Apostila+F

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FÍSICA II 
 
• Objetivos da disciplina Física II: 
Compreender e aplicar os conceitos básicos de equilíbrio do corpo rígido, rotação, da estática e 
dinâmica de fluidos. Entender a importância da temperatura e dilatação de materiais e os processos 
de transferência de calor. Conhecer os princípios da termodinâmica e suas aplicações no estudo de 
máquinas térmicas, assim como entender os princípios das ondas mecânicas e seus efeitos e o 
comportamento da luz ao interagir com diversos dispositivos. 
 
• Programa da disciplina: 
1. Equilíbrio de Corpos Rígidos: Centro de gravidade. Condições de equilíbrio. Aplicação. 
2. Rotação: Velocidade Angular. Aceleração Angular. Rotação com Aceleração Angular Constante. Energia 
Cinética de Rotação. Trabalho e Potência no Movimento Rotacional. 
3. Hidrostática: Densidade. Pressão em Fluídos. Medidores de Pressão. Princípio de Pascal. Princípio de 
Arquimedes. 
4. Hidrodinâmica: Tipos de escoamento. Equação da Continuidade. Equação de Bernoulli. Viscosidade. 
Equação de Poiseuille. Lei de Stokes. 
5. Temperatura e Calor: Escalas de temperatura. Dilatação térmica. Quantidade de calor. Transferência de 
calor por condução, convecção e radiação. 
6. Termodinâmica: Trabalho e Energia em Termodinâmica. Energia Interna. Primeira Lei da Termodinâmica. 
Processos termodinâmicos. Segunda Lei da Termodinâmica. 
7. Ondas: Tipos de ondas mecânicas. Equação de onda. Velocidade de uma onda. Potência de uma onda. 
Interferência. Ressonância. 
8. Som: Intensidade do som. Batimentos. Efeito Doppler 
9. Ótica: Polarização. Princípio de Huygens. Reflexão e Refração. Espelhos e Lentes. 
 
• Bibliografia mínima: 
o YOUNG, H.D.; FREEDMAN, R.A. Física. São Paulo: Pearson, 2003, v. 1, 2 e 4. 
o KELLER, F. J.; GETTYS, W. E.; SKOVE, M. J. Física. São Paulo: Makron Books, 1999, v. 1 e 2. 
o HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física. Rio de Janeiro: Livros 
Técnicos e Científicos, 1996. v. 1, 2 e 4. 
o TIPLER, P.A. Física. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1999. v. 1 e 2. 
o HENNIES, C. E.; GUIMARÃES, W.O.N; ROVERSI, J.A. Problemas Experimentais em Física. 
Campinas-SP: UNICAMP, 1993. v. 1 e 2. 
 
• Avaliação: 
- 2 provas escritas. O assunto abordado no laboratório também faz parte da prova escrita. 
- Relatórios das práticas realizadas no laboratório. 
- Exercícios. 
Pesos: Provas: 7. 
 Relatórios: 2. 
 Exercícios: 1. 
 
10
).1.2.7( MEMRMPMD ++= 
 
onde: MD = média na disciplina. 
MP = média das 2 provas. 
 MR = média dos relatórios. 
 ME = média dos exercícios. 
 
• Os arquivos das aulas teóricas e os roteiros para laboratório serão disponibilizados no site da FIEL. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 2
Equilíbrio de Corpos Rígidos 
 
 O estudo de um objeto extenso em equilíbrio estático fornece informações sobre algumas forças 
que atuam sobre ele. Estas informações são importantes, por exemplo, na escolha de materiais e 
componentes de uma estrutura predial. 
 
• Centro de massa de um sistema de partículas 
 
O centro de massa de um sistema de partículas é uma posição média do sistema. Esta é uma média 
ponderada, de acordo com as massas e as posições das partículas que compõem o sistema. O vetor 
posição rCM do centro de massa é: 
 
 
M
rm
r iiCM
∑=
rr
 
 
onde mi é a massa e ri é o vetor posição da partícula i; M é a massa total do sistema. 
 Separando rCM em suas componentes, obtemos as coordenadas do centro de massa: 
 
 
M
xm
x iiCM
∑= 
M
ym
y iiCM
∑= 
M
zm
z iiCM
∑= 
 
 Na figura abaixo temos a representação de três partículas e o seu centro de massa. 
 
 
• Centro de gravidade de um objeto 
 
A aceleração gravitacional diminui com a altitude, fazendo com que corpos iguais tenham pesos 
menores a uma altitude maior. Assim, em corpos muito altos, como por exemplo, os grandes edifícios, o 
peso da parte inferior é maior do que da parte superior. Se o edifício tiver formato de um paralelepípedo 
homogêneo, por exemplo, o seu centro de massa será no centro do edifício, mas o seu centro de 
gravidade será abaixo deste ponto. Para objetos com pequena altura, o centro de gravidade coincide 
com o centro de massa. 
 
• Equilíbrio estático de um corpo rígido 
 
Se uma partícula permanece em repouso em um referencial inercial, sua aceleração é zero e, pela 
segunda lei de Newton, a força resultante sobre a partícula é zero. Esta é a condição necessária (e 
suficiente) para o equilíbrio estático de uma partícula, conforme já estudado. No mundo real, entretanto, 
devemos lidar com objetos extensos, e não com partículas. 
"Um objeto extenso está em equilíbrio estático se todo ponto do mesmo está em repouso e 
permanece em repouso". 
 3
Alguns objetos extensos, dependendo do material com que são feitos, podem mudar de forma e 
tamanho em resposta a forças aplicadas. Por outro lado, uma chave metálica permanece rígida e 
indeformável, se utilizada dentro de seu limite. Assim, podemos definir corpos rígidos: 
"Um corpo (ou objeto) é chamado rígido se a distância entre dois pontos quaisquer permanece fixa. 
Um corpo rígido conserva sua forma e tamanho sob a aplicação de forças". 
Na prática, todo objeto sofre alguma deformação em resposta a forças aplicadas externamente, mas 
se essas variações forem desprezíveis, o objeto é considerado um corpo rígido. 
O movimento do centro de massa de um objeto extenso é determinado pelas forças externas. Diz-se 
que o objeto está em equilíbrio translacional se a aceleração do centro de massa é zero. Então: 
 
 0Fext =∑ 
 
Esta é a condição para o equilíbrio translacional. 
 Mesmo que o centro de massa de um corpo rígido permaneça em repouso, o objeto não está, 
necessariamente, em equilíbrio estático. O objeto pode estar mudando sua orientação espacial, girando 
em torno do centro de massa. Por exemplo, uma polia montada em um eixo, que passa pelo seu centro 
de massa, pode girar. Os pontos da polia estão em movimento, embora o centro de massa permaneça 
em repouso. Um objeto que não está girando, ou gira de modo constante em torno de um eixo, está em 
equilíbrio rotacional. 
 "Um corpo rígido em equilíbrio estático não se translada nem gira; está em equilíbrio translacional e 
rotacional". 
 
 
 
Porta giratória vista de cima 
 
 Na figura anterior, temos: 
(a) A porta gira em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa. 
(b) Duas pessoas exercem forças iguais, porém opostas, sobre a porta. A força externa resultante é 
zero, mas a porta não em equilíbrio rotacional. 
(c) Duas pessoas exercem forças iguais e opostas, produzindo uma força externa resultante nula. Por 
simetria, a porta está em equilíbrio rotacional. 
(d) A porta estará em equilíbrio estático se os módulos das forças F1 e F2 forem inversamente 
proporcionais às distâncias do eixo a seus pontos de aplicação, ou seja: 
 
1
2
2
1
x
x
F
F = ⇒ 2211 xFxF = ⇒ 0xFxF 2211 =− 
 
• Torque em relação a um eixo 
 
No equilíbrio de um objeto, como uma porta, que pode girar em torno de um eixo, é importante o 
ponto de aplicação da força. A grandeza que leva em conta esta característica é chamada de torque. O 
torque faz com que o objeto tenda a girar em torno do eixo. 
O torque é definido como o produto da força aplicada e a distância perpendicular entre a linha de 
ação desta força e o eixo de fixação do objeto. De acordo com as figuras a seguir, o torque τ produzido 
pela força F, em relação ao eixo O, pode ser dado por: 
 4
 
 
 
 
Figura 1 Figura 2 
 
Da figura 1: 
 rsenFrF θ==τ ⊥ 
 
ou, da figura 2: 
 
 θ==τ ⊥ senrFrF 
 
 De maneira resumida podemos escrever:θ===τ ⊥⊥ senrFrFrF 
 
 No S.I., o torque τ é dado em newton.metro (N m). 
 A distância perpendicular entre a linha de ação da força e o eixo de fixação é chamada de braço de 
momento da força, e o torque τ produzido é chamado de momento da força. 
 
• Condições para o equilíbrio estático 
 
A condição para o equilíbrio translacional de um objeto é 0Fext =∑ . Um corpo rígido em equilíbrio 
estático deve estar em equilíbrio tanto rotacional como translacional. A condição para o equilíbrio 
rotacional é dada em termos de torques produzidos pelas forças externas que atuam sobre o corpo 
rígido. O equilíbrio rotacional exige o balanceamento das tendências para girar em sentido horário e em 
sentido anti-horário em torno de qualquer eixo, devido aos torques em relação à estes eixos. Assim, 
temos as condições para o equilíbrio estático de um corpo rígido: 
"Para um corpo rígido em equilíbrio estático, a força externa resultante deve ser zero, e o torque 
externo resultante também deve ser zero". 
 
 0Fext =∑ e 0ext =∑ τ 
 
 Em geral, referimo-nos a estas condições como primeira ( 0Fext =∑ ) e segunda ( 0ext =∑ τ ) 
condições de equilíbrio para um corpo rígido. 
 Como o torque em relação a um eixo pode causar rotação, ou a tendência de rotação, em sentido 
horário ou anti-horário, adota-se torque positivo quando a força produzir rotação, ou tendência de 
rotação, no sentido anti-horário, e, negativo, se em sentido horário. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 5
• Exemplos 
 
1. Localizar o centro de gravidade de uma peça de máquina, composta de um disco de 6 cm de 
diâmetro e 3 cm de espessura e de uma barra de 4 cm de diâmetro e 15 cm de comprimento, ambos 
homogêneos. 
 
