Geometria Analitica_Boulos 3ed

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Capítulo 6 - Dependência linear - 49
Por outro lado,
ffi=pfr=§(@*Ed)=BB+BEd
Da comparação das duas expressões obtidas paru N, decorre
1+
;ÃE+ode=ÊAE+pde
Já que 6É,Ee) é LI (pois A, B e c são vértices de um triângulo), podemos aplicar o
Corolário 6-12 e concluir qae a - B = 1/2. Note que também se conclui que o compri-
mento de MN é a metade do comprimento de Á8, completando o conhecido teorema
da Geometria Plana.
6'f Z No trapézio ABCD da Figura 6-7 (b), o comprimento de AB é o dobro do comprimento de CD.
Exprima dcomo combinação tinear de Eõ, ÃÉ.
6'18 Sejama um plano, e ü ü vetores Ll paralelos aa. Mostre que todovetor ilparaleloaz podeser
escrito, de modo único, como combinação linear de ü ü.
Na Geometria Euclidiana, é importante a idéia de separação de pontos de um plano por uma
retanelecontida.Sejamzumplano,rumaretacontidaemlÍ)ePeQdoispontosdezquenão
pertencem ar.Dizemosquersepara PeQse rcontémum(único)pontoXinterior aPQ(vejaa
Figura 6-8 (a)). Isso equivale a P e Q pertencerem a semiplanos oppstos de ry, de origem r. Se a
interseção de rcomointerior de PQévazia,dizemos que rnãosepara P eQ,eisso signifióaque
P e Qpertencem ao mesmo semiplano de n, de origem r (Figura 6-8 (b)).
Figura 6-8
o
(b)(a)
Eis um critério algébrico simples para verificar se a reta separa os dois pontos. Toma-se um
ponto Á qualquer de r'e verifica-se se @F,A)) é LD ou LI.
' Se (AP,AQ) é I-,D, então Á, P e Q são colinoares e, portanto, existe ,t tal que FÃ = 1F0. Neste
caso, se 0 0,p>O,aB>O
(a)
o
a>O,p 0
(b)
a0,ap 0 (Figura 6-10).
A justificativa do procedimento no primeiro caso é imediata: se gF,,lQ\é LD, as retas r e PQ
'11
.I
llÍj
§
§
It
§
*
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&
L
422 - Geometria Analítica - um tratamento vetorial
fazer um projeto e executá-lo. Seus pendores artísúcos também podem manifestar-se na escolha
das cores e textura da liúa, e na ambientação do modelo. O maior desafio, porém, será utilizar o
resultado do Exercício25-30 em benefício do projeto. Sugerimos que você considere um caso
particular, escolhendo valores paÍaa e b (por exemplo, a=b=l).
25-30 prove que o parabolóide hiperbólico Ç2'. z = -xzla2 + f lb2 é uma superf ície regrada, exibindo um
conjunto de retas cuja reunião seja Q. No caso particular em quê â = b = 1, obtenha vetores
diretores dessas retas e os pontos em que elas interceptam o plano Ory (isso pode ser útil no
projeto da escultura de linha).
25.3f Prove que são selas as quádricas descritas pelas equações.
z=xzla2-flb',y = 1f la2 - z2lb2
y=-y2la2 + z2lb2
y= x2la2 - z2lb2
y=-x2/a2 + z2lb2i
I
Supondo que a cabeça do cavaleiro esteja no semi-eixo positivo da variável do primeiro mem-
bro, estabeleça uma relação entre os sinais do segundo membro e a posição da montaria.
ZS-}Z Considere as selas Ç2.1'. z = -f I a2 + f lb2 e §à2: z = x2la2 - y2lb2 . Como os segundos membros
das equações são opostos um do outro, o esboço de Q, pode seÍ obtido 'lirando de ponta-
cabeça" o esboço de Q,. E de se esperar que o eixo longitudinal continue o mesmo. No entanto,
a resposta do Exercício 25-31 parece desmentir isso. Segundo ela, para Q,, o eixo longitudinal
é Oy, e para Qr, é Ox. lsso nos induz a concluir que obteremos o esboço de Q, fazendo o esboço
de Q, girar de 90' em torno de Oz. Explique o aparente paradoxo.
