Análise de Sensibilidade em Sistemas Elétricos

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Universidade Federal de Santa Catarina
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica
EEL510252 - Sistemas Elétricos de Potência II
Prof. R.S.Salgado
Análise de sensibilidade
1 Introdução
A solução do problema de fluxo de potência não necessariamente satisfaz as condições
impostas pelos limites operativos (magnitude da tensão, geração de potência, fluxos nas
linhas, etc). Isto requer o ajuste conveniente das variáveis do sistema elétrico, de forma
a se obter uma solução viável com relação aos limites de operação. A interdependência
entre as variáveis do sistema de potência é quantitativamente estimada pela chamada
Análise de Sensibilidade. A sensibilidade é definida como a razão entre a mudança numa
variável dependente e o incremento numa variável independente selecionada. A análise
de sensibilidade é de grande importância nos estudos de planejamento da operação dos
sistemas de potência, pois ela auxilia a observação da relação causa-efeito, servindo de
base para o estudo do controle das redes elétricas em regime permanente. Neste texto,
são derivadas as relações de sensibilidade linear entre as variáveis de uma rede elétrica.
A base dessas relações é a expansão de primeira ordem em série de Taylor das equações
da rede elétrica em regime permanente [1,2]. Inicialmente, a forma polar dessa equações
é mostrada, servindo posteriormente como ponto de partida para o desenvolvimento da
análise de sensibilidade.
2 Fundamentos
As equações de balanço de potência são representadas por,
Pgi − Pdi − Vi
∑
jε{K}
(Gij cos δij +Bij sin δij)Vj = 0
Qgi −Qdi − Vi
∑
jε{K}
(Gij sin δij −Bij cos δij)Vj = 0
(1)
onde, V e δ são a magnitude e o ângulo da tensão nas barras, respectivamente; {K} é o
conjunto de barras adjacentes à barra i; Gim e Bim são a condutância e a susceptância,
respectivamente, que compõem os termos da matriz Ybarra correspondentes as barras i
e m; δim = δi − δm é a diferença angular entre os nós i e m; δi e δm são os ângulos da
tensão das barras i e m, respectivamente; Pgi , Pdi e Qgi , Qdi são as potências gerada e de
demanda, ativa e reativa, respectivamente, da i-ésima barra.
Na modelo anaĺıtico do problema de fluxo de potência, algumas variáveis envolvidas nas
Eqs. (1) (magnitude e ângulo da tensão nas barras de carga e ângulo da tensão nas barras
de geração, geração de potência reativa) são dependentes das condições de operação de-
terminadas pela geração de potência ativa e magnitude da tensão especificadas (barras de
geração) e pela demanda de potência do sistema. Por esta razão, as variáveis do primeiro
conjunto (VPQ, δ, Qg) são classificadas como controladas ou dependentes. As variáveis
remanescentes podem ser divididas em dois grupos. O primeiro é formado pela geração
de potência ativa, magnitude da tensão nas barras de geração, taps de transformadores
com comutação sob carga etc, que podem ser ajustadas para suprir a demanda, de acordo
com as suas limitações f́ısicas. Essas grandezas são denominadas variáveis de controle ou
variáveis independentes. A demanda do sistema e os parâmetros da rede de transmissão
não são quantidades controláveis e portanto são classificados como parâmetros fixos. As-
sim, o conjunto de Eqs. (1) pode ser representado na forma vetorial por,
g(u,x,p) = 0 (2)
onde, u é o vetor das variáveis de controle, x é o vetor das variáveis dependentes e p é o
vetor dos parâmetros fixos.
3 Relações de Sensibilidade
Considere que o sistema de potência opera numa condição inicial definida por
(u0,x0,p)
a qual satisfaz a Eq. (2).
A relação entre as variáveis de controle e dependentes pode ser determinada expandin-
do-se a Eq. (2) em série de Taylor, na vizinhança da solução inicial (u0,x0) e na direção
(∆u,∆x), até o termo de primeira ordem. Isto fornece
g(u0+∆u,x0+∆x,p) ∼= g(u0,x0,p)+
∂g(u,x,p)
∂x
∣∣∣∣∣
(u0,x0,p)
∆x+
∂g(u,x,p)
∂u
∣∣∣∣∣
(u0,x0,p)
∆u
(3)
Desde que ambos os pontos (u0,x0,p) e (u0 + ∆u,x0 + ∆x,p) são supostos satisfazer a
Eq. (2),
∂g(u,x,p)
∂x
∣∣∣∣∣
(u0,x0,p)
∆x +
∂g(u,x,p)
∂u
∣∣∣∣∣
(u0,x0,p)
∆u = 0
e, portanto,
∆x = −
[
∂g(u0,x0,p)
∂x
]−1 [
∂g(u0,x0,p)
∂u
]
∆u (4)
tal que,
Sxu =
[
∂g(u0,x0,p)
∂x
]−1 [
∂g(u0,x0,p)
∂u
]
é a matriz de sensibilidade que relaciona os incrementos nas variáveis de controle e de-
pendentes.
2
Conjuntos distintos de variáveis e de equações podem ser selecionados. Por exemplo, se
o conjunto de equações não lineares e as variáveis envolvidas no processo iterativo da
solução do fluxo de potência via Newton-Raphson (ângulos da tensão das barras PV e
PQ e magnitude da tensão nas barras PQ) forem escolhidas, então
∆x =