2. Uma pessoa puxa uma porta aplicando uma força horizontal de 25 N, de acordo com a figura, que 
representa uma vista superior da porta. Determine o torque produzido pela força aplicada. 
 
3. Uma tábua uniforme de 48 N e 3,6 m de comprimento repousa horizontalmente sobre dois 
cavaletes, de acordo com a figura. Quais as forças normais, nos pontos P e Q, exercidas pelos 
cavaletes sobre a tábua? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
Rotação 
 
• Período (T): tempo necessário para um objeto realizar uma volta completa, no S.I., em segundos (s). 
 
• Frequência (f): número de voltas (ou ciclos) que um corpo efetua numa unidade de tempo, no S.I., 
em rotações por segundo (rps) = hertz (Hz). 
 
f
1Tou
T
1f == 
• Velocidade angular média (w). No S.I., em radianos por segundo (rad/s): 
 f2
T
2w
t
w π=π=⇒∆
θ∆= 
• Velocidade angular instantânea. 
dt
d
t
limw 0t
θ=∆
θ∆= →∆ 
• Aceleração angular média. No S.I., em rad/s2. 
 
t
w
∆
∆=α 
 
• Aceleração angular instantânea. 
 
dt
dw
t
wlim 0t =∆
∆=α →∆ 
 
• Velocidade média (v). No S.I., em m/s. 
rw
T
r2v
t
Sv =π=⇒∆
∆= 
• Aceleração centrípeta (ac). É uma aceleração com o sentido para o centro da circunferência. Como 
é MCU, esta aceleração produz somente mudança de direção e sentido do objeto. No S.I., em m/s2. 
 
rw
r
va 2
2
c == 
• Aceleração tangencial média (at). 
 
t
vat ∆
∆= 
θo = posição angular inicial, em 
radianos. 
 
θ = posição angular final, em 
radianos. 
 
∆θ = deslocamento angular, em 
radianos. 
 
∆s = deslocamento sobre a 
circunferência, no S.I., em metros. 
 
R = raio da circunferência, no S. I., em 
metros (m). 
 
 θ∆=∆ RS 
 7
• Aceleração tangencial instantânea. 
 
 
dt
dv
t
vlima 0tt =∆
∆= →∆ 
• Aceleração linear (a). 
Aplicando Pitágoras na figura abaixo, temos: 
 
2
c
2
t )a()a(a += 
 
• Relação entre aceleração tangencial (at) e aceleração angular (α). 
Como Rwv = , podemos dividir a equação por t∆ : r
t
w
t
v
∆
∆=∆
∆
 
 Assim, temos: 
rat α= 
 
• Analogia entre os movimentos de Translação e de Rotação. 
 
Translação Rotação 
Velocidade linear constante: Velocidade angular constante: 
 x = xo + v t θ = θo + w t 
Aceleração linear constante (a = constante): Aceleração angular constante (α = constante): 
 v = vo + a t w = wo + α t 
 x = xo +vo t + a t2/2 θ = θo + wo t + α t2/2 
 v2 = vo2 + 2 a (x - xo) w2 = wo2 + 2 α (θ - θo) 
 
• Energia Cinética de Rotação. Momento de Inércia 
 
A velocidade de uma partícula num corpo rígido rodando em torno de um eixo fixo é 
 
 wrv= 
onde r é a distância da partícula ao eixo e w é a velocidade angular do corpo. A energia cinética de uma 
partícula de massa m é, então, 
 
 222 wrm
2
1vm
2
1 = 
 
 A energia cinética total do corpo é a soma das energias cinéticas de todas as partículas que 
constituem o corpo, assim, 
 ∑=++= 22ii22222211c wrm2
1...wrm
2
1wrm
2
1E 
 
 [ ] 22iic wrm21E ∑= 
 O termo entre colchetes é chamado de momento de inércia (I), também chamado de inércia 
rotacional, do corpo em relação ao eixo de rotação: 
 
 8
 
 ∑= 2ii rmI 
 
no S.I., o momento de inércia é dado em kg.m2. 
 
 "O momento de inércia de um objeto em relação a um eixo é a propriedade do objeto que o faz 
resistir a uma variação em sua velocidade angular em relação àquele eixo". 
 
 Assim, a energia cinética rotacional do corpo pode ser escrita como: 
 
 2c wI2
1E = 
 
equação análoga à da energia cinética translacional: 
 
 2c vm2
1E = 
 
isto é, para a rotação em torno de um eixo fixo, este momento de inércia é análogo à massa m (ou 
inércia), e a velocidade angular é análoga à velocidade linear v. Entretanto, o momento de inércia de um 
corpo depende da localização do eixo de rotação, e isto deve ser sempre especificado quando se 
descreve o momento de inércia de um corpo. 
 
Tabela - Momento de Inércia de alguns corpos. Em todos os casos, a densidade é uniforme e o eixo 
de rotação passa pelo centro de massa; M é a massa do corpo. (a) cilindro de parede delgada; 
(b) cilindro de parede delgada; (c) esfera oca de superfície delgada; (d) cilindro sólido; (e) 
cilindro sólido; (f) esfera sólida; (g) cilindro oco de parede espessa; (h) haste longa e delgada; 
(i) chapa retangular. 
 
 
 
 
 
 
 
 9
• Teorema do Eixo Paralelo 
 
O cálculo do momento de inércia de um objeto em relação a um eixo, que não é eixo de simetria, 
pode ser obtido facilmente através do teorema do eixo paralelo. Este teorema dá uma relação entre o 
momento de inércia IP em relação a um eixo por um ponto P arbitrário e o momento de inércia ICM em 
relação a um eixo paralelo passando pelo centro de massa do objeto. 
 
O momento de inércia do objeto, representado na figura anterior, em relação ao eixo que passa 
pelo ponto P (eixo B) será dado pelo equação: 
 
 2CMP dmII += 
 
onde IP = momento de inércia do objeto em relação ao eixo que passa pelo ponto P. 
 ICM = momento de inércia do objeto em relação ao eixo que passa pelo centro de massa (CM). 
 m = massa do objeto. 
 d = distância entre os eixos que passam pelo CM e pelo ponto P. 
 
• Rolamento 
 
Figura - Trajetória de dois pontos em um disco, em movimento de rolamento, localizados no seu centro 
de massa e na periferia. 
 
Figura - Movimento de translação e rotação de uma roda de raio R. (a) movimento de translação: todos 
os pontos movem-se com a mesma velocidade V; (b) rotação: todos os pontos giram com a 
mesma velocidade angular w, fazendo com que w.R = V; (c) rotação e translação: 
superposição dos movimentos indicados em (a) e (b). As velocidades resultantes são: no ponto 
P, a velocidade V é nula; no ponto O, a velocidade é V e no pontoT, a velocidade é 2V. 
 10
Figura - Foto de uma roda de bicicleta deslocando-se sobre um plano horizontal. Observe que os raios 
da parte superior da roda estão mais embaçados do que os da parte inferior. Isto ocorre porque as 
velocidades dos pontos superiores são maiores do que as velocidades dos pontos inferiores. 
 
Energia Cinética de um objeto rolando: 
 
 22CMc vm2
1wI
2
1E += 
 
assim, a energia cinética de um objeto rolando pode ser expressa como a soma da energia cinética de 
rotação em torno do centro de massa com a energia cinética de translação do centro de massa. 
 
 
• Exemplos 
 
1. Uma esfera maciça e uniforme rola, sem deslizar, sobre uma superfície horizontal a 20 m/s. Em 
seguida sobe um plano inclinado, que forma um ângulo de 30o com a horizontal. Se as perdas por 
atrito são desprezíveis, qual será o valor da altura máxima vertical que a bola alcança? 
 
2. Um disco circular e uniforme da figura tem massa 6,5 kg e 80 cm de diâmetro. Calcule o momento 
de inércia em relação a: (a) um eixo perpendicular ao disco passando pelo ponto G; (b) um eixo 
perpendicular ao disco, passando pelo ponto A. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 11
• Trabalho e Potência no Movimento Rotacional 
 
Uma força resultante F(componente perpendicular ao raio) aplicada a um corpo em rotação 
realiza trabalho (W) sobre o corpo (figura a seguir); este trabalho pode ser expresso em termos do 
torque da força e do deslocamento angular. Se a força F for constante, temos: 
 Como o trabalho resultante também pode ser expresso pela variação da energia cinética (visto 
no item Trabalho e Energia), temos; 
 
 2i
2
ftetanresul wI2
1wI
2
1W −= 
 
• Torque e Aceleração Angular 
 
Na figura anterior, a força resultante F aplicada produz uma aceleração tangencial at que pode 
ser expressa através da segunda lei de Newton: 
 
 tamF = 
sabemos que a aceleração tangencial está relacionada com a angular da seguinte forma: α= ra t , 
então: 
 α= rmF 
se multiplicarmos os dois membros da equação anterior por r, temos: 
 
 α= 2rmrF 
mas IinérciademomentormetorquerF 2 =τ= , então: 
 
 α=∑ τ I 
o torque resultante em um corpo é igual ao seu momento de inércia multiplicado pela aceleração 
angular. 
 
• Momento Angular e Impulso Angular 
 
O momento angular (L) é definido como o produto entre o momento linear (p) do corpo e o seu 
raio (r). Assim, temos: 
 rvmrpL == 
como v = r w, temos: 
 wrmr)wr(mL 2== 
SFW ∆= 
Como θ∆=∆ RS , temos: θ∆= RFW 
Mas τ= torqueRF , então: 
 
 θ∆τ=W (trabalho no movimento rotacional) 
 
 
Dividindo a equação acima por t∆ , temos: 
tt
W
∆
θ∆τ=∆ 
Como Ppotência
t
W =∆ e wangularvelocidadet =∆
θ∆
, 
então: 
 
wP τ= (potência no movimento rotacional) 
 
 12
 wIL= 
 
o momento angular L de um corpo pode ser expresso pelo produto do seu momento de inércia I e sua 
velocidade angular w. A unidade de momento angular, no S.I., é kg.m2/s. 
 
