Técnicas de Integração

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TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Aula 1
A INTEGRAL DEFINIDA
A Integral definida
Olá, estudante! Nessa aula iniciaremos nossos estudos sobre o cálculo de integrais. Em
um primeiro momento, vamos discutir sobre as motivações por trás do desenvolvimento
do conceito de integral. Posteriormente, vamos discutir sobre o Método de Riemann e o
teorema fundamental do cálculo. Além disso, discutiremos sobre o processo de
encontrar primitivas. Fique atento a esse processo, pois ele será fundamental em nossas
próximas aulas.
Ponto de Partida
As integrais definidas desempenham um papel fundamental no campo da análise
matemática, representando uma ferramenta poderosa para calcular área de regiões ou
volume de determinados sólidos. Este ramo da Matemática, desenvolvido principalmente
por Isaac Newton e Gottfried Leibniz no século XVII, revolucionou a maneira como
compreendemos e modelamos fenômenos que variam de forma contínua.
Vamos começar nossa exploração sobre integrais ao compreender a interpretação
geométrica na aplicação da integral de Riemann. Além disso, exploraremos as integrais
definidas, o teorema fundamental do cálculo e as antiderivadas, também conhecidas
como integrais primitivas. O entendimento desses conceitos fundamentais nas integrais
é crucial para resolver problemas em diversas áreas do nosso dia a dia.
Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos, suponha que você
esteja estudando sobre o cálculo de integrais e resolveu fazer um comparativo dos
resultados encontrados ao calcular uma integral por meio do método de Riemann e
utilizando o teorema fundamental do cálculo. A função a ser estudada é    no
intervalo   e, para utilizar o método de Riemann, você decidiu dividir a região abaixo
da curva de   em 4 retângulos. Qual é o resultado utilizando o método de Riemann e
utilizando o Teorema de Cálculo? Como você poderá resolver esse problema? Vamos
iniciar nossos estudos?
Vamos Começar!
Primeiramente, já pensou em como calcular a área abaixo de uma curva? Se essa curva
for reta, é fácil, pois basta relacionar com triângulos ou retângulos e fazer as relações
adequadas, conforme exemplificado na Figura 1.
Figura 1 | Exemplos de figuras com lados que são curvas retas. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
Entretanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com lados curvos (como na
Figura 2). As tradicionais fórmulas de áreas não são úteis para determinar áreas em
casos de figuras curvilíneas, sendo assim, são necessárias ferramentas mais elaboradas
para chegar ao resultado pretendido.
f(x) = x2
[0, 2]
f(x)
Figura 2 | Região delimitada pela função contínua f(x), pelas retas verticais x
= a e x = b e pelo eixo x. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 342).
O matemático Riemann formulou um método para estimar áreas sob curvas, utilizando
retângulos para preencher os espaços. Nessa abordagem, a altura de cada retângulo
corresponde ao valor da função em um ponto específico e o comprimento da base pode
variar. A soma de Riemann é uma aproximação da área abaixo de uma curva, alcançada
ao dividir a região em múltiplos retângulos. Riemann concebeu a ideia de obter a área 
 dividindo-a em    retângulos, em que cada retângulo terá comprimento com tamanho 
 , sendo que cada um teria uma altura   , cada área seria a multiplicação
entre o comprimento e a altura, isto é,   . Assim, a área   seria,
aproximadamente, a soma das áreas desses retângulos, ou seja, 
, conforme, ilustra a figura 3.
Figura 3 | Representação do método de Riemann dividindo a área em retângulos. Fonte: Stewart,
Clegg e Watson (2021, p. 345).
Pode surgir a dúvida sobre a quantidade de retângulos necessários para subdividir a área
abaixo da curva. Para responder a essa indagação, é preciso analisar a Figura 4.
Figura 4 | Aproximação da área pelo Método de Riemann com retângulos. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 346).
S
n
Δx = b−a
n f(xi)
Si = Δx ⋅ f(xi) S
S = S1 + S2 + ⋯ + Sn
Observe que a precisão da estimativa da área aumenta à medida que reduzimos o
tamanho da base e, consequentemente, aumentamos o número de retângulos utilizados.
Nesse sentido, quanto maior o número de retângulos, mais próxima será a estimativa da
área total. Logo, “a área   da região   que está sob o gráfico de uma função contínua é
o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes (STEWART; CLEGG; WATSON,
2021, p. 346), isto, 
Um ponto importante a ser destacado é que a fim de estimar a área sob o gráfico de   , é
possível criar somas inferiores ou superiores, conforme ilustra a Figura 5, selecionando
pontos amostrais   , de modo que   represente o valor mínimo (ou máximo) de 
 no i-ésimo subintervalo. Diante disso, podemos dizer que a área   é o único número que
é menor que todas as somas superiores e maior que todas as somas inferiores.
Figura 5 | Somas inferiores e superiores. Fonte: Stewart, Clegg e Watson (2021, p. 347).
Até este ponto, exploramos um método para calcular a área sob uma curva e você pode
estar se questionando sobre a conexão desse tipo de problema com o estudo das
integrais. Eles estão relacionados uma vez que, se temos uma função   contínua
definida em um intervalo   , a integral definida de   a   é dada por:
Se esse limite existir, dizemos que   é integrável em   (STEWART; CLEGG; WATSON,
2021).
Segundo Stewart (2021), o símbolo    foi introduzido pelo matemático Leibniz e
representa um S alongado uma vez uma integral é um limite de somas. Na notação
 é denominado de integrando,   e   são os limites de integração, sendo   o limite
inferior e   o limite superior e por enquanto o símbolo    não possui um significado
sozinho, ele apenas indica em relação a qual variável estamos realizando o processo de
integração, que nesse caso é    Por fim, denominamos de integração o processo de
determinar integrais.
Mas como podemos calcular uma integral? Será necessário resolver o limite da soma de
Riemann? Fique tranquilo, não abordaremos diretamente esse limite, pois calcular tal
limite frequentemente envolve complexidades. Felizmente, há um teorema que facilita o
A S
A = lim
n→∞
∑n
i=1 f(xi) ⋅ Δx
f
x
*
i f(x
*
i ) f
A
f
[a, b] a b
∫
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
∑n
i=1 f(xi) ⋅ Δx
f [a, b]
∫
∫
b
a f(x)dx
f(x) a b a
b dx
x.
processo, o qual é tão importante que é conhecido como teorema fundamental do
cálculo. O teorema fundamental do cálculo estabelece uma relação precisa entre a
derivada e a integral. Newton e Leibniz foram os pioneiros na exploração dessa relação,
utilizando-a para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Em
particular, perceberam que o teorema fundamental os habilitava a calcular áreas e
integrais com maior facilidade, evitando a necessidade de abordar diretamente o cálculo
como limites de somas (STEWART; CLEGG; WATSON, 2021). De acordo com esse
teorema; se uma função   é contínua no intervalo   então:
onde   é qualquer primitiva de  , isto é, uma função tal que  . Podemos dizer,
então, que uma integral definida pode ser calculada encontrando-se uma primitiva do
integrando e, então, subtraindo-se o valor dessa primitiva no limite inferior de integração
de seu valor no limite superior de integração. Não se esqueça que uma função  só será
uma primitiva de   se ao derivarmos a função   encontramos    . Por exemplo,
vamos considerar a função    sua derivada é  . Assim
podemos dizer que uma primitiva de    é  , uma vez que 
. Vamos agora calcular a integral que segue:
Sabemos que a primitiva de    é  , assim aplicando o teorema
fundamental do cálculo, temos que determinar a primitiva calculada em cada um dos
limites de integração, isto é,   e  . Após esse
cálculo fazemos a subtração  , ou seja,
Vamos agora considerar a função  . A derivada dessa função é  ,
logo podemos dizer que    é uma primitiva da função constante  , pois 
.  Diante disso, temos que
Siga em Frente...
f [a, b]
  ∫
b
a
f(x)dx = F(b) − F(a)  em   que  F ' = f.  
F f(x) F ′ = f
F  
f(x)F f(x)
F(x) = 2x3 F ′(x) = 6x2
f(x) = 6x2 F(x) = 2x3
F ′(x) = f(x)
∫
2
1 6x2 dx
6x2 F(x) = 2x3
F(2) = 2 ⋅ (2)3 = 16 F(1) = 2 ⋅ (1)3 = 2
F(2) − F(1) = 16 − 2 = 14
∫
2
1 6x2dx = [2x3]
2
1
= 2 ⋅ (2)3 − 2 ⋅ (1)3 = 16 − 2 = 14
G(x) = 2x G′(x) = 2
2x g(x) = 2
G′(x) = g(x)
∫
1
0 2dx = [2x]10 = 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 0 = 2 − 0 = 2
Agora que você já viu como funciona o processo de determinar uma integral definida,
vamos conhecer algumas de suas propriedades.
Tabela 1 | Propriedades de integrais definidas
Esteja atento a essas propriedades, pois serão extensivamente empregadas durante
nossos estudos sobre integrais. É crucial ressaltar que nem toda integral definida pode
ser interpretada como uma área. Na verdade, o problema da área e o método de Riemann
desempenharam um papel fundamental na concepção da integral definida, possibilitando
sua aplicação na resolução de problemas que envolvem áreas. Nas próximas aulas
aprofundaremos ainda mais essa aplicação das integrais definidas.
