GEOMETRIA ANALÍTICA - Everton Coelho de Medeiros

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GEOMETRIA 
ANALÍTICA
Everton Coelho de Medeiros
Vetores no Rn
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Descrever vetores no espaço Rn, para todo n natural.
 � Resolver operações de adição e multiplicação por escalar.
 � Relacionar vetores iguais em Rn, para todo n natural.
Introdução
Neste capítulo, você vai estudar as representações dos vetores em um 
espaço de até n-dimensões. Além disso, você aprenderá a realizar ope-
rações básicas entre vetores e multiplicação por escalar e acompanhará 
o processo de normalização e verificação de igualdade entre vetores.
Descrição de vetores no espaço
A descrição de eventos matemáticos ou físicos em grandezas escalares e veto-
riais já não é novidade em livros de geometria analítica, no entanto é sempre 
interessante apresentar a diferença entre essas grandezas no início do estudo 
de vetores ou cálculo vetorial. De acordo com Santos e Ferreira (2009), uma 
grandeza é dita escalar quando se especifica apenas sua magnitude e uma 
unidade, como o comprimento, a massa e o tempo. Já uma grandeza vetorial 
é expressa por sua magnitude, direção e sentido de atuação e uma unidade, 
como a força, a velocidade, a aceleração e o torque. 
A representação gráfica de um vetor é dada por uma seta, e possui em 
suas extremidades dois pontos que o determinam (WINTERLE, 2014). Na 
Figura 1, é apresentada a representação geométrica de um vetor. As notações 
matemáticas para um vetor podem ser as mais diversas, há autores que traba-
lham com chaves ou colchetes, lembrando representações matriciais ou então 
como apresentado em linguagem de programação. As mais usuais, e as que 
aparecerão neste material, serão as seguintes (SANTOS; FERREIRA, 2009):
 — uma letra seguida de uma flecha sobre ela;
v — uma letra em negrito;
 — os dois pontos que deram origem ao vetor seguido de uma flecha 
sobre eles.
Para fins de padronização, usaremos apenas a notação em negrito para indicar um vetor.
Figura 1. Representação gráfica de um vetor. 
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
v = v = AB
A
B
Vetores no Rn2
O módulo de um vetor é considerado o tamanho dele, assim sendo, caso 
tenhamos um vetor v na direção horizontal com origem em (0,0) e final em 
(2,0), o módulo será a distância do ponto de origem até o ponto de destino, 
sendo, então, um valor de 2. A direção e o sentido são mais bem representados 
quando desenhados em um plano cartesiano por exemplo. A Figura 2 apresenta 
vetores V1 e V2 com direção horizontal e sentido da esquerda para a direita 
no primeiro caso e direita para a esquerda no segundo.
Figura 2. Vetores na direção horizontal, sentidos opostos e mesmo módulo.
Vetores orientados que tenham mesma magnitude (ou módulo), mesma 
direção e sentido são ditos equivalentes (SANTOS; FERREIRA, 2009). 
Vamos a um exemplo físico com vetores. Considerando um avião que saiu 
do aeroporto de São Paulo/Brasil com destino ao aeroporto de Toronto/
Canadá, com velocidade constante de 800 km/h, deslocando para noroeste 
(45º em relação ao norte), qual é um possível vetor que um controlador de 
voo poderia desenhar sobre seu mapa (considerando que cada diagonal dos 
quadrados maiores do mapa valem 200 km/h)? Na Figura 3, é apresentado o 
vetor v resultante de o avião estar alinhado para seu destino, e com módulo 
|v| igual a 800 km/h.
3Vetores no Rn
Figura 3. Orientação desenhada pelo controlador de voo com notação de vetor.
Canadá Norte
α = 45º
Brasil
Algumas vezes, quando se apresenta mais de um vetor, é possível que esses vetores 
sejam paralelos ou ortogonais (possuem um ângulo de 90º entre si). Quando isso 
ocorre, é comum apresentar pares de vetores v//u para vetores paralelos e v┴u para 
vetores ortogonais, sem a necessidade de falar do ângulo entre eles.