 Quando um torque constante atua em um corpo de momento de inércia I, durante um intervalo 
de tempo de t1 a t2, a velocidade angular varia de w1 a w2, de acordo com: 
 
 



−
−=α=τ
12
12
tt
ww
II 
 
 121212 LLwIwI)tt( −=−=−τ 
 
o produto do torque pelo intervalo de tempo durante o qual ele atua é chamado de impulso angular do 
torque, denotado por Jθ. Então, a equação acima mostra que o impulso angular que atua sobre um 
corpo é igual à variação no seu momento angular em relação ao mesmo eixo 
 
 )tt(JAngularpulsoIm 12 −τ== θ 
 12 LLLAngularMomentodoVariação −=∆= 
assim, 
 LJ ∆=θ 
 
 Um grande torque que atua apenas durante um curto intervalo de tempo é chamado de torque 
impulsivo. 
 
• Conservação do Momento Angular 
 
Quando o torque externo resultante sobre um corpo, ou sistema de corpos, é nulo, o momento 
angular total do sistema é constante, ou seja, temos a conservação do momento angular. Assim: 
 
 Linicial = Lfinal 
 
Tabela - Analogia entre as equações do Movimento Linear e do Movimento de Rotação 
 
MOVIMENTO LINEAR MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 
Deslocamento: x∆ Deslocamento angular: θ∆ 
Velocidade: 
dt
dxv= Velocidade angular: 
dt
dw θ= 
Aceleração: 
2
2
dt
xd
dt
dva == Aceleração angular: 
2
2
dt
d
dt
dw θ==α 
Velocidade: v = vo + a t Velocidade angular: w = wo + α t 
 v2 = vo2 + 2 a ∆x w2 = wo2 + 2 α ∆θ 
Posição: x = xo + vo + a t2/2 Posição angular: θ = θo + wo t + α t2/2 
Massa: m Momento de inércia: I 
Momento linear: p = m v Momento angular: L = I w 
Força: F Torque: τ 
Energia cinética: 
2
c mv2
1E = Energia cinética: 2c wI2
1E = 
Potência: P = F v Potência: P = τ w 
2a lei de Newton: 
am
dt
dpF tetansulRe == 
2a lei de Newton: α==τ I
dt
dL
tetansulRe 
 
 
 13
• Exemplos: 
 
1. Uma corda está enrolado em torno de um disco uniforme que pode girar, sem atrito, em torno de um 
eixo fixo que passa pelo seu centro. A massa do disco é 3 kg e o seu raio 25 cm. Se a corda é 
puxada com uma força de 10 N, qual a aceleração angular produzida? 
 
2. O motor de um carro gera um torque de 380 N.m a 3200 rpm. Determine (a) o trabalho que o motor 
realiza a cada rotação; (b) a potência do motor. 
 
3. Um menino de massa 50 kg, correndo com velocidade 5 m/s, salta para a beira de um carrossel, de 
200 kg e e raio 1,5 m, que está inicialmente em repouso. Qual é a velocidade angular do carrossel, 
após o menino entrar em repouso? Considere que o torque devido ao atrito no eixo do carrossel é 
desprezível. 
 
4. Uma professora está sentada em um banco que está girando em torno de um eixo vertical com 
velocidade angular wi. A professora tem os braços distendidos e segura um haltere em cada mão 
(figura a), de modo que o momento de inércia do sistema (professora, assento e halteres) é Ii. Ela 
puxa rapidamente os halteres, encolhendo os braços (figura b), de modo que o momento de inércia 
final do sistema é um terço do momento de inércia inicial. (a) qual é sua velocidade angular final? (b) 
compare as energias cinéticas final e inicial do sistema. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 14
Hidrostática 
 
• Hidrostática: estudo de fluidos em repouso. 
 
• Fluido: substância que pode escoar; se adapta ao contorno de qualquer recipiente que o contém. Na 
definição mais formal, fluido é uma substância que não suporta uma tensão de cisalhamento, ou 
seja, ele se deformará continuamente sob a ação de uma força cisalhante. Os líquidos e os gases 
são classificados como fluidos. 
 
• Densidade 
 
Densidade ou massa específica de um material é a razão entre a massa e o volume ocupado por 
uma amostra deste material: 
 
 
V
m=ρ 
a densidade ρ, no S.I., é dada em kg/m3. Porém, a unidade g/cm3, no sistema CGS, também é muito 
utilizada. A relação entre estas duas unidades é, 
 
 
3
3
3 m
kg10
cm
g1 = 
 
Tabela - Densidade aproximada de alguns materiais, à 20 oC e 1 atm. 
 
Material Densidade ρ (kg/m3) Material Densidade ρ (kg/m3) 
Alumínio 2,7.103 Sangue 1,05.103 
Cobre 8,9.103 Álcool etílico 0,81.103 
Ouro 19,3.103 Mercúrio 13,6.103 
Irídio 22,6.103 Água 1,00.103 
Ferro ou aço 7,8.103 Água do mar 1,03.103 
Chumbo 11,3.103 
Platina 21,4.103 Espaço interestelar 3.10-22 
Tungstênio 19,3.103 Melhor vácuo no laboratório 10-17 
 Sol: média 1,4.103 
Osso 1,8.103 núcleo 1,6.103 
Concreto 2,4.103 Terra: média 5,5.103 
Diamante 3,5.103 núcleo 9,5.103 
Vidro 2,6.103 crosta 1,4.103 
Gelo 0,92.103 Estrela de nêutrons (núcleo) 1018 
Madeira 0,7.103 Buraco negro 1019 
 
Ar 1,29 
Hélio 0,179 
Vapor (100oC) 0,090 
Hexafluoreto de urânio 15 
 
• Pressão em fluidos 
 
Pressão em um ponto qualquer é a relação entrea força normal (dF), exercida sobre uma área 
elementar (dA): 
 
dA
dFp = 
 Se a pressão for a mesma em todos os pontos de uma superfície plana finita de área A, temos: 
 
A
Fp = 
 
 
 
 15
 A pressão em um fluido estático varia com a posição vertical, devido ao seu peso. Por exemplo, a 
pressão num lago ou oceano aumenta quando a profundidade aumenta, enquanto que a pressão da 
atmosfera diminui com o aumento da altura. 
 Num líquido como a água, cuja densidade é constante (numa ampla faixa de pressões), a pressão 
cresce linearmente com a profundidade. Na figura a seguir, consideramos uma coluna de líquido de 
altura h e de área da seção transversal A. A pressão no fundo da coluna deve ser maior que a pressão 
no topo da coluna, a fim de suportar o peso da coluna. 
 
 Utilizando a definição de densidade, temos a massa desta coluna: 
 
 hAVm
V
m ρ=ρ=⇒=ρ 
e o seu peso é: 
 
 ghAgmP ρ== 
 
 Sabendo-se que p=F/A, ou seja, F=pA, temos: 
 
 Fo = po A e F = p A 
 
 Como a coluna de líquido está em equilíbrio, a força resultante tem que ser nula. Assim devemos ter: 
 
 F - Fo - ρ A h g = 0 
 
 p A - po A - ρ A h g = 0 
 
 p - po - ρ g h = 0 
 
 p = po + ρ g h 
 
 Em um recipiente aberto, se po for a pressão na superfície de um líquido, então po é igual à pressão 
que a atmosfera exerce sobre esta superfície. Assim, temos, 
 
 po = patm 
 
então, 
 p = patm + ρ g h 
 
onde p é a pressão total ou absoluta a uma profundidade h, no líquido. 
p - patm = ρ g h = pressão manométrica = pressão devido somente à coluna de líquido. 
 
 
 
 
 
 16
• Medidores de pressão 
 
Manômetro de tubo aberto em U: 
 No mesmo nível e no mesmo líquido, as pressões são iguais. Assim, a pressão p do gás dentro do 
balão é: 
 pc = pB = p = patm + ρ g h 
 
Barômetro de mercúrio: 
 
 Barômetro é um dispositivo para medir pressão atmosférica. 
 
 Como os pontos 1 e 2 estão no mesmo nível e mesmo líquido, a pressão atmosférica pode ser 
calculada por: 
 p1 = p2 = patm = ρ g h 
 
Manômetro de Bourdon: 
 
 O manômetro de Bourdon é utilizado para medir pressão de gases e líquidos. 
 
 17
Unidades de pressão: 
 
 No S. I. a pressão é dada em N/m2 (pascal, Pa). 
 Outras unidades de pressão e seus fatores de conversão: 
 
 1 bar = 105 Pa = 1,02.104 kgf/m2 = 1,02 kgf/cm2 = 0,987 atm 
 1 atm = 760 mmHg = 1,013.105 Pa = 14,7 lb/pol2 (psi) = 1,013.106 dyn/cm2 
 1 torr = 1 mmHg 
 
atm = atmosfera 
torr = torricelli 
 
 Pressão atmosférica ao nível do mar: patm = 1 atm = 760 mmHg = 1,013.105 Pa = 14,7 lb/pol2 
 
• Vasos Comunicantes 
 
Se recipientes de formatos diferentes estiverem interligados e contendo um líquido, o nível atingido 
pelo líquido será igual em todos os recipientes, não importando o seu formato. 
 
• Princípio de Pascal 
 
Enunciado do princípio de Pascal: 
"Uma mudança de pressão aplicada a um fluido contido em um recipiente é transmitida 
integralmente a todos os pontos do fluido e às paredes do recipiente". 
 
Prensa hidráulica ou elevador hidráulico: 
 
 A figura a seguir mostra um dispositivo chamado de prensa hidráulica ou elevador hidráulico, que 
utiliza o princípio de Pascal para ampliar forças. 
 
 De acordo com o princípio de Pascal, temos: 
 
 21 pp ∆=∆ 
 
 
1
2
12
2
2
1
1
A
A
FF
A
F
A
F =⇒= 
como A2 > A1, a força F2, no pistão 2, será maior do que a força F1, aplicada no pistão 1. 
 18
 Se o pistão menor (da esquerda) deslocar uma distância d1, o maior (da direita) se moverá para 
cima uma distância d2. Como o volume de óleo deslocado no cilindro menor e maior tem que ser igual, 
temos: 
 
 V = A1 d1 = A2 d2 
 
 
2
1
12 A
A
dd = 
como A2 > A1, o pistão maior desloca uma distância menor do que o outro pistão. 
 
