surpresa da matematica DJQ

Prévia do material em texto

17. **Problema 17:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \tan(x^2)\). 
 a) \(2x\sec^2(x^2)\) 
 b) \(\sec^2(x^2)\) 
 c) \(2\sec^2(x^2)\) 
 d) \(2x\tan(x^2)\) 
 **Resposta: a) \(2x\sec^2(x^2)\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = 2x\sec^2(x^2)\). 
 
18. **Problema 18:** 
 Calcule a integral: \(\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) \(\frac{\pi}{2}\) 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** A integral indefinida é \(-\cos(x) + C\). Avaliando de 0 a \(\frac{\pi}{2}\), 
temos \(-\cos(\frac{\pi}{2}) + \cos(0) = 0 + 1 = 1\). 
 
19. **Problema 19:** 
 Determine o valor de \(\frac{d^2}{dx^2}(x^3 + 4x^2 + 6)\). 
 a) \(6x + 8\) 
 b) \(6x + 4\) 
 c) \(6x^2 + 8\) 
 d) \(6x^2 + 4\) 
 **Resposta: a) \(6x + 8\)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(3x^2 + 8x\) e a segunda derivada é \(6x + 8\). 
 
20. **Problema 20:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta: a) 0** 
 **Explicação:** Como \(\sin\left(\frac{1}{x}\right)\) oscila entre -1 e 1, temos \(-x \leq x^2 
\sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x\). Portanto, pelo Teorema do Constrangimento, o limite é 0. 
 
21. **Problema 21:** 
 Encontre a integral: \(\int \frac{1}{x \ln(x)} \, dx\). 
 a) \(\ln(\ln(x)) + C\) 
 b) \(\frac{1}{\ln(x)} + C\) 
 c) \(\frac{1}{x \ln(x)} + C\) 
 d) \(\ln(x) + C\) 
 **Resposta: a) \(\ln(\ln(x)) + C\)** 
 **Explicação:** Usando a substituição \(u = \ln(x)\), temos \(du = \frac{1}{x}dx\), então a 
integral se torna \(\int \frac{1}{u} \, du = \ln(u) + C = \ln(\ln(x)) + C\). 
 
22. **Problema 22:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = x^2 e^x\). 
 a) \(x^2 e^x + 2xe^x\) 
 b) \(x^2 e^x + e^x\) 
 c) \(2x e^x\) 
 d) \(2x e^x + e^x\) 
 **Resposta: a) \(x^2 e^x + 2xe^x\)** 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, temos \(f'(x) = e^x \cdot 2x + x^2 \cdot e^x = 
e^x(2x + x^2)\). 
 
23. **Problema 23:** 
 Calcule a integral: \(\int_1^2 (3x^2 - 4x + 1) \, dx\). 
 a) 1 
 b) 0 
 c) 2 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta: a) 1** 
 **Explicação:** A integral indefinida é \(x^3 - 2x^2 + x + C\). Avaliando de 1 a 2, temos 
\((2^3 - 2 \cdot 2^2 + 2) - (1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1) = (8 - 8 + 2) - (1 - 2 + 1) = 2 - 0 = 2\). 
 
24. **Problema 24:** 
 Determine o valor de \(\frac{d^2}{dx^2}(e^{x^2})\). 
 a) \(2e^{x^2}\) 
 b) \(4xe^{x^2}\) 
 c) \(2xe^{x^2} + 2e^{x^2}\) 
 d) \(e^{x^2}\) 
 **Resposta: c) \(2xe^{x^2} + 2e^{x^2}\)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(2xe^{x^2}\) e a segunda derivada, usando a regra 
do produto, é \(2e^{x^2} + 2xe^{x^2}\). 
 
25. **Problema 25:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 2 
 **Resposta: c) 3** 
 **Explicação:** O limite é indeterminado, mas podemos fatorar \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x 
+ 1)\). Assim, o limite se torna \(\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3\). 
 
26. **Problema 26:** 
 Encontre a integral: \(\int (2x + 3)(x - 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + C\) 
 b) \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - 3x + C\) 
 c) \(\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 3x + C\) 
 d) \(\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - \frac{3}{2}x + C\)