∆δPV
∆δPQ
∆V PQ

é o vetor dos incrementos nas variáveis controladas, e
[
∂g(u,x,p)
∂x
]
= J =

HPV,PV HPV,PQ NPV,PQ
HPQ,PV HPQ,PQ NPQ,PQ
MPQ,PV MPQ,PQ LPQ,PQ

onde H =
∂P
∂δ
, N =
∂P
∂V
, M =
∂Q
∂δ
e L =
∂Q
∂V
são as componentes da matriz Jacobiana.
Se as potências ativas geradas são escolhidas como as variáveis de controle cujo efeito das
mudanças é desejado determinar; ou seja, ∆u = ∆P g, então
∂g(u,x,p)
∂u
= APV
onde A é uma matriz cujos termos são expressos como
APV (i, j) =
 1, if i = j e i corresponde a uma barra PV
0 em caso contrário
Se a magnitude da tensão nas barras de geração é escolhida como a variável de controle
cujo efeito das mudanças é desejado determinar; ou seja, ∆u = ∆Vg, então
∂g(u,x,p)
∂u
= NA =

NPV,f NPV,PV
NPQ,f NPQ,PV
LPQ,f LPQ,PV

Com base nas especificações anteriores, a variação da magnitude da tensão das barras PQ
resultante da variação na geração de potência ativa é dada por,
∆δPV
∆δPQ
∆VPQ
 = −J−1

∆PPV
0
0
 (5)
3
que é o sistema linear resolvido em cada iteração do método Newton-Raphson, com
∆PPQ = 0 e ∆QPQ = 0.
Se a matriz J−1 é particionada como,
J−1 =
S11 S12
S21 S22
 (6)
onde, S11 é a matriz de sensibilidade do ângulo da tensão das barras PQ em relação às
variações da potência ativa das barras PV ; S21 a matriz de sensibilidade da magnitude
da tensão nas barras PQ com relação às variações de potência ativa das barras PV ; a
equação (6) se transforma em,
∆δPV
∆δPQ
∆V PQ
 = −
S11
S21
∆PPV (7)
e, portanto,
∆VPQ = −S21∆PPV
Na prática, nem a inversão expĺıcita e nem o particionamento são requeridos, desde que
ao final de um processo convergente de fluxo de potência via método de Newton-Raphson
a matriz Jacobiana é dispońıvel na forma fatorada. Os coeficientes de sensibilidade são
obtidos simplesmente executando-se processos de substituição direta e inversa, numa série
de sistemas lineares cujos lados direitos são as colunas de uma matriz identidade.
Um procedimento semelhante pode ser adotado quando a tensão gerada é tomada como
variável de controle. Neste caso, os incrementos nas variáveis dependentes são expressos
como, 
∆δPV
∆δPQ
∆VPQ
− J−1NA
∆Vf
∆VPV
 (8)
onde todos os termos foram previamente definidos.
O particionamento conveniente da matriz resultante do produto J−1NA, fornece
∆δPV
∆δPQ
∆VPQ
 = −
S11
S21

