Geometria Analítica: Pontos e Retas

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Váldina Gonçalves da Costa
Introdução
Pontos e retas: defi nições, 
exemplos e propriedades
Capítulo
4
Caro(a) aluno(a).
Neste capítulo, iniciaremos uma caminhada no campo da 
geometria analítica básica. Começaremos refl etindo sobre um 
dos temas centrais desta: o ponto, que é visto como elemento 
da geometria analítica. Além de estudarmos sobre o ponto, 
analisaremos algumas situações em que se encontram esse 
importante objeto. Em seguida, abordaremos o estudo das retas, 
bem como as diferentes formas de representá-las e algumas 
propriedades que as envolvem. 
Ao término dos estudos propostos neste capítulo, esperamos que 
você esteja apto(a) a:
• identifi car o plano cartesiano e representar pontos neste 
plano;
• calcular a distância entre dois pontos e o ponto médio de um 
segmento;
• analisar, por meios analíticos, a condição de alinhamento 
entre três pontos quaisquer;
Objetivos
112 UNIUBE
• identificar quando três pontos quaisquer, poderão ou não, ser 
vértices de um triângulo;
• determinar os diferentes tipos de representações de equações 
de retas no plano;
• analisar quando duas ou mais retas são paralelas;
• analisar quando duas retas são perpendiculares;
• determinar o ângulo entre duas retas quaisquer;
• visualizar e calcular a distância de um ponto qualquer a uma 
reta;
• calcular a área de um triângulo, utilizando as coordenadas de 
seus vértices;
• utilizar a fórmula da distância entre ponto e reta na determi-
nação da distância entre duas retas paralelas;
• resolver inequações e sistemas de inequações do primeiro 
grau a duas incógnitas, utilizando representação gráfica.
4.1 Ponto, plano cartesiano e retas
4.2 Plano cartesiano
4.3 Representação de um par ordenado no plano cartesiano
4.4 Distância entre dois pontos
4.5 Ponto médio de um segmento
4.6 Retas: uma condição de alinhamento
4.7 Retas paralelas e retas perpendiculares
4.8 Retas perpendiculares 
4.9 Ângulo entre retas
4.10 Distância entre ponto e reta
4.11 Área de um triângulo 
4.12 Inequações do 1º grau a duas incógnitas
Esquema
 UNIUBE 113
Ponto, plano cartesiano e retas4.1
Na maioria dos temas abordados nos conteúdos matemáticos, utiliza-
se a noção intuitiva de ponto. Nessa perspectiva, é muito importante 
que você dedique uma atenção especial a este tema, e que saiba da 
importância do conhecimento do mesmo para a sua formação, seja na 
área de matemática ou em qualquer área afim.
O que seria da matemática sem o elemento ponto?
Mais precisamente, o que seria da geometria e das funções, 
sem esse elemento?
O estudo da geometria analítica se inicia com o estudo dos pontos. Antes, 
porém, é necessário que saibamos definir o que é geometria analítica.
Para que você possa formular uma definição de geometria analítica, deverá, 
primeiramente, pesquisar estas duas palavras: “geometria” e “analítica”.
PESQUISANDO NA WEB
Provavelmente, você deve ter encontrado algo como: 
Tais definições estão corretas, mas, matematicamente, temos:
Geometria analítica é o ramo da ciência que estuda a geometria 
utilizando meios algébricos.
114 UNIUBE
Observe que estudar algebricamente a geometria significa fazer uma 
análise sobre os objetos geométricos, como as linhas, polígonos e outros, 
portanto, ambas definições estão corretas e coerentes.
Acredita-se que o primeiro matemático que introduziu meios algébricos à 
geometria, e, portanto, podemos dizer criador da geometria analítica, foi 
René Descartes.
Um dos mais antigos e intrigantes problemas, relacionado à geometria 
analítica é o seguinte: dada uma equação qualquer, podemos representá-
la por uma linha, isto é, por uma reta? E caso não seja, podemos chegar 
próximo de sua representação por segmentos de reta? Ou ainda, dada uma 
reta definida geometricamente, podemos obter a equação correspondente 
a essa reta?
Tais respostas são possíveis de se concluir por meio da geometria analítica.
SAIBA MAIS
Para compreendermos retas, devemos, primeiramente, estudar o ponto, 
visto que uma reta nada mais é do que um conjunto infinito de pontos 
alinhados. 
Sendo assim, vamos lá:
Seja uma reta OX

 qualquer. Veja a Figura 1 a seguir:
Figura 1: Reta.
Podemos adotar uma unidade de medida, e por esta unidade, 
considerarmos uma oradem sobre a reta OX

.
 UNIUBE 115
Adotando o milímetro (mm) como unidade de medida e 
considerando o ponto inicial sendo 0, temos:
1ª situação:
se x estiver à direita e a 5 mm de 0 x será igual a 5 
2ª situação:
se x estiver à esquerda e a 3 mm de 0 x será igual a -3 
Neste sentido, à direita de 0, temos x positivo e à esquerda de 0, 
temos x negativo.
EXEMPLIFICANDO!
Bom, se todos os pontos existentes no plano pudessem ser representados 
sobre uma mesma reta, tal construção já nos possibilitaria estudar todas 
as situações geométricas possíveis. Entretanto, isso não é verdade, por 
exemplo, veja a Figura 2, a seguir:
 
 
 Figura 2: Formação do triângulo a partir de retas.
Embora seus vértices sejam pontos, não conseguiríamos estudar algebri-
camente as propriedades entre estes elementos, apenas com uma reta, 
pois os mesmos, dois a dois, pertencem a retas distintas, chamadas de 
retas suportes.
116 UNIUBE
Sendo assim, precisamos introduzir uma nova reta em nosso sistema, 
surgindo, assim, o famoso plano cartesiano.
Plano cartesiano4.2
Considere duas retas OX

 e OY

, ortogonais, em que o ponto de 
interseção é o O.
Veja a Figura 3 a seguir:
 
 Figura 3: Ponto de interseção.
A orientação sobre a reta OY

é a seguinte: 
 acima de 0, temos y positivo; 
 abaixo de 0, temos y negativo.
Portanto, se pegássemos o nosso ABC∆ anterior e colocássemos 
dois de seus vértices sobre o eixo OX

, digamos, o ponto B à direita 
de 0, 1mm, e o ponto C também à direita de 0, 4mm, teríamos para 
o primeiro ponto 1x = e para o segundo ponto 4x = .
 UNIUBE 117
Mas, e o terceiro ponto? 
Se soubéssemos que o terceiro ponto estivesse a 2,5mm à direita 
de 0 e acima 3mm de 0, saberíamos que:
o vértice A teria o 2,5x = e o 3y = .
o vértice B teria o 1x = e o 0y = . 
o vértice C teria o 4x = e 0y = .
A notação para a representação destes pontos é a seguinte: 
(2,5;3)A ; (4,0)C e (4,0)C . Veja a construção deste triângulo no 
plano cartesiano, na Figura 4.
 
 Figura 4: Triângulo no plano cartesiano.
O x de cada ponto, assim denotado, recebe o nome de abscissa do 
ponto e o y recebe o nome de ordenada do ponto. 
Nossas construções nos levam ao seguinte resultado: dado um ponto P 
do plano qualquer, conseguimos fazer corresponder este ponto ao plano 
cartesiano, levando em consideração a orientação positiva e negativa, 
conforme dita anteriormente, da seguinte forma, na Figura 5:
118 UNIUBE
Figura 5: Ponto no plano cartesiano.
Verificamos, então, que, dado um par ordenado ( , )x y , podemos 
representá-lo, no plano cartesiano, por um ponto.
4.3 Representação de um par ordenado no plano 
cartesiano
Passamos por x , sobre a reta OX

, uma reta s paralela ao eixo OY

 e 
passamos por y , sobre a reta t , uma reta t paralela ao eixo OX

. O 
ponto de interseção entre estas equivale à representação geométrica e 
analítica do par ordenado ( , )x y . Vejamos na Figura 6:
Dado o ponto ( 1, 2)P − , vamos representá-lo no plano cartesiano.
 
