AP3-MetDet1-2024-1 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Determińısticos I – 1/2024
Código da disciplina EAD06075
Nome: Matŕıcula:
Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
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fora deste espaço, mesmo que em folha de rascunho,
serão ignoradas.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 5.
Considere verdadeiras as premissas abaixo, sobre uma determinada questão de Matemática:
(1) Se eu me dediquei a resolver a questão do EP quando eu a vi anteriormente, então aprendi a resolver
a questão do EP ou decorei a solução da questão do EP.
(2) Por outro lado, se eu decorei a solução da questão do EP, então certamente eu me dediquei a resolver
a questão do EP quando eu a vi anteriormente
(3) Se eu aprendi a resolver a questão do EP, então acertei integralmente a questão quando ela caiu
novamente em uma prova.
(4) Se eu decorei a solução da questão do EP, então acertei pelo menos metade da questão quando ela
caiu novamente em uma prova.
(5) Se acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova, então, obviamente,
acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em uma prova.
Denote as proposições das sentenças anteriores da seguinte forma:
m: eu me dediquei a resolver a questão do EP quando eu a vi anteriormente
a: aprendi a resolver a questão do EP
Métodos Determińısticos I AP2 2
d: decorei a solução da questão do EP
i: acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova
p: acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em uma prova
Questão 1 [0,5 pt] Escreva as cinco premissas dadas ((1) a (5)) utilizando as letras atribúıdas acima a cada sentença
(m, a, d, i e p) e os śımbolos da lógica (⇒, ⇔, ∧ ou “e”, ∨ ou “ou”).
Solução: Escrevendo as premissas com a notação dada, temos
(1) m⇒ a ∨ d
(2) d⇒ m
(3) a⇒ i
(4) d⇒ p
(5) i⇒ p.
Questão 2 [1,0 pt] Se não acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente em uma prova,
baseado nas premissas dadas, é verdadeiro ou falso que eu me dediquei a resolver a questão do EP quando eu a
vi anteriormente?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada sentença,
para encurtar sua solução.
Solução: Partindo da premissa de que não acertei pelo menos metade da questão quando ela caiu novamente
em uma prova, temos que p é falsa. Logo, pela premissa (4), temos que d é falsa. Pela premissa (5), temos também
que i é falsa, logo por (3), a é falsa.
Até aqui, conclúımos que a e d são falsas, logo a ∨ d é falsa. Assim, pela premissa (1), conclui-se que m é falsa.
Assim, é falso que eu me dediquei a resolver a questão do EP quando eu a vi anteriormente.
Questão 3 [1,0 pt] Se acertei integralmente a questão quando ela caiu novamente em uma prova, baseado
nas premissas dadas, pode-se afirmar que eu aprendi a resolver a questão ?
Justifique a resposta com base nas premissas dadas. Você pode utilizar a notação definida para cada sentença,
para encurtar sua solução.
Solução: Não se pode concluir.
Por exemplo, pode ser verdadeira apenas as proposições i e p, e todas as demais falsas. Isto não tornará falsas as
premissas dadas, pois teremos
(1) F ⇒ F ∨ F
(2) F ⇒ F
(3) F ⇒ V
(4) F ⇒ V
(5) V ⇒ V ,
que são implicações válidas (o que não seria válido seria V ⇒ F ).
Por outro lado, podem todas as proposições serem verdadeiras, que as premissas ainda estariam sendo respeitadas,
pois
(1) V ⇒ V ∨ V
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Métodos Determińısticos I AP2 3
(2) V ⇒ V
(3) V ⇒ V
(4) V ⇒ V
(5) V ⇒ V .
Assim, é posśıvel i ser verdadeiro tanto em casos em que a é verdadeira como em casos em que a é falsa.
Questão 4 [1,5 pt] A rede de lojas Um Sete Um aumentará em a% o preço de um de seus produtos para depois,
em uma grande ação de marketing, oferecer o desconto de d%, de forma que o preço se torne o mesmo de antes do
aumento. Determine a em função de d, justificando.