∆Vf
∆VPV
 (9)
onde, S11 é uma matriz de sensibilidade do ângulo das barras PV e PQ com relação às
variações da magnitude da tensão das barras de geração; S21 é uma matriz de sensibili-
dade da magnitude da tensão das barras PQ com relação às variações da magnitude da
4
tensão das barras de geração; e finalmente,
∆VPQ = −S21∆Vf,PV (10)
Da mesma forma que no caso anterior, as linhas de S21 são obtidas executando-se processos
de substituição direta e inversa. Todavia, neste caso os vetores do lado direito são as
colunas da matriz NA.
3.1 Exemplo
Considere o sistema da Figura 1, o qual é constitúıdo de 6 barras (2 geradores, 3 barras
decarga e uma barra de transferência). A rede de transmissão é composta de 7 linhas,
com transformadores com comutação sob carga entre as barras 3-4 e 5-6. Os dados das
das linhas de transmissão e a solução do fluxo de potência via Newton-Raphson 1 são
mostrados nas tabelas 1 e 2.
1
2
34
56
Figura 1. Sistema de 6 barras
Linha Barras R X Bsh tape
(%) (%) (%) (pu)
1 1 - 4 8,00 37,00 3,00 -
2 1 - 6 12,30 51,80 4,20 -
3 2 - 3 72,30 105,00 0,00 -
4 2 - 5 28,20 64,00 0,00 -
5 3 - 4 0,00 13,30 0,00 0,909
6 4 - 6 9,70 40,70 3,00 -
7 5 - 6 0,00 30,00 0,00 0,975
Tabela 1
Dados do sistema de transmissão - sistema de 6 barras
1 Os dados e os resultados apresentados neste exemplo foram transcritos da referência [3].
5
Barra Tipo V δ Pg Qg Pd Qd
(V) graus MW Mvar MW Mvar
1 folga 1,050 0,0000 95,28 43,34 - -
2 PV 1,100 -3,71 50,0 18,93 - -
3 PQ 0,995 -13,36 - - 55,0 13,0
4 PQ 0,929 -9,81 - - 0,00 0,00
5 PQ 0,919 -12,49 - - 30,0 18,0
6 PQ 0,919 -12,30 - - 50,0 5,00
Tabela 2
Resultado do fluxo de potência - sistema de 6 barras
Seja o conjunto completo de equações da rede elétrica selecionado para o cálculo das
relações de sensibilidade; isto é,
g(u,x,p) =

Pgi − Pdi − Vi
∑
jε{K}
(Gij cos δij +Bij sin δij)Vj
Qgi −Qdi − Vi
∑
jε{K}
(Gij sin δij −Bij cos δij)Vj
 , i = 1, 6 (11)
As variáveis dependentes podem ser selecionadas de forma a constituir o vetor
x =
[
P1 Q1 δ2 Q2 δ3 V3 δ4 V4 δ5 V5 δ6 V6
]t
(12)
A matriz de primeiras derivadas das equações da rede elétrica com relação às variáveis
6
dependentes é expressa como
[
∂g(u,x,p)
∂x
]
=

1 H14 N14 H16 N16
1 M14 L14 M16 L16
H22 H23 N23 H25 N25
M22 1 L23 M25 L25
H32 H33 N33 H34 N34
M32 M33 L33 M34 L34
H43 N43 H44 N44 H46 N46
M43 L43 M44 L44 M46 L46
H52 H55 N55 H56 N56
M52 M55 L55 M56 L56
H64 N64 H65 N65 H66 N66
M64 L64 M65 L65 M66 L66

a qual, para a condição de operação apresentada na tabela 2, é dada numericamente por

−1 −2, 57 −0, 11 −1, 81 −0, 03
−1 0, 10 −2, 77 0, 03 −1, 97
2, 17 −0, 78 −0, 36 −1, 39 −0, 40
−0, 73 −1, 00 0, 36 −0, 78 0, 36 −1, 52
−0, 62 8, 29 −1, 10 −7, 67 −0, 42
0, 59 −0, 99 8, 03 0, 39 −8, 26
−7, 67 0, 39 12, 07 1, 03 −2, 00 −0, 42
−0, 39 −7, 67 −0, 96 12, 98 0, 38 −2, 18
−1, 21 4, 10 0, 20 −2, 88 0, 00
0, 78 −0, 78 4, 07 0, 00 −3, 14
−1, 96 −0, 59 −2, 88 0, 00 6, 48 0, 36
0, 55 −2, 11 −0, 00 −3, 13 −1, 33 6, 94