Vamos Exercitar?
Agora que você já conhece o método de Riemann e o teorema fundamental do cálculo,
vamos retornar a nossa situação inicial. Nessa situação, você deve determinar o
resultado da integral da função   no intervalo  . Primeiro, você deve
estimar o resultado utilizando o método de Riemann e, para isso, a área abaixo da curva 
 deverá ser dividida em 4 retângulos.
Estudamos que o método de Riemann foi utilizado para estimar área abaixo de uma
curva e consiste em dividir a região em retângulos e calcular suas respectivas áreas.
Basicamente, os retângulos podem ficar acima da curva, fornecendo uma estimativa
superior da área (pois o resultado será maior do que o valor real) ou podem estar abaixo
da curva, fornecendo uma estimativa inferior, conforme ilustra a Figura 6.
Propriedade Exemplo
∫
a
a f(x)dx = 0 ∫
1
1 2dx = [2x]1
1 = 2 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = 0
∫
b
a f(x)dx = − ∫
a
b f(x) dx
∫
1
0 3dx = [3x]1
0 = 3 ⋅ 1 − 3 ⋅ 0 = 3 − 0
∫
0
1
3dx = [3x]0
1 = 3 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 = 0 − 3
∫
b
a
cf(x) dx = c ∫
b
a
f(x) dx ∫
2
1 6x2dx = 6 ∫
2
1 x2dx
∫
b
a [f(x) ± g(x) ]dx = ∫
b
a f(x) dx ± ∫
1
0 [x
3 − 4]dx = ∫
1
0 x3dx − ∫
1
0 4dx
f(x) = x2 [0, 2]
f(x)
Figura 6 | Soma de Riemann
O primeiro passo é determinarmos o tamanho da base de cada retângulo, que será dado
por:
Agora, precisamos das alturas de cada retângulo. Primeiro vamos considerar os valores
de   de tal forma que   apresente o valor mínimo, conforme ilustra a Figura 7.
Figura 7 | Soma inferior
Agora, calculamos a área de cada um dos retângulos:
Somando as áreas temos que a soma de Riemann inferior é  . Para
calcularmos a soma superior, vamos considerar os valores de   em que a função
Δx = b−a
n
Δx = 2−0
4 = 2
4 = 1
2
x f(x)
A1 = 1
2
⋅ f(0) = 1
2
⋅ [(0)2] = 1
2
⋅ 0 = 0
A2 = 1
2 ⋅ f( 1
2 ) = 1
2 ⋅ [( 1
2 )
2
] = 1
2 ⋅ [ 1
4 ] = 1
2 ⋅ 1
4 = 1
8
A3 = 1
2 ⋅ f(1) = 1
2 ⋅ [(1)2] = 1
2 ⋅ [1] = 1
2 ⋅ 1 = 1
2
A4 = 1
2 ⋅ f( 3
2 ) = 1
2 ⋅ [( 3
2 )
2
] = 1
2 ⋅ [ 9
4 ] = 1
2 ⋅ 9
4 = 9
8
7
4
= 1,75
x
assume valor máximo, conforme ilustrado na Figura 8.
Figura 8 | Soma superior
A área de cada um dos retângulos será dada por:
Somando as áreas, temos que a soma de Riemann superior é  . Assim,
podemos dizer que a integral definida no intervalo   está no intervalo  .
Perceba que a soma de Riemann proporciona uma estimativa do valor da integral. Para
obtermos uma estimativa mais precisa, seria necessário subdividir a região abaixo da
curva  em um número maior de retângulos.
Agora vamos determinar o resultado da integral utilizando o teorema fundamental do
cálculo. O primeiro passo é determinarmos uma primitiva para a função   e
para isso temos que encontrar uma função que quando derivarmos teremos como
resultado   Uma possibilidade seria a função  , porém a derivarmos essa função
encontramos   que difere de  . Agora se derivarmos a função   obtemos 
 que é exatamente a função  , logo uma primitiva da função   é 
. A integral definida será dada por:
Observe que o valor que encontramos pertence ao intervalo encontrado utilizando o
método de Riemann. À medida que aumentamos a quantidade de retângulos, nos
aproximamos ainda mais do resultado de  . A Figura 9 mostra a soma de Riemann
inferior e superior para 80 retângulos e posteriormente 200 retângulos.
A1 = 1
2 ⋅ f( 1
2 ) = 1
2 ⋅ [( 1
2 )
2
] = 1
2 ⋅ [ 1
4 ] = 1
2 ⋅ 1
4 = 1
8
A2 = 1
2 ⋅ f(1) = 1
2 ⋅ [(1)2] = 1
2 ⋅ [1] = 1
2 ⋅ 1 = 1
2
A3 = 1
2 ⋅ f( 3
2 ) = 1
2 ⋅ [( 3
2 )
2
] = 1
2 ⋅ [ 9
4 ] = 1
2 ⋅ 9
4 = 9
8
A4 = 1
2
⋅ f(2) = 1
2
⋅ [(2)2] = 1
2
⋅ [4] = 1
2
⋅ 4 = 2
15
4
= 3,75
[0, 2] [1, 75; 3, 75]
f(x) = x2
x2. x3
3x2 f(x) x3
3
3x2
3 = x2 f(x) f(x) = x2
F(x) = x3
3
∫
2
0
x2dx = [ x3
3 ]
2
0
= (2)3
3 − (0)3
3 = 8
3 ≈ 2,67
2, 67
Figura 9 | Soma de Riemann
Saiba Mais
Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a
resolução de exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades
relacionadas aos conceitos discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a
leitura e a realização de alguns exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados
durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre as integrais definidas leia a
seção 5.1 – Os problemas de áreas e distâncias, a seção 5.2 – A integral definida e a
seção 5.3 – O teorema fundamental do cálculo do livro Cálculo v.1, de James Stewart,
Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao final de cada
seção, há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica, resolva
os exercícios ímpares, pois ao final do livro existem as respostas, assim você pode
conferir se acertou nos cálculos!
O conceito de integrais definidas será importante para você no estudo de outras
disciplinas do seu curso, assim, é fundamental que você entenda o seu significado e
saiba calculá-las, por isso não deixe de fazer exercícios dessas seções. Bons estudos!
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/.
Acesso em: 21 jan. 2024.
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São
Paulo: Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan.
2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias
variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan.
2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan.
2024.
Aula 2
AS INTEGRAIS IMEDIATAS
As Integrais Imediatas
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Anteriormente, começamos os nossos
estudos sobre as integrais. Agora, vamos discutir sobre a diferença entre as integrais
definidas e as integrais indefinidas, além de discutir sobre como realizar o cálculo dessas
integrais. Além disso, aprenderemos algumas técnicas para calcular integrais de funções
polinomiais, trigonométricas, exponenciais. Fique atento a essas técnicas, pois elas
serão fundamentais na resolução de diferentes problemas!
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
Ponto de Partida
Anteriormente, proporcionamos uma introdução às integrais, abordando o conceito de
integral como a área de uma região plana sob uma curva, o método de Riemann e o
teoremafundamental do cálculo. Agora, apresentaremos algumas integrais imediatas, ou
seja, compreenderemos algumas regras que facilitarão o processo de integração e a
aplicação do teorema fundamental do cálculo. Além disso, vamos discutir a diferença
entre integrais definidas e indefinidas.
Essas regras se revelarão úteis na solução de problemas futuros, simplificando a
obtenção de resultados de integrais. Daqui em diante, essas serão as diretrizes que
utilizaremos para resolver uma ampla variedade de integrais e enfrentar problemas
relacionados a elas.
Para que você compreenda como podemos utilizar esses conceitos, suponha que você
deseja praticar o cálculo de integrais e selecionou algumas para resolver.
Quais técnicas você deve utilizar para resolver essas integrais? Vamos iniciar nossos
estudos sobre as integrais imediatas?
Vamos Começar!
a) ∫( 1
x3 + 1
x + ex + √x3)dx
b)  ∫
π
0 (sen(x) + cos(x)) dx
c) ∫ (u + 4)(2u + 1)du
d)  ∫
2
1 (
1+√x+x
x )dx 
Para iniciarmos nossos estudos, vamos considerar a função   que tem
como derivada  . Assim, podemos dizer que a função   é uma primitiva
da função  , pois   Agora, vamos considerar a função 
 cuja derivada é  . Observe que a função 
 também é uma primitiva da função  . Como isso é
possível? Quando queremos determinar uma primitiva de uma função, estamos
resolvendo uma integral indefinida, sendo que de maneira geral essa integral será dada
por:
lido como a integral de   em relação a   é igual a   mais uma constante. Sendo
que K é uma constante real qualquer e, ao derivar a primitiva  , obtemos   .
A constante é adicionada ao resultado, pois qualquer constante na função primitiva, ao
derivar, será 0. Fique atento, pois a constante   só irá aparecer quando estivermos
calculando uma integral indefinida, no caso da integral definida, não adicionamos essas
constantes, visto que, após determinar a primitiva, temos que aplicar o teorema
fundamental do cálculo.
Nesse sentido, temos que a primitiva da função   é: 
Para determinar a constante  , precisamos de informações adicionais sobre a função
primitiva, pois esse   pode ser qualquer constante real. Lembrando que a constante 
 só aparece na integral indefinida (aquela que não tem os limites de integração),
enquanto na integral definida podemos omitir a constante  .
