AP2-MetDet1-2022-2 - Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
AP2 – Métodos Determińısticos I – 2/2022
Código da disciplina EAD06075
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Polo: Data:
Atenção!
• Para cada folha de respostas que utilizar, antes de começar a resolver as questões, preencha (pintando os
respectivos espaços na parte superior da folha) o número do CPF, o código da disciplina (indicado acima em
negrito) e o número da folha.
PADRÃO DE PREENCHIMENTO NA FOLHA DE RESPOSTAS
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USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 1 A 3.
Um vendedor de equipamentos eletrônicos tem salário mensal fixo de R$4.000,00. Caso o valor total das vendas
feitas em um determinado mês exceda R$30.000,00, é acrescida ao salário uma comissão de 15% sobre o que exceder
R$30.000,00. Vamos chamar de salário final o salário fixo acrescido da comissão, se houver.
Chame de x o valor total, em reais, das vendas feitas em um certo mês e de s a função que representa o salário final
naquele mês, dependendo de x. Isto é, em um mês em que o representante venda x reais, ele receberá s(x) como
salário final.
Questão 1 [1,0 pt] Calcule o salário final do vendedor de equipamentos eletrônicos quando ele vender R$25.000,00
e R$40.000. Em outras palavras, calcule s(25.000) e s(40.000).
Solução:
Caso ele venda R$25.000,00, não haverá comissão. Logo, o salário final será de R$4.000,00. Assim, s(25.000) = 4.000.
Caso ele venda R$40.000,00, haverá excedente sobre R$30.000,00, logo, o salário final será dado por
s(40.000) = 4.000 + 15% · (40.000− 30.000) = 4.000 + 15100 · 10.000 = 4.000 + 1.500 = 5.500
Métodos Determińısticos I AP2 2
Questão 2 [1,0 pt]
Dê a expressão de s(x) quando x 6 30.000 e quando x > 30.000.
Solução:
Caso ele venda x 6 30.000, não haverá comissão. Logo, o salário final será de R$4.000,00. Assim,
s(x) = 4.000, para x 6 30.000.
Caso ele venda > 30.000, haverá excedente sobre R$30.000,00, logo, o salário final será dado por
s(x) = 4.000 + 15% · (x− 30.000) = 4.000 + 15100 · (x− 30.000) = 4.000 +
15
100 · (x− 30.000) =
= 4.000 + 15x100 − 4.500 =
15x
100 − 500, para x > 30.000.
Questão 3 [1,5 pt]
Esboce o gráfico da função s, tendo o valor x das vendas como eixo horizontal e o valor s(x) como eixo vertical, ou
seja, use s no lugar do usual y?.
Solução:
Para 0 6 x 6 30.000, temos s(x) = 4.000, logo o gráfico da função será uma reta horizontal para x 6 30.000.
Para x > 30.000, teremos s(x) = 15x100 − 500, cujo gráfico é uma reta, dada por y =
15x
100 − 500. Para obter dois
pontos desta reta, vamos escolher dois valores de x. Para x = 30.000, temos y = 450.000100 − 500 = 4.000. Para
x = 40.000, temos y = 600.000100 − 500 = 5.500.
Esboçando então o gráfico, temos
Questão 4 [1,5pt] Represente, como intervalo ou união de intervalos, o conjunto dos números reais que satisfazem
simultaneamente às duas inequações a seguir:
|4x + 1| 6 5 e |−8x + 3| − 5 < 1.
Solução: Primeiro, vamos encontrar em separado o conjunto solução de cada uma das inequações. Em seguida,
determinamos o conjunto solução, S, dos números reais que satisfazem simultaneamente às duas inequações, fazendo
a interseção do conjunto solução de cada uma das inequações.
Para resolver |4x + 1| 6 5, vamos utilizar o resultado: |y| ≤ a ⇔ −a ≤ y ≤ a. Neste caso, tomando y = 4x + 1 e
a = 5, segue que
|4x + 1| 6 5
m
−5 6 4x + 1 6 5
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Métodos Determińısticos I AP2 3
m
−6 6 4x 6 4
m
−64 6 x 6 1
Logo, o conjunto solução desta inequação é o conjunto S1, dado por
S1 =
{
x ∈ R | − 64 6 x 6 1
}
=
[
−64 , 1
]
.
Agora, vamos resolver a segunda inequação.
Observe que | − 8x + 3| − 5 < 1 ⇔ |− 8x + 3| < 6. Para resolver esta inequação, vamos utilizar o resultado: |y| < a
⇔ −a < y < a. Neste caso, tomando y = −8x + 3 e a = 6, segue que
| − 8x + 3| < 6
m
−6 < −8x + 3 < 6
m
−9 < −8x < 3
m
9
8 > x > −
3
8
m
−38 < x <
9
8
Logo, o conjunto soluçãoo desta inequação é o conjunto S2, dado por
S2 =
{
x ∈ R | − 38 < x <
9
8
}
=
(
−38 ,
9
8
)
.
Para encontrar o conjunto S, dos números reais que satisfazem ao mesmo tempo às duas inequações, temos que
determinar o conjunto dos números que estão ao mesmo tempo nos dois intervalos encontrados, isto é, a interseção
destes intervalos.
Conclusão:
S = S1 ∩ S2 = [−6/4, 1] ∩ (−3/8, 9/8) = (−3/8, 1]
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Métodos Determińısticos I AP2 4
Questão 5 [1,5pt] Resolva o sistema {
x2 + 3y2 = 32
−3x2 + y2 = −6.
