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ωr, embora sua amplitude diminua exponencialmente com o fator e−bt. Este é o regime de
oscilação subamortecida.
Note que a frequência de um oscilador amortecido é uma função do coeficiente do atrito,
ωr =
q
ω20 − b2, (71)
e, portanto, não é exatamente igual ao caso sem atrito para qual a frequência é ω0 =
p
k/m.
A frequência diminui com o aumento do coeficiente do atrito. Assim, podemos pensar numa
situação em que o atrito se tornar tão grande que esta frequência se torna exatamente nula,
ou seja, não oscila. Isto é o caso c).
3. Caso C
Finalmente, para o caso λ+ = λ−, ou seja ωr = 0, temos a Eq.(21),
x = e−bt (A+Bt) ,
que é novamente uma função que decai exponencialmente, tendo, no máximo, um ponto de
extremo. Como foi esperado, não ha movimento oscilatório. Este é o regime de amorteci-
mento crítico.
E. Oscilador forçado
Quando um oscilador (com ou sem amortecimento) está sujeito a influência de uma força
externa além das forças da mola e atrito, a equação de movimento tem a forma,
m
d2x
dt2
+ η
dx
dt
+ κx = fext (t) , (72)
onde fext (t) é a força extra que atua da fora do sistema e supormos que uma função já
especificada no tempo. Por exemplo, podemos considerar a situação em que o pai empurra o
balanço do seu filho. O termo da força extra não é proporcional a variável x. Uma equação
similar também pode ser obtido quando para um circuito RLC, quando existe uma fonte
externa de potência ao circuito.
Exercício: Considere uma montagem experimental análogo a situação da Fig.2 no qual a
variação de corrente em tempo obdesce uma equação tipo Eq.(72)
21
1. Equação Diferencial Linear Não Homogênia
O termo fext (t) é chamado o termo inhomogênio. Devido a presença deste termo, a
propriedade de superposição fica alterado. Seja x1 (t) e x2 (t) são duas funções que satisfazem
a equação, (72),
m
d2x1
dt2
+ η
dx1
dt
+ κx1 = fext (t) ,
m
d2x2
dt2
+ η
dx2
dt
+ κx2 = fext (t) .
Somando os dois lados, e utilizando a propriedade linear dos operadores diferenciais, temos
m
d2 (x1 + x2)
dt2
+ η
d (x1 + x2)
dt
+ κ (x1 + x2) = 2fext (t)
Assim, vemos que um simles superposição,
x (t) = x1 (t) + x2 (t)
não é a solução, mas
x (t) =
1
2
(x1 (t) + x2 (t))
é uma solução. Em geral, uma combinação linear,
x (t) = α x1 (t) + β x2 (t) (73)
é a solução, desde que
α+ β = 1. (74)
Infelizmente, essa vez a propriedade acima não ajuda muito para obter a solução mais
geral possível a partir de duas soluções conhecidas, pois a combinação linear Eq.(73) com
vínculo 74 contém apenas um parâmetro e isto não é suficiente para cobrir todas as condições
iniciais possíveis.
Por outro lado, nos já aprendemos como obter a solução geral da equação homogênea.
Seja x(h) (t) a solução geral da
m
d2x(h)
dt2
+ η
dx(h)
dt
+ κx(h) = 0. (75)
Podemos ver facilmente que, se xp (t) é uma solução particular da (72),
m
d2xp
dt2
+ η
dxp
dt
+ κxp = fext (t) ,
22
a superposição,
xgeral (t) = xp (t) + x
(h) (t)
é também a solução. Como já vimos, a solução geral da equação homogênia, Eq.(75) é obtida
pela uma combinação linear geral de duas soluções linearmente independentes da equação
homogênia, x(h)1 (t) e x
(h)
2 (t) ,
x(h) = α x(h)1 (t) + β x
(h)
2 (t) ,
temos
x (t) = xp (t) + α x
(h)
1 (t) + β x
(h)
2 (t) . (76)
Como x(h)1 (t) e x
(h)
2 (t) são linearmente independentes, concluimos que a forma Eq.(76)
fornece a solução geral da Eq.(72).