É importante fazer uma distinção cuidadosa entre integral definida e indefinida. Uma
integral definida   é um número, uma vez que calculamos essa integral em um
dado intervalo  , enquanto uma integral indefinida   é uma família de
funções, por causa da constante  , uma vez que não é calculada em um determinado
intervalo.
Agora que você já sabe a distinção entre uma integral definida e indefinida, vamos
aprender algumas regras para determinar as primitivas de alguns tipos de funções.
Sabemos que uma função polinomial é do tipo 
 em que   são número reais.
Para integrarmos esse tipo de função, temos que aplicar a regra de que a integral de uma
constante vezes uma função é a constante vezes a integral da função, isto é,
Além dessa regra, devemos utilizar a regra para integrar uma função potência, em que 
. Segundo essa regra, para integrarmos funções do tipo    somamos um ao
expoente e dividimos a função pelo novo expoente, ou seja,
F(x) = 3x2
F '(x) = 6x 3x2
f(x) = 6x F '(x) = f(x).
G(x) = 3x2 + 10 G'(x) = 6x
G(x) = 3x2 + 10 f(x) = 6x
∫ f(x)dx = F(x) + K
f(x)  x F(x)
F(x) + K f(x)
K
f(x) = 6x
∫ 6xdx = 3x2 + K
K
K K
K
∫
b
a f(x)dx
[a, b] ∫ f(x)dx
K
f(x) = a0 + a1x + a2x
2 + … + anx
n, a0,  a1,   … ,  an
∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx
n ≠ −1 xn
Você deve estar se perguntando e no caso de que   Nesse caso, teremos uma
função do tipo    e para esse tipo de função a primitiva é a função 
 , ou seja,
Um outro caso é quando temos uma função constante do tipo  . A integral
desse tipo de função é a constante multiplicada pela variável que está sendo integrada,
ou seja,
No caso de termos funções exponencias do tipo   a integral será:
Dentre as funções exponenciais, temos    , cuja integral é a função 
, conforme segue:
No caso das funções trigonométricas, temos as seguintes integrais:
Além dessas regras, lembre-se que a integral de uma soma ou subtração de funções, e a
soma ou subtração das integrais dessas funções, isto é,
Cuidado com o caso em que há multiplicação ou divisão de funções no integrando, pois
não há uma regra que diz que a integral desse tipo de função é a multiplicação ou divisão
da integral de cada uma das funções. Para esses tipos de funções ou temos que realizar
manipulações matemáticas de tal forma que tenhamos uma soma ou subtração de
funções ou aplicar regras mais complexas de integração, mas não se preocupe pois
iremos explorar essas técnicas nas nossas próximas aulas.
Siga em Frente...
Agora que você conhece as regras para calcular integrais de alguns tipos de funções,
vamos aplicá-las para resolver algumas integrais indefinidas e definidas. Lembre-se que
para calcular uma integral definida, após determinar a primitiva, devemos aplicar o
teorema fundamental do cálculo.
∫ xndx = xn+1
n+1
+K
n = −1?
f(x) = 1
x
= x−1
ln (x)
∫ 1
x dx = ln|x| +K
f(x) = c
∫ cdx = cx+K
f(x) = ax
∫ axdx = ax
ln(a)
+K
f(x) = ex
F(x) = e
x +K
∫ exdx = ex
ln(e)
+K = ex
1 +K = ex +K
∫ cos(x)dx = sen(x) +K
∫ sen(x)dx = −cos(x) +K
∫ tg(x)dx = sec2(x) +K
∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx± ∫ g(x)dx
Exemplo 1: Resolva a integral indefinida
Para resolvermos essa integral, temos que aplicar as seguintes regras:
Logo,
Exemplo 2: Resolva a integral definida
Nesse caso temos que aplicar o teorema fundamental do cálculo e as regras de
integração.
Exemplo 3: Resolva a integral indefinida
Note que as funções a serem integradas não apresentam semelhança com as funções
que examinamos até o momento. Nestes casos, é necessário realizar manipulações
matemáticas a fim de obtermos funções semelhantes àquelas cujas integrais já
conhecemos. Nesse caso duas propriedades matemáticas podem ser utilizadas, são
elas:
Utilizaremos essas propriedades para reescrever as funções do integrando e com isso
chegaremos a uma função do tipo potência.
∫(3x3 − 4)dx
∫ [f(x) − g(x)]dx = ∫ f(x)dx− ∫ g(x)dx
∫ cdx = cx+K
∫ xndx = xn+1
n+1 +K
∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx
∫(3x3 − 4)dx = 3 ∫ x3dx− ∫ 4dx
= 3 ⋅ x3+1
3+1
− 4x+K = 3x4
4
− 4x+K
∫
2
1
(ex + 1
x )dx
∫
2
1 (ex + 1
x )dx = ∫
2
1 exdx+ ∫
2
1
1
x dx
= [ex]21 + [ln|x|]21 = (e2 − e1) + (ln 2 − ln 1)
= e2 − e1 + ln 2 ≈ 5,36
∫( 1
x2 +√x)dx
n√xm = x
m
n
1
xn = x−n
Exemplo 4: Resolva a integral definida.
Nesse caso temos que aplicar o teorema fundamental do cálculo e as regras de
integração. Observe que estamos integrando as funções em relação a variável  , assim a
integral da constante será a constante vezes a variável  .
É fundamental que você esteja atento às regras de integração, pois elas desempenharão
um papel crucial na resolução de diversos tipos de problemas matemáticos.
Compreender e aplicar essas regras não apenas simplificará o processo de integração,
mas também será essencial para enfrentar uma ampla variedade de desafios na análise
de funções e na resolução de problemas práticos. Portanto, familiarizar-se e dominar as
regras de integração é um passo essencial para o sucesso em estudos mais avançados
em cálculo.
Vamos Exercitar?
Agora que você já conhece as técnicas de integração, vamos retomar nossa situação
inicial e resolver as integrais propostas.
Antes de aplicarmos as regras de integração, temos que reescrever essas funções de tal
forma que elas sejam semelhantes às integrais imediatas. Para isso utilizaremos as
propriedades  e  .
∫( 1
x2 +√x)dx = ∫(1 ⋅ x−2 + x
1
2 )dx
= ∫ x−2dx+ ∫ x
1
2 dx
= x−2+1
−2+1 + x
1
2 +1
1
2 +1
+K
= x−1
−1
+ x
3
2
3
2
+K = −x−1 + 2
3
x
3
2 +K
= − 1
x + 2
3
√x3 +K
∫
π
2
0 [cos(t) + 2]dt
t
t
∫
π
2
0 [cos(t) + 2]dt = ∫
π
2
0 cos(t)dt + ∫
π
2
0 2dt
= [sen (t)]
π
2
0 + [2t]
π
2
0 = [sen( π
2 ) − sen(0)] + [2 ⋅ π
2 − 2 ⋅ 0]
= 1 − 0 + π − 0= 1 + π ≈ 4,14
a) ∫( 1
x3 + 1
x + ex +√x3)dx
n√xm = x
m
n
1
xn = x−n
∫( 1
x3 + 1
x + ex +√x3)dx = ∫(1 ⋅ x−3 + 1
x + ex + x
3
2 )dx
Nesse caso temos que encontrar a primitiva para as funções e posteriormente aplicar o
teorema fundamental do cálculo.
Antes de integrarmos, temos que realizar a multiplicação das duas funções, uma vez que
Logo,
Antes de integrarmos essa função, temos que reescrevê-la, uma vez que temos uma
divisão de funções. Para reescrever a função, podemos utilizar a propriedade de divisão
de potências de mesma base, ou seja,  .
= ∫ x−3dx+ ∫ 1
x dx+ ∫ exdx+ ∫ x
3
2 dx
= x−3+1
−3+1 + ln|x| + ex + x
3
2 +1
3
2 +1
+K
= x−2
−2
+ ln|x| + ex + x
5
2
5
2
+K
= − 1
2x2 + ln|x| + ex + 2
5
√x5 +K
b)  ∫
π
0 (sen(x) + cos(x)) dx
∫
π
0
(sen(x) + cos(x)) dx = ∫
π
0
sen(x)dx+ ∫
π
0
cos(x)dx
= [− cos (x)]π0 + [sen (x)]π0
= [− cos(π) − (− cos(0))]  + [sen(π) − sen(0)]
= −(−1) + 1 + 0 + 0 = 2
c) ∫(u+ 4)(2u+ 1)  du
∫ [f(x) ⋅ g(x)]dx ≠ ∫ f(x) dx ⋅ ∫ g(x) dx
∫(u+ 4)(2u+ 1)du = ∫(2u2 + u+ 8u+ 4)du
= ∫(2u2 + 9u+ 4)du = 2 ∫ u2du+ 9 ∫ udu+ ∫ 4du
= 2 ⋅ u2+1
2+1
+ 9 ⋅ u1+1
1+1
+ 4u+K
= 2u3
3 + 9u2
2 + 4u+K
d)  ∫
2
1 (
1+√x+x
x )dx 
xn
xm = xn−m
∫
2
1 (
1+√x+x
x )dx = ∫
2
1 (
1
x + x
1
2
x + x
x)dx = ∫
2
1 (
1
x + x
1
2 −1 + x1−1)dx
= ∫
2
1
( 1
x
+ x− 1
2 + x0)dx = ∫
2
1
( 1
x
+ x− 1
2 + 1)dx
= ∫
2
1 1/xdx+ ∫
2
1 x( − 1/2)dx+ ∫
2
1 1dx
Saiba Mais
Uma abordagem essencial para a aprendizagem em Matemática consiste em praticar a
resolução de exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades
relacionadas aos conceitos discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a
leitura e a realização de alguns exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados
durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre as integrais indefinidas e as
técnicas de integração leia a seção 5.1 – Primitivas e integrais indefinidas do livro
Cálculo Aplicado – Curso rápido do autor Ron Larson disponível na sua biblioteca virtual.
