fisica nuclear GPW

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54. **Problema 54:** Calcule a derivada de \( f(x) = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 \). 
 a) \( 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 \) 
 b) \( 4x^3 + 12x^2 + 6x + 4 \) 
 c) \( 4x^3 + 12x^2 + 6x + 1 \) 
 d) \( 4x^3 + 12x^2 + 4 \) 
 **Resposta:** a) \( 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 \) 
 **Explicação:** A derivada é calculada aplicando a regra da potência para cada termo. 
 
55. **Problema 55:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2 
\). 
 
56. **Problema 56:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^3} \, dx \). 
 a) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 b) \( -\frac{1}{x^2} + C \) 
 c) \( \frac{1}{x^2} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Resposta:** b) \( -\frac{1}{2x^2} + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( x^{-3} \) é \( -\frac{1}{2x^2} + C \). 
 
57. **Problema 57:** Calcule a derivada de \( f(x) = \arctan(x) \). 
 a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{1}{1 - x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \arctan(x) \) é \( \frac{1}{1 + x^2} \). 
 
58. **Problema 58:** Determine o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^4 - 1}{x - 1} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** d) 4 
 **Explicação:** Usando fatoração, temos \( \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x - 1} = (x + 1)(x^2 + 1) 
\). Avaliando em \( x = 1 \), temos \( 2 \cdot 2 = 4 \). 
 
59. **Problema 59:** Calcule a integral \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 b) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 c) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = \frac{x}{2} \), temos \( du = \frac{1}{2}dx \), 
então \( dx = 2du \). A integral se torna \( 2 \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = 2 \tan^{-1}(u) + C = 
\tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \). 
 
60. **Problema 60:** Encontre a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \). 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 c) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 d) \( \frac{2x}{2} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
61. **Problema 61:** Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 5 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 5 
 **Explicação:** Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(kx)}{x} = k \), onde \( k = 5 \). 
 
62. **Problema 62:** Determine o valor da integral \( \int_0^1 (3x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Calculando a integral, temos \( \left[x^3 - x^2 + x\right]_0^1 = (1 - 1 + 1) - 
(0) = 1 \). 
 
63. **Problema 63:** Calcule a derivada de \( f(x) = e^{x^3} \). 
 a) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 b) \( e^{x^3} \) 
 c) \( 3 e^{x^3} \) 
 d) \( 3x^2 e^{3x^2} \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 e^{x^3} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 3x^2 e^{x^3} \). 
 
64. **Problema 64:** Encontre a integral \( \int x^2 e^{2x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} e^{2x} + C \) 
 b) \( \frac{1}{4} x^2 e^{2x} + C \) 
 c) \( \frac{1}{2} x^2 e^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{4} e^{2x} + x^2 + C \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{1}{2} x^2 e^{2x} + C \) 
 **Explicação:** Usando a integração por partes, temos \( u = x^2 \) e \( dv = e^{2x} dx \). A 
integral se torna \( \frac{1}{2} x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} dx \).