• A solução geral da Eq.(72) é obtida a partir de uma solução particular, somando a
solução geral da equação homonênea correspondente.
2. Um método de obter uma solução particular
Uma solução particular pode ser obtido de várias maneiras no caso da equação Eq.(72).
Aqui, demonstramos uma maneira de obter uma solução particular a partir de uma solução
da equação homogênea. Seja x(h) (t) uma solução (qualquer) da Eq.(75), ou seja,
m
d2x(h)
dt2
+ η
dx(h)
dt
+ κx(h) = 0.
Usando essa solução, podemos construir uma integral,
xp (t) =
Z t
−∞
dt0 x(h) (t− t0) fext (t0) . (77)
Vamos mostrar que xp (t) pode ser uma solução particular da Eq.(72), desde que escolhermos
a condição inicial para x(h) apropriadamente.
Primeira, calculamos a deridada temporal de xp (t) tomando cuidado ao fato que a de-
pendência em t aparece em 2 lugares.
dxp (t)
dt
= x(h) (0) fext (t) +
Z t
−∞
dt0
dx(h) (t− t0)
dt
fext (t0) .
23
A segunda derivada fica
d2xp (t)
dt2
= x(h) (0)
dfext (t)
dt
+
dx(h) (0)
dt
fext (t) +
Z t
−∞
dt0
d2x(h) (t− t0)
dt2
fext (t0)
Escolhendo a solução x(h) (t) tal que
x(h) (0) = 0,
dx(h) (0)
dt
=
1
m
,
o que sempre possível, temos
dxp (t)
dt
=
Z t
−∞
dt0
dx(h) (t− t0)
dt
fext (t0) ,
d2xp (t)
dt2
=
1
m
fext (t) +
Z t
−∞
dt0
d2x(h) (t− t0)
dt2
fext (t0)
Com isto, temos
m
d2xp
dt2
+ η
dxp
dt
+ κxp = fext (t)
+
Z t
−∞
dt0
∙
m
d2x(h)
dt2
+ η
dx(h)
dt
+ κx(h)
¸
t−t0
f (t0)
Pela definição, a integral da segunda linha acima anula. Assim, temos
m
d2xp
dt2
+ η
dxp
dt
+ κxp = fext (t) .
Assim, a solução geral da Eq.(72) pode ser obtida como
xgeral (t) =
Z t
−∞
dt0 x(h) (t− t0) fext (t0) + α x(h)1 (t) + β x
(h)
2 (t) (78)
Exercício: No caso de um oscilador amortecido, determine x(h) (t− t0) explicitamente.
A expressão Eq.(77) não é a unica forma de obter uma solução particular. Podemos
também pensar a forma,
xp (t) =
Z ∞
t
dt0 x(h) (t− t0) fext (t0) (79)
Exercício: Para a forma da solução particular acima, determine a condição inicial para
x(h) (t) .
Exercício: Usando a propriedade, Eq.(73) mostre também que existe uma forma da solução
particular,
xp (t) =
Z ∞
−∞
dt0 G (t− t0) fext (t0) , (80)
e obtenha a forma da função G (t− t0) . A função G (t− t0) satisfaz a equação ho-
mogênea?
24
3. Forças Harmônicas
As discussões acima são válidas para a força externa geral e não ha como detalhar o
comportamento da solução sem saber fext (t). As vezes é interessante estudar certas situações
específicas, em particular, no caso de forças harmonicas. Isto porque,
• Como podemos ver posteriormente, qualquer função f (t) pode ser expressa como
combinação linear de sin(t) e cos(t). Com isto,
• usando Eq.(77) (ou Eq.(79) ou Eq.(80)), a solução para f (t) geral pode ser obtido
como uma superposição de soluções obtidas de forças harmônicas.
Começamos com um exemplo simples e util. Vamos considerar a força externa,
fext (t) = f0 cos (ωt) (81)
or
fext (t) = f0 sin (ωt) (82)
Assim,
m
d2x
dt2
+ η
dx
dt
+ κx = f0 cos (ωt) (83)
or
m
d2y
dt2
+ η
dy
dt
+ κy = f0 sin (ωt) (84)
onde, distinguimos as soluções dos dois casos por x (t) e y (t) .