 Figura 6: Representação no plano cartesiano.
 UNIUBE 119
Atividade 1
Represente no plano cartesiano, os pontos: (3, 2)A , (5, 2)B − , ( 1,3)C − , 
( 2,0)D − e ( 2, 3)E − − .
AGORA É A SUA VEZ
Bem, neste momento, já sabemos como representar um ponto. Mas, qual 
a sua definição?
Ponto é algo que sabemos que existe, conseguimos, na maioria dos 
casos, representá-lo, mas não temos a definiçãoexata do que é. Sua 
beleza e riqueza são tão ímpares, que até a própria definição, por um dos 
matemáticos mais brilhantes, eu diria que é um pouco abstrata. 
Segundo Euclides, em um dos 13 livros de sua autoria, intitulado por 
Elementos de Euclides, define ponto da seguinte forma:
“Aquilo que não possui nenhuma parte”.
CURIOSIDADE
Procurando complementar um pouco mais o nosso estudo do plano 
cartesiano, vejamos mais uma propriedade deste sistema de eixos 
coordenados.
No plano cartesiano, Figura 7, temos 4 partes denominadas de 
quadrantes. Suas identificações são dadas considerando a orientação, 
começando da direita e acima, da reta OX

, no sentido anti-horário.
120 UNIUBE
 
 Figura 7: Representação no plano cartesiano.
Sendo assim, dado um ponto ( , )P x y qualquer, sua localização quanto 
aos quadrantes será:
1º 0 0∈ ↔ > >P Q x e y
P pertence ao primeiro quadrante se, e somente se, a abscissa for 
positiva e a ordenada positiva.
2º 0 0∈ ↔ P Q x e y
P pertence ao segundo quadrante se, e somente se, a abscissa for 
negativa e a ordenada positiva.
3º 0 0P Q x e y∈ ↔ e 0y > , assim temos:
 
 
 Figura 8: Representação sem perda de generalidade.
Assim, 2 1 2 1| |ABd x x x x= − = − , ou seja, a distância de 2x à origem, 
menos a distância de 1x à origem, caso 2 1x x> . E se 1 2x x> , seria 
a distância de 1x à origem menos a distância de 2x à origem, isto é, 
independentemente dos valores de 1x e de 2x , temos: 2 1| |ABd x x= − .
2ª Situação: 
De forma análoga, conclui-se que, se 1( , )A x y e 2( , )B x y , temos que 
2 1| |ABd y y= − . Veja a construção, na Figura 9, a seguir:
124 UNIUBE
 
 Figura 9: Representação no plano cartesiano.
3ª situação: Agora, observe a situação apresentada a seguir:
 
 Figura 10: Representação no plano cartesiano.
Pela representação, temos: 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y e 2 1( , )C x y , em que 
o ABC∆ , é retângulo em C . 
 UNIUBE 125
Pela 1ª situação, temos: 2 1| |ACd x x= − .
Pela 2ª situação, temos: 2 1| |BCd y y= − .
Como ABd é a hipotenusa do ABC∆ , temos, pelo teorema de 
Pitágoras, que:
 
2 2 2 2 2 2
2 1 2 1
2 2 2 2
2 1 2 1 2 1 2 1
| | | |
( ) ( ) ( ) ( )
AB AC BC AB
AB
d d d d x x y y
x x y y d x x y y
= + → = − + − =
= − + − → = − + −
Vale a pena observar que esta fórmula é válida inclusive para as 
situações 1 e 2. Desta forma, temos que a distância entre os 
pontos 1 1( , )A x y e 2 2( , )B x y será: 2 2
2 1 2 1( ) ( )= − + −ABd x x y y
Atividade 5
Sendo (3,1)A , (4, 4)B − e ( 2, 2)C − vértices de um triângulo, determine 
a medida de seus lados e classifique-o quanto aos mesmos.
Atividade 6 
Determine a distância do ponto (6, 8)P − à origem.
Atividade 7
Calcule o perímetro do triângulo, cujos vértices são os pontos (3, 4)A
, ( 2, 4)B − e (2, 2)C .
Atividade 8
Um veículo parte do ponto A e move-se 4 km para o leste, atingindo 
o ponto B . Em seguida, move-se 3 km para o norte, atingindo o ponto 
C .Nestas condições, determine qual é a distância em que o veículo se 
encontra do ponto de partida? Aponte qual foi a distância percorrida neste 
trajeto. 
AGORA É A SUA VEZ
126 UNIUBE
Ponto médio de um segmento4.5
Vejamos, agora, como podemos determinar o ponto médio de um 
segmento dado por dois pontos.
Sejam ( , )A AA x y e ( , )B BB x y pontos extremidades do segmento AB
. Queremos determinar as coordenadas do ponto M pertencentes a 
este segmento, equidistante de A e de B , ou seja, o ponto médio 
do segmento AB . Sendo assim, vejamos esta situação, no plano 
cartesiano, na Figura 11:
 
 Figura 11: Determinando coordenadas do ponto M.
Utilizaremos, neste momento, alguns conceitos abordados nos capítulos 
anteriores referentes às funções trigonométricas. Analisando o ADM∆ , 
temos MD
AM
dsenÂ
d
= e analisando o ABC∆ , temos BC
AB
dsenÂ
d
= . Como 
2AB AMd d= , temos: MD
AM
d
d 2
BC BC
AB AM
d d
d d
= = , ou seja, 
2
BCMD
AM AM
dd
d d
= , o que 
nos leva a concluir que 2 MD BCd d= .
 UNIUBE 127
Usando a distância entre estes pontos, temos que 2( )m A B Ay y y y− = −
e, assim, 2 2m A B Ay y y y= + − , implicando, 
2
A B
m
y yy +
= .
Por outro lado:
Analisando o ADM∆ , temos cos AD
AM
dÂ
d
= e analisando o ABC∆ , te-
mos cos AC
AB
dÂ
d
= . 
E, como sabemos que 2AB AMd d= , temos: AD
AM
d
d 2
AC AC
AB AM
d d
d d
= = , ou 
seja, 
2
ACAD
AM AM
dd
d d
= , o que nos leva a concluir que 2 AD ACd d= . 
 