Uma outra opção de leitura sobre as integrais indefinidas é a seção 5.2 – A integral
indefinida do livro Cálculo: volume 1 de Howard Anton et al. disponível em sua biblioteca
virtual.
Ao final de cada seção, há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e
uma dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao final do livro existem as respostas,
assim você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/.
Acesso em: 21 jan. 2024
LARSON, R. Cálculo aplicado – curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São
Paulo: Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan.
2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias
variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
= [ln|x|]21 + [ x− 1
2 +1
− 1
2 +1
]
2
1
+ [x]21
= [ln|x|]21 + [ x
1
2
1
2
]
2
1
+ [x]21 = = [ln|x|]21 + [2√x]
2
1
+ [x]21
= ln|2| − ln|1| + 2√2 − 2√1 + 2 − 1
= ln(2) − 0 + 2√2 − 2 + 2 − 1
ln(2) + 2√2 − 1 ≈ 2,52
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9788582602263/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan.
2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan.
2024. 
Aula 3
INTEGRAÇÃO POR MUDANÇA DE
VARIÁVEL
Integração por Mudança de Variável
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula vamos explorar uma técnica de
integração que permite que encontremos a primitiva de funções em casos em que temos
funções do tipo  . Assim estudaremos a técnica de mudança de variável
ou método da substituição, bem como iremos resolver exemplos de como aplicar essa
técnica na resolução de integrais definidas e indefinidas.
Ponto de Partida
f(g(x)) ⋅ g'(x)
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
No contexto do cálculo diferencial e integral, observamos que muitas funções primitivas
não podem ser determinadas diretamente por meio da aplicação de técnicas de
integração mais simples, como a regra da potência para integrais. Em alguns casos, são
necessárias manipulações algébricas específicas para obter essas funções. Por
exemplo, podemos empregar a regra da cadeia para integrais ou, de maneira mais direta,
a regra da mudança de variáveis.
A regra da mudança de variáveis, uma técnica fundamental no cálculo integral, oferece
uma maneira eficaz de simplificar integrais complexas. Ela envolve a substituição de
uma variável por uma expressão diferente, facilitando a manipulação e resolução da
integral. Essa estratégia não apenas simplifica cálculos, mas também permite lidar com
funções de forma mais conveniente, tornando a avaliação de integrais mais acessível e
eficiente em uma variedade de contextos matemáticos.
Para que você compreenda como podemos utilizar essa técnica, suponha que você
deseja praticar o cálculo de integrais e selecionou algumas para resolver.
Como podemos empregar a técnica de mudança de variáveis para resolver essas
integrais? Vamos iniciar nossos estudos sobre essa técnica?
Vamos Começar!
É possível que você tenha notado a complexidade ao lidar com integrais de produto ou
divisão de funções, correto? Nesta aula, abordaremos esses desafios, aplicando as
técnicas de integração, especialmente a substituição de variáveis ou mudança de
variáveis. A ideia central dessa técnica é transformar uma integral relativamente
complexa em uma mais simples. Esse objetivo é alcançado ao realizar uma mudança da
variável original   para uma nova variável  , que é uma função de   (STEWART; CLEGG;
WATSON, 2021). Para entendermos como funciona esse método, considere o teorema
que segue.
 Teorema: seja g uma função diferençável com sua imagem em um intervalo  . Suponha
que f seja uma função definida em   e que   seja uma função primitiva de   em  , então
a) ∫ e√x
√x
dx
b)  ∫ x2√x − 1dx
c)  ∫
π
2
0 cos( x
2
)dx
d)  ∫
2
0 (2x + 7) 4√(x2 + 7x + 3)5
x u x
I
I F f I
∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = F(g(x)) + K               (1)
Vamos à demonstração desse teorema. Assumimos a hipótese que 
. Utilizando a regra da cadeia para diferenciar a primitiva temos:
Por hipótese, temos que  , logo
Assim, temos que   é uma primitiva da função  , uma vez que a
derivada da primitiva é a função a ser integrada. Se fizermos a mudança de variável ou
substituição  então a equação (1) ficará:
Logo, podemos enunciar a regra da mudança de variável como:
Se   for uma função derivável cuja imagem é um intervalo   e   for contínua
em  , então,
Lembre-se que se   então  .
Note que a demonstração apresenta o caminho que adotaremos para encontrarmos
funções primitivas por meio de uma substituição de variáveis. Descrevemos, a seguir, um
passo a passo para aplicação:
Passo 1: Identificar   e comparar com  .
Passo 2: Derivar os dois lados dessa equação em relação a  .
Passo 3: Isolar  .
Passo 4: Substituir na integral   por   e  pelo resultado encontrado no terceiro
passo.
Passo 5: Simplificar a função, de forma que restem apenas elementos da variável  .
Caso após a simplificação você ainda tenha variável  , retorne aos passos anteriores e
verifique seus cálculos, uma vez que quando a mudança de variável for realizada, vocêdeve ter apenas a variável   no integrando.
Passo 6: Resolver a integral em relação a  .
Passo 7: Voltar esse resultado para a variável  .
A seguir, resolveremos alguns exemplos dessa aplicação:
Exemplo 1: Resolva a integral
F '(g(x)) = f(g(x))
d
dx
[F(g(x))] = F '(g(x)) ⋅ g'(x)
F '(g(x)) = f(g(x))
d
dx [F(g(x))] = f(g(x)) ⋅ g'(x)
F(g(x)) f(g(x)) ⋅ g'(x)
u = g (x)
∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = F(g(x)) +K = F(u) +K = ∫ f(u)du
u  =  g (x) I f
I
∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = ∫ f(u)du
u = g(x) du = g'(x)dx
g(x) u
x
dx
g(x) u dx 
u
x
u
u
x
Solução
Passo 1: devemos identificar a função   e comparar com  . Nesse caso a função 
 será  , assim:
Passo 2: Derivamos ambos os membros da equação em relação a variável  :
Passo 3: isolamos  :
Passo 4: realizamos as substituições na integral:
Passo 5: realizamos as simplificações de tal forma que tenhamos apenas a variável   no
integrando:
Passo 6: integramos em relação a  . Para isso você deve utilizar as regras de integração
imediatas. No nosso caso, iremos utilizar a regra para integral de uma potência:
Passo 7: escrevemos o resultado em termos da variável original  :
Exemplo 2: Resolva a integral
Solução
Passo 1: identificar a função  :
Passo 2: derivar ambos os membros da equação em relação a variável  :
Passo 3: isolar  :
∫[2x(x2 + 4)
20
] dx
g(x) u
g(x) g(x)
u = x2 + 4
x
du = 2xdx
dx
dx = du
2x
∫[2x(x2 + 4)
20
] dx = ∫(2x(u)20) du
2x
 
u
∫[2x(x2 + 4)
20
] dx = ∫(2x(u)20) du
2x = ∫ u20du 
u
∫[2x(x2 + 4)
20
] dx = ∫ u20du = u21
21 + K
x
∫[2x(x2 + 4)
20
] dx = ∫ u20du = u21
21
+ K =
(x2+4)
21
21
+ K
∫ (sen2(x) cos (x)) dx
g(x)
u = sen (x)
x
du = cos(x)dx
dx
Passo 4: realizar as substituições na integral:
Passo 5: realizar as simplificações de tal forma que tenhamos apenas a variável   no
integrando:
Passo 6: integrar em relação a  .
Passo 7: escrever o resultado em termos da variável original  :
Siga em Frente...
Pensaremos, agora, na aplicação da regra da substituição para integrais em casos em
que temos integrais definidas, ou seja, conhecemos o domínio de integração. Nesse
caso, quando comparamos    com  , precisamos tomar o cuidado de ajustar os
intervalos de integração para essa nova função. Assim, se    for contínua em um
intervalo   conhecido e   for contínua na imagem de  , teremos:
Observe que o intervalo de integração precisou ser ajustado em relação à mudança de
variável. Vejamos um passo a passo para resolução:
Passo 1: identificar   e comparar com  .
Passo 2: ajustar os intervalos de integração de forma que se   então 
.
Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a  .
Passo 4: isolar  .
Passo 5: substituir na integral   por   e  pelo resultado encontrado no quarto
passo, como também os novos intervalos de integração encontrados no segundo
passo.
Passo 6: simplificar a função, de forma que restem apenas elementos da variável  .
Caso após a simplificação você ainda tenha variável  , retorne aos passos
anteriores e verifique seus cálculos, uma vez que quando a mudança de variável for
realizada, você deve ter apenas a variável   no integrando.