Utilizando a propriedade linear dos operadores diferenciais da equação acima, podemos
construir uma equação que corresponde a situação de combinação linear das duas forças,
Eq.(81) e Eq.(82),
fext (t) = f0 (α cos (ωt) + β sin (ωt)) (85)
Podemos verificar facilmente que uma solução particular pode ser obtida pela a combinação
linear de x e y como
z (t) = αx (t) + βy(t). (86)
Exercício: Verifique que z acima é uma solução da equação Eq.(72) com a força externa,
Eq.(85).
25
Do ponto de vista matemática, o fato que Eq.(86) satisfaz a equação,
m
d2z
dt2
+ η
dz
dt
+ κz = (α cos (ωt) + β sin (ωt)) f0 (87)
não depende da natureza da constante α e β. Eles podem ser até números complexos. Por
exemplo, escolhemos
α = 1,
β = i,
então,
z = x+ iy,
e
fext (t) = f0eiωt,
tendo
m
d2z
dt2
+ η
dz
dt
+ κz = f0eiωt (88)
Se encontramos a solução complexa z (t) da equação acima, podemos obter as soluções das
Eqs.(83) e (84) como
x (t) = Re (z (t)) ,
y (t) = Im (z (t)) ,
respectivamente. Assim, embora a força complexa não tem significado físico, podemos uti-
lizar essa forma para obter solução que queremos.
4. Regime Estacionária e Resonância
A inspecção da Eq.(88) leva a nos uma possível solução particular,
z ∝ eiωt
pois todos os termos terão a mesma dependência temporal acima, já que a derivada não
altera a dependência. Assim, podemos considerar um ansatz,
z = A eiωt (89)
26
onde A é uma constante (pode ser complex) a ser determinada pelaequação. .Note que,
desta vez, diferentemente do caso da equação homogênea, a frequência ω é um número dado
pela força externa e não é incognito.
Substituindo Eq.(89) na Eq.(88) temos
¡
−mω2 + iηω + κ
¢
Aeiωt = f0e
iωt
portanto,
A =
f0
−mω2 + iηω + κ
=
f0/m
−ω2 + 2ibω + c
onde, como antes,
b =
η
2m
,
c =
k
m
= ω20,
onde ω0 é a frequência intrinseca do oscilador, sem amortecimento. O coeficiente A é um
número complexo. Um número complexo pode ser expressa sempre como
A = |A| eiδ
onde |A| é o módulo do A e δ é a fase, ambos reais, temos a solução particular Eq.(89).
Exercício: Obtenha as expressões de A e δ em termos de f0, m, η, e κ.
z = |A| ei(ωt+δ) (90)
Daí, temos
xp (t) = |A| cos (ωt+ δ) ,
yp (t) = |A| sin (ωt+ δ) .
Como podemos ver na subseção seguinte, estas soluções correspondem a situação para
grande valores de t quando a força externa harmonica continua atuando constante-
mente, independentemente da condição inicial. Assim, elas são chamadas soluções da
regime estacionária.
27
Note que na regime estacionária, o oscilador oscila com a mesma frequência da força
externa, com amplitude dependendo da frequência ω, e uma defasagem de fase, δ.
|A| = 1q
(ω2 − ω20)
2
+ 4b2ω2
, (91)
Exercício: Verifique as expressões acima.
A amplitude |A| mostra um comportamento interessante como função de ω. Para ver
isto, escrevemos
|A| = 1q
(ω2 − ω20)
2
+ 4b2ω2
=
1p
ω4 − 2 (ω20 − 2b2)ω2 + ω40
=
1q
[ω2 − (ω20 − 2b2)]
2
+ 4b2 (ω20 − b2)
=
1q
[ω2 − (ω20 − 2b2)]
2
+ 4b2 (ω20 − b2)
.
Quando b < ω0/
√
2,é fácil de ver esta função cresce de ω2 = 0 até atinge ao seu máximo
quando para
ω2 = ω20 − 2b2,
e decresce monotonicamente depois. A forma da amplitude em torno do máximo é mais
aguda para menor valor de b, tendo
|A|Max =
1
2b
p
(ω20 − 2b2)
.