Solução: Multiplicando a segunda equação por −3, temos{
x2 + 3y2 = 32
9x2 − 3y2 = 18.
Somando as equações, obtemos
10x2 = 50,
logo x2 = 5.
Com isso, substituindo x2 = 5 na primeira equação, temos
5 + 3y2 = 32 ∴ 3y2 = 27 ∴ y2 = 9.
Como x2 = 5 e y2 = 9, temos x = ±
√
5 e y = ±
√
9 = ±3. Assim, as soluções do sistema podem ser os pontos
(−
√
5,−3), (−
√
5, 3), (
√
5,−3), (
√
5, 3).
USE O ENUNCIADO A SEGUIR PARA RESOLVER AS QUESTÕES DE 6 A 8.
Considere que as funções de demanda e de oferta de um determinado produto são dadas, respectivamente, por
D(P ) = −P 2 + 4P + 12 e Q(P ) = 7P3 −
14
3 ,
onde P é o preço do produto em reais e D e Q são a demanda e a oferta, respectivamente, em milhões de unidades.
Observação: Para ajudar nas contas, segue uma pequena taboada:
22 = 4 82 = 64 142 = 196 202 = 400 262 = 676
32 = 9 92 = 81 152 = 225 212 = 441 272 = 729
42 = 16 102 = 100 162 = 256 222 = 484 282 = 784
52 = 25 112 = 121 172 = 289 232 = 529 292 = 841
62 = 36 122 = 144 182 = 324 242 = 576 302 = 900
72 = 49 132 = 169 192 = 361 252 = 625 312 = 961
Questão 6 [1,0 pt] Quais são os preços máximo do produto (valor acima do qual não há demanda pelo mesmo)? E
qual é o preço ḿınimo (valor abaixo do qual não há oferta)?
Solução: Encontramos o preço máximo do produto, valor acima do qual não há demanda pelo mesmo, verificando
quando temos a demanda igual a zero. Neste caso, temos que
D(P ) = 0 ⇔ −P 2 + 4P + 12 = 0
⇔ P 2 − 4P − 12 = 0
⇔ P = −2 ou P = 6.
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor
positivo de P , que é P = 6. Assim, o preço máximo do produto é R$6,00.
Encontramos o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta do mesmo, verificando quando temos a
oferta igual a zero. Neste caso, temos que
Q(P ) = 0 ⇔ 7P3 −
14
3 = 0
⇔ 7P3 =
14
3
⇔ P = 147 = 2.
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Métodos Determińısticos I AP2 5
Assim, o preço ḿınimo do produto, valor abaixo do qual não há oferta para ele, é R$2,00.
Questão 7 [1,0 pt] Qual é o preço de equiĺıbrio para este produto? Quais são os valores da demanda e da oferta
referentes a este preço?
Solução:
Para encontrar o preço de equiĺıbrio, vamos igualar as funções demanda, D, e oferta, Q.
D(P ) = Q(P ) ⇔ −P 2 + 4P + 12 = 7P3 −
14
3
⇔ −3P 2 + 12P + 36 = 7P − 14
⇔ −3P 2 + 5P + 50 = 0
⇔ 3P 2 − 5P − 50 = 0
⇔ P =
−(−5)±
√
(−5)2 − 4 · 3 · (−50)
2 · 3
⇔ P = 5±
√
625
6 =
5± 25
6
⇔ P = 5 ou P = −103 .
Como preço é um valor maior ou igual a zero, i.e. P ≥ 0, desprezamos o valor negativo e ficamos apenas com o valor
positivo de P , que é P = 5.Assim, o preço de equiĺıbrio é de R$ 5,00.
A demanda e a oferta correspondentes a este preço é de D(P ) = Q(P ) = 7 · 53 −
14
3 = 7, isto é, 7 milhões de
unidades.
Questão 8 [1,5 pt] Esboce em um mesmo gráfico as curvas de demanda e de oferta deste produto, destacando os
pontos onde a oferta ou a demanda são iguais a zero, os pontos de equiĺıbrio e o ponto de demanda máxima.
Solução: Já vimos, na Questão 6, que Q(2) = 0. Portanto, o ponto (2, 0) é um ponto do gráfico da função oferta.
Vimos também, na Questão 7, que D(5) = Q(5) = 7. Repare que o ponto de equiĺıbrio será então (5, 7). Ou seja, o
ponto (5, 7) é um ponto do gráfico da função demanda e também é um ponto do gráfico da função oferta.
O gráfico da função oferta Q é uma reta, pois ela é uma função de polinomial 1o grau. E, como já conhecemos dois
de seus pontos (2, 0) e (5, 7), podemos esboçar a reta.
O gráfico da função demanda D é uma parábola. Já conhecemos as duas ráızes −2 e 6. O vértice (xv, yv) desta
parábola representa o ponto de demanda máxima, e suas coordenadas são dadas por
xv = −
b
2a = −
4
2 · (−1) = 2
yv = −
∆
4a = −
42 − 4 · (−1) · 12
4 · (−1) = −
64
−4 = 16.
Assim, o vértice é o ponto (2, 16).
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Métodos Determińısticos I AP2 6
Esboçando as funções, temos
Mas já vimos que os preços para os quais há demanda e oferta satisfazem 2 6 P 6 6, assim, podemos esboçar o
gráfico das funções apenas para estes valores de P , como abaixo:
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