• Princípio de Arquimedes 
 
Enunciado do princípio de Arquimedes: 
"Um corpo total ou parcialmente mergulhado em um fluido recebe deste fluido uma força vertical, de 
baixo para cima, cujo módulo é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo". Esta força recebe o nome 
de Empuxo. 
 
 Desta maneira, o empuxo E é dado por: 
 
 E = Peso do líquido deslocado pelo corpo 
 
 E = mLD g 
 
 E = ρL . VLD . g 
 
onde: ρL = densidade do líquido. 
 VLD = volume de líquido deslocado pelo corpo. 
 g = aceleração da gravidade. 
 
 Se o corpo flutuar em um fluido, temos que: 
 
 E = Peso do corpo 
 
 ρL . VLD . g = ρC . VC . g 
 
 ρL . VLD = ρC . VC 
 
 
 19
• Exemplos 
 
1. Determine a pressão manométrica e a pressão total ou absoluta no fundo de uma piscina, contendo 
água, com 5 m de profundidade. 
 
2. Em um elevador hidráulico, o pistão maior possui um diâmetro de 300 mm e o menor, 17 mm. Se, 
sobre o pistão maior, um carro de 1200 kg está sendo equilibrado, qual é a força aplicada no pistão 
menor? 
 
3. A figura mostra um tubo em U contendo mercúrio e um líquido desconhecido. Sabendo-se que a 
densidade do mercúrio é 13,6 g/cm3, determine a densidade do líquido desconhecido. 
 
4. Um bloco de material desconhecido pesa 5 N no ar e 4,55 N quando submerso em água. Determine 
a densidade do material. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 20
Hidrodinâmica 
 
 Os fluidos (líquidos ou gases) em movimento são muito mais complexos do que os fluidos em 
repouso. A descrição de um fluido em movimento envolve o conhecimento da velocidade vetorial do 
fluido, da pressão e da densidade, em todos os pontos. Um escoamento é chamado de estacionário 
quando a pressão, a densidade e a velocidade vetorial do fluido não variam com o tempo em um 
determinado ponto, embora possam variar com a posição no fluido. Quando alguma dessas grandezas 
variarem com o tempo, o escoamento é chamado de turbulento. Como a análise de um escoamento 
turbulento é muito complexa, nosso estudo se restringirá ao fluxo não-turbulento (laminar) e a condições 
estacionárias. 
• Escoamento laminar: escoamento no qual as camadas adjacentes do fluido "deslizam" suavemente 
uma sobre as outras. 
• Escoamento turbulento: escoamento com velocidades suficientemente elevadas ou com mudanças 
bruscas na velocidade, onde o módulo e direção dessa velocidade, em um determinado ponto, varia 
com o tempo. Isto significa que o fluxo é irregular e não há a configuração estacionária. 
• Linha de fluxo (ou linha de corrente): é uma linha que mostra como as partículas do fluido se 
movem. Ela é traçada de modo que a tangente em cada ponto esteja na direção do vetor velocidade 
do fluido (figura a seguir). 
Figura - Uma linha de fluxo em um fluido escoando. Em cada ponto a linha de fluxo 
aponta na direção do vetor velocidade do fluido. 
 
• Tubo de fluxo (ou tubo de corrente): conjunto de linhas de fluxo que passam tangenciando um 
elemento de área A (figura a seguir). 
Figura - Tubo de fluxo contornado por linhas de fluxo. 
 
Um fluido que não sofre variação na densidade, é chamado de fluido incompressível. Se variar, é 
chamado de fluido compressível. Neste estudo, abordaremos problemas com fluidos 
incompressíveis. 
 Na figura a seguir são apresentados alguns exemplos de escoamento laminar, onde podem ser 
visualizadas as linhas de fluxo. 
 
Figura - (a), (b), (c) Escoamento laminar em torno de obstáculos com formas diversas; 
(d) Escoamento laminar através de um canal com seção transversal variável. 
 
 21
• Equação de Continuidade (Conservação da Massa) 
 
 Na figura a seguir temos um trecho de tubo de fluxo. 
 Figura - Entrada e saída do fluido num trecho de um tubo de fluxo. 
 
 Na figura anterior, v éa velocidade da partícula de fluido, V é o volume contido no elemento de 
fluido, A é a área do elemento de fluido, x é o deslocamento do elemento de fluido. Equacionando no 
tubo de fluxo, temos: 
 
tvx
tvxtvx
22
11
∆=
∆=⇒∆=
 
 
tvAVxAV 111111 ∆=⇒= 
 
tvAVxAV 222222 ∆=⇒= 
 
 Para fluido incompressível, o volume (ou massa) que entra no tubo de fluxo é o mesmo que sai 
(conservação da massa), portanto: 
 
 21 VV = 
 
tvAtvA 2211 ∆=∆ 
 
 2211 vAvA = 
 
 O produto Av é a vazão (Q) do escoamento e é constante ao longo do tubo de fluxo: 
 
 2211 vAvAQ == 
 
 No escoamento de água, no fluxo de ar ao redor de asas ou em dutos de aquecimento e 
resfriamento, onde as variações de pressão são pequenas, a hipótese de fluido incompressível pode ser 
aplicada. 
 
• Equação de Bernoulli (Conservação da Energia) 
 
 No tubo de fluxo (figura a seguir), aplicaremos a conservação da energia, ou seja, nenhum 
trabalho é realizado por forças não-conservativas. 
 
 22
 Figura - Pressão na entrada e saída do fluido, num trecho de um tubo de fluxo. 
 
 Em um intervalo de tempo ∆t, um volume ∆V flui através do tubo de fluxo. O trabalho (W) 
realizado sobre este elemento de volume ∆V durante o deslocamento é: 
 
 2211 xFxFW ∆−∆= 
 
 VpVpxApxApW 21222111 ∆−∆=∆−∆= 
 
 V)pp(W 21 ∆−= (1) 
 
 O trabalho W também é igual à soma das variações das energias cinética e potencial do 
elemento de volume: 
 PC EEW ∆+∆= (2) 
 
2
1
2
2CCC vm2
1vm
2
1EEE
12
∆−∆=−=∆ 
 
)vv(m
2
1E 21
2
2C −∆=∆ 
 
)vv(V
2
1E 21
2
2C −∆ρ=∆ (3) 
 
12PPP ygmygmEEE 12 ∆−∆=−=∆ 
 
)yy(gmE 12P −∆=∆ 
 
 )yy(gVE 12P −∆ρ=∆ (4) 
 
 Substituindo as equações (1), (3) e (4) na equação (2), temos: 
 
 )yy(gV)vv(V
2
1V)pp( 12
2
1
2
221 −∆ρ+−∆ρ=∆− 
 
)yy(g)vv(
2
1)pp( 12
2
1
2
221 −ρ+−ρ=− 
 ou 
2
2
221
2
11 ygv2
1pygv
2
1p ρ+ρ+=ρ+ρ+ 
 23
• Aplicações da Equação de Bernoulli 
 
a) As equações da Hidrostática são casos especiais da Equação de Bernoulli, para velocidade nula em 
todos os pontos. Se v1 e v2 são nulos, temos: 
 
2
2
221
2
11 ygv2
1pygv
2
1p ρ+ρ+=ρ+ρ+ 
)yy(g)vv(
2
1pp 12
2
1
2
221 −ρ+−ρ=− 
 )yy(gpp 1221 −ρ=− 
hgpp 21 ρ+= 
 
b) Velocidade de descarga (Teorema de Torricelli). 
Na figura a seguir temos um reservatório aberto para a atmosfera, com um orifício a uma altura h 
abaixo do nível do líquido. 
 
A pressão no topo do tanque (ponto 1) e na saída do orifício (ponto 2) é a pressão atmosférica. 
Aplicando a equação de Bernoulli nos pontos 1 e 2, temos: 
2
2
221
2
11 ygv2
1pygv
2
1p ρ+ρ+=ρ+ρ+
 
 220
2
10 v2
1phgv
2
1p ρ+=ρ+ρ+ 
 Como a velocidade v1, com que o nível diminui, pode ser considerado desprezível em relação a 
v2, temos: 
 22v2
1hg ρ=ρ 
 hg2v 2 = 
 
 Se o reservatório for fechado, como na figura a seguir, temos: 
 
 
2
2
221
2
11 ygv2
1pygv
2
1p ρ+ρ+=ρ+ρ+
 
 24
2
2atm
2
1 v2
1phgv
2
1p ρ+=ρ+ρ+ 
 Fazendo a mesma consideração de que a velocidade v1, com que o nível diminui, pode ser 
desprezada e que a pressão p, no ponto 1, seja muito maior do que a pressão exercida pela coluna de 
líquido (ρgh), temos: 
 22atm v2
1pp ρ+= 
ρ
−= )pp(2v atm2 
 
c) O medidor Venturi (ou Tubo de Venturi). É um dispositivo usado para medir a velocidade de 
escoamento de um fluido dentro de um tubo (figura a seguir). 
 