Quando dizermos que b pequeno, é necessário dizer comparado com quem. Neste caso,
estamos falando que b pequeno comparado com ω0. Assim, é conveniente introduzir um
parâmetro adimensional, ε para expressar b por
b = εω0.
Em temos de quantidades originais, temos
ε =
η
2
√
κm
.
28
Exercício: Verifique que ε é uma quantidade adimensional.
O fato de b ser pequeno é expresso em termos de ε por
ε¿ 1.
Temos
|A| = 1q
[ω2 − (ω20 − 2ω0ε2)]
2
+ 4ω20ε2 (ω
2
0 − ω20ε2)
=
1
ω20
1q
[x2 − (1− 2ε2)]2 + 4ε2 (1− ε2)
,
onde introduzimos a variável adimensional,
x =
ω
ω0
para expressar ω. Na figura abaixo, mostramos a função
F (x; ε) =
1q
[x2 − (1− 2ε2)]2 + 4ε2 (1− ε2)
para ε = 1/3, 1/7 e 1/10.
0 1 2 3 4
x
0
2
4
6
|A
(ω
)|
ε=1/10
ε=1/7
ε=1/3
O pico agudo para os casos ε¿ 1 em torno de x ' 1 mostra que a solução particular corre-
sponde a oscilação com enorme amplitude. Este fenômeno é conhecido com a ressonância.
29
Exercício: Discuta o comportamento da amplitude em função de ω quando b > ω0/
√
2.
Exercício: Obtenha a expressão para a solução de regime estacinária para fext(t) =
C1 sinωt+ C2 cosωt.
Para obter a solução geral, basta adicionar a combinação linear da equação homogênea.
Para f (t) = cosωt, temos
xω (t) = Re
©|A| eiωt+δ + αeλ+t + βeλ−tª
= |A| cos (ωt+ δ) + Ce−bt cos (ωrt− φ) , (92)
onde C é φ são constantes a serem determinadas pela condição inicial do problema.
Exercício: Obtenha a solução da Eq.(83) com condição inicial,
x (0) = 0,
dx
dt
(0) = v0
e esboce o grafico de x = x (t) em função de t.
5. Regime Transiente
A solução geral, a Eq.(92) mostra a natureza da solução particular obtida pela função
de Green com a condição de contorno escolhida. Na Eq.(92), vamos estudar quando t
bastante grande. Neste caso, o segundo termo que depende da condição inicial diminui
exponencialmente devido o fator e−bt. Assim, existe sempre um tempo, trelax, depois o qual,
o segundo termo se torna desprezível compaparado com o primeiro termo, isto é,
|A| À Ce−bt, t > trelax.
Por exemplo, pode escolher
trelax ' 1b ln
µ
C
|A|
¶
.
Assim, para t > trelax, o movimento do sistema tende a
zω (t)→ |A| cos (ωt+ δ) , (93)
30
independentemente da condição inicial. Este é o aspecto geral e o ponto importante de um
sistema com a força dissipativa. Em geral, um sistema com a força dissipativa, a memória
da condição inicial será apagado com o tempo t. No caso de um oscilador subamortecido
com a força solenoidal, o sistema oscila com a mesma frequência para tÀ trelax neste regime
assintótico e sua amplitude é determindada completamente em termos dos parâmetros que
são característica do sistema, tais como M , k, e η, independente da condição inicial.
O movimento entre 0 < t < trelax ainda reflete o efeito da condição inicial. Este regime é
dita o regime transiente.
Exercício: Discuta o comportamento de um oscilador harmônico super-amortecido sob a
influência de força externa harmônica com frequência ω. Existe a resonância?
Exercício: No verão, o asfalto das estradas derrete e acaba criando uma superfície on-
dulatória quase harmonica. Supondo que esta ondulação tem a forma senóide com
comprimento de onda λ. Consideramos um carro correndo essa estrada, com seus
amortecedors já vencido, tendo frequência própria é ω0 e o valor de b ficou menor que
ω0. Qual é a velocidade que o carro entra em resonância com a ondulação da superfície?