Usando a distância entre estes pontos, temos que 2( )m A B Ax x x x− = − , e 
assim, 2 2m A B Ax x x x= + − , implicando, 
2
A B
m
x xx +
= .
Logo, o ponto médio ( , )m mM x y procurado será ,
2 2
A B A Bx x y yM + + 
 
 
.
Bom, na construção anterior, consideramos o segmento AB não pa-
ralelo aos eixos OX

(eixo das abscissas) e OY

(eixo das ordenadas); 
sendo assim, faça as atividades 9 e 10, a seguir, sobre o ponto mé-
dio de um segmento horizontal.
Atividade 9
(Caso particular de ponto médio de um segmento – segmento horizontal.)
AGORA É A SUA VEZ
128 UNIUBEComplete ou responda ao que se pede, em cada passo a seguir:
Passo 1: 
Considere o segmento AB , paralelo ao eixo OX

, assim temos 
( , ___)AA x e ( , ___)BB x .
Passo 2:
Considere ( , )m mM x y o ponto médio deste segmento, logo, temos: 
________AMd =
Passo 3:
Como 
________AMd = e ________BMd = , e como AM BMd d= , temos que: 
2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )m A m Bx x y y x x y y− + − = − + − . O que implica em 
2 2( ) ( )m A m Bx x x x− = − .
Passo 4:
Lembrando que 2x x= , temos que:
2( ) | ________ |m Ax x− = e 2( ) | ________ |m Bx x− = . Sendo assim, 
| | | |m A m Bx x x x− = − .
 UNIUBE 129
Passo 5:
Assim, m A m B A Bx x x x x x− = − → = , ou, 
( )
2m A m B mx x x x x− = − − → = .
Passo 6:
Neste caso, temos: ,M y 
 
 
.
Passo 7:
Compare o resultado encontrado, utilizando a fórmula para o ponto 
médio M . Tal fórmula se aplica neste caso abordado na atividade 9? 
Justifi que sua resposta.
Atividade 10 
(Caso particular de ponto médio de um segmento – segmento vertical.)
 
Se o segmento AB for paralelo ao eixo OY

, repita os passos da 
atividade 9, com as apropriadas adaptações, para concluir que, neste
caso, o ponto médio é dado por ,
2
A By yM x + 
 
 
.
130 UNIUBE
Atividade 11
Encontre os pontos médios dos lados do triângulo, cujos vértices são 
os pontos, ( 2,1)A − , (4,3)B e (0,1)C .
Atividade 12 
As coordenadas do ponto médio do segmento AB são ( 1, 2)− . 
Calcule as coordenadas do ponto B , sabendo que as coordenadas 
do ponto A são (2,5) .
Atividade 13
Dado o ABC∆ , cujos vértices são (2,3)A , (4, 2)B − e (0, 6)C − , 
determine o comprimento da mediana AM deste triângulo.
Lembre-se: a mediana AM , do ABC∆ , é o segmento cujas 
extremidades são: o vértice A e o ponto médio do segmento BC .
Atividade 14
Sabendo que o ponto médio do segmento AB é ( )10, 4− , e que 
as coordenadas de A são ( )4,x y+ e de B são ( )2, 8x y− + , 
encontre os valores de x e de y .
Retas: uma condição de alinhamento4.6
Antes de iniciarmos este estudo, relembre o que você entende por uma reta.
Identifique, também, quais dados são necessários para definir a equação de 
uma reta. Faça as anotações no seu caderno.
RELEMBRANDO
 UNIUBE 131
Provavelmente, dos estudos da geometria plana, você deve se lembrar 
que, para definir uma reta, precisamos de dois pontos distintos, não é 
mesmo? E por que não somente um?
Se tivéssemos apenas um ponto, qual seria a reta que passa por este 
ponto? Observe a representação gráfica da Figura 12 desta situação:
 
Figura 12: Representação gráfica de algumas 
das possíveis retas que passam pelo ponto P.
Claramente, percebe-se que, pelo ponto P, poderiam passar infinitas 
retas, o que não nos proporcionaria determinar a reta que passa por este 
ponto, já que esta não é única.
Mas, se tivéssemos dois pontos P e Q distintos, a situação seria diferente. 
Veja, a seguir, a representação gráfica na Figura 13 desta situação:
 
Figura 13: Representação gráfica de uma reta 
r que passa pelo ponto P e pelo ponto Q.
132 UNIUBE
Neste caso, é possível perceber que a única reta que passa por P e Q 
ao mesmo tempo será a reta representada pela letra r. Sendo assim, 
precisamos no mínimo de dois pontos distintos para determinar uma reta.
Vimos, anteriormente, que uma das principais motivações de se estudar 
os pontos é que todos os objetos geométricos existentes são formados 
por eles e, dentre esses, temos a reta, ou seja, a reta é um conjunto de 
pontos, como também é o plano cartesiano, os gráficos das funções, 
entre outros tantos objetos de estudo na matemática. 
Agora, vamos estudar as condições para chegarmos à equação de uma 
reta. 
Condição de alinhamento entre três pontos
Dados dois pontos distintos quaisquer, a aA(x ,y ) e 
b bB(x ,y ) ,a reta que contém (ou passa por) estes 
dois pontos seria o conjunto de todos os pontos 
colineares a estes dois, ou seja, precisamos 
determinar todos os pontos que são alinhados a 
estes dois.
Com isto, em relação à disposição destes no plano cartesiano, temos três 
situações diferentes, vejamos:
1ª Situação 
A e B possuindo abscissas iguais, isto é, aA(a,y ) e bB(a,y ) . Veja a 
representação na Figura 14:
Colinear
Diz-se dos pontos 
que estão situados 
sobre uma mesma 
linha reta.
 UNIUBE 133
 
 Figura 14: Representação de dois pontos A e B 
 com abscissas iguais.
Pela representação da Figura 14, é possível perceber que um ponto 
c cC(x ,y ) estará alinhado aos pontos aA(a,y ) e bB(a,y ) se, e somente 
se, este também possuir abscissa igual, ou seja, suas coordenadas 
deverão ser cC(a,y ) . Vejamos isto, graficamente, na Figura 15:
 
 Figura 15: Representação do ponto C com abscissa 
 igual a dos pontos A e B.
Nestas condições, podemos concluir que:
“Três pontos distintos que possuem abscissas iguais são colineares.”
134 UNIUBE
2ª Situação
A e B possuindo ordenadas iguais, isto é, aA(x ,b) e bB(x ,b) . Veja, a 
seguir, na Figura 16, a representação:
 
 Figura 16: Representação de dois pontos A e B 
 com ordenadas iguais.
Observando a figura anterior, é possível perceber que, para que um ponto 
c cC(x ,y ) esteja alinhado aos pontos aA(x ,b) e bB(x ,b) , é necessário 
que sua ordenada também seja igual a destes pontos, ou seja, suas 
coordenadas deverão ser cC(x ,b) como na Figura 17.
 
 Figura 17: Representação do ponto C com 
 ordenada igual a dos pontos A e B.
 UNIUBE 135
E, assim, temos a seguinte conclusão:
“Três pontos distintos que possuem ordenadas iguais são colineares.”
E, finalmente, temos a terceira situação.
3ª Situação
A e B possuem abscissas e ordenadas diferentes, isto é, a aA(x ,y ) 
e b bB(x ,y ) , com ≠a bx x e ≠a by y . Podemos supor, sem perda de 
generalidade, que os pontos estejam no primeiro quadrante, pois, caso 
contrário, a construção que será abordada aqui, também poderia ser 
aplicada. Vejamos a situação, com a consideração anterior, graficamente, 
na Figura 18:
 
 Figura 18: Representação de dois pontos A e B 
 com abscissas e ordenadas diferentes.
Neste caso, não é possível tirar nenhuma conclusão diretamente sobre 
as coordenadas do ponto c cC(x ,y ) , para que este esteja alinhado aos 
pontos a aA(x ,y ) e b bB(x ,y ) . Assim, vejamos qual será a condição para 
que isso aconteça. Representemos graficamente, na Figura 19:
136 UNIUBE
 
 Figura 19: Representação do ponto C com ordenada 
 e abscissa diferentes as dos pontos A e B.
Observe que, na representação da Figura 19, localizamos o ponto 
c cC(x ,y ) sobre um segmento que contém os pontos A e B. E, neste 
caso, podemos considerar inclusive o segmento AB . 
Utilizando os conhecimentos de Geometria, em particular os de 
Trigonometria, vamos considerar mais dois pontos neste plano: c aD(x ,y ) 
e b aE(x ,y ) . Observe a construção a seguir, na Figura 20:
 