Solução: Após o aumento de a%, o preço P do produto se tornará
P + a% · P = P + a
100 = 100 + a
100 · P.
Da mesma forma, após a redução de d%, este preço se tornará(
100 + a
100 · P
)
−d%·
(
100 + a
100 · P
)
= (1−d%)·
(
100 + a
100 · P
)
=
(
1− d
100
)
·
(
100 + a
100 · P
)
= 100− d
100 ·100 + a
100 ·P.
Logo, para este preço ser igual a P , temos
100− d
100 · 100 + a
100 · P = P,
portanto
100− d
100 · 100 + a
100 = 1.
Com isso,
100 + a
100 = 100
100− d
.
Assim,
100 + a = 1002
100− d
.
Teremos então
a = 1002
100− d
− 100.
Esta expressão ainda pode ser simplificada para
a = 1002
100− d
− 100 = 1002 − 100(100− d)
100− d
= 1002 − 1002 + 100d
100− d
= 100d
100− d
.
Questão 5 [1,5 pt] Represente, como intervalo ou união de intervalos, o conjunto dos números reais que satisfazem
simultaneamente às duas inequações a seguir:
|3x + 2| ≤ 4 e |1− 5x| > 1.
Justifique os cálculos.
Solução: Estudando a primeira desigualdade, temos
|3x + 2| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ 3x + 2 ≤ 4
⇔ −4− 2 ≤ 3x ≤ 4− 2
⇔ −6 ≤ 3x ≤ 2
⇔ −6
3 ≤
3x
3 ≤
2
3
⇔ −2 ≤ x ≤ 2
3 .
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Métodos Determińısticos I AP2 4
A segunda desigualdade nos dá
|1− 5x| > 1 ⇔ 1− 5x > 1 ou 1− 5x 1− 1 ou − 5x 0 ou − 5x 
−2
−5
⇔ x 
2
5 .
Note que, na quarta equivalência acima, ao dividirmos por −5, que é negativo, o sentido das desigualdades se inverte
(’>’ virou ’’).
Esboçando os conjuntos dos valores de x que satisfazem a cada uma das condições, fica fácil determinar o conjunto
dos valores de x que satisfazem às duas simultaneamente.
Assim, o conjunto dos valores de x que tornam verdadeiras as duas desigualdades simultaneamente é dado por
[−2, 0) ∪
(
2
5 ,
2
3
]
.
Questão 6 [1,0 pt] Determine os pares de valores (x, y) que são soluções do sistema abaixo: x2 − 3y2 = −12
x2 + y2 + 2y = 8
Justifique os cálculos.
Uma solução: Uma boa estratégia para resolver este sistema seria isolar o x2 na primera equação e depois substitúı-lo
na segunda. Com isso, teremos uma equação apenas com y. Vejamos: isolando x2 na primera equação, temos
x2 − 3y2 = −12 ∴ x2 = 3y2 − 12.
Substituindo x2 = 3y2 − 12 na segunda equação, temos
x2 + y2 + 2y = 8 ∴ (3y2 − 12) + y2 + 2y = 8 ∴ 3y2 − 12 + y2 + 2y = 8 ∴ 4y2 + 2y − 20 = 0,
que pode ainda ser simplificada dividindo-se todos os termos por 2, obtendo-se
2y2 + y − 10 = 0.
As soluções desta equação de incógnita y são dadas por
y =
−1±
√
12 − 4 · 2 · (−10)
2 · 2 = −1±
√
81
4 = −1± 9
4
Temos portanto
y = −1 + 9
4 = 8
4 = 2 ou y = −1− 9
4 = −10
4 = −5
2 .
Para y = 2, temos
x2 = 3 · 22 − 12 = 3 · 4− 12 = 0,
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Métodos Determińısticos I AP2 5
portanto, temos o ponto (0, 2) na solução. Já para y = −5
2 , temos
x2 = 3
(
−5
2
)2
− 12 = 3 · 25
4 − 12 = 75
4 − 12 = 75− 48
4 = 27
4 ,
assim,
x = ±
√
27
4 = ±√
9 · 3
4 = ±3
√
3
2 .
