama de momento fletor (DMF) 
 
 
EXEMPLO 5: Para as estruturas a seguir, faça: 
 
a) Diagrama de esforço cortante (DEC) 
b) Diagrama de momento fletor (DMF) 
 
5.1 
 
 
5.2
 
 
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37 
 
 
5.3 
 
5.4 
 
5.5 
 
 
5.6 
 
EXEMPLO 6-Enade: Observe a seguir, as imagens do Aeroporto Internacional Duller ( 
Virginia,EUA), concebido pelo arquiteto Eero Saarinen. 
 
 
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38 
 
EXEMPLO 7-Enade – Um determinado espaço coletivo prevê uma cobertura metálica. Os pré-
requisitos para a concepção da obra são: baixo peso da estrutura da cobertura, custo maiseconômico, facilidade de montagem no canteiro e simplicidade da solução espacial. Quais das 
soluções abaixo satisfaria tais requisitos? 
 
 
 
 
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39 
 
5.5 EXERCÍCIOS PARA CASA 
 
1. Para cada uma das estruturas abaixo, determine as reações e os diagramas de 
esforço normal, cortante e momento fletor. ( Valle &Rovere-UFSC) 
a) 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
e) 
 
f) 
 
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40 
 
2. Faça o diagrama de esforço normal, cortante e Momento fletor para os pórticos abaixo. 
Façam os cálculos à mão e depois, confiram os resultados usando o Ftool. 
a) 
 
b) 
 
3. Três linhas de gasodutos serão apoiadas por pórticos simples devidmente espaçados 
entre eles. Após estudo preliminar, decidiu-se que os pórticos receberiam uma 
padronização para fins de economia de material e rapidez na execução, devendo ainda, 
presentar o modelo estrutural da figura a seguir. 
 
4. As Figuras 1,2 e 3 abaixo apresentam, respectivamente, o esquema estático de uma viga 
contínua e seus diagramas de momento fletor e esforço cortante. Com base nas figuras e 
considerando que Q1=10 kN/m e ainda que as cargas concentradas estão aplicadas no meio 
do vão, avalie as afirmações a seguir: 
 
I. A carga pontual P2 é igual a 15kN. 
II. A carga uniformemente distribuída Q2 é igual a 20kN/m. 
III. A reação vertical do apoio B é igual a 30 kN 
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41 
 
 
É correto o que se afirma em: 
a) I apenas 
b) III apenas 
c) I e II apenas 
d) II e III apenas 
e) I, II e III 
 
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42 
 
6 TRELIÇAS 
 
6.1 DEFINIÇÃO 
 
É uma estrutura formada por barras, ligadas entre si pelas 
extremidades, formando uma figura fechada com forças aplicadas nos nós, 
conforme Figura 1. 
Os materiais usualmente utilizados em treliças são o aço e a madeira. 
Devido a sua grande resistência para vencer grandes vãos, as treliças 
costumam ser bastante utilizadas em obras como centro de convenções, 
aeroportos, museus, pontes e também em barracões de indústrias diversas. 
 
Figura 2-Exemplo de treliça 
6.2 CARACTERÍSTICAS BÁSICAS 
 
As características básicas de uma treliça ideal são: 
 Esforços predominantes são tração e compressão, ou seja, o esforço 
cortante e momento fletor podem ser desprezados. 
 As cargas devem ser aplicadas nos nós conforme a Figura 3. 
 Embora as barras sejam, na verdade, unidas por meio de conexões 
parafusadas ou soldadas, é comum supor que os elementos sejam unidos por 
pinos. Isto significa admitir que as ligações entre barras são rotuladas (Figura 
4). 
 As barras de uma treliça possuem nomes técnicos diferentes conforme 
a sua posição e inclinação dentro da treliça conforme apresenta a Figura 5. 
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43 
 
 
Figura 3- Cargas nos nós(Fonte: Canal Mecanica geral- You tube) 
 
 
 
a) Parafusadas ( Fonte: Clubes Obmep ) b) Ligações soldadas ( Fonte: Full Estruturas) 
 
c) Ligações rotuladas (Fonte: PUC-Rio) 
Figura 4- Ligações em treliças 
 
 
Figura 5- Denominações de barras de treliça 
 
 
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44 
 
6.3 TIPOS BÁSICOS DE TRELIÇAS 
 
Existem muitos tipos diferentes de treliças. Alguns bem complexos, 
mas, de uma maneira geral, os três tipos básicos mais conhecidos de uma 
treliça estão representados na Figura 5. 
 