Passo 7: resolver a integral em relação a  .
dx = du
cos(x) 
∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2 cos(x) du
cos(x) 
u
∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2 cos(x) du
cos(x) 
=   ∫ u2du
u
∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2du = u3
3 + K
x
∫ (sen2(x) cos (x)) dx = ∫ u2du = u3
3 + K = sen3(x)
3 + K
g(x) u
g'(x)
[a, b] f(x) u = g(x)
∫
b
a [f(g(x)) ⋅ (g
'(x))]dx = ∫
g(b)
g(a) f(u)du
g(x) u
x ∈ [a, b]
u ∈ [g(a), g(b)]
x
dx
g(x) u dx 
u
x
u
u
Perceba que, nesse caso, não precisamos retornar para a variável original, pois, como
conhecemos os intervalos de integração, o resultado será numérico. Vejamos alguns
exemplos de como resolver uma integral definida utilizando o método da mudança de
variável.
Exemplo 3: resolva a integral
Solução
Passo 1: identificar   e comparar com  :
Passo 2: ajustar os intervalos de integração:
Quando   então 
Quando   então 
Passo 3: derivar os dois lados em relação a 
Passo 4: isolar  .
Passo 5: realizar as substituições
Passo 6: simplificar a função
Passo 7: resolver a integral em relação a  .
Exemplo 4: resolva a integral
Solução
∫
4
0
√3x + 4dx
g(x) u
u = 3x + 4
x = 0 u = 3(0) + 4 = 4
x = 4 u = 3(4) + 4 = 16
x :
du = 3dx
dx
dx = du
3
∫
4
0
√3x + 4dx = ∫
16
4 √u du
3
∫
4
0
√3x + 4dx = ∫
16
4 √u du
3 = 1
3 ∫
16
4 u
1
2 du
u
∫
4
0
√3x + 4dx = ∫
16
4 √u du
3 = 1
3 ∫
16
4 u
1
2 du = 1
3 [
u
3
2
3
2
]
16
4
= 1
3 ⋅ 2
3 [√u3]
16
4
= 2
9 [
√(16)3 − √(4)3] = 2
9 [64 − 8] = 2
9 ⋅ 56 = 112
9
∫
2
1
2x
(3−5x2)
3 dx
Passo 1: identificar   e comparar com  :
Passo 2: ajustar os intervalos de integração:
Quando   então 
Quando   então 
Passo 3: derivar os dois lados dessa equação em relação a  :
Passo 4: isolar  :
Passo 5: realizar as substituições
Passo 6: simplificar a função
Passo 7: resolver a integral em relação a  .
O desafio primordial ao empregar a regra da substituição reside em identificar uma
substituição apropriada. Deve-se tentar selecionar    u como uma função dentro da
integral, cuja diferencial também esteja presente (exceto por um fator constante),
conforme demonstrado no Exemplo 1. Caso isso não seja viável, é aconselhável optar
por   como uma parte mais intricada do integrando, possivelmente a função interna em
uma função composta. Encontrar a substituição adequada nem sempre é simples, assim
é comum cometer equívocos na escolha inicial; caso a primeira tentativa não seja eficaz,
é aconselhável explorar outras opções.
Vamos Exercitar?
Agora que você já conhece o método da mudança de variável e como empregá-lo na
resolução de integrais indefinidas e definidas, vamos retomar a nossa situação inicial.
g(x) u
u = 3 − 5x2
x = 1 u = 3 − 5(1)2 = −2
x = 2 u = 3 − 5(2)2 = −17
x
du = −10xdx
dx
dx = − du
10x
∫
2
1
2x
(3−5x2)3 dx = ∫ −17
−2
2x
(u)3 (− du
10x
)
∫
2
1
2x
(3−5x2)
3 dx = ∫
−17
−2
2x
(u)3 (− du
10x ) = ∫
−17
−2
1
(u)3 (− du
5 ) = − 1
5 ∫
−17
−2 u−3du
u
∫
2
1
2x
(3−5x2)
3 dx = ∫ −17
−2
2x
(u)
3 (− du
10x ) = ∫ −17
−2
1
(u)
3 (− du
5 ) = − 1
5 ∫ −17
−2 u−3du
= − 1
5 [
u−2
−2 ]
−17
−2
= − 1
5 ⋅ − 1
2 [u
−2]
−17
−2
= 1
10 [
1
u2 ]
−17
−2
= 1
10 [
1
(−17)
2 − 1
(−2)
2 ]
= 1
10 [
1
289 − 1
4 ] = 1
10 ⋅ − 285
1156 = − 57
2312  
u
u
Nessa situação, você deve resolver uma série de integrais empregando o método
estudado.
Observe que a função do integrando é uma função composta, além disso, temos a
possibilidade de termos a derivada da função g(x). Para isso vamos verificar a
substituição
Derivando essa substituição, temos:
Ou seja,
Realizando as substituições e posteriormente resolvendo a integral teremos:
O método de substituição é relativamente direto quando o integrando possui uma
composição    facilmente identificável e o restante é um múltiplo constante de 
. Caso essa condição não seja satisfeita, o método ainda pode ser aplicado, mas
pode demandar mais cálculos, como é o caso desse exemplo. A substituição a ser
utilizada será  , logo  . No momento de realizarmos a substituição na
integral, perceba que teríamos algo do tipo  , e isso não pode acontecer. Assim,
antes de integramos temos que reescrever    em função de  . Para isso utilizamos a
igualdade  :
Considerando esse valor para , realizamos as substituições e manipulações matemáticas
na integral:
a) ∫ e√x
√x
dx
u = √x  ou  u = x
1
2 du = dx
du = 1
2 x
− 1
2 dx
du = 1
2√x
dx
dx = 2√xdu
∫ e√x
√x
dx = ∫ eu
√x
⋅ 2√xdu = ∫ 2eudu = 2eu +K = 2e√x +K
b)  ∫ x2√x− 1dx
f(g(x))
g'(x)
u = x− 1 du = dx
x2√u
x u
u = x− 1
u = x− 1
x = u+ 1
x2 = (u+ 1)2 = u2 + 2u+ 1
∫ x2√x− 1dx = ∫(u2 + 2u+ 1)√udu = ∫(u2 + 2u+ 1)u
1
2 du =
= ∫ (u2 ⋅ u
1
2 + 2u ⋅ u
1
2 + 1 ⋅ u
1
2 ) du = ∫ (u
5
2 + 2u
3
2 + u
1
2 ) du
Observe que a função  é uma função composta. Nesse caso, vamos realizar a mudança:
Ou seja 
Como temos uma integral definida, temos que realizar a mudança dos limitesde
integração, logo quando    temos que    e quando    temos 
. Realizando as substituições necessárias:
Vamos realizar a seguinte substituição:
Ou seja,
Não podemos nos esquecer de realizar a mudança nos limites de integração, assim
quando    temos    e quando    temos 
. Agora podemos resolver a integral:
= u
7
2
7
2
+ 2 u
5
2
5
2
+ u
3
2
3
2
+K = 2
7
√u7 + 4
5
√u5 + 2
3
√u3 +K
= 2
7
√(x− 1)7 + 4
5
√(x− 1)5 + 2
3
√(x− 1)3 +K
c)  ∫
π
2
0 cos( x
2 )dx
u = x
2
du = 1
2 dx
dx = 2du
x = 0 u = 0
2
= 0 x = π
2
u =
π
2
2 = π
4
∫
π
2
0 cos( x
2 )dx = ∫
π
4
0 2 cos(u)du = 2 ∫
π
4
0 cos(u)du = 2[sen(u)]
π
4
0
= 2[sen( π
4 ) − sen(0)] = 2 ⋅ √2
2 − 2 ⋅ 0 = √2
d)  ∫
2
0
(2x+ 7) 4√(x2 + 7x+ 3)5
u = x2 + 7x+ 3
du = (2x+ 7)dx
dx = du
(2x+7)
x = 0 u = (0)2 + 7(0) + 3 = 3 x = 2
u = (2)2 + 7(2) + 3 = 21
∫
2
0
(2x+ 7) 4√(x2 + 7x+ 3)5 = ∫
21
3
(2x+ 7) 4√u5 du
(2x+7)
= ∫
21
3
4√u5du = ∫
21
3
u
5
4 du = [ u
9
4
9
4
]
21
3
= 4
9
[ 4√u9]
21
3
Saiba Mais
Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a
resolução de exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades
relacionadas aos conceitos discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a
leitura e a realização de alguns exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados
durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o método de integração da
mudança de variável leia a seção 5.5 – A regra da Substituição do livro do livro Cálculo:
v.1 de James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual.
Ao final da seção há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma
dica, resolva os exercícios ímpares, pois ao final do livro existem as respostas, assim
você pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/.
Acesso em: 21 jan. 2024.
LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São
Paulo: Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan.
2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias
variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan.
2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan.
2024.
4
9 [
4√(21)9 −   4√(3)9 ] ≈ 414,312
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
Aula 4
INTEGRAÇÃO POR PARTES
Integração por partes
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula, vamos aprender um novo
método de integração denominado integração por partes. Esse método é utilizado
quando temos um produto de funções no integrando e tem como objetivo transformar
esse produto em uma função mais fácil de ser integrada. Assim, vamos discutir como
aplicar esse método na resolução de integrais definidas e indefinidas.
Ponto de Partida
Anteriormente, você estudou que para resolver integrais de determinadas funções temos
que empregar técnicas mais avançadas de integração, como a mudança de variável. Não
são todos os casos em que podemos aplicar essa técnica, por isso precisamos conhecer
outras opções para resolução de problemas.