 No estrangulamento, a área é reduzida de A1 para A2 e a velocidade cresce de v1 para v2. Note 
que, no estrangulamento, onde a velocidade é máxima, a pressão deve ser mínima. Como previsto pela 
equação de Bernoulli. Isto é razoável, uma vez que a diferença de pressão está no sentido correto para 
acelerar o fluido, ou seja, uma partícula de fluido que penetra, pela esquerda, na região do 
estrangulamento, será acelerada para a direita pela diferença de pressão entre o tubo e o 
estrangulamento. 
 Considerando o tubo na horizontal, ou seja, y1 = y2, e utilizando a equação de Bernoulli, temos: 
 222
2
11 v2
1pv
2
1p ρ+=ρ+ 
 Pela equação da continuidade, temos: 
 
 2211 vAvA = 
 1
2
1
2 vA
Av = 
 Assim, 
 
2
1
2
1
2
2
11 vA
A
2
1pv
2
1p 


ρ+=ρ+ 
 21
2
2
12
121 v2
1
A
Av
2
1pp ρ−


ρ=− 
 


 −


ρ=− 1
A
Av
2
1pp
2
2
12
121 
 



 −


ρ
−=
1
A
A
)pp(2v
2
2
1
21
1 
 25
onde ρ é a densidade do fluido escoando. A diferença de pressão (p1 - p2) pode ser calculada 
utilizando a altura h da coluna do liquido manométrico de densidade ρ'. Ou seja, 
 p1 - p2 = ρ'g h 
 
d) Tubo de Pitot (ou tubo de Prandtl). É um dispositivo utilizado para medir a velocidade de escoamento 
de um gás. 
Consideremos o gás - ar, por exemplo - que escoa através das aberturas existentes em a. Essas 
aberturas são paralelas à direção de escoamento e suficientemente afastadas na parte posterior para 
que a velocidade e a pressão fora delas não sejam perturbadas pelo tubo. A pressão no ramo esquerdo 
do manômetro, que está ligado a essas aberturas é, por isso, a pressão estática da corrente de gás, pa. 
A abertura do ramo direito do manômetro é perpendicular à corrente. A velocidade reduz-se a zero em b 
e o gás aí fica estagnado (em repouso); portanto, nessa região a pressão é a pressão total, pb. 
Aplicando a equação de Bernoulli aos pontos a e b, obtemos: 
 b
2
a pv2
1p =ρ+ 
em que pb, como mostra a figura, é maior do que pa. 
 Sendo h a diferença entre as alturas do líquido nos ramos do manômetro e ρ' a densidade do 
líquido manométrico, temos: 
 ba phg'p =ρ+ 
 Igualando as duas equações, obtemos: 
 hg'pv
2
1p a
2
a ρ+=ρ+ 
 hg'v
2
1 2 ρ=ρ 
 ρ
ρ= 'hg2v 
 
• Exemplos. 
 
1. Calcule o fluxo, em litros/s, de um líquido não viscoso através de uma abertura de 0,5 cm2 de área, 
2,5 m abaixo do nível do líquido, em um tanque aberto. 
 
2. A seção do tubo tem área transversal de 40 cm2 na parte mais larga e 10 cm2 na garganta. No tubo 
escoam 30 litros de água em 5 segundos. Determinar: 
a) As velocidades nas seções largas e estreitas. 
b) A diferença de pressão entre as duas seções. 
c) A diferença de altura h no líquido manométrico (mercúrio) 
(ρHg = 13,6.103 kg/m3; ρágua = 1.103 kg/m3) 
 
 26
• Viscosidade 
 
 Em geral, as forças não-conservativas em um fluido não podem ser desprezadas, como foi 
considerado na equação de Bernoulli. Tais forças dissipam a energia mecânica do fluido em energia 
interna do mesmo. Um fluido com tais forças dissipativas é chamado de viscoso. Se a viscosidade de 
um fluido não é desprezível, então, a energia mecânica não é conservada, e a equação de Bernoulli não 
é mais válida. A viscosidade pode descrita como o atrito interno em um fluido. Todos os fluidos reais 
são viscosos e esta característica tem uma influência muito grande em seu movimento, por exemplo, 
quando um fluido viscoso escoa em um tubo horizontal uniforme, a pressão decresce à medida que se 
avança no sentido do escoamento, conforme mostra a figura a seguir. 
 
 Observando o efeito de outra forma, é preciso que haja uma diferença de pressão para empurrar 
um fluido através de um tubo horizontal. Esta diferença de pressão é indispensável em virtude da perda 
de energia, devido à força de arraste que cada camada de fluido exerce sobre a camada adjacente, que 
tem velocidade diferente da sua. Estas forças de arraste são denominadas forças viscosas. Em virtude 
destas forças viscosas, a velocidade do fluido não é constante sobre o diâmetro do tubo. Ao contrário, é 
maior no eixo central do tubo e vai diminuindo no sentido da parede do tubo, ondezera. Na figura a 
seguir tem-se o perfil de velocidade de um fluido viscoso escoando em um tubo. 
 
Figura - Perfil de velocidades de um fluido viscoso, em escoamento laminar, dentro de um tubo. 
O comprimento das setas é proporcional às velocidades, sendo maior no centro e 
diminuindo no sentido da parede do tubo. 
 
 Podemos utilizar o arranjo da figura a seguir para estudar a viscosidade de fluidos. A placa 
superior é deslocada a uma velocidade baixa, constante, através do topo do fluido. Experimentos 
mostram que, para a maioria dos fluidos, a velocidade do fluido em pontos entre as duas placas da 
figura varia linearmente com a distância em relação à placa móvel. Fluidos para os quais a componente 
horizontal da força necessária para mover a placa é proporcional à velocidade da placa chamam-se 
fluidos newtonianos. Água e ar são exemplos de fluidos quase newtonianos. Certos plásticos e 
suspensões, tais como sangue e mistura de água e argila, são exemplos de fluidos não-newtonianos, 
nos quais o módulo da força necessária para mover a placa poderia ser proporcional ao quadrado da 
velocidade. Para altas velocidades, o fluxo torna-se turbulento e muito complexo em todos os fluidos. 
Figura - Quando a placa superior é puxada lentamente, o fluido viscoso entre as placas flui em 
"lâminas", cuja velocidade é proporcional à sua distância até a placa parada na base, 
conforme indicado pelo comprimento das setas na figura. 
 
 A porção de fluido representada na figura anterior possui uma forma que vai se tornando cada 
vez mais distorcida devido ao movimento da placa superior. Ou seja, o fluido sofre uma contínua 
 27
deformação de cisalhamento. A razão F/A é a tensão de cisalhamento exercida sobre o fluido. A 
tensão de cisalhamento depende da taxa de deformação que é dada pela razão v/z. 
 A viscosidade do fluido (η) é definida como a razão entre a tensão de cisalhamento e taxa de 
deformação: 
 
z/v
A/F
deformaçãodeTaxa
tocisalhamendeTensão ==η 
 
 Reagrupando a equação anterior, vemos que a força necessária para o movimento indicado na 
figura anterior é diretamente proporcional à velocidade: 
 
 
z
vAF η= 
 
 A unidade de viscosidade, no SI, é: 
 
 N.s/m2 = Pa.s 
 
 No sistema CGS, a viscosidade é dada em: 
 
 din.s/cm2 = poise 
 
 O fator de conversão entre as unidades SI e CGS é: 
 
 1 Pa.s = 10 poise 
 
 Os fluidos que escoam facilmente, como a água e a gasolina, possuem viscosidades menores 
do que fluidos como mel e o óleo de motor. As viscosidades dos fluidos são fortemente dependentes da 
temperatura, aumentando para os gases e diminuindo para os líquidos, à medida que a temperatura 
aumenta. 
 
• Lei de Poiseuille 
 
 Pela natureza geral dos efeitos viscosos, a velocidade de um fluido viscoso que escoa através 
de um tubo não será constante em todos os pontos de uma seção transversal do tubo. A camada mais 
externa do fluido adere às paredes e sua velocidade é nula. As paredes exercem, sobre ela, uma força 
para trás e esta, por sua vez, exerce uma força na camada seguinte na mesma direção e assim por 
diante. Se a velocidade não for muito grande, o escoamento será laminar, a velocidade atingirá um 
máximo no centro do tubo, decrescendo para zero nas paredes. 
Na figura a seguir, a força propulsora (FP) do fluido é produzida pela diferença de pressão. Assim 
temos: 
 Figura - Forças sobre um tubo de fluxo de um fluido viscoso. 
 
 22
2
1P rprpF π−π= 
 
 221P r)pp(F π−= 
 A força viscosa (retardadora) na parede é dada por: 
 
 28
 
dr
dvLr2
dr
dvAFV πη=η= 
 Igualando as duas forças, pois temos um escoamento estacionário, temos: 
 
 
dr
dvLr2r)pp( 221 πη=π− 
 
 r
L2
)pp(
dr
dv 21
η
−= 
 
 drr
L2
)pp(
dv 21 η
−= 
 
 O sinal negativo deve ser introduzido, porque a velocidade v diminui quando r aumenta. 
Integrando, temos: 
 ∫η
−=∫ Rr210v drrL2
)pp(
dv 
 
cujo resultado é: 
 
 )rR(
L4
)pp(
v 2221 −η
−= 
 
onde v é a velocidade do fluido na posição de raio r. 
 A equação anterior pode ser usada na determinação do fluxo no tubo. A velocidade, em cada 
ponto, é proporcional ao gradiente de pressão (p1 - p2)/L, de modo que a razão do fluxo total também 
deve ser proporcional a essa quantidade. O volume de fluido dV que atravessa os extremos do tubo de 
fluxo no tempo dt, é (v dA dt), onde v é a velocidade na seção de raio r e dA, a área (2 π r dr) 
 
 dtdA)rR(
L4
)pp(
dtdAv 2221 −η
−= 
 
 dtdrr2)rR(
L4
)pp(
dV 2221 π−η
−= 
 
 O volume que escoa através de toda a seção transversal do tubo é obtido pela integração de 
todos os elementos entre r = 0 e r = R: 
 
 ∫ −η
−π= R0 2221 dtdrr)rR(L2
)pp(
dV 
 
 dt
L8
)pp(R
dV 21
4
η
−π= 
 
 O fluxo (vazão Q) é dado por: 
 
 
L8
)pp(R
dt
dVQ 21
4
η
−π== 
 
 
 
 29
• Lei de Stokes 
 
 A força viscosa (força de arraste) sobre uma esfera de raio r, se movendo com velocidade v, em 
um fluido, é dada por: 
 
 vr6F ηπ= 
 Uma esfera movendo-se na vertical em um fluido viscoso atinge uma velocidade terminal vT, 
onde a força viscosa retardadora, somada ao empuxo, se igualam ao peso da esfera: 
 
 PEF =+ 
 
onde: Tvr6F ηπ= 
 
 gr
3
4'gV'E 3esf πρ=ρ= 
 
 gr
3
4gVgmP 3esf πρ=ρ== 
 
 Substituindo, temos: 
 
 
 gr
3
4gr
3
4'vr6 33T πρ=πρ+ηπ 
 
 η
ρ−ρ=
9
)'(gr2v
2
T 
 
onde: vT = velocidade terminal da esfera. 
η = viscosidade do fluido. 
ρ = densidade da esfera. 
ρ' = densidade do fluido. 
 
