ensino medio 1Y4G7Y

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\[ f(1) = \dfrac{0}{0} \] 
 
A expressão nos leva a forma indeterminada, e para resolver isso, podemos fatorar o 
numerador: 
 
\[ f(1) = \dfrac{(x+1)(x-1)}{x - 1} \] 
 
E então simplificar a expressão: 
 
\[ f(1) = \dfrac{x+1}{1} = 2 \] 
 
Portanto, o limite da função \( f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \) quando \( x \) se aproxima de 
1 é igual a 2. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = e^(2x) - 3x^2 + 4x + 1? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 2e^(2x) - 6x + 4 
b) f'(x) = 2e^(2x) - 6x + 4e^(2x) + 4 
c) f'(x) = e^(2x) - 6x + 4 
d) f'(x) = e^(2x) - 6x + 4e^(2x) + 4x 
 
Resposta: b) f'(x) = 2e^(2x) - 6x + 4e^(2x) + 4 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), devemos calcular a derivada de cada 
termo separadamente. A derivada de e^(2x) é 2e^(2x) pela regra da cadeia. A derivada de -
3x^2 é -6x. A derivada de 4x é 4. E a derivada de 1 é 0. Portanto, a derivada de f(x) = e^(2x) - 
3x^2 + 4x + 1 é f'(x) = 2e^(2x) - 6x + 4. 
 
Questão: Qual é a integral definida da função f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 no intervalo de 0 a 
2? 
 
Alternativas: 
a) 4 
b) 5 
c) 6 
d) 7 
 
Resposta: c) 6 
 
Explicação: Para calcular a integral definida de uma função no intervalo [a, b], é necessário 
primeiro encontrar a integral indefinida da função. A integral indefinida da função f(x) = 
2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 é F(x) = (1/2)x^4 - (5/3)x^3 + (3/2)x^2 - x. 
Para encontrar a integral definida no intervalo de 0 a 2, basta calcular F(2) - F(0): 
F(2) = (1/2)(2)^4 - (5/3)(2)^3 + (3/2)(2)^2 - 2 = 8 - 40/3 + 6 - 2 = 6 
F(0) = (1/2)(0)^4 - (5/3)(0)^3 + (3/2)(0)^2 - 0 = 0 
Portanto, a integral definida de f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1 no intervalo de 0 a 2 é 6. 
 
Questão: Qual é o valor aproximado da integral definida de f(x) = x^2 no intervalo [0, 2], 
utilizando o método do Trapézio com 4 segmentos? 
 
Alternativas: 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 
 
Resposta: c) 6 
 
Explicação: O método do Trapézio é uma técnica de integração numérica que consiste em 
aproximar a área sob a curva de uma função dividindo o intervalo de integração em vários 
segmentos e usando trapézios para aproximar cada segmento. No caso da integral de f(x) = 
x^2 no intervalo [0, 2] com 4 segmentos, a fórmula para calcular a área aproximada é: 
 
A = h/2 * [f(x0) + 2 * Σ f(xi) + f(xn)] 
 
onde h = (b - a) / n = (2 - 0) / 4 = 0.5 (tamanho de cada segmento), x0 = a = 0, xn = b = 2, e xi 
são os pontos intermediários entre x0 e xn. 
 
Substituindo na fórmula temos: 
 
A = 0.5/2 * [0^2 + 2(0.5^2 + 1 + 1.5^2) + 2^2] 
A = 0.25 * [0 + 2(0.25 + 1 + 2.25) + 4] 
A = 0.25 * [0 + 2(3.5) + 4] 
A = 0.25 * 11 
A = 2.75 
 
Portanto, a área aproximada da integral de f(x) = x^2 no intervalo [0, 2] utilizando o método 
do Trapézio com 4 segmentos é 2.75, o que mais se aproxima da alternativa c) 6. 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = ln(x^2 + x + 1) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) 2x 
b) 2x + 1