Nessa aula, vamos discutir sobre a integração por partes, que é uma ferramenta valiosa
no cálculo integral, oferecendo uma abordagem eficaz para integrar produtos de funções.
Ao aplicar o método corretamente, a integral original pode ser transformada em uma
forma mais fácil de integrar, muitas vezes simplificando o problema original. A integração
por partes é especialmente aplicável quando a integração direta parece complicada e
oferece uma alternativa eficiente para abordar integralmente produtos de funções. Essa
técnica não apenas amplia a caixa de ferramentas de métodos de integração, mas
também destaca a flexibilidade e a versatilidade do cálculo integral, permitindo a
resolução de uma gama mais ampla de problemas matemáticos.
Para que você compreenda como podemos utilizar essa técnica, suponha que você
deseja praticar o cálculo de integrais e selecionou algumas para resolver.
Como podemos empregar a técnica da integração por partes para resolver essas
integrais? Vamos iniciar nossos estudos sobre essa técnica?
Vamos Começar!
Podemos dizer que cada regra de derivação possui uma correspondente na integração, a
regra da substituição para integração, por exemplo, está relacionada à regra da cadeia
para derivação. Já a regra de integração que corresponde à regra do produto na
derivação é conhecida como integração por partes (STWEART; CLEGG; WATSON, 2021).
De acordo com a regra do produto, se   e   são funções deriváveis, então temos que:
Observe que o produto   é uma primitiva da função  ,
logo:
Essa equação pode ser reescrita como:
que é denominada de fórmula para integração por partes (STWEART; CLEGG; WATSON,
2021). Essa fórmula é comumente denotada por:
em que   e  .
Pensando em um passo a passo para a integração por partes, temos:
Passo 1: escolher qual parte será chamada de   e qual parte será chamada de 
. Para essa escolha, é interessante que   possa ser integrada facilmente,
caso contrário, a integração por partes não se justifica.
a) ∫ t2etdt
b)  ∫ x2 cos(2x)dx
c)  ∫
e
1
y2 ln(y)dy
f g
[f(x) ⋅ g(x)]' = f(x)g'(x) + f '(x)g(x).
f(x) ⋅ g(x) f(x)g'(x) + f '(x)g(x)
∫ [f(x)g'(x) + f '(x)g(x)]dx = f(x)g(x)
∫ f(x)g'(x)dx+ ∫ f '(x)g(x)dx = f(x)g(x)
∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f '(x)g(x)dx
∫ udv = uv− ∫ vdu
u = f(x) v = g(x)
u = f(x)
dv = g(x)dx dv
Passo 2: definidos   e  , devemos derivar   em relação a   e integrar   em relação a 
. A ideia é transformar a integral   em uma integral   mais simples.
Passo 3: por fim, resolver:
Note que a parte mais importante da integração por partes é a escolha de quem serão as
funções  e  . Alguns critérios podem ser levantados nesse caso, contudo, não existe
uma regra. Na tentativa de facilitar essa escolha, alguns matemáticos costumam aplicar
a seguinte estratégia quando o integrando é um produto de duas funções de categorias
distintas da lista:
1. Logarítmica,
2. Inversa Trigonométrica,
3. Algébrica,
4. Trigonométrica,
5. Exponencial.
Nessa situação, frequentemente, obtemos êxito ao escolher   como uma função cuja
categoria ocorre antes na lista,  e como o restante do integrando. O acrônimo LIATE é
útil para lembrar essa ordem. Vale ressaltar que o método não é infalível, mas é
suficientemente eficaz para ser considerado útil em diversas situações (ANTON; BIVENS;
DAVIS, 2014).
A seguir resolveremos alguns exemplos aplicando essa técnica.
Exemplo 1: Resolva a integral
Solução
Passo 1: escolher as funções que serão   e  . Como temos uma multiplicação de
funções de tipos diferentes, podemos utilizar a ordem dada pelo acrônimo LIATE. Assim,
teremos:
Passo 2: derivar   e integrar 
u dv u x dv
x ∫ udv ∫ vdu
∫ udv = uv − ∫ vdu.
u dv
u
dv 
∫ x cos (x)dx
u dv
u = x
dv = cos (x)dx
u dv
du = 1dx
v = ∫ cos(x)dx = sen (x)
Passo 3: resolver a integral utilizando a fórmula
Logo, teremos:
Não se esqueça de acrescentar a constante   ao final da resolução da integral
indefinida.
Exemplo 2: Resolva a integralSolução
Passo 1: escolher as funções que serão   e  , o que nesse caso não temos muitas
opções. Assim, teremos:
Passo 2: derivar   e integrar  :
Passo 3: resolver a integral utilizando a fórmula
Logo, teremos:
Se a integral for definida, podemos aplicar normalmente a integral, porém iremos aplicar
o teorema fundamental do cálculo. Nesse sentido temos:
Ou ainda,
∫ udv = uv− ∫ vdu.
∫ x cos (x)dx = x sen (x) − ∫ sen (x)dx
= x sen (x) − (− cos(x)) +K = x sen(x) + cos(x) +K
K
∫ ln (x)dx
u dv
u = ln (x)
dv = dx
u dv
du = 1
x dx
v = ∫ 1dx = x
∫ udv = uv − ∫ vdu.
∫ ln (x)dx = x ln (x) − ∫ x ⋅ 1
x dx
= x ln (x) − ∫ 1dx = x ln(x) − x + K
∫
b
a f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)|ba − ∫
b
a f
'(x)g(x)dx
∫
b
a udv =  uv|ba − ∫
b
a vdu
Siga em Frente...
Vamos agora resolver alguns exemplos de integrais definidas.
Exemplo 3: Resolva a integral
Solução
Passo 1: escolher as funções que serão   e   . Utilizando a ordem do LIATE temos:
Passo 2: derivar   e integrar  :
Passo 3: resolver a integral utilizando a fórmula
Logo, teremos:
Como você pode perceber, o principal propósito da integração por partes é a escolha
estratégica de   e  para resultar em uma nova integral mais simples de calcular em
comparação à original. Em geral, não existem regras imediatas e precisas para essa
escolha; trata-se de uma questão de experiência adquirida por meio de prática. Nesse
sentido não deixe de resolver exercícios em que é necessário empregar o método da
integração por partes para solucionar as integrais.
Vamos Exercitar?
Agora que você já conhece o método da integração por partes e como empregá-lo na
resolução de integrais indefinidas e definidas, vamos retomar a nossa situação inicial.
Nessa situação, você deve resolver uma série de integrais empregando o método
estudado.
∫
1
0 xexdx
u dv
u = x
dv = exdx
u dv
du = 1dx
v = ∫ exdx = ex
∫
b
a udv =  uv|ba − ∫
b
a vdu
∫
1
0 xexdx = xex|1
0 − ∫
1
0 exdx
= xex|
1
0 − ex|
1
0 = (1 ⋅ e1 − 0 ⋅ e0) − (e1 − e0)
= e − 0 − e + 1 = 1
u dv 
a) ∫ t2etdt
O primeiro passo é escolhermos   e  . Observe que no integrando temos uma
multiplicação de uma função algébrica por uma função exponencial, assim, de acordo
com o método LIATE, podemos ter   e  . Agora derivamos   e 
 integramos:
Resolvendo a integral utilizando a fórmula
teremos:
A integral que obtivemos,   , é mais simples que a integral original, mas ainda não
é óbvia. Portanto, usamos a integração por partes mais uma vez, mas agora com 
 e  . Logo,
Aplicando novamente a fórmula na integral   teremos:
O primeiro passo é escolher   e  . No integrando temos uma multiplicação de uma
função algébrica por uma função trigonométrica, assim de acordo com o método LIATE
podemos ter   e  . Agora derivamos  e integramos  :
Observe que para resolver essa integral teremos que utilizar o método da mudança de
variável em que  , assim  . Aplicando o método teremos:
Resolvendo a integral utilizando a fórmula
teremos:
u dv
u = t2 dv = etdt u dv
u = t2 → du = 2tdt
dv = etdt → v = ∫ etdt = et
∫ udv = uv− ∫ vdu.
∫ t2etdt = t2et − ∫ et2tdt
∫ et2tdt
u = 2t
dv = etdt
u = 2t → du = 2dt
dv = etdt → v = ∫ etdt = et
∫ et2tdt
∫ t2etdt = t2et − ∫ et2tdt = t2et − [2tet − ∫ 2etdt]
= t2et − 2tet + 2 ∫ etdt = t2et − 2tet + 2et +K
b)  ∫ x2 cos(2x)dx
u dv
u = x2 dv = cos(2x)dx dv
u = x2 → du = 2xdx
dv = cos(2x)dx → v = ∫ cos(2x)dx
u = 2x du = 2dx
v = ∫ cos(2x)dx = ∫ cos (u) du
2 = 1
2 ∫ cos (u)du = 1
2 sen(u) =
1
2 sen (2x)
∫ udv = uv− ∫ vdu.