• Número de Reynolds 
 
 Quando a velocidade de um fluido que escoa em um tubo excede um certo valor crítico (que 
depende das propriedades do fluido e do diâmetro do tubo) a natureza do escoamento torna-se 
extremamente complicada. Dentro de uma camada extremamente fina, adjacente às paredes, 
denominada camada limite, o escoamento ainda é laminar. A velocidade de escoamento na camada 
limite é nula nas paredes do tubo, crescendo uniformemente através dela. As propriedades desta 
camada são da maior importância para se determinar a resistência ao escoamento e a transferência de 
calor para o fluido em movimento ou proveniente dele. 
 Fora desta camada limite, o movimento é altamente irregular. Desenvolvem-se no fluido, ao 
acaso, correntes circulares locais, chamadas vórtices, com um grande aumento na resistência ao 
escoamento. Este tipo de escoamento é chamado turbulento. 
 A experiência indica que uma combinação de quatro fatores determina se o escoamento de um 
fluido em um tubo é laminar ou turbulento. Esta combinação é conhecida como Número de Reynolds 
(NR), definido como a razão entre as forças de inércia e viscosa: 
 
 
acosVisForça
InérciadeForçaNR = 
η
ρ= DvNR 
 
 30
onde: ρ = densidade do fluido. 
v = velocidade média do fluido (a velocidade média é definida como a velocidade uniforme em 
toda a seção transversal do tubo que produziria a mesma vazão volumétrica). 
 η = viscosidade absoluta, ou dinâmica, do fluido. 
 D = diâmetro do tubo. 
ν=ρ
η
 = viscosidade cinemática do fluido. No SI, é dada em m2/s; no CGS, em cm2/s (stoke = 
st). 
 
O número de Reynolds é adimensional e, portanto, seu valor independe do sistema de unidade 
utilizado. 
Um escoamento pode ser classificado, de acordo com o número de Reynolds, em: 
 
a) Escoamento laminar: 2000NR ≤ 
 
b) Transição (escoamento instável): 3000N2000 R ≤< 
 
c) Escoamento turbulento: 3000NR > 
 
O número de Reynolds constitui a base do estudo do comportamento de sistemas reais, pelo 
uso de modelos reduzidos. Dois sistemas são dinamicamente semelhantes se o número de Reynolds 
for o mesmo. O termo D na equação refere-se, em geral, a qualquer dimensão característica do 
sistema, porexemplo, o comprimento da asa de um avião. Se a dimensão característica D for reduzida, 
aumenta-se a velocidade média do escoamento no modelo reduzido, para que tenha o mesmo número 
de Reynolds que o sistema real. Assim, por exemplo, o escoamento de um fluido em um modelo 
reduzido na escala 1/2, é dinamicamente semelhante ao sistema real, se a velocidade for duas vezes 
maior. 
 
• Exemplos 
 
1. Água a 20oC escoa por um tubo de 1 cm de raio. Se a velocidade do escoamento no centro do tubo 
for de 10 cm/s, determinar a queda de pressão, devido à viscosidade, ao longo de um trecho de 2 m. 
(η da água a 20oC = 1,005 centipoise) 
 
2. Em um tubo, com raio de 2 cm, escoa água à 20oC. Se a vazão é de 125 ml/s, determine se o 
escoamento é laminar ou turbulento. (η da água a 20oC = 1,005.10-3 Pa.s) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31
Temperatura e Calor 
 
• Temperatura 
 
 Temperatura é uma grandeza relacionada com o grau de agitação das moléculas que compõem 
uma substância. Para medirmos a temperatura dessa substância, podemos utilizar diversos tipos de 
termômetros: 
a. Termômetro clínico ou termômetro de uso geral em laboratório: podem ser de mercúrio ou álcool. 
Utilizam o princípio da dilatação térmica, que é o aumento nas dimensões da substância quando ela 
sofre variação de temperatura. 
 (a) Termômetro clínico (b) Termômetro para uso geral 
b. Termômetro de lâmina bimetálica: utiliza a junção de dois metais diferentes na forma de lâminas. 
Quando este sistema se aquece, um metal dilata mais do que o outro, de modo que a lâmina 
composta se encurva quando a temperatura varia. 
(a) (b) 
(a) Lâmina bimetálica; (b) Termômetro de lâmina bimetálica. 
c. Termopar: liga bimetálica que, ao sofrer variação de temperatura, gera uma corrente elétrica que é 
proporcional à esta variação de temperatura. 
d. Termômetro de resistência: quando um material (fio fino, fio de carbono, cristal de germânio) sofre 
aumento de temperatura, sua resistência elétrica aumenta, e esta resistência é proporcional à 
temperatura. Como a resistência pode ser medida com grande precisão, os termômetros de 
resistência, em geral, são mais precisos do que os outros tipos de termômetro. 
e. Pirômetro óptico: consiste, essencialmente num telescópio, no qual monta-se um filtro de vidro 
vermelho e uma pequena lâmpada elétrica. Quando o pirômetro é dirigido para uma fornalha, 
observa-se através do telescópio, o filamento escuro da lâmpada contra o fundo brilhante da 
fornalha. O filamento é ligado a uma pilha e a um reostato (resistência variável). Girando-se o 
reostato, aumenta-se a corrente no filamento e, consequentemente, sua luminosidade, até que esta 
se iguale à do fundo. Com uma prévia calibração do instrumento, pode-se fazer com que a escala 
de amperímetro, no circuito, forneça a temperatura desconhecida. O instrumento não entra em 
contato com a fonte quente, de modo que o pirômetro óptico pode ser usado para medir 
temperaturas altas. 
 
 
Quando dois sistemas (ou corpos) estão em equilíbrio térmico (à mesma temperatura) com um 
terceiro sistema, também estarão em equilíbrio térmico entre si. Esta é a chamada Lei Zero da 
Termodinâmica. 
 
 32
• Escalas termométricas 
 
As escalas de temperatura mais conhecidas são a Celsius, Fahrenheit e Kelvin, cujas 
temperaturas de fusão do gelo e ebulição da água são dadas na figura a seguir. 
Figura - Temperaturas dos pontos de fusão do gelo e ebulição da água nas escalas Celsius, 
Fahrenheit e Kelvin. 
 
 As equações para conversões, de uma escala para outra, podem ser obtidas fazendo uma 
relação de proporcionalidade entre elas, assim: 
 
 
15,27315,373
15,273T
32212
32T
0100
0T KFC
−
−=−
−=−
−
 
 
 
100
15,273T
180
32T
100
T KFC −=−= 
 
 
5
15,273T
9
32T
5
T KFC −=−= 
 
com isto, podemos obter as seguintes relações: 
 
 15,273TT KC −= 15,273TT CK += 
 
 32)15,273T(
5
9T KF +−= 15,273)32T(9
5T FK +−= 
 
)32T(
9
5T FC −= 32T5
9T CF += 
 
• Dilatação Térmica 
 
 As consequências habituais de variações na temperatura são variações no tamanho dos objetos 
e mudanças de fase de substâncias. Consideremos as dilatações que ocorrem sem mudanças de fase. 
Imaginemos um modelo simples de um sólido cristalino. Os átomos são mantidos juntos, em uma 
disposição regular, por forças de origem elétrica. Em qualquer temperatura, os átomos do sólido estão 
em vibração, cuja amplitude vale cerca de 10-9 cm e a frequência é de, aproximadamente, 1013 Hz. 
 Podemos, frequentemente, soltar uma tampa metálica que esteja bem ajustada numa garrafa, 
segurando-a sob uma corrente de água quente. A tampa de metal dilata-se um pouco em relação ao 
vidro da garrafa à medida que a temperatura sobe. A dilatação térmica não é sempre desejável. Todos 
nós já vimos fendas de dilatação nas pontes de rodovias. Tubos em refinarias, frequentemente, incluem 
uma alça de dilatação, de maneira que o tubo não empene à medida que a temperatura aumenta. O 
material odontológico usado nas obturações deve casar suas propriedades de dilatação com as do 
esmalte dos dentes. 
 33
 Quando se eleva a temperatura, a distância média entre os átomos também aumenta. Isto 
acarreta uma dilatação do corpo como um todo, em virtude do aumento na temperatura. 
Figura - Viga de ponte ou viaduto. Espaço deixado numa das extremidades, para a 
dilatação da viga, colocada sobre roletes. 
 
• Dilatação linear 
 
 Considere uma barra de comprimento inicial Lo, a uma temperatura To. Aquecendo-se esta barra 
até uma temperatura final T, a barra passa a ter um comprimento final L. 
 Neste processo de aquecimento, ocorreu uma variação de temperatura ∆T = T - To que produziu 
uma dilatação linear, caracterizada pela variação de comprimento ∆L = L - Lo. A variação de 
comprimento ∆L é proporcional ao comprimento inicial e à variação de temperatura ∆T: 
 
 TLL o ∆α=∆ 
onde: 
∆L = L - Lo = dilatação linear = variação de comprimento sofrida pela barra, no SI, em metros. 
α = coeficiente de dilatação linear do material, em oC-1. 
Lo = comprimento inicial da barra, no SI, em metros. 
∆T = T - To = variação de temperatura sofrida pela barra, em oC. 
 Assim, o comprimento final L será: 
 
 )T1(LL o ∆α+= 
 
Tabela - Coeficientes de dilatação de algumas substâncias. 
 