F. Interlúdio: Números complexos como Espaço Vetorial
Seja i =
√
−1. Nas soluções de uma equação de segunda ordem, surgem raízes do tipo
z = x+ i y ,
onde x e y são números reais. Escrevemos
Re (z) = x,
Im (z) = y,
e chamamos de parte real e de parte imaginária, respectivamente. Sabemos também que i
nunca se torna um número real através da multiplicação por um número real, ou seja,
α× i 6= real,
31
para qualquer número real α. Isto equivale a dizer que a condição
z = x+ iy = 0 (94)
implica necessariamente
x = y = 0. (95)
Consideremos o conjunto de todas as combinações do tipo acima e o chamemos C.
C = {z = x+ i y , x, y ∈ R}
onde R é o conjunto de todos os números reais.
Introduzimos as seguintes regras:
∀a ∈ R, ∀z = x+ i y ∈ C,
az ≡ (ax) + i (ay) ,
e
∀z1 = x1 + i y1 ∈ C, ∀z2 = x2 + i y2 ∈ C,
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) ∈ C,
Exercício: Mostre que se
x1 + i y1 = x1 + i y2,
então necessariamente
x1 = x2,
y1 = y2.
Juntando as propriedades acima, podemos mostrar que o conjunto C forma um espaço
vetorial de dimensão[? ] 2, com o corpo (conjunto dos números escalares) sendo o conjunto
de números reais, ou seja, R.
Exercício: Seguindo a definição de dimensão de um espaço vetorial mencionada na nota de rodapé,
prove que o espaço vetorial de números complexos tem dimensão 2.
32
Os elementos básicos de um espaço vetorial sáo: 1) noção de “direções” e 2) noção de
“distância”. A dimensão do espaço é nada mais do que o número de direções indendentes.
No caso do espaço vetorial formado de números complexos com corpo real, as direções são a
parte real e a parte imaginária. Podemos expressar, assim, um número complexo num plano
(x, y) como visto na figura abaixo.
Im(z)
Re(z)
z=x+iy
x
y
Fig. 1. Plano Complexo
Lembrete: Embora, um número complexo tenha propriedade vetorial, ou seja, possui sempre
duas componentes, real e complexa, quando uma das componentes é nula, apenas
escrevemos uma componente. Por exemplo,
z = a+ i× 0
é denotado por simplesmente
z = a,
e
z = 0 + α× i,
denotamos por
z = iα.
Em particular, se ambas as componentes forem nulas,
z = 0 + i× 0,
escrevemos
z = 0.
33
1. Multiplicação entre números complexos como operação
Sabemos que
i× i = −1 ∈ R,
i× 1 = i ∈ C.
Desta forma, a multiplicação pelo número imaginário puro unitário transforma de uma
direção para outra. Em geral, a multiplicação,
z1 × z2 = z3
pode ser considerada como um mapeamento de C para C,
z1 : z2 ∈ C z1→ z3 ∈ C.
O mapeamento de um espaço vetorial para o próprio espaço vetorial é dito “operador”.
Assim, a multiplicação de números complexos é um operador. Postulando que vale a regra
de distributividade, sabemos que a regra geral para a multiplicação entre dois números
complexos é
(x1 + iy1)× (x2 + iy2) = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + y1x2)
Note que esta regra é comutativa, ou seja,
(x1 + iy1)× (x2 + iy2) = (x2 + iy2)× (x1 + iy1) .
Exercício: Prove que a regra de multiplicação acima satisfaz: 1) comutatividade
z1 × z2 = z2 × z1, (96)
2) associatividade,
z1 × (z2 × z3) = (z1 × z2)× z3. (97)
e 3) distributividade e linearidade,
z1 × (αz2 + βz3) = α (z1 × z2) + β (z1 × z3) ,
onde α e β são números reais.
34
Podemos considerar que a regra acima define a propriedade operatorial de um número
complexo no sentido de que, quando se aplica este número complexo em outro (um vetor),
ele gera um outro número complexo (outro vetor). Por exemplo, vamos considerar o número
i. Para um número complexo z = x+ iy, temos
i× z = i× (x+ iy)
= ix− y.
Im(z)
Re(z)
z=x+iy
i × z = -y + ix
Fig. 2 Efeito de multiplicação i.