Figura 6- Tipos básicos de treliça ( Fonte: Docplayer.com.br) 
 
6.4 INFLUÊNCIA DA INCLINAÇÃO DAS BARRAS DE TRELIÇA EM 
RELAÇÃO A SUA RESISTÊNCIA 
 
 
 
 
 
a) Carregamento b) deslocamento 
Figura 7- Treliças com inclinações e comportamentos diferentes 
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45 
 
6.5 ESTUDO DE ESTATICIDADE DAS TRELIÇAS 
 
Suponhamos que: 
r = no. de reações 
b = no. de barras 
n = no. de nós 
Considera-se que: 
 Treliças hipostáticas acontecem quando r + b < 2n 
 Treliças isostáticas acontecem quando r + b = 2n 
 Treliças hiperestáticas acontecem quando r + b > 2n 
 
Exemplo 1: 
 
r = 3 
b= 4 
n = 4 
r + b = 7 < 8 (HIPOSTATICA) 
2 n = 8 
 
Exemplo 2: 
 
 
r = 3 
b= 5 
n = 4 
r + b = 8 
2 n = 8 (ISOSTATICA) 
Exemplo 3: 
 
r = 4 
b= 5 
n = 4 
r + b= 9 
2 n = 8 (HIPERESTATICA) 
6.6 MÉTODO DOS NÓS ( EXERCÍCIOS EM SALA) 
 
EXERCÍCIO 1: Determine os esforços nas barras da treliça indicando se existe tração 
ou compressão. 
 
 
 
 
Se a força entra no nó 
é compressão 
Se a força sai do nó é 
tração 
 
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46 
 
 
EXERCÍCIO 2: Determine os esforços nas barras da treliça indicando se existe tração 
ou compressão. 
 
 
6.7 EXERCÍCIOS PARA CASA 
 
1.Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça e indique se 
cada barra sofre tração ou compressão. 
 
(a) 
 
 
 
 
 
 
 
(b) 
 
 
 
 
 
 
 
(c) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
(d) 
1,5m 
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47 
 
 
(e) 
 
 
(f) 
 
(g) 
 
(h) 
 
(i) 
 
(j) 
Resp.: 
a) FAB = 65 kN (T) 
 FAC = 80 kN (T) 
 FBC = 100 kN (C) 
 
b) FAB = 148 kN (T) 
 FAC = 72 kN (C) 
 FAD = 74 kN (T) 
 FBC = FCD = 70kN (C) 
 
c) FAB = 3,6 kN (T) 
 FAC = 6 kN (C) 
 FBC = 3,79 kN (C) 
 
d) FAB = 4,5 kN (T) 
 FAC = 3,9 kN (C) 
 FBC = 3,6 kN (T) 
 
e) FAB = FBC = 0 FBE = 8 kN (T) 
 FAD = FCF = 7 kN (C) 
 FDE = FEF = 30 kN (T) 
 FBD = FBF = 34 kN (C) 
f) FAB = 4 kN (T) FCD = 16 kN (C) 
 FAD = 15 kN (T) FDE = 4 kN (C) 
 FBD = 9 kN (C) 
 FBE = 5 kN (T) 
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g) FAB = 30 kN (C) FCD = 120 kN (C) 
 FAC = 12,5 kN (C) FCE = 62,5 kN (C) 
 FAD = 32,5 kN (T) FCF = 130 kN (T) 
 FBD = FEF = 0 FDF = 12,5 kN (T) 
 
h) FAB = FAC = 3,75 kN (T) 
 FAD = 6 kN (C) 
 FBC = 1,05 kN (T) 
 FCD = 3,6 kN (T) 
i) FAB = FBC = 3 kN (T) 
 FAD = FDF = 3,4 kN (C) 
 FBE = FBD = FDE = 0 
 FCE = FEF = 1,6 kN (T) 
j) FDC = FCB = FAC = FCE = 11,54 kN (T) 
 FAB = 10 kN (C) 
 FDA = FEB = 5,78 kN (C) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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7. PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE FIGURAS 
PLANAS 
 
As propriedades geométricas que iremos ver neste capítulo são: 
centroide, baricentro e momento de inércia. 
7.1 CENTROIDE (C) 
 
O centróide representa o centro geométrico de uma seção transversal. 
Portanto, a posição do centroide , dada por C ( xc, yc ) não depende da carga 
atuante sobre a seção. Para figuras planas simétricas, formadas por 
retângulos ou círculos, já é intuitivo entender que o centroide localiza-se no 
“meio” da seção conforme mostra a Figura 7.1. 
 
 
 
 
 
 
Figura 7.1 – Centróide de retângulos e triângulos 
No entanto, caso tenhamos uma figura plana qualquer, não simétrica, a 
determinação do centroide precisa ser determinada pelas análises de cálculo 
diferencial. Suponha a Figura 7.2 que mostra uma figura plana qualquer de 
área A. 
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Figura 7.2 – Centroide de uma figura plana 
 
A posição do centroide é dada por: 
 
𝑥𝑐 =
∫𝑥 .𝑑𝐴
𝐴
 e 𝑦𝑐 =
∫𝑦 .𝑑𝐴
𝐴
 
 
Quando a imagem é formada por figuras com formato conhecido, como 
quadrados, retângulos, triângulo, círculos, semicírculos ou quarto de 
írculos,estas integrais podem ser convertidas em somatórios desta forma: 
 
𝑥𝑐 =
∑𝐴𝑖 .𝑥𝑖
𝐴
 e 𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖 .𝑦𝑖
𝐴
 
Existem algumas figuras planas com centroide já tabelado, como é o 
caso do semicírculo e do quarto de círculo, indicados na Figura 7.3. 
 