Substância (sólido) Coeficiente de dilatação 
linear α (10-5 oC-1) Substância (fluido) 
Coeficiente de dilatação 
volumétrica γ (10-3 oC-1) 
Alumínio 2,4 Acetona 1,5 
Aço 1,1 Álcool etílico 1,1 
Carbono: Diamante 0,12 Água (a 20oC) 0,21 
 Grafite 0,79 Ar 3,67 
Cobre 1,8 Glicerina 0,49 
Concreto 0,7 - 1,4 Mercúrio 0,18 
Gelo 5,1 
Invar (liga ferro-níquel) 0,1 
Latão 1,9 
Vidro 0,1 - 1,3 
 
 
• Dilatação superficial 
 
 Seja uma placa de área inicial Ao e temperatura To. Se a temperatura aumenta para um valor 
final T, a área aumenta para um valor final A. 
 34
 
 Ocorre, assim, uma dilatação superficial, caracterizada pela variação de área ∆A: 
 
 TAA o ∆β=∆ 
onde: 
∆A = A - Ao = dilatação superficial = variação de área sofrida pela placa, no SI, em m2. 
β = coeficiente de dilatação superficial do material, em oC-1. 
Ao = área inicial da placa, no SI, em m2. 
∆T = T - To = variação de temperatura sofrida pela placa, em oC. 
 A área final da placa é: 
 )T1(AA o ∆β+= 
 
• Dilatação volumétrica 
 
 Um objeto com volume inicial Vo e temperatura To é aquecido até uma temperatura final T, 
atingindo um volume V. 
 A variação de volume sofrida pelo objeto é: 
 
TVV o ∆γ=∆ 
onde: 
∆V = V - Vo = dilatação volumétrica = variação de volume sofrida pelo objeto, no SI, em m3. 
γ = coeficiente de dilatação volumétrica do material,em oC-1. 
Vo = volume inicial do objeto, no SI, em m3 . 
∆T = T - To = variação de temperatura sofrida pela barra, em oC. 
 O volume final do objeto é dado por: 
 
 )T1(VV o ∆γ+= 
 
 A relação entre os coeficientes de dilatação é a seguinte: 
 
 
32
γ=β=α 
 
 
 
 
 
 
 
 35
• Dilatação térmica da água 
 
 A água, no intervalo de temperaturas entre 0oC e 4oC, diminui de volume quando a temperatura 
aumenta. Neste intervalo, a água se expande quando aquecida (figura a seguir). Portanto, a densidade 
da água possui seu valor máximo para 4oC. A água se expande quando se congela, sendo esta razão 
pela qual ela se encurva para cima no meio dos compartimentos cúbicos das formas para fazer gelo. 
Em contraste, quase todos os materiais se contraem quando congelam. 
 
Figura - Volume de 1 grama de água no intervalo de 0oC até 10oC. Para 100oC, o volume 
é igual a 1,034 cm3. 
 
 Este comportamento anômalo da água possui um efeito importante na vida de animais e plantas 
em lagos. Um lago se congela da superfície para baixo; acima de 4oC, a água fria flui para a parte 
inferior por causa de sua maior densidade. Porém, quando a temperatura da superfície se torna menor 
do que 4oC, a água próxima da superfície é menos densa do que a água abaixo da superfície. Logo, o 
movimento para baixo termina, e a água nas proximidades da superfície permanece mais fria do que a 
água embaixo da superfície. À medida que a superfície se congela, o gelo flutua porque possui 
densidade menor do que a da água. A água no fundo permanece com uma temperatura da ordem de 
4oC até que ocorra o congelamento total do lago. Caso a água se contraísse ao se esfriar, como a maior 
parte das substâncias, um lago começaria a se congelar do fundo para a superfície. A circulação por 
diferença de densidade faria com que a água quente fosse transportada para a superfície, e os lagos 
ficariam totalmente congelados mais facilmente. Isto provocaria a destruição de todas as plantas e 
animais que não suportam o congelamento. Caso a água não tivesse esta propriedade especial, a 
evolução da vida provavelmente teria seguido um curso muito diferente. 
 
• Calor 
 
 Quando você coloca uma colher em uma xícara de café quente, a colher se aquece e o café se 
esfria e eles tendem a atingir o equilíbrio térmico. A interação que produz essas variações de 
temperatura é, basicamente, uma transferência de energia entre uma substância e a outra. A 
transferência de energia produzida apenas por uma diferença de temperatura denomina-se 
transferência de calor ou fluxo de calor, e a energia transferida deste modo denomina-se calor. 
 É importante distinguir com clareza a diferença entre calor e temperatura. A temperatura 
depende do estado físico de um material e sua descrição quantitativa indica se o material está "quente" 
ou "frio". Na física, o termo calor sempre se refere a uma transferência de energia de um corpo ou 
sistema para outro, em virtude de uma diferença de temperatura existente entre eles, nunca indica a 
quantidade de energia contida em um sistema particular. Podemos alterar a temperatura de um corpo 
fornecendo calor ou retirando calor do corpo. Quando dividimos um corpo em duas metades, cada 
metade possui a mesma temperatura do corpo inteiro; porém, para aumentar a temperatura de cada 
metade até um mesmo valor final, devemos fornecer a metade da energia que seria fornecida ao corpo 
inteiro. 
 Podemos definir uma unidade de quantidade de calor com base na variação de temperatura de 
materiais específicos. A caloria (cal) é definida como a quantidade de calor necessária para elevar a 
temperatura de 1 grama de água de 14,5oC até 15,5oC. A quilocaloria (kcal), igual a 1000 cal, também é 
muito utilizada; uma caloria usada para alimentos, também chamada de grande caloria, é na realidade 
uma quilocaloria. 
 
 
 36
 A caloria não é uma unidade do SI. Como calor é energia, no SI é expresso em joule (J). 
 
 1 cal = 4,186 J 
 
 1 kcal = 1000 cal = 4186 J 
 
1 BTU = 1055 J = 252 cal (onde BTU = British Thermal Unit = unidade 
térmica britânica) 
 
• Calor sensível 
 
 Utilizamos o símbolo Q para expressar a quantidade de calor. Quando associada com uma 
diferença de temperatura infinitesimal dT, chamamos essa quantidade de dQ. Verifica-se que a 
quantidade de calor Q necessária para elevar a temperatura da massa m de um material, de T1 até T2, é 
proporcional à diferença de temperatura ∆T = T2 - T1. Ela também é proporcional à massa m do 
material. Quando está aquecendo a água para fazer duas xícaras de chá, você precisa do dobro da 
quantidade de calor necessário para fazer apenas uma xícara de chá, se o intervalo de temperatura for 
o mesmo. A quantidade de calor também depende da natureza do material: para elevar em 1oC a 
temperatura de 1 kg de água, é necessário fornecer uma quantidade igual a 4190 J, enquanto que basta 
fornecer 910 J de calor para elevar em 1oC a temperatura de 1 kg de alumínio. 
 Usando todas as relações mencionadas, obtemos: 
 
 TcmQ ∆= 
 
onde: 
Q = quantidade de calor envolvida no processo. Se Q > 0, o corpo recebe calor e sua temperatura 
aumenta; se Q < 0, o corpo cede calor e sua temperatura diminui. 
m = massa do corpo. 
c = calor específico do material do corpo. É uma característica do material, e não do corpo ou objeto. 
∆T = T2 - T1 = variação de temperatura sofrida pelo corpo. 
 A quantidade de calor envolvida no processo descrita pela equação anterior é chamada de calor 
sensível, porque produz somente variação de temperatura no corpo, não ocorrendo, portanto, mudança 
de fase. 
 O termo mc na equação anterior é chamado de capacidade térmica C (ou capacidade calorífica) 
do corpo (ou sistema). É uma característica do corpo. Assim, temos: 
 
 
T
QcmC ∆== 
 
Tabela - Calor específico de algumas substâncias. 
 
Substância Calor específico c (J/kg.oC) 
Alumínio 910 
Álcool etílico 2428 
Água (líquida) 4190 
Cobre 390 
Chumbo 130 
Gelo (a 0oC) 2100 
Ferro 470 
Mármore (CaCO3) 879 
Mercúrio 138 
Sal (NaCl) 879 
Prata 234 
 
 
• Mudança de fase 
 
 A palavra fase é utilizado para designar qualquer estado da matéria, tal como o de um sólido, um 
líquido ou de um gás. A transição de uma fase para outra é chamada de transição de fase ou mudança 
 37
de fase. Para uma dada pressão, a transição de fase ocorre a uma temperatura definida, sendo 
usualmente acompanhada por uma emissão ou absorção de calor e por uma variação de volume e de 
densidade. 
 Um exemplo familiar da mudança de fase é a fusão do gelo. Quando fornecemos calor ao gelo a 
0oC, sob pressão atmosférica, a temperatura do gelo não cresce. O gelo derrete e se transforma em 
água líquida. Adicionando-se calor lentamente de modo que seja mantida a temperatura do sistema 
muito próxima do equilíbrio térmico, a temperatura do sistema permanece igual a 0oC até que todo o 
gelo seja fundido. O calor fornecido a este sistema não é usado para fazer sua temperatura aumentar, 
mas sim para produzir uma mudança de fase de sólido para líquido. 
 É necessário usar 3,34.105 J de calor para converter 1 kg de gelo a 0oC em 1 kg de água líquida 
a 0oC, mantendo-se constante a pressão atmosférica. O calor necessário, por unidade de massa, 
denomina-se calor de fusão (também chamado de calor latente de fusão), designado por Lf. Para a 
água, temos: 
 Lf = 3,34.105 J/kg = 79,6 cal/g 
 
 Generalizando, para liquefazer a massa m de um sólido, cujo calor de fusão é Lf, é necessário 
fornecer uma quantidade de calor Q dada por: 
 
 Q = m Lf 
 
 Este processo é reversível. Para congelar a água líquida a 0oC, devemos remover calor da água; 
o módulo do calor é o mesmo, mas, neste caso, Q é negativo porque estamos removendo calor. Para 
englobar estas duas possibilidades e para incluir outras transições de fase, podemos escrever: 
 
 LmQ ±= 
 
onde:Q = calor envolvido no processo de mudança de fase. 
m = massa da substância que sofre a mudança de fase. 
L = calor latente da substância que sofre a mudança de fase (fusão, vaporização, solidificação, 
condensação). 
 Para transformar 1 kg de água líquida a 100oC em vapor d'água a 100oC, devemos fornecer 
2,256.106 J de calor, ou seja, o calor latente de vaporização da água Lv é: 
 
 Lv = 2,256.106 J/kg = 539 cal/g 
 
 
 Figura - Curva de aquecimento para 10 g de gelo. 
 