Vemos que a multiplicação de i por um número complexo z corresponde à operação de
rotação de z por 90 graus em torno da origem.
Exercício: Quais são os números complexos que correspondem às seguintes rotações, respectiva-
mente? a) rotação de 180 graus. b) rotação de 270 graus, c) rotação de -90 graus.
Vamos considerar um número complexo,
e (θ) ≡ cos θ + i sin θ. (98)
Para um número complexo z = x+ iy, temos
e (θ)× z = (cos θ + i sin θ)× (x+ iy)
= (x cos θ − y sin θ) + i (x sin θ + y cos θ) .
Podemos ver que
e (θ) : z → z0 = e (θ)× z
= (x cos θ − y sin θ) + i (x sin θ + y cos θ) ,
35
ou seja,
e (θ) :
⎛
⎝ x
y
⎞
⎠→
⎛
⎝ x
0
y0
⎞
⎠ =
⎛
⎝ x cos θ − y sin θ
x sin θ + y cos θ
⎞
⎠
Isto corresponde à rotação no plano (x− y) por um ângulo θ.
Exercício: Mostre geometricamente que, quando um vetor
⎛
⎝ x
y
⎞
⎠
é rodado por umângulo θ, o vetor resultante fica
⎛
⎝ x
0
y0
⎞
⎠ =
⎛
⎝ x cos θ − y sin θ
x sin θ + y cos θ
⎞
⎠ .
Mostre ainda que pode ser escrito como
⎛
⎝ x
0
y0
⎞
⎠ = A (θ)
⎛
⎝ x
y
⎞
⎠ ,
onde A é uma matriz (2× 2),
A(θ) =
⎛
⎝ cos θ − sin θ
sin θ cos θ
⎞
⎠ .
Exercício: Mostre que para αeβ reais,
e (α)× e (β) = e (α+ β) . (99)
Exercício: Mostre que
A (α)A (β) = A (α+ β) .
2. Representação Polar
Para um número complexo arbitrário
z = x+ iy,
podemos escrever sempre
z = α
µ
1
α
x+ i
1
α
y
¶
,
36
onde α é real. Escolhendo α tal queµ
1
α
x
¶2
+
µ
1
α
y
¶2
= 1,
temos
α =
p
x2 + y2,
e podemos escrever sempre
1
α
x = cos θ,
1
α
y = sin θ,
já que
(cos θ)2 + (sin θ)2 = 1.
Assim, temos
z =
p
x2 + y2 (cos θ + i sin θ)
=
p
x2 + y2e (θ) .
O ângulo θ é dado pelo ângulo entre o vetor z e o eixo real no plano complexo (x− y). O
ângulo θ é chamado de “argumento” de z e r =
p
x2 + y2 é dito o módulo de z.
O efeito geométrico de multiplicar o número complexo Eq.(98) por outro número com-
plexo z é o de rodar z por um ângulo θ. Por outro lado, o efeito geométrico de multiplicar
um número complexo z por um número real α é esticar z por α vezes sem mudar a sua
direção. Desta forma, o efeito geométrico da multiplicação por um número complexo geral
é a combinção dos dois efeitos acima, ou seja, rodar por ângulo θ igual ao argumento de z
e depois esticar o vetor na direção por fator igual ao módulo de z.
Exercício: Obtenha a expressão polar dos seguintes números complexos.
z = 1 + i
√
3,
3. Divisão por números complexos como operação inversa da multiplicação
Por construção, para dois números complexos arbitrários, z1, z2 ∈ C, sempre existe z3 ∈ C
tal que
z3 = z1 × z2. (100)
37
Já discutimos que z1 é uma operação que leva o elemento z2 para z3. Vamos considerar a
operação inversa. Suponhamos que exista[3] um número complexo z4, tal que
z4 × z3 = z2.
Então, escrevemos que
z4 = z−11 ,
por razão óbvia. Por exemplo, multiplicando z4 dos dois lados da Eq.(100), temos
z4 × z3 = z4 × (z1 × z2)
= (z4 × z1)× z2
Assim, temos
z2 = (z4 × z1)× z2
para qualquer z2 ∈ C . Portanto,
(z4 × z1) = 1.