 Figura 20: Representação dos pontos D e E juntamente 
 com a construção.
 UNIUBE 137
Observe que na construção anterior, destacam-se dois triângulos: ∆ACD 
e ABE∆ . Considerando o ângulo  comum aos dois triângulos, temos:
No ∆ACD : ˆ c a
c a
y - ytg A=
x - x
NoABE∆ : ˆ b a
b a
y - ytg A=
x - x
Portanto,
( )( ) ( )( )→ →c a b a
b a c a c a b a
c a b a
y - y y - y= x - x y - y = x - x y - y
x - x x - x
→b c b a a c a a c b c a a b a ax y - x y - x y + x y = x y - x y - x y + x y
→b c b a a c a a c b c a a b a ax y - x y - x y + x y - x y + x y + x y - x y = 0
b c b a a c c b c a a bx y - x y - x y - x y + x y + x y = 0
Essa é a condição para que os três pontos a aA(x ,y ), b bB(x ,y )e c cC(x ,y ) 
estejam alinhados. Entretanto, nem sempre tal fórmula é fácil de ser 
lembrada quando precisamos aplicá-la, por isso, veremos uma forma 
alternativa e de fácil memorização, que você poderá utilizar sempre que 
for preciso verificar se três pontos distintos são ou não colineares. 
Tal forma utiliza o objeto matemático chamado de determinante e, 
mesmo que você neste curso, ainda não tenha visto como se obtém 
o determinante de uma matriz; faremos uma abordagem simples e 
resumida de como se obtém o determinante, particularizando apenas 
o caso que precisaremos neste momento. Para esta explicação, 
utilizaremos um exemplo. 
Considere um quadro formado por números, dispostos por linhas e 
colunas. Tal quadro recebe o nome de matriz, no nosso caso, três linhas 
e três colunas, isto é, uma matriz; de três linhas e três colunas:
138 UNIUBE
 
1 2 5
0 3 2
1 2 4
− 
 − 
  
Desprezamos os colchetes, e repetimos, à direita, as duas primeiras 
colunas desta matriz, veja:
 1 2 5
0 3 2
1 2 4
−
− 
 
 
 
1 2 5 1 2
0 3 2 0 3
1 2 4 1 2
− −
− −
Imaginemos, agora, setas transversais como as representadas a seguir, e 
ainda, para as setas que começam da esquerda para a direita, atribuímos 
o sinal de mais (+) e para as setas que começam da direita para a 
esquerda, atribuímos o sinal de menos (-), temos a seguinte construção: 
 
Agora, para calcular o determinante desta matriz, basta realizar a soma 
dos produtos dos três números sob as setas, com os respectivos sinais 
atribuídos a cada seta. No nosso caso, teríamos:
+[1×(-3)× 4] + [(-2)×2×1] + [5×0×2] - [5×(-3)×1] - [1×2×2] - [(-2)×0× 4]
o que nos daria o determinante igual a -5. 
 UNIUBE 139
Usando a linguagem matemática, se considerarmos a matriz dada sendo 
a matriz A, teríamos:
 1 2 5
0 3 2 det 5
1 2 4
A A
− 
 = − → = − 
  
 
Este processo de obtenção de um determinante, apresentado neste 
exemplo anterior, é conhecido como a Regra de Sarrus. Vale a pena 
ressaltar aqui, que esta regra só pode ser aplicada em matrizes cujo 
número de linhas seja três e o de colunas também seja três. 
Após este rápido e resumido estudo do determinante de matrizes com 
três linhas e três colunas, estamos prontos para relacionar determinantes 
com a 3ª condição de alinhamento entre três pontos. Tal relação se 
procede da seguinte forma:
Dado os pontos a aA(x ,y ) , b bB(x ,y ) e c cC(x ,y ) , calculemos o 
determinante da matriz 
 
 
 
  
a a
b b
c c
x y 1
A = x y 1
x y 1
e o igualamos a 0 (zero). 
Utilizando o processo anterior, temos que:
 
140 UNIUBE
O que nos fornece: b c b a a c c b c a a bx y - x y - x y - x y + x y + x y = 0 . Isto 
mesmo! É a mesma condição que determinamos anteriormente, só que 
a obtemos por um caminho mais simples. Veja como aplicamos toda esta 
teoria na prática, utilizando um exemplo:
Verifi que se os pontos A(-1,5) , B(0,7)e C(1,9) são colineares.
Conforme vimos, primeiramente, temos que calcular o determinante
da matriz 
1 5 1
0 7 1
1 9 1
A
− 
 =  
  
. 
Se o resultado obtido for igual a zero, signifi ca que os pontos são 
colineares, senão, os pontos não são colineares. Calculemos o det A .
 
Efetuando os produtos, somando-os e subtraindo-os, temos que:
detA = -1×7×1+ 5×1×1+1×0×9 -1×7×1- 9×1×(-1) -1×0×5
detA = -7 + 5 + 0 - 7 + 9 + 0
detA = -14 +14
detA 0=
Assim, podemos concluir que os pontos A(-1,5) , B(0,7) e C(1,9) são 
colineares.
EXEMPLIFICANDO!
 UNIUBE 141
Outra análise que podemos obter desta condição de alinhamento é a 
possibilidade de identificar quando três pontos distintos quaisquer serão 
vértices de um triângulo, ou não.
Basta lembrar que, para termos um triângulo, são necessários três pontos 
não colineares.
DICAS
Generalizando: dados os pontos a aA(x ,y ) , b bB(x ,y )e c cC(x ,y ) , eles serão 
vértices do ABC∆ se, e somente se , ou o equivalente ao determinante:
 
 
 
  
a a
b b
c c
x y 1
A= x y 1
x y 1 , a aA(x ,y ) , b bB(x ,y ) e c cC(x ,y ) serão vértices do ABC∆ 
se, e somente se, ≠detA 0 .
Embora esta terceira condição de alinhamento entre três pontos, envolven-
do determinante, seja equivalente à condição de alinhamento, nos quais 
os pontos A e B possuem abscissas e ordenadas diferentes, ou seja, 
a aA(x ,y ) e b bB(x ,y ) , com ≠a bx x e ≠a by y , o resultado obtido é aplicado 
nos outros dois casos, em que ou as abscissas ax e bx são iguais, ou em 
que as ordenadas ay e by são iguais.
IMPORTANTE!
142 UNIUBE
Atividade 15
Para cada conjunto de três pontos dados a seguir, verifi que quais destes 
serão vértices de um triângulo:
a) ( )-1,-1 , ( )2,2 e ( )5,5 ;
b) ( )4,3 , ( )2,4 e ( )5,-1 ;
c) ( )0,0 , ( )-3,-2 e ( )2,1 .
Atividade 16
Determine o valor de a, para que os pontos ( )1,2 , ( )-3,-2 e ( ),-a a estejam 
alinhados e, depois, encontre os valores de a, para que os pontos formem 
triângulos.
 