25-33 prove que a quádrica Ç2:: z= l- (x- h)2ta2 + (y- t)21b2 é um parabolóide hiperbólico.
25-34 Seja Q a quádrica de equação y2 - 422 + x- 2y +162- 15 = 0.
(a) Faça uma translação do sistema de coordenadas para eliminar os termos de primeiro grau e
identifique a quádrica.
(b) Obtenha, em relação ao sistema antigo, equações dos planos paralelos aos planos coorde
nados que interceptam Q em hipérboles de distância focal 5.
(c) Faça um esboço da quádrica e desenhe, em vista Írontal, suas projeções ortogonais sobre
os planos OxY, Oxz e OYz.
25-35 Faça uma mudança de coordenadas conveniente para concluir que Q: z = xY é um parabolóide
hiperbólico, e esboce-o.
25-36 Obtenha uma equação do lugar geométrico dos pontos de E3 que são eqüidistantes das retas
71)(= (O,-1t2,0) +1(1,0,0) e s: X= (0,1/2,0) +,1(0,0,1)' e identifique-o.
	Sumário
	Prefácio à Primeira Edição
	Prefácio à Terceira Edição
	Notação e Nomenclatura
	Cap1-Vetor
	Cap2-Soma de Vetores
	Cap3-Produto de Número Real Por Vetor
	Cap4-Soma de Ponto Com Vetor
	Cap5-Aplicações Geométricas
	Cap6-Dependência Linear
	Cap7-Base
	Cap8-Mudança de Base
	Cap9-Produto Escalar
	Cap10-Orientação de V^3
	Cap11-Produto Vetorial
	Cap12-Produto Misto
	Cap13-Sistema de Coordenadas
	Cap14-Equações de Reta e Plano
	Cap15-Interseção de Retas e Planos
	A - interseção de duas retas
	B - intersecção de reta e plano
	C - interseção de planos
	D - equações de reta na forma planar
	Cap16-Posição Relativa de Retas e Planos
	A - posição relativa de retas
	B - posição relativa de reta e plano
	C - posição relativa de planos
	D - feixes de planos
	Cap17-Perpendicularidade e Ortogonalidade
	A - perpendicularidade e ortogonalidade entre retas
	B - vetor normal a um plano
	C - perpendicularidade entre reta e plano
	D - perpendicularidade entre planos
	Cap18-Miscelânea de Exercícios
	Cap19-Medida Angular
	A-Medida angular entre retas
	B-Medida angular entre reta e plano
	C-Medida angular entre planos
	D-Semi-espaço
	Cap20-Distância
	A-Distância entre pontos
	B-Dstância de ponto a reta
	C-Distância de ponto a plano
	D-Distância entre retas
	E-Distância entre reta e plano
	F-Distância entre planos
	Cap21-Mudança de Sistema de Coordenadas
	Cap22-Elipse, Hipérbole, Parábola
	A-Definições e equações reduzidas
	A1-Elipse
	A2-Hipérbole
	A3-Parábola
	B-Forma e excentricidade
	B1-Forma e excentricidade da elipse
	B2-Forma e excentricidade da hipérbole
	B3-Forma e excentricidade da parábola
	C-Regiões do plano determinadas por elipse, hipérbole e parábola
	D-Retas secantes, tangentes e normais
	D1-Retas tangentes e retas normais à elipse
	D2-Retas tangentes e retas normais à hipérbole
	D3-Retas tangentes e retas normais à parábola
	E-Propriedade de reflexão
	F-Métodos de construçãoF1-Elipsógrafo, hiperbológrafo e parabológrafo
	F2-Construção com régua e compasso
	G-Definições alternativas
	H-Seções cônicas. Origem dos nomes, hipérbole e parábola
	I-Exercícios suplementares
	Cap23-Cônicas
	A-Definição de cônica
	B-Translação e eliminação dos termos lineares
	C-Rotação e eliminação do termo quadrático misto
	D-Identificação e esboço de uma cônica
	Cap24-Superfície Esférica