Operações básicas com vetores
Assim como fazemos com grandezas escalares, podemos realizar com os vetores 
operações matemáticas (SANTOS; FERREIRA, 2009). A primeira a ser vista 
é a multiplicação de um vetor por um escalar. Um vetor pode ser “esticado” 
ou “encolhido” ou “invertido” quando multiplicado por um escalar, ou seja, se 
multiplicarmos todas as posições de um vetor por um escalar positivo real e 
maior do que 1, estamos aumentando a sua magnitude e, assim, “esticando” esse 
vetor. Caso a multiplicação seja feita por um escalar positivo real menor do que 1, 
estamos diminuindo sua magnitude e, consequentemente, “encurtando” ou 
“encolhendo” o vetor. Por fim, caso o vetor seja multiplicado por um número real 
negativo, o sentido será trocado e assim o estaremos “invertendo”. A Figura 4 
apresenta exemplos de multiplicação com escalares diferentes.
Vetores no Rn4
Figura 4. Vetor v multiplicado por escalares: (a) escalares de diversos valores; (b) escalar 
unitário negativo.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
v
v2v –3v
v1
2
v1
2
–
–v = –1v
Veja a seguir propriedades generalizadas para multiplicação de vetores em 
espaços de n-dimensões (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014).
 � Distributiva sobre os vetores: α ∙ (u + v) = α ∙ u + α ∙ v
 � Distributiva sobre os escalares: (α + β) ∙ v = α ∙ v + β ∙ v
 � Associativa: α ∙ (β ∙ v) = α ∙ β ∙ v
 � Unitária: 1 ∙ v = v
Considere o vetor r (1,2,5). Encontre os vetores s, t e v obtidos ao multiplicarmos o 
vetor r por escalares –3, 0.2 e 8, respectivamente.
Solução:
s = –3 ∙ r = –3 ∙ (1,2,5) = (–3, –6, –15)
t = 0,2 ∙ r = 0,2 ∙ (1,2,5) = (0 ∙ 2,0 ∙ 4,1)
v = 8 ∙ r = 8 ∙ (1,2,5) = (8, 16, 40)
A adição de vetores (não nulos) é definida como: posicionamento dos 
vetores com suas origens coincidentes e, em seguida, forma-se um parale-
logramo com os vetores u e v. O vetor soma u + v é o vetor com a mesma 
origem de u e v, com magnitude, direção e sentido dados pela diagonal do 
paralelogramo (SANTOS E FERREIRA, 2009). Essa regra para a adição de 
vetores, apresentada na Figura 5, é conhecida como regra do paralelogramo.
5Vetores no Rn
Figura 5. Adição de vetores pela regra do paralelogramo.
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
A
Bu
u + v
D
C
v
Para o caso da soma de mais de dois vetores, deve-se utilizar o mesmo 
método da regra do paralelogramo. Também é possível ligar os vetores, a 
origem de cada vetor no final do anterior, ao fechar o polígono, assim, o vetor 
resultante t será o vetor que, ao somar com os outros três, dará valor nulo, por 
isso, basta inverter seu sentido. A Figura 6 apresenta uma construção como essa.
Figura 6. Soma de mais de dois vetores. 
Fonte: Adaptada de Winterle (2014).
u u + v
u + v + w
v
w u
v
t
w
Vetores no Rn6
Veja a seguir propriedades generalizadas para adição de vetores em espaços 
de n-dimensões (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014).
 � Comutativa: u + v = v + u
 � Associativa: (u + v) + w = u + (v + w)
 � Elemento neutro: v + 0 = v
 � Elemento oposto: v + (–v) = 0
Vetores no R2
Para realizar a operação de adição entre dois vetores u = (x1, y1), v = (x2, y2) e 
o escalar real α, define-se o seguinte (SANTOS; FERREIRA, 2009).
 � Adição: u + v = (x1 + x2, y1 + y2)
 � Multiplicação por escalar: α ∙ u = (α ∙ x1, α ∙ y1)
Ou seja, as operações de adição e multiplicação por escalar são realizadas 
por componente a componente. Lembre-se de que as propriedades de adição são 
as mesmas para esse espaço bidimensional. A operação de módulo é realizada 
para obtenção do valor da magnitude de um vetor v. A notação matemática de 
um módulo de vetor é |v| (SANTOS; FERREIRA, 2009). O módulo é obtido 
a partir da soma dos quadrados de cada componente e, em seguida, retira-se 
a raiz quadrada. Veja a seguir um exemplo.
Qual é o módulo dos vetores u (3,4) e v (6, 8)?
7Vetores no Rn
Perceba que, caso os vetores sejam equivalentes, ou seja, multiplicados por 
um escalar, o módulo do vetor multiplicado é igual ao módulo do vetor anterior 
multiplicado pelo escalar. Lembre-se de que não há forma de o módulo ficar nega-
tivo. Vetores podem ser obtidos por dois pontos no plano cartesiano, por exemplo, 
A (x1,y1) e B (x2,y2). Para gerar o vetor,basta realizar uma subtração entre os pontos.