Temos portanto os pontos
(
−3
√
3
2 ,
5
2
)
e
(
3
√
3
2 ,
5
2
)
. Portanto, a solução do sistema é o conjunto
S =
{
(0, 2),
(
−3
√
3
2 ,−5
2
)
,
(
3
√
3
2 ,−5
2
)}
.
Outra solução: Subtraindo a primeira equação da segunda, temos
x2 + y2 + 2y − (x2 − 3y2) = 8− (−12),
portanto
x2 + y2 + 2y − x2 + 3y2 = 8 + 12,
e assim,
4y2 + 2y = 20.
Com isso, temos
4y2 + 2y − 20 = 0,
e, dividindo por 2,
2y2 + y − 10 = 0.
O restante desta solução segue a anterior.
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES 7 A 10.
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 3P + 4 e Q(P ) = 8
3P − 4,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
Questão 7 [1,0 pt] Quais são os preços máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E
qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)? Justifique.
Solução: O preço máximo P do produto ocorre quando não há demanda, isto é D(P ) = 0. Assim, temos
D(P ) = 0⇔ −P 2 + 3P + 4 = 0⇔ P =
−3±
√
32 − 4 · (−1) · 4
2(−1) ⇔ P = −3±
√
25
−2 ⇔
⇔ P = −3± 5
−2 ⇔ P = −8
−2 = 4 ou P = 2
−2 = −1.
Como não podemos ter preço negativo, o preço máximo é dado por P = 4 reais.
O preço ḿınimo P ocorre quando não há oferta, isto é, Q(P ) = 0. Assim, temos
Q(P ) = 0⇔ 8
3P − 4 = 0⇔ 8
3P = 4⇔ x = 4 · 3
8 ⇔ P = 3
2 .
Portanto, o preço ḿınimo é de 1,50 real.
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Questão 8 [1,0 pt] A partir de uma análise da função quadrática D, que representa a demanda, determine a demanda
máxima do produto e o preço para o qual ela ocorre. Justifique.
Solução: A demanda máxima é dada por
DM = −∆
4a
= −32 − 4 · (−1) · 4
4 · (−1) = −9 + 16
−4 = 25
4 = 6,25.
Assim, a demanda máxima é de 6,25 milhões de unidades.
O preço para o qual a demanda máxima ocorre é dado por
P = − b
2a
= − 3
2 · (−1) = 3
2 = 1,5,
ou seja, 1,50 real.
Questão 9 [0,5 pt] Explique por que 3 reais é preço de equiĺıbrio deste produto. Justifique.
Solução: Temos D(3) = −32 + 3 · 3 + 4 = 4 e Q(3) = 8
3 · 3− 4 = 4. Assim, D(3) = Q(3), mostrando que 3 reais é
preço de equiĺıbrio do produto.
Questão 10 [1,0 pt] Esboce em um mesmo plano cartesiano as curvas de demanda e de oferta deste produto, iden-
tificando cada uma delas. Destaque os pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio
e o ponto de demanda máxima. Justifique.
Com o que já descobrimos nas questões anteriores, podemos esboçar a parábola de concavidade para baixo que contém
o gráfico da função demanda D. Seu vértice é o ponto (1.5, 6.25) e D(4) = 0 é uma das ráızes.
Para esboçar a reta que contém o gráfico da função oferta Q, precisamos conhecer dois de seus pontos. Sabemos que
Q(1.5) = 0. Temos ainda que Q(3) = 8
3 · 3− 4 = 8− 4 = 4. Assim, o ponto (3, 4) está no gráfico de Q.
Na realidade, como o preço de equiĺıbrio é 3 reais, o ponto (3, 4) será o ponto de interseção entre os gráficos de D e
Q.
Temos então o esboço abaixo:
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No plano esboçado, o eixo horizontal representa o preço P em reais e o eixo vertical a demanda ou oferta em milhões
de unidades.
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