 
 38
• Trocas de calor 
 
 Na análise de trocas de calor entre corpos, um princípio básico deve ser considerado: quando 
ocorre trocas de calor entre dois corpos isolados do meio ambiente, o calor perdido por um dos corpos 
deve ser igual ao calor ganho pelo outro corpo. O calor é energia em trânsito, portanto, este princípio 
nada mais é do que uma consequência do princípio da conservação da energia. Consideramos como 
positivo todo calor que entra em um corpo e como negativo o calor que sai do corpo. Quando ocorre 
interação entre corpos, a soma algébrica das quantidades de calor transferidas entre todos os corpos 
deve ser igual a zero. Supondo três corpos isolados do ambiente trocando calor entre si, devemos ter: 
 
 0QQQ 321 =++ 
 
• Exemplos 
 
1. Qual a temperatura em que os termômetros graduados em oC e em oF indicam o mesmo valor 
numérico? 
 
2. Uma barra de cobre está a 8oC em um determinado dia de inverno. Qual é a variação percentual no 
comprimento da viga, que ocorre do inverno para o verão, quando a temperatura é de 35oC? Se a 
barra possui um comprimento de 50 cm, qual a dilatação sofrida?(αcobre = 1,8.10-5 oC-1) 
 
3. Um engenheiro está projetando um elemento para um circuito eletrônico, constituído por 23 mg de 
silício. A corrente elétrica transfere energia para o elemento com uma taxa igual a 7,4 mW = 7,4.10-3 
J/s. Para que o elemento permaneça com a temperatura estável, qual a taxa de queda da 
temperatura que deve ser considerada no projeto do sistema de refrigeração deste elemento? 
(csilício = 705 J/kg.oC) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 39
Transmissão de Calor 
 
• Condução 
 
 Quando você segura uma das extremidades de uma barra de cobre e mantém a outra 
extremidade no interior de uma chama, a extremidade que você está segurando fica cada vez mais 
quente, embora ela não esteja em contato direto com a chama. O calor é transferido por condução, 
através do material, até atingir a extremidade mais fria. Em nível atômico, verificamos que os átomos de 
uma região mais quente possuem, em média, uma energia cinética maior do que a energia cinética dos 
átomos de uma região vizinha próxima. Eles fornecem uma parte do excesso de energia através de 
colisões com os átomos vizinhos. Estes vizinhos colidem com outros vizinhos, e assim por diante, ao 
longo do material. Os átomos não se deslocam de uma região para outra do material, mas a energia 
cinética é transferida de uma região para outra. 
 Quase todos os metais utilizam outro mecanismo mais eficiente para conduzir o calor. No interior 
do metal, alguns elétrons se libertam dos seus átomos originais e se movem através da rede cristalina 
do metal. Estes elétrons livres podem rapidamente transferir energia da região mais quente para a 
região mais fria do metal, de modo que os metais, geralmente, são bons condutores de calor. Uma 
barra de metal a 20oC parece estar mais fria do que um pedaço de madeira a 20oC porque o calor pode 
fluir mais facilmente entre sua mão e o metal. 
 A transferência de calor ocorre somente entre regiões que possuem temperaturas diferentes, e o 
sentido de transferência de calor é sempre da temperatura maior para a temperatura menor. A figura a 
seguir mostra uma barra de um material condutor de comprimento L e seção transversal de área A. A 
extremidade esquerda da barra é mantida a uma temperatura T2 e a extremidade direita é mantida a 
uma temperatura mais baixa T1, e o calor flui da esquerda para a direita. Os lados da barra estão 
isolados, de modo que o calor não pode fluir por eles. 
 
 Figura - Fluxo de calor estacionário através de uma barra isolada lateralmente. 
 
 Quando uma quantidade de calor dQ é transferida através da barra em um tempo dt, a taxa de 
transferência de calor é dada por dQ/dt. Chamamos esta grandeza de taxa de transferência de calor ou 
fluxo de calor e a representamos por H, ou seja, H = dQ/dt. O fluxo de calor é dado por: 
 
L
TT
AkH 12
−= 
onde: 
H = fluxo de calor, no SI, em J/s (W). 
k = condutividade térmica do material, em W/m.oC. 
A = área da seção transversal da barra, em m2. 
T2 e T1 = temperaturas das extremidades da barra, em oC. 
L = comprimento da barra, em m. 
 
Tabela - Condutividade térmica de alguns materiais. 
Material Condutividade térmica k (W/m.oC) Material Condutividade térmica k (W/m.oC)
Alumínio 205 Vidro 0,8 
Latão 109 Gelo 1,6 
Cobre 385 Lã de vidro 0,04 
Chumbo 34,7 Isopor 0,01 
Mercúrio 8,3 Madeira 0,04 - 0,12 
Prata 406 Ar 0,024 
Aço 50,2 Argônio 0,016 
Tijolo refratário 0,15 Hélio 0,14 
Tijolo de argila vermelha 0,6 Hidrogênio 0,14 
Concreto 0,19 - 1,3 Oxigênio 0,023 
Cortiça 0,04 Água (a 27oC) 0,61 
Feltro 0,04 
 
 40
• Convecção 
 
 A convecção é a transferência de calor que ocorre através do movimento da massa de uma 
região do fluido para outra região. Exemplos familiares incluem os sistemas de aquecimento de água 
em residências, o sistema de refrigeração do motor de um automóvel e o fluxo do sangue através do 
corpo. Quando o fluido é forçado pela ação de um ventilador ou de uma bomba, o processo denomina-
se convecção forçada; quando o escoamento é produzido pela existência de uma diferença de 
densidade provocada por uma expansão térmica, tal como a ascensão do ar quente, o processo 
denomina-se convecção natural ou convecção livre. 
 A convecção natural na atmosfera desempenha um papel importante na determinação do tempo 
ao longo do dia (figura a seguir), e a convecção nos oceanos é um importante mecanismo de 
transferência de calor no globo terrestre. O mecanismo mais importante para a transferência de calor no 
corpo humano (utilizado para manter a temperatura do corpo constante em diferentes ambientes) é a 
convecção forçada do sangue, na qual o coração desempenha o papel de uma bomba. 
 A água possui um calor específico maior do que o solo, assim, o calor do sol produz um efeito 
relativamente menor sobre a água do mar do que sobre o solo; portanto, durante o dia o solo se aquece 
mais rapidamente do que o mar e se resfria mais rapidamente durante a noite. Nas vizinhanças de uma 
praia, a diferença de temperatura entre o solo e o mar dá origem a uma brisa que sopra do mar para a 
costa, durante o dia, e da costa para o mar, durante a noite (figura a seguir). 
 Figura - Correntes de ar convectivas nas regiões litorâneas. 
 Em ambientes fechados, o processo de convecção pode ser acentuado artificialmente com o uso 
de ventiladores. Da mesma forma, a localização adequada de aparelhos de ar condicionado ou de 
aquecedores pode favorecer a circulação de correntes de ar frio ou quente. Assim, os dispositivos que 
resfriam o ar devem ficar na parte superior, porque o ar frio é mais denso e tende a descer; os 
dispositivos que aquecem devem ficar na parte mais baixa, porque o ar quente é menos denso e tende 
a subir (figura a seguir). 
 
Figura - Localização adequada dos aparelhos de ar condicionado e aquecedor em um ambiente 
fechado. 
 
 A transferência de calor por convecção é um processo muito complexo e não existe nenhuma 
equação geral simples para descrevê-lo. 
 
 
 
 
 41
• Radiação 
 
 A transferência de calor pela radiação ocorre em virtude da existência de ondas 
eletromagnéticas, tal como a luz visível, a radiação infravermelha e a radiação ultravioleta. Todomundo 
já sentiu o calor da radiação solar e o intenso calor proveniente de uma churrasqueira ou das brasas do 
carvão de uma fogueira. A maior parte do calor proveniente destes corpos quentes atinge você por 
radiação, e não por convecção do ar. Você sentiria o mesmo efeito até supondo que existisse vácuo 
entre você e a fonte de calor. 
 Qualquer corpo, mesmo com uma temperatura normal, emite radiação eletromagnética. A uma 
temperatura normal, digamos a 20oC, quase toda energia é transportada pelas ondas infravermelhas 
que possuem um comprimento de onda maior do que o comprimento de onda da luz visível. À medida 
que a temperatura se eleva, os comprimentos de onda se deslocam para valores menores. A 800oC um 
corpo emite radiação visível em quantidade suficiente para adquirir luminosidade própria e assumir uma 
cor "vermelha quente", embora mesmo nesta temperatura a maior parte da energia seja transportada 
por ondas infravermelhas. A uma temperatura de 3000oC, temperatura característica do filamento de 
uma lâmpada incandescente, a radiação contém luz visível suficiente a ponto de se tornar "branca 
quente". 
 A taxa de radiação de energia de uma superfície é proporcional à área A. A taxa aumenta muito 
rapidamente com a temperatura, dependendo da quarta potência da temperatura absoluta (Kelvin). Esta 
taxa também depende da natureza da superfície; esta dependência é descrita por uma grandeza e 
denominada emissividade. Esta grandeza é um número sem dimensões, compreendido entre 0 e 1, que 
representa a razão entre a taxa de radiação de uma superfície particular e a taxa de radiação de uma 
superfície de um corpo ideal, com a mesma área e a mesma temperatura. A emissividade também 
depende ligeiramente da temperatura. Logo, a taxa de radiação H = dQ/dt de uma superfície de área A, 
com uma temperatura T e emissividade e, pode ser expressa pela relação: 
 
 4TeAH σ= 
 
onde: 
H = fluxo de calor, no SI, em J/s (W). 
A = área da seção transversal da barra, em m2. 
e = emissividade da superfície. 
σ = constante de Stefan-Boltzmann = 5,67.10-8 W/m2.K4. 
T = temperatura absoluta da superfície, em Kelvin (K). 
 Enquanto um corpo com temperatura T está irradiando, o ambiente que está a uma temperatura 
Ta também está irradiando, e o corpo absorve uma parte desta radiação. Então, a taxa de radiação de 
um corpo a uma temperatura T imerso em um ambiente que está a uma temperatura Ta é dada por: 
 
 )TT(eAH 4a
4
tetansulRe −σ= 
 
 
• Exemplos 
 
1. Uma caixa de isopor usada para manter bebidas frias possui área total (incluindo a tampa) igual a 
0,80 m2 e a espessura da parede é igual a 2 cm. Ela está cheia de água, gelo e latas a 0oC. Qual é a 
taxa de fluxo de calor para o interior da caixa, se a temperatura da parede externa for igual a 30oC? 
Qual a quantidade de gelo que se liquefaz durante um dia? O calor de fusão do gelo é 3,34.105 J/kg. 
 
2. Sabendo que a área total do corpo é igual a 1,20 m2 e que a temperatura da superfície é 30oC, 
calcule a taxa resultante de transferência de calor do corpo por radiação, se o meio ambiente está a 
uma temperatura de 20oC. A emissividade do corpo é próxima de 1.