A integral que obtivemos,  , é mais simples que a integral original, mas
ainda não é imediata. Portanto, usamos a integração por partes mais uma vez, mas
agora com   e  . Logo,
Para resolver essa integral teremos que utilizar o método da mudança de variável em
que  , assim  . Aplicando o método teremos:
Aplicando novamente a fórmula na integral   teremos:
O primeiro passo é escolher   e  . No integrando temos uma multiplicação de uma
função algébrica por uma função logarítmica, assim de acordo com o método LIATE
podemos ter   e  . Agora derivamos   e   integramos:
Resolvendo a integral utilizando a fórmula
teremos:
∫ x2 cos(2x)dx = x2 ⋅ 1
2 sen(2x) − ∫ 1
2 sen(2x)2xdx = x2 ⋅ 1
2 sen(2x) − ∫ x sen(2x)dx
∫ x sen(2x)dx
u = x dv = sen(2x)dx
u = x → du = 1dx
dv = sen(2x)dx → v = ∫ sen(2x)dx
u = 2x du = 2dx
v = ∫ sen(2x)dx = ∫ sen (u) du
2 = 1
2 ∫ sen (u)du = − 1
2 cos(u) = − 1
2 cos (2x)
∫ x sen(2x)dx
∫ x2 cos(2x)dx = x2 ⋅ 1
2 sen(2x) − ∫ 1
2 sen(2x)2xdx = x2 ⋅ 1
2 sen(2x) − ∫ x sen(2x)dx
= 1
2 x
2 sen(2x) − [x ⋅ − 1
2 cos(2x) − ∫ − 1
2 cos(2x)dx]
= 1
2 x
2 sen(2x) + 1
2 x cos(2x) − 1
2 ∫ cos(2x)dx
= 1
2 x
2 sen(2x) + 1
2 x cos(2x) − 1
2 [
1
2 sen(2x)] +K
= 1
2
x2 sen(2x) + 1
2
x cos(2x) − 1
4
sen(2x) +K
c)  ∫
e
1
y2 ln(y)dy
u dv
u = ln (y) dv = y2dy u dv
u = ln (y) → du = 1
y dy
dv = y2dy → v = ∫ y2dy = y3
3
∫
b
a
udv =  uv|ba − ∫
b
a
vdu
∫
e
1
y2 ln(y)dy = ln(y) ⋅ y3
3
e
1
− ∫
e
1
y3
3 ⋅ 1
y dy∣= ln(y) ⋅ y3
3
e
1
− 1
3 ∫
e
1
y2dy∣= ln(y) ⋅ y3
3
e
1
− 1
3 [
y3
3 ]
e
1∣= [ln(e) ⋅ e3
3 − ln(1) ⋅ 13
3 ]−
1
3 [
e3
3 − 13
3 ]
Saiba Mais
Uma abordagem essencial para a aprendizagem em matemática consiste em praticar a
resolução de exercícios, pois isso possibilita a aplicação das diversas propriedades
relacionadas aos conceitos discutidos. Sendo assim, ao seguir essa estratégia, sugiro a
leitura e a realização de alguns exercícios relevantes relacionados aos tópicos abordados
durante a aula.
Com o objetivo de aprimorar seus conhecimentos sobre o método de integração da
mudança de variável leia a seção 7.1 – Integração por partes do livro Cálculo: v.1 de
James Stewart, Daniel Clegg e Saleem Watson disponível na sua biblioteca virtual. Ao
final da seção há uma série de exercícios, selecione alguns para resolver! Ah, e uma dica,
resolva os exercícios ímpares, pois ao final do livro existem as respostas, assim você
pode conferir se acertou nos cálculos! Bons estudos!
Referências Bibliográficas
ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/.
Acesso em: 21 jan. 2024.
LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São
Paulo: Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan.
2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – Funções de uma e várias
variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan.
2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo: v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan.
2024.
= [1 ⋅ e3
3 − 0 ⋅ 1
3 ]−
1
9 e
3 + 1
9
= 1
3 e
3 − 1
9 e
3 + 1
9 = 2
9 e
3 + 1
9 ≈ 4,575
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/reader/books/9786555584097/pageid/0
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/
Encerramento da Unidade
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
Videoaula de Encerramento
Olá, estudante! Esperamos que esteja bem! Nessa aula discutiremos sobre os principais
aspectos relacionados às integrais definidas e indefinidas. Além disso, vamos explorar as
características de dois métodos de integração, a saber: mudança de variável e integração
por partes. Esses métodos são fundamentais para a resolução de diferentes tipos de
problemas relacionados ao cálculo de área e volume, entre outros.
Ponto de Chegada
Para desenvolver a competência desta unidade, que é compreender as técnicas de
integração a fim de aplicá-las na resoluçãode problemas que envolvem o cálculo de
integrais, é necessário que você saiba identificar as características de cada uma das
técnicas de integração.
Dada uma função   contínua em um intervalo   dizemos que a integral definida de 
 no intervalo dado é:
Ao abordar o cálculo dessa integral, evitaremos lidar diretamente com o limite, uma vez
que o cálculo desse limite muitas vezes envolve complexidades e pode ser desafiador.
Em vez disso, faremos uso do Teorema Fundamental do Cálculo, uma ferramenta
valiosa que estabelece uma relação fundamental entre derivadas e integrais definidas.
f [a, b] f
∫
b
a
f(x)dx = lim
n→∞
∑n
i=1 f(xi) ⋅ Δx
Esse teorema proporciona uma maneira mais acessível de avaliar integrais definidas ao
permitir a conexão direta entre a função a ser integrada e sua primitiva. De acordo com
esse teorema, se uma função   é contínua no intervalo   então:
onde   é qualquer primitiva de  , isto é, uma função tal que  . Nessa
perspectiva, calcular uma integral definida envolve a busca por uma primitiva da função
integrando. Em seguida, realiza-se a subtração do valor dessa primitiva avaliada no limite
inferior de integração do seu valor no limite superior de integração. É fundamental
destacar a importância do conceito de primitiva, que não se trata de qualquer função,
mas, sim, daquela que ao ser derivada resulta na função que está sendo integrada.
Entender a natureza da primitiva é crucial para o sucesso na resolução de integrais
definidas, pois estabelece a ligação essencial entre a função original e o processo de
integração.
Não é sempre que nos deparamos com a necessidade de calcular a integral de uma
função em um intervalo específico. Quando isso não é o caso, lidamos com o conceito
de integral indefinida. Uma integral indefinida refere-se à primitiva de uma função, ou
seja, uma função cuja derivada é a função original. Ao contrário da integral definida, que
envolve a avaliação em limites de integração específicos, a integral indefinida busca a
expressão geral da primitiva da função, proporcionando uma visão mais ampla e
abstrata do processo de integração. Uma integral indefinida é da forma:
Sendo que K é uma constante real qualquer e, ao derivar a primitiva  ,
obtemos  . A constante é adicionada ao resultado, pois qualquer constante na
função primitiva, ao derivar, será 0. Fique atento, pois a constante   só irá aparecer
quando estivermos calculando uma integral indefinida. Ao calcular uma integral
indefinida, temos como resultado uma família de funções, enquanto ao calcular uma
integral definida, temos um número como resultado.
Encontrar a primitiva de uma função envolve a reflexão sobre "qual função, ao ser
derivada, nos conduzirá ao resultado desejado", uma tarefa que, reconhecidamente, pode
ser desafiadora e trabalhosa. Por esse motivo, é crucial adquirir conhecimento sobre as
principais regras de integração imediatas. Na Tabela 1, você terá acesso às principais
f [a, b]
  ∫
b
a f(x)dx = F(b) − F(a)  em   que  F ' = f.  
F f(x) F ' = f
∫ f(x)dx = F(x) + K
F(x) + K
f(x)
K
regras e propriedades que facilitam esse processo, tornando a abordagem de integração
mais eficiente e acessível.
Tabela 1 | Regras de integração
A obtenção de primitivas nem sempre é viável apenas por meio das regras de integração
imediatas; em algumas situações, torna-se necessário empregar técnicas mais
avançadas de integração. Entre as diversas abordagens disponíveis, duas se destacam
pelo uso frequente: o método da mudança de variável, também conhecido como método
da substituição, e a integração por partes. Essas técnicas oferecem ferramentas
adicionais e estratégias fundamentais para lidar com funções mais complexas,
expandindo as possibilidades de resolução de problemas integrais.
A regra da mudança de variáveis envolve a substituição de uma variável por uma
expressão diferente, facilitando a manipulação e o resolução da integral. Podemos
utilizar essa técnica quando a função a ser integrada é do tipo  . Nesse
caso, se   então,
Não se esqueça que após integrar a função em relação à variável   é necessário
reescrever o resultado em termos da variável original.
No caso de ser uma integral definida, ao aplicar o método da mudança de variável, é
necessário realizar a mudança nos limites de integração, uma vez que estamos
realizando uma mudança de variável. Assim, se   for contínua em um intervalo 
 conhecido e   for contínua na imagem de  , teremos:
∫ cf(x)dx = c ∫ f(x)dx ∫ cdx = cx + K
∫ xndx = xn+1
n+1 + K,  n ≠ −1 ∫ 1
x dx = ln|x| + K
∫ axdx = ax
ln(a) + K ∫ exdx = ex + K
∫ cos(x)dx = sen(x) + K ∫ sen(x)dx = − cos(x) + K
∫ tg(x)dx = sec
2(x) + K ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x
f(g(x)) ⋅ g'(x)
u = g(x),
∫ [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = ∫ f(u)du
u,
g'(x) [a, b]
f(x) u = g(x)
∫
b
a [f(g(x)) ⋅ (g'(x))]dx = ∫
g(b)
g(a) f(u)du
Já o método de integração por partes pode ser utilizado quando temos um produto de
funções no integrando. Para resolver uma integral por esse método, utilizamos a fórmula:
Que geralmente é apresentada como:
em que   e  .
