Análise Quantitativa e Probabilidades

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Profª Adriana Maria Miguel Peixe
Modelos de Análise Quantitativos
Aula 5
Medidas de variação
ou de dispersão
A = Xmaior – Xmenor
Temos o conjunto de dados {40, 42, 47,53,62,80}
Logo a amplitude total será neste caso:
80 – 40 = 40
Diferença entre o maior valor e o menor valor
de observação de um conjunto de dados
Amplitude
Bruni (2013).
Representa o afastamento médio
dos pontos em relação à média
Fórmula desvio médio absoluto
Desvio médio absoluto
Bruni (2013).
DMA = ∑ 𝒙𝒊 𝒙𝒏
𝐢 𝟏
𝒏
Variância é uma medida de dispersão e é 
usada também para expressar o quanto um 
conjunto de dados se desvia da média
Variância
Bruni (2013).
𝑺𝟐
𝒙 𝒙 𝟐
𝑵 𝟏
É definido como a raiz quadrada da variância. 
Desta forma, a unidade de medida do desvio 
padrão será a mesma da unidade de medida 
dos dados, o que não acontece com a 
variância
Desvio padrão
Bruni (2013).
𝑫𝑷 𝒗
1 2
3 4
5 6
Noções básicas de probabilidades
A probabilidade representa o desafio de 
prever um resultado futuro em função da 
multiplicidade dos eventos cuja possibilidade 
de ocorrência é estudada (Bruni, 2013)
Noções básicas de probabilidades
Bruni (2013).
𝑷 𝒙
𝑵𝐞𝑭
𝑵𝐞𝑷
𝐞
𝑬𝑨
Regra da adição e da multiplicação
Na regra da adição, dois eventos A e B são 
mutuamente exclusivos quando A e B não 
puderem ocorrer ao mesmo tempo
Regra da adição e da multiplicação
Bruni (2013).
Na regra da multiplicação, a probabilidade 
representa o desafio de prever um resultado 
futuro em função da multiplicidade de 
eventos cuja possibilidade de ocorrência é 
estudada
Regra da adição e da multiplicação
Bruni (2013).
Teorema de Bayes
(probabilidade condicional)
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9 10
11 12
Fernando pede a um amigo para 
extrair uma carta de um baralho de 
52 cartas uma informação sobre ela
O amigo só lhe diz que a carta
é uma figura de copas
Probabilidade condicional
Pinheiro et al. (p.14, 2012) 
Com esse dado, Fernando deve calcular
a probabilidade de a carta ser um rei,
ou seja, ele já tem uma informação
sobre a carta selecionada
Neste sentido então temos
um evento chamado de:
“A” = A carta é uma figura de copas
“B” = A carta é um rei
Probabilidade condicional
Pinheiro et al. (p.14, 2012) 
Desejamos determinar a 
probabilidade de “B” quando 
é sabido que “A” ocorreu, 
isto chamamos de 
probabilidade condicional
Probabilidade condicional
Pinheiro et al. (p.14, 2012) 
Em dado experimento, se “A” e “B” 
ocorreram, a probabilidade de “B”
ter ocorrido quando se sabe que “A” 
ocorreu, é representada por P(B|A).
Temos então a leitura de
probabilidade de B dado “A”
Probabilidade condicional
Pinheiro et al. (p.14, 2012) 
Embora o baralho tenha 52 cartas
O espaço amostral para Fernando ficou 
reduzido às três figuras de copas:
valete; dama e rei. Ou seja,
ao número de elementos de “A”
Como há um rei entre estas três figuras, 
concluímos que P(B|A) = 1/3
Probabilidade condicional
Pinheiro et al. (p.14, 2012) 
Assim para calcularmos P(B|A) procederemos 
como se “A” fosse o novo espaço amostral, que 
chamaremos
de espaço amostral reduzido
A probabilidade será calculada considerando no 
numerador o número de elementos de
“B” que estão em “A”, a intersecção neste caso 
de “A com B”
Probabilidade condicional
Pinheiro et al. (p.14, 2012) 
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Espaço amostral possui 52 resultados possíveis 
enquanto que o evento A = “a carta é uma
figura de copas”, tem três resultados.
Assim P(A) = 3/52
Já A∩B tem como resultados somente o
rei de copas, portanto, P(A∩B) = 1/52
Neste sentido:
𝑷(├ 𝑩┤|𝑨)=𝑷(𝑨∩𝑩)/𝑷(𝑨) =(𝟏⁄𝟓𝟐)/(𝟑⁄𝟓𝟐)=𝟏/𝟑
Probabilidade condicional
Pinheiro et al. (p.14, 2012) 
Estudo de caso ou prática V
Lançamento de um dado:
Considerando o lançamento de um dado.