 
Semicírculo 
 
 
Quarto de círculo 
Figura 7.3 – Centroide de semi-circulo e quarto de círculo 
 
 
 
 
 
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EXEMPLO 1: Determine a posição do centroide da figura abaixo. 
 
 
 
Setor Ai Xi Yi 
1 
2 
3 
 
 
 
 
EXEMPLO 2: Determine a posição do centroide da figura abaixo. 
 
 
Setor Ai Xi Yi 
1 
2 
3 
 
 
𝑥𝑐 =
∑𝐴𝑖 . 𝑥𝑖
𝐴
= 
 
𝑦𝑐 =
∑𝐴𝑖 . 𝑦𝑖
𝐴
= 
7.2 BARICENTRO (G) 
 
O Baricentro é o centro de carga de uma seção plana e depende a 
carga atuante na seção e não de sua geometria. Se, a carga estiver 
uniformemente distribuída na seção transversal, então a posição do centróide 
coincide com a posição do baricentro. As coordenadas do baricentro podem 
ser dadas por: 
 
𝑥𝑔 =
∑𝑃𝑖 . 𝑥𝑖
𝑃
 𝑒 𝑦𝑔 =
∑𝑃𝑖 . 𝑦𝑖
𝑃
 
 
y 
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EXEMPLO 3: Determine a localização do centro de gravidade G ( Xg , Yg )do 
triciclo abaixo. As localizações dos centros de gravidade e os pesos de cada 
componente aparecem tabelados na figura. Determine a reação em cada roda 
dianteira e traseira. 
 
Setor Carga Pi Xi Yi Pi . xi Pi . yi 
1 
2 
3 
4 
Carga total 
 
EXEMPLO 4: Determine a posição do baricentro da fundação abaixo. 
 
 
Setor Carga Pi Xi Yi Pi . xi Pi . yi 
1 
2 
3 
Carga total 
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7.3 MOMENTO DE INÉRCIA (I) 
 
O momento de Inercia de uma seção plana pode acontecer em relação 
a infinitos eixos e representa a maior ou menor facilidade de flexão da figura 
em torno daquele eixo. A inércia pode ser definida como a resistência da 
geometria da seção em relação a esforços de flexão, portanto, quanto maior a 
inércia da seção em relação a determinado eixo, menor será a facilidade de 
flexão naquela direção. 
Para exemplificar, vamos analisar a viga apresentada na Figura 7.4. Se 
considerarmos o eixo x na direção horizontal de seção transversal da viga, 
pode-se afirmar que existe uma maior facilidade de flexão da peça em torno 
do eixo y, ou seja: 
Iy < Ix 
 
Figura 7.4 – Influência da inercia na deformação da barra 
 
Analisando a Figura 7.1, pode-se dizer que: 
𝐼𝑥 = ∫𝑦
2 . 𝑑𝐴 𝑒 𝐼𝑦 = ∫𝑥
2 . 𝑑𝐴 
Resolvendo esta integral, pode-se definir, para a seção retangular, que: 
 
 
 
 
𝐼𝑥 =
𝑏 . ℎ3
12
 𝑒 𝐼𝑦 =
ℎ . 𝑏3
12
 
x 
y 
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EXEMPLO 5: Determine a inércia Ix da figura. 
 
Setor area Xi Yi Ai . xi Ai . yi Ir,x dx Ix,i 
1 
2 
3 
4 
 total 
 
I = Ir + A . d2 
 
EXEMPLO 6: Determine a inércia Ix e Iy da figura. 
 
Setor Área Xi Yi Ai. xi Ai. yi Ir,x Ir,y dx dy Ix,i Iy,i 
1 
2 
3 
4 
 total 
 
I = Ir + A . d2 
 
 
 
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7.4 LISTA DE EXERCÍCIOS PARA CASA 
 
1. Para as figuras planas abaixo, determine a posição do centróide. 
 
a) 
 
 
b) 
 
c) 
d) 
 
Resp: C( Xc , Yc ) 
 
 a) b) c) d) 
xc 5,67 1,64 92 -10 
Yc 5,17 17,47 23,25 87,52 
 
 
2. Para as figuras planas abaixo, determine as Inércias Ix e Iy . 
 
 
 
 
a) Medidas em mm 
 
 
b) Medidas em mm 
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c)medidas em mm 
 
 
d) medidas em cm 
 
e) medidas em pol 
 
f) medidas em pol 
 
Resp.: 
 
 a) b) c) d) e) f) 
C (50;75,86) (41,35;66,35) (37,50;47,50) (75;102,35) (2,5;3,0) (7,5;15) 
Ix 4,24e6mm4 31,55e6mm4 2,15e6mm4 37,09e6cm4 74pol4 35000cm4 
Iy 2,55e6mm4 15,15e6mm4 2,73e6mm4 12,84e6cm4 53,5pol4 10625cm4