Como vimos anteriormente, determinar a equação da reta que contenha 
dois pontos distintos a aA(x ,y ) e b bB(x ,y ), equivale a encontrar o conjunto 
de todos os pontos que são colineares aos pontos A e B. Sendo assim, 
precisamos determinar quais condições deve possuir um ponto qualquer 
P(x,y) , para que esteja alinhado simultaneamente aos pontos A e B. 
Vejamos:
Se 
 
 
 
  
a a
b b
x y 1
A= x y 1
x y 1
, e para que estes pontos estejam alinhados, queremos 
que detA= 0 . Utilizando a Regra de Sarrus, temos:
 
AGORA É A SUA VEZ
 UNIUBE 143
det 0 0A y y= → − − − + + =b b a a b a a bx x y x xy xy x y
ou seja, 
( ) ( ) 0y + − =a b b a a b b ay - y x + x - x x y x y
Estas equações representam a equação da reta que passa pelos 
pontos a aA(x ,y ) e b bB(x ,y ) . 
Atividade 17
Determine a equação da reta que passa pelos pontos ( )1,2 e ( )-3,-2 .
Agora, vejamos outras formas de representar a equação de uma reta.
1º Forma: equação geral de uma reta
A equação encontrada: ( ) ( ) 0y + − =a b b a a b b ay - y x + x - x x y x y , está 
em sua forma geral. Para simplificar a expressão, façamos o 
seguinte: considere ( )a ba = y - y , ( )b ab = x - x e a b b ac = x y - x y . 
Realizando estas substituições, obtemos a seguinte equação: 
ax + by + c = 0 . Esta última denomina-se equação geral da reta.
Um fato importante e curioso sobre esta equação é que, dada uma reta, 
sua equação geral não é única; em outras palavras, existem infinitos 
a, b e c, números reais, cuja equação ax + by + c = 0 ,represente a 
mesma reta.
Vamos, agora, aplicar este conhecimento!
Atividade 18
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos dados a 
seguir:
a) A(1,1) e B(2,1)
b) A(-2,0) e B(-2,7)
c) A(0,2) e B(0,5)
d) A(-3,2) e B(1,4)
144 UNIUBE
Atividade 19
Os pontos A(-1,2) e B(2,-3) determinam uma reta. Sabendo que o 
ponto C(-1,m) pertence a esta reta, determine o valor de m.
Atividade 20
Considere o ∆ABC , no qual A(1,2) , B(3,4) e C(4,6) . Nestas 
condições, determine as retas suportes de seus lados.
Atividade 21
Determine uma equação geral para as retas representadas 
grafi camente a seguir:
a) 
b) 
 UNIUBE 145
2ª Forma: equação reduzida de uma reta
Considerando a forma geral da reta, definida anteriormente,temos que 
ax + by + c = 0 . Supondo ≠b 0 , podemos dividir esta equação por b . 
Veja o que obteremos:
0 0dividindo por b a b cax by c x y
b b b
+ + = → + + = →
0 isolando ya c a cx y y x
b b b b
+ + = → = − −
Lembre-se de que b ab = x - x .
Considerando 
am
b
= − e 
cn
b
= − , temos a equação y mx n= + . À equação 
da reta nesta forma, denominamos equação reduzida da reta. Vejamos, 
na prática, como é todo esse processo de obtenção da equação reduzida 
de uma reta.
Dados os pontos A(1,2) e B(-2,0) , utilizando o processo descrito 
anteriormente para determinar a equação geral da reta que passa por estes 
dois pontos, encontramos a seguinte equação: 2x - 3y + 4 = 0 .
Como o coeficiente de y é -3 e é diferente de 0, podemos dividir toda 
equação por -3 , e, assim, ficamos com: 
 
 → →
→
dividindo por -3
isolando y
2 3 42x - 3y + 4 = 0 - x - y - = 0
3 -3 3
2 4 2 4- x + y - = 0 y = x +
3 3 3 3
Esta última equação encontrada é a equação reduzida da reta, na qual 
podemos perceber que 2m =
3
 e 4n =
3
.
EXEMPLIFICANDO!
146 UNIUBE
Mas, o que significam estes valores m e n ? 
E, quando b = 0, o que acontece neste caso com a equação reduzida 
da reta? 
Estas perguntas poderiam estar passando em sua cabeça neste 
momento, e suas respostas são importantes.
Pensemos juntos:
Se b = 0 , isto é b ax - x = 0 , necessariamente estaremos tratando de que 
tipo de reta? 
Retas verticais!
E, sendo b = 0 , em sua equação geral, não existirá explicitamente y, já 
que 0y = 0 ; assim, não poderíamos isolá-lo, não é mesmo? 
Com certeza!
E, ainda, já que temos am = -
b
 e cn = -
b
, sendo b = 0 , os números m e 
n, não existirão. 
Verdade!
Portanto, podemos concluir que uma reta vertical não possui equação 
reduzida da forma y mx n= + . 
Mas, e o outro questionamento, com relação aos valores m e n, o que 
representam esses coeficientes, com relação à reta? Resolva a próxima 
atividade e descubra!
 UNIUBE 147
Atividade 22
Faça o que se pede em cada etapa a seguir:
Etapa 1 – determine uma equação geral da reta que passa pelos pontos 
A(1,6) e B(0,-1) ;
Etapa 2 – isole y para determinar a equação reduzida desta reta;
Etapa 3 – encontre os valores de m e de n;
Etapa 4 – represente a reta no plano cartesiano. Primeiramente, represente 
os pontos A e B e, em seguida, trace a reta que passa por estes dois pontos;
Etapa 5 – considerando os pontos A e B, mais o ponto C(1,-1) , 
calcule a tangente do ângulo ˆ ˆB (tg B), considerando o ∆ABC , determinado 
por estes três pontos;
Etapa 6 – relacione o resultado obtido, no passo anterior, com o valor de 
m , obtido na Etapa 3. Escreva o que você pôde concluir.
Etapa 7 – fazendo o esboço da reta que passa pelos pontos A e B, o que 
podemos concluir sobre o ângulo que essa reta forma com o eixo das 
abscissas e o ângulo B̂ ?
Etapa 8 – Nesta situação, identifique o que m representa.
Pelo o que ele representa, este coeficiente recebe o nome especial de 
coeficiente angular ou declividade da reta.
Etapa 9 – Agora, considerando ainda a equação reduzida obtida na Etapa 
2, e fazendo x = 0 , teremos o valor de y (da ordenada) do ponto em que a 
reta interceptará o eixo das ordenadas, compare este valor com o valor de 
n. O que você conclui?
AGORA É A SUA VEZ
148 UNIUBE
Pelo o que ele representa, n é chamado de coeficiente linear da reta.
Após ter realizado a atividade anterior, acreditamos que seja possível 
perceber a seguinte propriedade envolvendo a reta e sua representação na 
forma reduzida:
“Dada a equação reduzida da reta y = mx + n , αm = tg , em que α 
é o ângulo formado pela reta e o eixo das abscissas, e n é o coeficiente 
linear, que nos indica o ponto P(0,n) de interseção da reta com eixo das 
ordenadas.” 
Voltando às escolhas feitas envolvendo a equação geral e a equação 
reduzida da reta, temos:
ax + by + c = 0 , em que ( )a ba = y - y , ( )b ab = x - x , a b b ac = x y - x y e 
y = mx + n , em que am = -
b
 e cn = -
b
, assim, encontramos fórmulas para 
determinação, tanto do coeficiente angular como também do coeficiente 
linear. Veja:
( )
( )
a b b a
b a b a
y - y y - yam = - = - =
b x - x x - x
 e ( )
( )
a b b a b a a b
b a b a
x y - x y x y - x ycn = - = - =
b x - x x - x
, 
Em resumo, temos:
 b a
b a
y - ym =
x - x
 
 e 
b a a b
b a
x y - x yn =
x - x .
Vale ressaltar que estas fórmulas são válidas apenas quando temos uma 
reta não vertical.
Bom, agora é momento de praticar um pouco todos estes conhecimentos, 
visto por você até o momento. Portanto, vamos às atividades!
 UNIUBE 149
Atividade 23
Dada a equação geral -x + 3y + 5 = 0 , determine o coefi ciente angular (m) 
e o coefi ciente linear (n) desta reta.
Atividade 24
Determine as equações reduzidas das retas r e s, representadas a seguir:
 
