2024 - Encontro 1 - módulo 1 (ALUNOS) - Civil - Resolução

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Professora: Eunice Alves Nascimento 
Disciplina: Geometria Analítica 
 
GEOMETRIA ANALÍTICA 
Engenharia Civil 
 
Cronograma 
 
1º Encontro – 30/10 
2º Encontro - 06/11 
3º Encontro – 13/11 
4º Encontro – 20/11 
 
ENCONTRO 1 – MÓDULO I 
 
Módulo I: Posições e Operações 1º Encontro 
 
 Vetores no R2, R3 e Rn: igualdade de vetores e operações 
 
 
 
 
https://uni20.com.br/mod/lti/view.php?id=30698
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
a) (-2,-3,-5) 
 
b) (2,3,5) 
 
c) (0,3,7) 
 
d) (0,-3,-7) 
 
e) (4,7,11) 
 
2. Determine o módulo do vetor v = (2,3,1) 
 
a) 14 
 
b) -√14 
 
c) √6 
 
d) √14 
 
e) 6 
 
 
3. Determine o versor do vetor b = 2i – j + 2k. 
 
a) 3 
 
b) 9 
 
c) (2, -1,2) 
 
d) (2/9, -1/9,2/9) 
 
e) (2/3, -1/3,2/3) 
 
4. Dados os vetores u = (3,2, –1) e v = (2, –3,1), calcule –8u –3v. 
a) (-30, -7,5) 
 
b) (18, 25, -11) 
 
c) (-25, 18, -5) 
 
d) (-18, -25, 11) 
 
e) (30, 7, -5) 
 
5. Conforme apresentado nesta unidade, todo vetor possui módulo, direção e sentido. Pode ocorrer, em 
algum problema aplicado, que as informações relevantes para o problema sejam apenas a direção e o 
sentido. Neste caso, em vez de trabalhar com o vetor original, é possível utilizar o vetor unitário associado, 
que preserva a direção e sentido originais, mas transforma o módulo em 1, dividindo cada componente do 
vetor pelo valor de seu módulo. Determine os valores do escalar α para que o vetor v = (0,3α,4α) seja 
unitário. 
a) 1 ou -1 
 
b) 5 ou -5 
 
c) 3 ou -3 
 
d) 1/5 ou -1/5 
 
e) 3/4 ou -3/4 
 
Posições relativas à interseção de duas retas 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) Marque a alternativa correta sobre as posições relativas à interseção entre duas retas no espaço. 
a) Retas reversas não possuem ponto de interseção, mas seus vetores diretores são múltiplos escalares. 
b) Retas paralelas não possuem ponto de interseção, nem seus vetores diretores são múltiplos 
escalares. 
c) Retas concorrentes possuem ponto de interseção e seus vetores diretores não são múltiplos 
escalares. 
 
d) Retas coincidentes não possuem ponto de interseção, mas seus vetores diretores são múltiplos 
escalares. 
e) Retas concorrentes não possuem ponto de interseção, nem seus vetores diretores são múltiplos 
escalares. 
 
2) Marque a alternativa que contém a afirmação correta sobre a posição relativa a interseção das retas 
dadas. 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
3) Determine, se existir, o ponto de interseção das retas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Retas paralelas são retas que não possuem ponto de interseção e cujos vetores diretores são múltiplos 
escalares. Marque a alternativa que contém duas retas paralelas. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
 
5) Retas reversas são retas que não possuem ponto de interseção e cujos vetores diretores não são 
múltiplos escalares. Marque a alternativa que contém duas retas reversas. 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
 
e) 
 
 
 
 
Produto Escalar e Produto Vetorial entre vetores 
 
 
 
https://uni20.com.br/mod/lti/view.php?id=30700
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1. Dados os vetores u = (1,2), v = (4, -2) e w = (6,0) determine u.(7v+w). 
a) 6 
b) – 6 
c) (34, -28) 
d) (34, 28) 
e) 62 
 
a) Os vetores u e v são ortogonais. 
b) O ângulo entre eles é agudo. 
c) O ângulo entre eles é obtuso. 
d) u.v = - 31 
e) u.v = 32 
 
3) Para representar formas tridimensionais por meio de figuras planas, por exemplo, na elaboração de 
plantas, é comum o uso de projeções ortogonais. Na figura a seguir, o vetor p é a projeção ortogonal do 
vetor u na direção do vetor v. 
 
Considerando um vetor u = (2,1) e um vetor v = (-3,2), encontre a projeção ortogonal de u em v. 
a) (-12/13, -8/13). 
 
b) (12/13, -8/13). 
 
c) (12/13, 8/13). 
 
d) (12, -8) 
 
e) (12/√13, -8/√13) 
 
4. Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u = (-1,-1,-1) e v = (2,0,2). 
a) 0 
b) (-2, 2, 2) 
c) (-2, 0, -2) 
d) (2, 0, 2) 
e) (-2, 0, 2) 
f) 5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5) Uma aplicação do produto vetorial se dá no cálculo da área do paralelogramo definido pelos vetores u e 
v. 
 
Considerando os pontos A(1,1,0), B(3,1,0), C(1,4,2) e D(3,4,2), encontre a área do paralelogramo 
definido por tais pontos. 
a) (0, 4, -6) 
 
b) -2 (u.a.) 
 
c) 4 √13 (u.a.) 
 
d) 2 √13 (u.a.) 
 
e) - 2 √13 (u.a.) 
 
 
 
 
 
 
Produto Misto entre vetores 
 
 
 
 
 
https://uni20.com.br/mod/lti/view.php?id=30701
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
2. Sabe-se que o volume do tetraedro é 1/6 do volume do paralelepípedo circunscrito. Dados os pontos 
A(1,1,1), B(2,0,3), C(4,1,7) e D(3,-1,-2), encontre o volume do tetraedro por eles determinado. 
 
a) 7/2 
b) – 7/2 
c) 21 
d) – 21 
e) 7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 2 
b) 6 
c) 18 
d) -12 
e) 12 
 
a) 0 
b) (-1, 0, -1) 
c) (-1, 1, -1) 
d) (1, 0, -1) 
e) (-1, 0, 1 ) 
 
a) O produto misto entre eles é 12. 
b) Os vetores não são coplanares 
c) O duplo produto vetorial entre eles é o vetor (8, 8, - 8) 
d) O duplo produto vetorial entre eles é o vetor (8, 8, 8) 
e) O produto misto entre eles é 8