Considere que o objetivo é determinar as relações de sensibilidade entre as variáveis de-
pendentes que compõem o vetor da Eq. (12) e um conjunto de variáveis independentes
composto pela magnitude das tensões nas barras de geração e os tapes dos transformadores
7
com comutação sob carga; isto é,
u1 =
V1
V2
 u2 =
 a34
a56

cujo ajuste afeta as seguintes variáveis do sistema elétrico:
• potências ativa e reativa geradas na barra 1;
• o ângulo de fase da tensão e a potência reativa gerada na barra 2;
• o ângulo de fase e a magnitude da tensão nas barras 3, 4, 5 e 6.
A matriz de primeiras derivadas das equações da rede elétrica com relação às variáveis de
controle é dada por,
(
∂g(u,x,p)
∂u1
)
=

1, 95
5, 01
1, 57
2, 31
−0, 54
−0, 56
−0, 92
−2, 27
−0, 71
−1, 01
−0, 74
−1, 55

[
∂g(u,x,p)
∂u2
]
=

−0, 36
−6, 98
−0, 38
−1, 95
−0, 00
−2, 81
0, 00
2, 95

tal que a matriz de sensibilidade das variáveis dependentes com relação às variáveis de
controle é mostrada na Tabela 3 (Resultados transcritos de [3]).
A análise das matrizes de sensibilidade revela que:
• a potência ativa gerada na barra 1 e a potência reativa gerada na barra 2 decrescerão
com o aumento da tensão na barra 1. Por outro lado, a potência reativa da barra 1
aumentará com a elevação do ńıvel de tensão da barra 1;
• o aumento do ńıvel de tensão resulta em perdas de potência ativa na transmissão
menores e portanto em decréscimo da potência requerida na barra de folga. Isto explica
a observação do item anterior;
• o carregamento de potência reativa dos geradores ocorre em direções opostas; isto é, se
a magnitude da tensão do gerador 1 aumenta, a sua potência reativa gerada também
aumenta enquanto a geração de potência reativa na barra 2 diminui. Uma situação
semelhante ocorre quando a magnitude de tensão do gerador 2 é aumentada;
8
Tabela 3
Relações de sensibilidade - sistema de 6 barras [3]
Relações de sensibilidade
Magnitude das tensões Tapes dos LTC’s
Variável V1 V2 a34 a56
P1 -0,1503 -0,1132 -1,3030 -0,0324
Q1 1,1456 -1,83 34 -7,7103 0,7440
Q2 -1,7415 1,2705 -3,8235 -0,7256
δ2 0,7911 -0,4883 1,1441 0,0823
δ3 0,4821 0,0645 -0,3600 0,0122
δ4 0,3989 0,0117 0,0940 0,0138
δ5 0,5746 0,0050 0,6128 0,0072
δ6 0,52 29 0,0145 0,4348 0,0096
V3 0,8427 0,4839 2,9516 -0,0112
V4 0,8382 0,3598 2,0701 -0,1038
V5 0,5852 0,6942 0,6800 0,4995
V6 0,8124 0,4250 1,0134 -0,2305
• a magnitude da tensão de todas as barras de carga variará (decrescerá ou aumentará)
de acordo com os incrementos (negativos ou positivos) de tensão nas barras de geração;
• os ajustes na magnitude da tensão gerada têm mais efeito sobre a magnitude da tensão
das barras de carga do que sobre o ângulo de fase;
• os taps têm considerável efeito sobre o carregamento de potência reativa dos geradores.
Deve ser observado, que as matrizes de sensibilidade são determinadas com base numa
aproximação de primeira ordem (linear) e por esta razão sua validade é limitada à vi-
zinhança do ponto de operação onde a expansão em série de Taylor é feita. Portanto, a
precisão dos resultados obtidos através dessas matrizes tende a ser maior quanto menor
for o incremento nas variáveis de controle.
4 Perdas incrementais de potência ativa nas linhas de transmissão
Os coeficientes de perda incremental na transmissão são utilizados na solução dos pro-
blemas de Despacho Econômico, no qual apenas o balanço de potência total da rede de
energia elétrica é considerado.. Para estabelecer uma metodologia de cálculo dos coeficien-
tes de perda incremental, seja a expansão em série de Taylor da injeção de potência ativa
na barra de folga Pf , na direção (∆V,∆δ), no ponto (V, δ), e até o termo de primeira
9
Tabela 4
Relações de sensibilidade - sistema de 6 barras
Relações de sensibilidade
Magnitude das tensões Tapes dos LTC’s
Variável V1 V2 a34 a56
P1 -1.5473e-001 -1.1153e-001 2.6761e-002 -2.9944e-002
Q1 1.1099e+000 -1.8201e+000 6.5240e-001 7.0341e-001
Q2 -1.7266e+000 1.2510e+000 -4.4271e-001 -6.8158e-001
δ2 7.9995e-001 -4.7994e-001 9.5234e-002 7.5746e-002
δ3 4.9824e-001 7.5581e-002 -4.6720e-002 1.0764e-002
δ4 3.9779e-001 1.0917e-002 -3.3788e-003 1.2819e-002
δ5 5.8170e-001 6.1755e-003 3.5053e-002 2.5681e-003
δ6 5.2498e-001 1.4688e-002 2.8641e-003 8.9595e-003
V3 8.3551e-001 4.9974e-001 6.2381e-001 -1.0545e-001
V4 8.4488e-001 3.5775e-001 -1.7321e-001 -9.8159e-002
V5 5.8047e-001 6.9957e-001 -7.8569e-002 4.6946e-001
V6 8.1849e-001 4.2109e-001 -8.7556e-002 -2.1792e-001
ordem, expressa como
Pf (V + ∆V, δ + ∆δ) = Pf (V, δ) +
[
∂Pf
∂δ
]t
(V,δ)
∆δ +
[
∂Pf
∂V
]t
(V,δ)
∆V
A relação de sensibilidade entre os incrementos na injeção de potência ativa na barra de
folga e os ângulos e magnitudes das tensões nodais nas barras do sistema de potência é
dada por
∆Pf =
[
∂P t
f
∂δ
∂P t
f
∂V
]  ∆δ
∆V