Atividade 25
Seja a reta r determinada pelos pontos A(0,1) e B(k,5) , e que tem 
coefi ciente angular igual a 2. Nestas condições, pede-se: 
• o valor de k; 
• a equação reduzida de r;
• o ponto de interseção de r com o eixo das abscissas; 
• o ponto de interseção de r com o eixo das ordenadas.
Neste capítulo, abordaremos somente estas duas formas de represen-
tação de retas, mas vale ressaltar que existem outras, como é o caso da 
Equação Segmentária e a Equação Paramétrica. 
Dando continuidade ao nosso estudo sobre retas, veremos, agora, as 
posições relativas à reta, a saber, retas paralelas e retas perpendiculares. 
150 UNIUBE
Retas paralelas e retas perpendiculares4.7
Sabemos que, geometricamente, existem dois tipos diferentes de 
paralelismo, que são: retas paralelas distintas e retas paralelas 
coincidentes, e ainda, geometricamente, sabemos que retas 
perpendiculares são retas cujo ângulo entre elas é reto, ou seja, possui 90°. 
Retas paralelas distintas: são retas que não possuem pontos em 
comum.
Retas paralelas coincidentes: são retas nas quais todos os seus pontos 
são comuns.
Estudemos ambos os casos separadamente:
1° caso - 1r e 2r paralelas distintas (Figura 21).
 
 Figura 21: Representação das retas paralelas 
 distintas 1r e 2r .
Considerando as equações reduzidas das retas 1 1 1r : y = m x + n e 
2 2 2r : y = m x + n , e observando as retas anteriores, percebemos 
claramente que os ângulos formados com o eixo das abscissas são congruentes,
 UNIUBE 151
por isso é que são paralelas as retas e, assim, já temos a condição 
de paralelismo, isto é, já que os ângulos são congruentes temos, 
necessariamente, 1 2m = m , e como são distintas, necessariamente, ≠1 2n n .
2° caso - 1r e 2r paralelas coincidentes (Figura 22).
 
 Figura 22: Representação das retas paralelas 
 coincidentes 1r e 2r .
Considerando as equações reduzidas das retas 1 1 1r : y = m x + n e 
2 2 2r : y = m x + n , e observando as retas apresentadas anteriormente, é 
possível perceber que os ângulos formados com o eixo das abscissas também 
são congruentes, e como estas retas são coincidentes, todos os seus pontos 
também serão, portanto 1 2m = m e, assim, temos a condição de paralelismo 
neste caso. Já que os ângulos são congruentes, temos necessariamente 
1 2m = m e como as retas são coincidentes, temos que ter 1 2n = n .
Atividade 26
Determine a equação reduzida da reta r que passa pela origem e que é 
paralela à reta s : 2x - y + 5 = 0 .
AGORA É A SUA VEZ
152 UNIUBE
Atividade 27
Encontre os valores de k, para que as retas r : kx - 2y +7 = 0 e 
s : 8x +12y -15 = 0 sejam paralelas. 
Atividade 28
Determine a posição da reta r : -x - 2y + 6 = 0 em relação à reta s de 
equação 5x + 2y - = 0
2
.
Retas perpendiculares 4.8
Finalizando este breve estudo sobre retas, abordaremos a condição de 
perpendicularismo entre duas retas. 
Sabemos que duas retas são perpendiculares,quando o ângulo formado 
entre elas é de 90º , ou seja, é um ângulo reto. Primeiramente, vejamos 
a representação gráfica, na Figura 23 e, em seguida, as propriedades 
envolvidas nesta condição:
 
