surpresa da matematica DSC

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**Resposta: a) \(\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 - \frac{3}{2}x + C\)** 
 **Explicação:** Expandendo o integrando, temos \(2x^2 + x - 3\). Integrando, obtemos 
\(\frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 3x + C\). 
 
27. **Problema 27:** 
 Determine o valor de \(\frac{d^2}{dx^2}(\ln(x))\). 
 a) \(-\frac{1}{x^2}\) 
 b) \(-\frac{1}{x}\) 
 c) \(\frac{1}{x^2}\) 
 d) \(0\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{1}{x^2}\)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(\frac{1}{x}\) e a segunda derivada é \(-
\frac{1}{x^2}\). 
 
28. **Problema 28:** 
 Calcule a integral: \(\int_0^1 (4x^3 - 2x^2 + x) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{4}\) 
 b) \(\frac{1}{3}\) 
 c) \(\frac{1}{2}\) 
 d) \(\frac{1}{6}\) 
 **Resposta: c) \(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** A integral indefinida é \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + C\). 
Avaliando de 0 a 1, temos \((1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2}) - (0) = 1 - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} = 
\frac{1}{2}\). 
 
29. **Problema 29:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(\infty\) 
 d) Não existe 
 **Resposta: b) 1** 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} 
= 1\). 
 
30. **Problema 30:** 
 Encontre a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x^2}\). 
 a) \(-\frac{2}{x^3}\) 
 b) \(-\frac{1}{x^2}\) 
 c) \(\frac{2}{x^3}\) 
 d) \(-\frac{1}{2x^2}\) 
 **Resposta: a) \(-\frac{2}{x^3}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra de potência, a derivada de \(x^{-2}\) é \(-2x^{-3} = -
\frac{2}{x^3}\). 
 
31. **Problema 31:** 
 Calcule a integral: \(\int (x^2 + 2x + 1) \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C\) 
 b) \(\frac{1}{3}x^3 + x^2 + C\) 
 c) \(x^3 + x^2 + C\) 
 d) \(\frac{1}{2}x^3 + x^2 + C\) 
 **Resposta: a) \(\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C\)** 
 **Explicação:** Integrando cada termo, temos \(\int x^2 \, dx = \frac{1}{3}x^3\), \(\int 2x 
\, dx = x^2\), e \(\int 1 \, dx = x\). Portanto, a integral é \(\frac{1}{3}x^3 + x^2 + x + C\). 
 
32. **Problema 32:** 
 Determine o valor de \(\frac{d^2}{dx^2}(x^4 + 3x^3 + 2x)\). 
 a) \(12x + 6\) 
 b) \(12x^2 + 6\) 
 c) \(12x^2 + 6x\) 
 d) \(12x^2 + 6x + 2\) 
 **Resposta: b) \(12x^2 + 6\)** 
 **Explicação:** A primeira derivada é \(4x^3 + 9x^2 + 2\) e a segunda derivada é \(12x^2 
+ 18x\). 
 
33. **Problema 33:** 
 Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\). 
 a) 0 
 b) -\(\frac{1}{2}\) 
 c) 1 
 d) -1 
 **Resposta: b) -\(\frac{1}{2}\)** 
 **Explicação:** Usando a expansão de Taylor para \(\cos(x)\), temos \(\cos(x) \approx 1 - 
\frac{x^2}{2} + O(x^4)\). Portanto, o limite se torna \(\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = 
-\frac{1}{2}\). 
 
34. **Problema 34:** 
 Encontre a integral: \(\int (3x^2 - x + 4) \, dx\). 
 a) \(x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C\) 
 b) \(x^3 - x^2 + 4x + C\) 
 c) \(3x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C\) 
 d) \(x^3 - \frac{1}{3}x^2 + 4x + C\) 
 **Resposta: a) \(x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C\)** 
 **Explicação:** Integrando cada termo, temos \(\int 3x^2 \, dx = x^3\), \(\int -x \, dx = -
\frac{1}{2}x^2\), e \(\int 4 \, dx = 4x\). Portanto, a integral é \(x^3 - \frac{1}{2}x^2 + 4x + C\). 
 
35. **Problema 35:** 
 Calcule a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^2 + 1}\). 
 a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 b) \(\frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 c) \(\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 d) \(\frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}}\) 
 **Resposta: a) \(\frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\)** 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 
2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\).