Podemos mostrar também que
z1 × z4 = 1. (101)
Exercício: Prove a Eq.(101).
Vimos que
z × z−1 = z−1 × z = 1.
Isto justifica que para z,
z = x+ iy,
podemos escrever que
z−1 =
1
x+ iy
.
Mas isto não mostra qual é o número complexo correspondente. Usando a definição, podemos
obter explicitamente o número complexo inverso de um dado z = x+ iy do seguinte modo.
Temos
z−1 (x+ iy) = 1. (102)
Escrevendo
z−1 = u+ iv,
38
temos
ux− vy = 1,
uy + vx = 0.
Queremos u e v em função de x e y. As equações acima constituem um sistema linear para
u e v. Colocando na forma matricial, temos
⎛
⎝ x −y
y x
⎞
⎠
⎛
⎝ u
v
⎞
⎠ =
⎛
⎝ 1
0
⎞
⎠
Temos ⎛
⎝ u
v
⎞
⎠ =
⎛
⎝ x −y
y x
⎞
⎠
−1⎛
⎝ 1
0
⎞
⎠ .
Mas ⎛
⎝ x −y
y x
⎞
⎠
−1
=
1
x2 + y2
⎛
⎝ x y
−y x
⎞
⎠ ,
se x2 + y2 6= 0, portanto, temos
⎛
⎝ u
v
⎞
⎠ = 1
x2 + y2
⎛
⎝ x y
−y x
⎞
⎠
⎛
⎝ 1
0
⎞
⎠
=
1
x2 + y2
⎛
⎝ x
−y
⎞
⎠
e, conseqüentemente,
z−1 =
x
x2 + y2
− i y
x2 + y2
. (103)
O método acima é um método padrão para obter o elemento inverso a partir da sua
definião. Mas no caso de número complexo, o mesmo resultado pode ser obtido da seguinte
forma. Da Eq.(102), temos
z−1 (x+ iy) = 1.
Multiplicando dos dois lados o número complexo, (x− iy) , temos
z−1 (x+ iy) (x− iy) = x− iy.
Mas
(x+ iy) (x− iy) = x2 + y2,
39
e, portanto,
z−1
¡
x2 + y2
¢
= x− iy.
Dividindo os dois lados por (x2 + y2) , temos a expressão Eq.(103).
O exercício acima para obter z−1 mostra que, para qualquer z, sempre existe z−1, exceto
se x2 + y2 = 0. Mas x2 + y2 = 0 implica em x = y = 0, e portanto z = 0. Assim, sempre
existe z−1, exceto se z = 0.
Exercício: Para um número complexo expresso na forma polar,
z = r (cos θ + i sin θ) ,
obtenha o inverso, z−1. Interprete geometricamente o resultado e o papel de z−1 como
um operador[4].
No exercício acima, r =
p
x2 + y2 representa o módulo do vetor z no plano (x− y) e o
denotamos por |z| .
|z| = r =
p
x2 + y2
Quando estamos operando com z = x+ iy, freqüentemente aparece a quantidade
x− iy,
portanto é útil introduzir uma notação específica para esta. Denotemos x− iy por z∗ para
z = x + iy e o chamemos de “conjugado complexo” (ou às vezes simplesmente conjugado)
de z. O conjugado complexo do conjugado complexo é o próprio z,
(z∗)∗ = z.
Tomar o conjugado complexo de um número complexo z é um mapeamento de C para C
e, portanto, um operador. Além disto, é um operador linear.
Exercício: Expresse o módulo e o argumento das seguintes expressões em termos de módulo e do
argumento de z, kzk e arg z = θ.
w = (z + 1) ,
w = (z − i) z,
w =
z + 1
z − 1 .
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Exercício: Para z = x+ iy, obtenha um número complexo w que transforma z em z∗.
Exercício: Demostre que
cos θ + i sin θ = eiθ
pela 1) expanção de Taylor, 2) resolvendo equação diferencial para f (θ) = eiθ e 3)
usando a propriedade
(cosα+ i sinα) (cosβ + i sinβ) = cos (α+ β) + i sin (α+ β) .
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