 Figura 23: Representação gráfica das retas 
 1r e 2r , perpendiculares.
 UNIUBE 153
Considerando 1 1 1r : y = m x + n e 2 2 2r : y = m x + n , representadas grafica-
mente na Figura 23, temos que α1m = tan( ) e 2 βm = tan( ) . Podemos 
observar, também, que 90ºβ α= + . Assim, temos que:
2
(90º )tan( ) tan(90º )
cos(90º )
senm αβ α
α
+
= = + =
+ 
Lembrando das fórmulas de transformações de arcos-soma, podemos 
deduzir que: α α α αsen(90º+ ) = sen(90º )cos( )+ sen( )cos(90º )= cos( ) , 
já que sen(90º )=1 e cos(90º )= 0 . 
E, α α α αcos(90º+ )= cos(90º )cos( ) - sen(90º )sen( )= -sen( ) , por termos 
aqui também sen(90º )=1 ecos(90º )= 0 .
E, assim, voltando na expressão de 2m , temos:
2
1
(90º ) cos( ) 1 1 1tan( ) tan(90º ) ( )cos(90º ) ( ) tan( )
cos( )
senm sensen m
α αβ α
αα α α
α
+
= = + = = = = − = −
+ −
Isto é, 2
1
1m = -
m
 é a condição para que as retas 1r e 2r , com seus 
respectivos coeficientes angulares 1m e 2m , sejam perpendiculares.
Toda esta construção, embora não tenha sido dito explicitamente, leva em 
consideração que ambas as retas não sejam verticais, já que partimos da 
existência de seus coeficientes angulares. Mas, se caso uma das retas 
fosse vertical, para que a outra fosse perpendicular a esta, a condição seria 
que esta fosse horizontal, ou seja, se tivéssemos uma reta vertical, cuja 
equação geral fosse da forma ax = c , qualquer reta da forma by = d seria 
perpendicular a esta.
PARADA OBRIGATÓRIA
154 UNIUBE
Vejamos um exemplo:
Considere a reta vertical 2x =7 . Essa reta é o conjunto de todos os 
pontos cuja abscissa seja igual a 7
2
. Nesse caso, por exemplo, as retas 
horizontais, y = 0, 2y =7, -3y = 5 seriam retas perpendiculares a esta 
reta vertical.
Bom, agora vamos exercitar estes conceitos, vamos lá!
Atividade 29
Determine uma equação geral da reta que passa pelo ponto P(1,0) e que 
é perpendicular à reta de equação -2x + 3y + 9 = 0 .
Atividade 30
Sabendo que as retas r : -2x + (p -7)y + 3 = 0 e s : px + y -13 = 0 são 
perpendiculares, determine os possíveis valores de p para que esta condição 
ocorra.
Atividade 31
Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-5,4) e que seja 
perpendicular à reta de equação -5x + 4y +7 = 0 .
AGORA É A SUA VEZ
Ângulo entre retas4.9
Como o próprio subtítulo nos indica, estudaremos uma forma de 
determinar o ângulo entre duas retas. Assim, considere retas quaisquer 
r e s , em que queremos determinar o ângulo formado por elas. 
 UNIUBE 155
Comece aqui desenhando no plano cartesiano os quatro possíveis 
casos de posicionamento de r e s , seguindo a orientação dada.
1º caso: r paralela a s ( )/ /r s .
2º caso: r perpendicular a s ( )r s⊥ .
3º caso: r (ou s ) vertical e s (ou r ) oblíqua.
4º caso: r e s oblíquas.
No 1º caso, temos que o ângulo formado entre as retas é de 0º, já 
que elas são paralelas.
No 2º caso, temos que o ângulo formado entre elas é de 90º, pois 
estas são perpendiculares.
Nos 3º e 4º casos, é preciso fazer alguns cálculos matemáticos, 
para encontrar tais ângulos.
As duas fórmulas dadas referem-se à tangente do ângulo agudo ( )1θ 
formado pelas retas. Mas, e como ficaria a questão de determinação 
deste ângulo? Raciocine da seguinte forma: se temos o valor da 
( )1tg θ , e sabemos ainda que 1θ pertence ao primeiro quadrante, 
podemos determiná-lo, assim:
Se este for um ângulo notável, basta recordar das tangentes dos 
ângulos notáveis abordadas nos capítulos de trigonometria; se 1θ 
não for um ângulo notável, podemos utilizar uma tabela de relações 
trigonométricas, ou ainda, utilizar uma calculadora científica, ou 
simplesmente deduzir que 1θ é o arco cuja tangente é ( )1tg θ , isto 
é, ( )1 1arctgθ θ= .
156 UNIUBE
Mas, veja você mesmo, como determinamos tais ângulos, na prática. 
Assim, é preciso fazer alguns exercícios de fixação, portanto faça 
as atividades que se seguem.
Atividade 32
Dadas as duplas de retas r e s a seguir, determine a ( )tg θ , em que 
θ é o ângulo agudo formado por estas. No(s) caso(s) em que θ é um 
ângulo notável, determine-o:
a) : 2 3 : 3 2r y x s y x= − = − + 
b) : 3 4 : 2 7r y x s y x= + = +
c) : 2 3 0 : 5 1r x y s y x+ − = = − +
Atividade 33
Disponha em ordem crescente os ângulos internos do triângulo de 
vértices ( )1,2A , ( )4,5B e ( )3,6C − .
AGORA É A SUA VEZ
Agora, vejamos como podemos determinar a distância de um ponto P
qualquer a uma reta r . 
Distância entre ponto e reta4.10
Neste momento, não vou aprofundar na demonstração da fórmula 
apresentada, pois a intenção aqui é utilizá-la e não deduzi-la. Mas, caso 
se interesse, sugiro que além de apresentar a fórmula, dedique à leitura e 
à compreensão da demonstração da mesma, por livros de ensino médio.
Uma das principais utilidades desta fórmula é que podemos usá-la 
no cálculo da altura de um triângulo em relação a um de seus lados. 
Sabemos que, nem sempre, por meios trigonométricos e/ou geométricos, 
 UNIUBE 157
a determinação da mesma ocorre de forma direta e simples. Façamos, 
agora, um exemplo disto.
Suponhamos que quiséssemos determinar a área de um ABC∆ , em que 
conhecemos os seus vértices, como na próxima atividade.
Atividade 34
Determine a área do ABC∆ em que ( )1,2A , ( )2,0B − e ( )2, 1C −
seguindo os passos dados.
Passo 1: determine a equação da reta que passa pelos pontos B e 
C , isto é, a reta suporte do lado BC do triângulo.
Passo 2: neste passo, procuraremos estabelecer a altura do ABC∆ 
relativo ao seu lado BC , ou seja, a distância do ponto ( )1,2A à reta 
suporte do lado BC . Sendo assim, determine para o caso específico 
os valores de 0x , 0y , a , b e c , que serão utilizados na fórmula da 
distância do ponto à reta.
Passo 3: determine a altura do ABC∆ relativo ao seu lado BC .
Passo 4: calcule a medida da base BC deste triângulo, utilizando a 
fórmula da distância entre dois pontos.
Lembre-se de que ( ) ( )2 2
BC C B C Bd x x y y= − + − .
Passo 5: utilizando a fórmula da área de um triângulo, dada pela 
geometria plana, juntamente com os resultados obtidos nos passos 
anteriores, encontre a área do ABC∆ .
Atividade 35
Sabemos que a área de um objeto geométrico é única, ou seja, 
independente da escolha dos objetos a serem utilizados para deduzi-
la, o resultado final terá que ser o mesmo. Sendo assim, proponho 
que você comprove este fato, utilizando ainda o triângulo anterior, da 
seguinte forma: seguindo os mesmos passos anteriores, encontre a área 
do ABC∆ , utilizando, neste caso, outra altura e, consequentemente, 
outra base, por exemplo, determine sua altura relativa ao lado AB .
AGORA É A SUA VEZ
158 UNIUBE
Como foi dito anteriormente, existem outras aplicações desta fórmula. 
Outra aplicação que também é importante é a do cálculo da distância 
entre retas paralelas, utilizando a seguinte fórmula:
 
, 2 2
'−
=
+
r s
c cd
a b
em que : 0r ax by c+ + = e : ' 0s ax by c+ + = , ou seja, são retas 
paralelas. 
Vale a pena ressaltar que a demonstração desta fórmula utiliza, 
basicamente, o fato de que a distância entre duas retas paralelas, 
será a distância de um ponto qualquer de uma dessas retas à outra 
reta, ou seja, uma aplicação direta da fórmula da distância entre 
ponto a reta. 
Agora, é o momento de executar mais alguns exercícios; portanto, 
faça as atividades.
AGORA É A SUA VEZ
Atividade 36
Determine a distância do ponto dado à reta r nas seguintes situações:
a) ( )2,0P e : 2 3 5 0r x y+ − = ;
b) ( )1,0P − e : 1
3 4
x yr + = ;
c) 
52,
2
P  − 
 
 e : 2 2 1 0r x y+ − = .
Atividade 37
Determine o comprimento da altura do triângulo ABC relativa à base BCem que ( )3,0A − , ( )0,0B e ( )6,8C .
P
 UNIUBE 159
Atividade 38
Utilizando a altura determinada na atividade 37, determine a área do ABC∆ , 
dado também na atividade 37.
Na sequência, veremos mais uma utilização da fórmula da distância de 
um ponto à reta, a saber, o cálculo da área de um triângulo, utilizando 
seus vértices.
Área de um triângulo 4.11
Sabemos que, na geometria, o cálculo de áreas, é algo predominante. 
Vou focalizar aqui, como podemos usar de forma direta a geometria 
analítica no cálculo da área de um triângulo. 
Vimos, nas passagens anteriores deste capítulo, que isto é possível, mas 
foi preciso também, utilizar a fórmula geométrica da área de um triângulo, 
está lembrado (a)? 
Você pode estar se perguntando se é necessário passar por todo este 
processo. 
A resposta é não. 
No caso da geometria analítica, existe uma forma, mais simples e direta, 
para obter tais resultados. Esse é o nosso objetivo agora: utilizar os 
vértices do ABC∆ para determinar sua área sem passar pelo cálculo de 
uma de suas alturas e muito menos pelo cálculo de alguma medida de 
suas bases.
Vamos começar, num caso particular, em que o ABC∆ é um triângulo 
retângulo. Veja o caso, aqui proposto, graficamente, na Figura 24:
160 UNIUBE
 
 Figura 24: Representação gráfica de um triângulo retângulo.
Neste caso particular, temos ( ),A AA x y , ( ),A BB x y e ( ),C AC x y . Utilizando 
a distância entre os pontos A e B ( )ABd e A e C ( )ACd , juntamente 
com a fórmula da área de um triângulo, temos que a área do ABC∆ será:
( ) ( )
2 2 2 2
C A B AC A B A C B C A A B A A
ABC
x x y yx x y y x y x y x y x yAC ABA∆
− ⋅ −− ⋅ − − − +⋅
= = = =
Mas, será que este resultado obtido está relacionado com aquele 
determinante que aparece na condição de alinhamento? 
A resposta é sim. Vamos comprovar isto na linha a seguir:
1
det 1
1
A A
B B A B C A A A C B A A A A A B C A C B A A
C C
x y
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
x y
 