Quando temos uma integral definida, basta que avaliemos o resultado nos limites de
integração, assim a fórmula será:
Ou ainda,
O principal propósito da integração por partes é a escolha estratégica de   e  para
resultar em uma nova integral mais simples de calcular em comparação à original. Em
geral, não existem regras imediatas e precisas para essa escolha; trata-se de uma
questão de experiência adquirida por meio de prática.
É crucial que você compreenda todas as técnicas de integração abordadas nesta
unidade, pois você as aplicará na resolução de diversos problemas ao longo deste curso
e em disciplinas subsequentes. O domínio dessas técnicas não apenas fortalecerá sua
base em cálculo integral, mas também será fundamental para enfrentar desafios mais
avançados em disciplinas correlatas. Este conhecimento não só aprimorará suas
habilidades matemáticas, mas também abrirá portas para uma compreensão mais
profunda e aplicada em áreas que dependem fortemente do cálculo.
É Hora de Praticar!
Para contextualizar sua aprendizagem, suponha que você esteja participando de um
processo seletivo para ingressar em um programa de iniciação científica. Esse programa
tem como objetivo estudar o papel da Matemática no campo profissional. A primeira
parte do processo seletivo consiste em uma prova de conhecimentos gerais, que
englobam os conceitos relacionados às diferentes disciplinas do seu curso. Com o
objetivo de se preparar para essa primeira etapa, você decidiu realizar uma pesquisa
sobre quais os conceitos mais recorrentes nas provas anteriores. Como resultado dessa
pesquisa, você constatou que conceitos relacionados ao cálculo integral eram
recorrentes em todas as provas. Após analisar as provas, você percebeu que eram
frequentes questões sobre o cálculo de integrais definidas e indefinidas. A fim de
relembrar as regras de integração, você selecionou uma série de exercícios sobre o
∫ f(x)g'(x)dx = f(x)g(x) − ∫ f '(x)g(x)dx
∫ udv = uv − ∫ vdu
u = f(x) v = g(x)
∫
b
a
f(x)g'(x)dx = f(x)g(x)|ba − ∫
b
a
f '(x)g(x)dx
∫
b
a udv =  uv|
b
a − ∫
b
a vdu
u dv 
cálculo de integrais. Sua tarefa, então, é resolver esses exercícios, conforme apresentado
a seguir.
Questão 1: Calcule o valor da integral:
Questão 2: Resolva a integral:
Questão 3: Calcule o valor da integral definida:
Reflita
Considerando a ampla variedade de situações em que os conceitos abordados na
unidade podem ser aplicados, convidamos à reflexão sobre essas duas questões:
Em que situações específicas você consideraria necessário recorrer a técnicas mais
avançadas de integração, além das regras imediatas, para abordar integralmente um
problema matemático ou aplicado?
Como as técnicas de integração, como o método da mudança de variáveis e a integração
por partes, podem ser aplicadas de forma eficaz na resolução de problemas práticos em
diversas disciplinas?
Resolução do estudo de casoPara resolver cada uma dessas questões é importante que você realize uma análise das
funções a serem integradas a fim de verificar qual o melhor método de resolução.
Solução da Questão 1
Temos que resolver a integral indefinida:
Observe que a função do integrando é uma função composta, logo, podemos aplicar o
método da mudança de variável. Para isso vamos utilizar a substituição:
∫ 1
(4−5t)4  dt
∫ x2 e−x dx
∫
e
1 (ln (x))2
dx
Reflita
Quais técnicas de integração serão necessárias na resolução de cada uma dessas
questões?
∫ 1
(4−5t)4  dt
Derivando essa substituição temos:
Realizando as substituições e posteriormente resolvendo a integral, teremos:
Solução da Questão 2
Temos que resolver a integral indefinida:
Observe que temos um produto de funções de tipos diferentes dentro do integrando,
assim, podemos aplicar a integração por partes para resolvê-la. O primeiro passo é
escolher   e  . No integrando temos uma multiplicação de uma função algébrica por
uma função exponencial, assim, de acordo com o método LIATE, podemos ter   e 
. Agora derivamos   e   integramos:
Essa integral não pode ser revolvida de forma imediata, uma vez que temos como
integrando uma função composta, assim, para resolver essa integral teremos que utilizar
o método da mudança de variável em que  , assim  . Aplicando o
método teremos:
Resolvendo a integral utilizando a fórmula
Teremos
u = 4 − 5t
du = −5dt
dt = − du
5
∫ 1
(4−5t)
4  dt = ∫ 1
u4 (−
du
5 ) = − 1
5 ∫ u−4du
= − 1
5 [
u−3
−3 ]+K = − 1
5 ⋅ − 1
3 u
−3 +K = 1
15u3 +K
= 1
15(4−5t)3
+K
∫ x2 e−x dx
u dv
u = x2
dv = e−xdx u dv
u = x2 → du = 2xdx
dv = e−x → v = ∫ e−xdx
u = −x du = −dx
v = ∫ e−xdx = ∫ eu ⋅ −du = − ∫ eudu = −eu = −e−x
∫ udv = uv− ∫ vdu.
∫ x2 e−x dx = x2 ⋅ −e−x − ∫ −e−x ⋅ 2xdx
= −x2e−x + ∫ 2xe−xdx
A integral que obtivemos,  , é mais simples que a integral original, mas ainda
não é imediata. Portanto, usamos a integração por partes mais uma vez, mas agora com 
 e  . Logo,
Aplicando novamente a fórmula na integral   teremos:
Solução da Questão 3
Temos que resolver a integral definida:
Primeiro vamos reescrever essa integral:
Observe que não é possível aplicar o método da mudança de variável, assim, vamos
aplicar o método da integração por partes. Como as duas funções são   uma delas
será   e a outra  . Assim teremos,
A integral da função   é resolvida utilizando o método da integração por partes em
que   e  .
Resolvendo a integral inicial utilizando a fórmula
teremos
∫ 2xe−xdx
u = 2x dv = e−xdx
u = 2x → du = 2dx
dv = e−x → v = ∫ e−xdx = −e−x
∫ 2xe−xdx,
∫ x2 e−x dx = x2 ⋅ −e−x − ∫ −e−x ⋅ 2xdx
= −x2e−x + ∫ 2xe−xdx = −x2e−x + [2x ⋅ −e−x − ∫ −e−x ⋅ 2dx] 
= −x2e−x − 2xe−x + 2 ∫ e−xdx
= −x2e−x − 2xe−x + 2[−e−x] +K
= −x2e−x − 2xe−x − 2e−x +K
∫
e
1
(ln (x))2dx
∫
e
1 (ln (x))2
dx = ∫
e
1 [ln(x) ⋅ ln(x)]dx
ln (x),
u dv
u = ln(x) → du = 1
x dx
dv = ln(x)dx → v = ∫ ln(x)dx = x ln (x) − x
ln (x)
u = ln (x) dv = 1dx
∫
b
a udv =  uv|
b
a − ∫
b
a vdu
∫
e
1 (ln(x))2
dx = ∫
e
1 [ln(x) ⋅ ln(x)]dx
= [ln(x) ⋅ (x ln(x) − x)]e1 − ∫
e
1 (x ln(x) − x) 1
x  dx
= [x ln2(x) − x ln(x)]
e
1
− ∫
e
1 (ln(x) − 1) dx
Dê o play!
= [x ln2(x) − x ln(x)]
e
1
− ∫
e
1 ln(x)dx + ∫
e
1 1 dx
= [x ln2(x) − x ln(x)]
e
1
− [x ln(x) − x]e1 + [x]e1
= [(e ln2(e) − e ln(e)) − (1 ln2(1) − 1 ln(1))] − [(e ln(e) − e) − (1 ln(1) − 1)] + (e − 1
= [e ⋅ 1 − e ⋅ 1 − 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0] − [e ⋅ 1 − e − 1 ⋅ 0 + 1] + e − 1
= e − e − 0 + 0 − e + e + 0 − 1 + e − 1 = e − 2 ≈ 0,72
Assimile
Referências
ANTON, H. et al. Cálculo: v.1. Porto Alegre: Grupo A, 2014. E-book. ISBN 9788582602263.
Disponível em: https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/.
Acesso em: 21 jan. 2024.
LARSON, R. Cálculo aplicado – Curso rápido: Tradução da 9ª ed. norte-americana. São
Paulo: Cengage Learning Brasil, 2016. E-book. ISBN 9788522125074. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788522125074/. Acesso em: 21 jan.
2024.
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O.; HAZZAN, S. Cálculo – funções de uma e várias
variáveis. São Paulo: Editora Saraiva, 2016. E-book. ISBN 9788547201128. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/. Acesso em: 21 jan.
2024.
STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil,
2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 21 jan.
2024.
A solução de distintos problemas demanda a aplicação do cálculo de integrais, por
isso, é fundamental que você adquira um entendimento sólido das principais regras
e técnicas de integração. A Figura 1 serve como uma representação visual dessas
regras.
Figura 1 | Regras e técnicas de integração
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https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788547201128/
https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/