onde,
∂P t
f
∂δ
e
∂P t
f
∂V
são os vetor de derivadas da injeção de potência ativa da barra de folga
com relação às variáveis do fluxo de potência convencional δ e V ; e
 ∆δ
∆V
 =
 H N
M L

−1 ∆P
∆Q
 = J−1FP
∆P
∆Q

representa as equações do fluxo de potência convencionallinearizadas, com JFP denotando
a matriz Jacobiana da solução do fluxo de potência via método de Newton-Raphson. A
10
última equação pode ser re-escrita de forma mais detalhada como
∆δPV
∆δpq
∆Vpq
 = J−1FP

∆PPV
∆Ppq
∆Qpq

Considerando que a demanda é constante, a equação do incremento de potência ativa na
barra de folga é expresso como
∆Pf =
[
∂P t
f
∂δ
∂P t
f
∂V
]
J−1FP

∆PPV
0
0
 = SPV ∆PPV
onde SPV =
[
spv1 spv2 spv3 ... spvm
]
é um vetor de ordem m (número de barras PV),
cujos termos são as sensibilidades entre os incrementos nas injeções de potência ativa da
barra de folga e das barras PV.
A última equação pode ser expressa como
∆Pf =
[
spv1 spv2 spv3 ... spvm
]
∆PPV
e portanto [
1 −spv1 −spv2 −spv3 ... −spvm
]  ∆Pf
∆PPV
 = 0 (13)
A Eq. (13) pode ser interpretada como o balanço de potência ativa, expresso em termos
da geração de potência ativa das barras de folga e PV, na forma linearizada.
Referências
[1] J. Peschon, D. Piercy, W. Tinney, O. Tveit, Sensitivity in power systems, in: Proc. Power
Industry Appl. Conference, Pittsburgh, Pennsylvania, 1967, pp. 1–8.
[2] J. Britton, Improved area interchange control for Newton’s method load flows, IEEE
Transactions on Power Systems 88 (10), 1969.
[3] R. N. Dhar, Computer Aided Power System Operation and Analysis, Tata McGraw-Hill
Publishing Company Limited, 1982.
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