Sabendo que um vetor é definido entre os pontos A (-2,3) e B (1,8), quais são os vetores 
AB e BA? 
Para o vetor AB, devemos subtrair B de A e, para o vetor BA, devemos subtrair A de B.
AB = B – A = (1 – (–2), 8 – 3) = (3, 5)
BA = A – B (–2 – 1,3 – 8) = (–3, –5)
Vetores no R3 e Rn
O tratamento de vetores em espaços de maiores dimensões acaba sendo apenas 
uma extensão das operações e propriedades apresentadas no espaço bidi-
mensional em R2, tornando apenas mais complicado nos momentos em que 
é necessário desenhar, exigindo uma visão espacial. A Figura 7 apresenta 
vetores desenhados no espaço de três dimensões.
Figura 7. Vetores em R3.
6G
F
5
4
3
2
1
0
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 
2
3
4
5
6
1
0
–1
–2
–3
A
f
e
Vetores no Rn8
O link ou código a seguir disponibiliza um software para 
cálculos matemáticos, o qual também está disponível 
para download gratuito e permite realização de diversos 
problemas de geometria e funções, entre outros. 
https://goo.gl/vxH7Y4
Vetores iguais
Como dito anteriormente, vetores são representados por sua magnitude (ou 
módulo), direção e sentido (SANTOS; FERREIRA, 2009). Por isso, se des-
considerarmos as variações de sentido e/ou de direção, a probabilidade de 
encontrarmos vetores iguais em um mesmo plano ou então em planos diferentes 
é alta. A Figura 8 apresenta um exemplo disso com a presença de vários vetores 
iguais em módulo, porém posicionados em diferentes regiões de um plano. 
Figura 8. Vetores iguais em um mesmo plano.
Fonte: Adaptada de Santos e Ferreira (2009).
v
v
v
v
9Vetores no Rn
Vetores unitários
Um vetor é chamado de unitário quando seu módulo é igual a 1, ou seja, a raiz da 
soma dos valores das projeções ao quadrado será igual a 1 (WINTERLE, 2014). 
Vetores unitários são também conhecidos como versores. Todo vetor que não seja 
unitário pode ser transformado em unitário por meio de um processo chamado 
de normalização. O processo de normalização consiste das seguintes etapas.
1. Encontrar o valor do módulo do vetor.
2. Dividir o valor de cada posição do vetor pelo módulo.
3. Verificar a transformação realizando o mesmo procedimento de cálculo 
do módulo; caso seja igual a 1, o vetor foi normalizado e é chamado 
de unitário.
Há ainda vetores unitários, chamados de i, j e k (SANTOS; FERREIRA, 
2009). A Figura 9 apresenta esses vetores no plano tridimensional. 
Figura 9. Vetores unitários i, j e k.
k
j
i
Vetores unitários são uma importante ferramenta para verificação da igualdade de 
vetores, pois, caso dois vetores diferentes possuam valores diferentes de vetores 
unitários, significa que os dois vetores não são iguais.
Vetores no Rn10
Verifique se os vetores u (1,1,5) e v (2,3,2) são iguais.
Os vetores unitários (u’ e v’) de u e v são: 
Verifique se os vetores u (2,4,6) e v (1,2,3) são iguais.
Podemos inicialmente verificar a dependência de uma multiplicação por um escalar; 
caso não encontremos o mesmo valor de multiplicação para todas as posições, partimos 
para o mesmo tratamento do exemplo anterior.
Após dividir todas as posições, encontramos o mesmo valor em todas as posições, 
ou seja, o vetor v é igual ao vetor u multiplicado por um escalar de valor 0,5.
11Vetores no Rn
Acesse o link a seguir para trabalhar com vetores no espaço tridimensional, além 
de outros problemas que estejam nesse espaço. Essa é uma extensão do software 
Geogebra Classic.
https://goo.gl/adZBJT
Já no link a seguir, é possível visualizar exercícios de inserção e geração de pontos 
com o uso do software Geogebra. Há também uma lista de outros exercícios de 
geometria analítica disponibilizados pelo departamento de Matemática da UFRGS.
https://goo.gl/baf3fa
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
STEINBRUCH, A. C.; WINTERLE, P. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014. 
WINTERLE, P. Vetores e geometria analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson, 2014.
Vetores no Rn12