O espaço amostral é... Ω = {1,2,3,4,5,6}
Seja “A” o evento descrito como
A={o resultado é um número par}
Os resultados que satisfazem
essa condição são 2, 4 e 6
Prática V – atividade 1
Pinheiro et al. (2012).
Lançamento de um dado:
Portanto podemos escrever “A”= {2,4,6}. 
Notemos que em um lançamento de um
dado só pode ocorrer um resultado.
Se ele for 2, 4 ou 6. Diremos neste
sentido que o evento “A” ocorreu
Prática V – atividade 1 (continuação)
Pinheiro et al. (p.4, 2012).
Lançamento de um dado:
Já se o resultado for 1, 3 ou 5,
diremos que “A” não ocorreu 
Sendo assim, dado evento “A” ocorrerá
se (e somente se) um resultado que
pertence a “A” ocorrer
Prática V – atividade 1 (continuação)
Pinheiro et al. (p.4, 2012).
Espaço amostral finito:
No lançamento de uma moeda, se o objetivo 
é registrar a face que a moeda apresentará 
ao cair, os dois resultados possíveis podem 
ser: cara e coroa
Escrevemos então:
Ω = {cara, coroa}
Ω = {K, C}
Prática V – atividade 2
Pinheiro et al. (p.3, 2012).
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Espaço amostral finito:
Se ao lançar um dado registramos o 
número de pontos obtidos, teremos 
então seis possíveis resultados.
Nosso espaço amostral será...
Escrevemos então:
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Prática V – atividade 2 (continuação)
Pinheiro et al. (p.3, 2012).
Espaço amostral infinito:
Se um equipamento for usado para 
fazer a contagem do número de certo 
tipo de bactérias em uma lâmina
Escrevemos então:
Ω = {0,1,2,3,4...}
Prática V – atividade 2 (continuação)
Pinheiro et al. (p.3, 2012).
Compondo o pedido de Igor:
Igor decide almoçar em determinado 
restaurante. O garçom apresenta a ele 
três opções de pratos principais, duas 
opções de bebidas e quatro sobremesas. 
De quantas maneiras poderá Igor fazer 
seu pedido?
Prática V – atividade 3
Pinheiro et al. (p.10, 2012).
Solução:
O prato principal poderá ser escolhido de
3 maneiras, duas maneiras de escolher a 
bebida e quatro maneiras de escolher a 
sobremesa
O pedido de Igor pode ser feito
de 3X2X4 = 24 maneiras
Prática V – atividade 3 (continuação)
Pinheiro et al. (p.10, 2012).
Poluição ambiental em
um processo industrial:
No processo produtivo de uma indústria
são utilizadas diariamente duas unidades
de certo insumo. Ocorre que as diferentes 
formulações desse insumo podem afetar
ou não o nível de poluição ambiental
Prática V – atividade 4
Pinheiro et al. (p.10, 2012).
Poluição ambiental em
um processo industrial:
Em determinado dia, verifica-se que
a empresa possui 40 unidades desse 
insumo em estoque, entre as quais
10 são poluentes e 30 não poluentes
Prática V – atividade 4 (continuação)
Pinheiro et al. (p.10, 2012).
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29 30
Poluição ambiental em
um processo industrial:
Se as duas unidades utilizadas em 
determinado dia forem selecionadas 
aleatoriamente uma após a outra, qual a 
probabilidade de que a segunda unidade 
também seja poluente, se a primeira for 
poluente?
Prática V – atividade 4 (continuação)
Pinheiro et al. (p.17, 2012).
Solução: 
Sejam os eventos: 
A = a primeira unidade
selecionada é poluente
B = a segunda unidade
selecionada é poluente
Queremos calcular P(B|A)
Prática V – atividade 4 (continuação)
Pinheiro et al. (p.17, 2012).
Solução: 
Se a primeira unidade for poluente, 
sobrarão 39 unidades das quais 9 
serão poluentes e 30 não poluentes
Portanto P(B|A)= 
Prática V – atividade 4 (continuação)
Pinheiro et al. (p.17, 2012).
Solução: 
Da definição de probabilidade
condicional, temos que:
P(A∩B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A) 
Este resultado é conhecido como teorema
da multiplicação de probabilidades
Prática V – atividade 4 (continuação)
Pinheiro et al. (p.17, 2012).
Fonte: Elaborado pela autora
Figura 1 – Aula 5 – Temas abordados
1. Medidas de Variação
ou de Dispersão
2. Noções Básicas
de Probabilidades
3. Regra da Adição
e da Multiplicação
4. Teorema de Bayes
(Probabilidade Condicional)
5. Prática V
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