  = + + − − − = + − − 
  
Chamando de D o valor obtido no determinante anterior, temos que 
o valor absoluto de D , isto é, o valor A B C A C B A AD x y x y x y x y= + − − 
dividido por 2 , será exatamente o valor da área do ABC∆ , obtido 
anteriormente. De fato, veja:
( )
( )
2 2 2
2 2
C B A A A B C AA B C A C B A A
C B A A A B C A C B C A A B A A
x y x y x y x yD x y x y x y x y
x y x y x y x y x y x y x y x y
− + − −+ − −
= = =
+ − − − − +
= =
Comparando as duas conclusões, vemos claramente que são iguais. 
Portanto, para esta classe particular de triângulos, temos que:
 UNIUBE 161
 
Área de ∆ABC =
1
2
D
Em que D é o determinante obtido pelas coordenadas dos vértices do 
ABC∆ .
Esta fórmula é válida para quaisquer triângulos representados 
no plano cartesiano.
Ao analisar a demonstração mostrada pelo autor, você pôde perceber que 
esta fórmula também é obtida como aplicação da fórmula da distância 
entre um ponto e uma reta, juntamente com a fórmula da distância entre 
dois pontos, estratégia que utilizamos, inclusive, neste capítulo, na 
Atividade 34. 
Agora, vejamos um exemplo de como aplicamos essa fórmula da área:
Mostre que a área do ∆ABC , cujos vértices são os pontos ( )3, 1− −A
( )0,5B e ( )4,2C é igual a 
33
2
u.a.
Para este exercício, basta mostrar que 
3 1 1
1 33det 0 5 1
2 2
4 2 1
− − 
  = 
  
,
já que área de ∆ABC =
3 1 1
1 det 0 5 1
2
4 2 1
− − 
 
 
  
. 
EXEMPLIFICANDO!
162 UNIUBE
Calculando o determinante, temos que:
3 1 1
0 5 1 15 4 20 6 33
4 2 1
− −
= − − − + = −
E assim, 
Área de ∆ABC =
1 3333
2 2
− = .
Vamos exercitar um pouco?
Atividade 39
Determine a área do ABC∆ , cujos vértices são os pontos ( )1,1A , ( )4,1B 
e ( )2, 2C .
Atividade 40
Considere o ABC∆ , em que ( ),A a a , ( )3,0B e ( )0, 5C − . Sabendo que 
sua área é de 
15 . .
2
u a , determine o(s) valor(es) de a .
Atividade 41
Dois vértices de um triângulo, cuja área é igual a 38 , são ( )7,5 e ( )3, 4− . 
Qual será a abscissa do outro vértice, se sua ordenada for 6?
AGORA É A SUA VEZ
Vejamos, agora, outra aplicação da Teoria das Retas. Essa aplicação 
é denominada de Inequações do Primeiro Grau a Duas Incógnitas. 
Situações como essas, aparecem muito numa área da Matemática 
aplicada denominada Programação linear, área essa de grandes 
aplicações nas ciências econômicas, visando melhores decisões 
administrativas.
 UNIUBE 163
Inequações do 1º grau a duas incógnitas4.12
Sabemos que, na Matemática, inequações representam expressões 
numéricas e/ou algébricas nas quais são envolvidos sinais, tais 
como (maior), sendo que estes podem ou não virem 
acompanhados do sinal igual ( )= . No caso de ser do 1º grau, significa 
que as duas variáveis envolvidas possuem potências não negativas e 
menores ou iguais a 1 e estas incógnitas não aparecem multiplicadas 
entre si. Por exemplo:
2 7 25x y− ≤
Esta expressão algébrica seria uma inequação do 1º grau a duas 
incógnitas.
Ao procurarmos o conjunto solução de uma inequação, procuramos, na 
realidade, o conjunto de pontos ( ),x y do plano cartesiano que satisfaçam 
à mesma. Vejamos um exemplo:
Determinar as soluções da inequação 2 4 0+ − ≤x y . Observe que trata-se 
de uma inequação do 1º grau a duas incógnitas. Veja como podemos 
determinar o seu conjunto solução por meio de algumas análises.
Análise 1 – Dada a reta 2 4 0+ − =x y , ao representá-la no plano cartesia-
no, este se divide em dois semiplanos. Observe a Figura 25 a seguir:
 
 
 Figura 25: Divisão em semiplanos.
EXEMPLIFICANDO!
164 UNIUBE
Análise 2 – Como os pontos que satisfazem à equação 2 4 0+ − =x y
, satisfazem também à inequação 2 4 0+ − ≤x y , os pontos sobre a reta 
fazem parte de nosso conjunto solução; portanto, representamos a reta de 
forma contínua, caso contrário, representaríamos a reta de forma pontilhada 
(por exemplo, se tivéssemos a inequação 2 4 0+ −utilize lápis 
ou canetas de cores diferentes, para se ter uma boa visualização 
e, portanto, conclusão da atividade de forma mais clara. Vamos lá!
Passo 1: represente, no plano cartesiano, a região formada por todos os 
pontos que satisfazem a inequação 0 1x≤ ≤ ;
Passo 2: represente, no mesmo plano, a região formada por todos os pontos 
que satisfazem a inequação 0y ≥ ;
Passo 3: represente, no mesmo plano, utilizando a técnica mostrada no 
exemplo anterior, a região formada por todos os pontos que satisfazem a 
inequação 2+ ≤x y ;
AGORA É A SUA VEZ
166 UNIUBE
Passo 4: ao terminar os três passos anteriores, provavelmente, você 
encontrará no plano, uma região formada por pontos que pertencem ao 
mesmo tempo, às regiões determinadas no Passo 1, no Passo 2 e no Passo 
3. Se você tiver usado cores diferentes, esta região será aquela que está 
colorida com as três cores utilizadas por você. Neste caso, a região que você 
deverá ter encontrado deve ser parecida com a seguinte região.
 
Vale a pena ressaltar aqui, também, que os segmentos que formam os 
lados do trapézio anterior, conjunto solução do sistema de inequações dado, 
também pertence ao conjunto solução do mesmo.
Agora, novamente, procure praticar um pouco os conceitos abordados 
executando algumas atividades.
Atividade 43
Resolva, grafi camente, as inequações e o sistema de inequações dados a 
seguir:
a) 1 0x y− + ≤
b) 2 2 0x y− + >
c) 
 
0 1
0
4 0
x
y
x y
≤ ≤
 ≥
 + − ≤
 UNIUBE 167
Resumo
Espero que você tenha gostado desta abordagem sobre retas. Basica-
mente, pudemos visualizar e estudar tópicos muito interessantes e que 
serão de extrema utilidade em disciplinas atuais e futuras, que porventura 
você esteja encontrando ou encontrará durante o seu curso. Busque 
compartilhar com seus colegas suas dúvidas, releia o texto e refaça as 
atividades. No próximo capítulo, daremos continuidade ao estudo de 
Geometria Analítica!!
Referências
IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática elementar: geometria 
 analítica. 4. ed. São Paulo: Atual, 1997, v. 7.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; DEGENSZAJN, David; PÉRIGO, Roberto. 
 Matemática: volume único. São Paulo: Atual, 2002. 
 
PASTORE, José L; BARROSO, Juliane M. Matemática: volume único: 
construção e significados. São Paulo: Moderna, 2005.