trabalhando na mateamtica 1s9r

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**54.** Determine a integral: \(\int (4x^2 - 3x + 2) dx\). 
A) \(\frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C\) 
B) \(\frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + C\) 
C) \(\frac{4x^3}{3} - 3x + 2 + C\) 
D) \(\frac{4x^3}{3} - 3 + 2x + C\) 
**Resposta: A) \(\frac{4x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} + 2x + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(4x^2\) é \(\frac{4x^3}{3}\), de \(-3x\) é \(-\frac{3x^2}{2}\), e 
de \(2\) é \(2x\). 
 
**55.** Qual é a segunda derivada de \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x\)? 
A) \(6x - 12\) 
B) \(6x - 9\) 
C) \(6x - 6\) 
D) \(6x + 12\) 
**Resposta: A) \(6x - 12\)** 
**Explicação:** A primeira derivada é \(3x^2 - 12x + 9\) e a segunda derivada é \(6x - 12\). 
 
**56.** Calcule a integral: \(\int (2x^2 + 3x + 1) dx\). 
A) \(\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x + C\) 
B) \(\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + C\) 
C) \(\frac{2x^3}{3} + 3x + C\) 
D) \(\frac{2x^3}{3} + \frac{3}{2} + C\) 
**Resposta: A) \(\frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2} + x + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(2x^2\) é \(\frac{2x^3}{3}\), de \(3x\) é \(\frac{3x^2}{2}\), e de 
\(1\) é \(x\). 
 
**57.** Encontre a derivada de \(f(x) = \sqrt{3x^2 + 1}\). 
A) \(\frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}\) 
B) \(\frac{3}{\sqrt{3x^2 + 1}}\) 
C) \(\frac{3x^2}{\sqrt{3x^2 + 1}}\) 
D) \(\frac{1}{\sqrt{3x^2 + 1}}\) 
**Resposta: A) \(\frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}\)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x^2 + 1}} \cdot 6x 
= \frac{3x}{\sqrt{3x^2 + 1}}\). 
 
**58.** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
A) 0 
B) 1 
C) 3 
D) Não existe 
**Resposta: C) 3** 
**Explicação:** Usando a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\), temos \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} = 3\). 
 
**59.** Determine a integral: \(\int (5x^4 - 2x^2 + 3) dx\). 
A) \(\frac{5x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 3x + C\) 
B) \(\frac{5x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + C\) 
C) \(\frac{5x^5}{5} - 2x^3 + 3 + C\) 
D) \(\frac{5x^5}{5} - 2x^3 + 3x + C\) 
**Resposta: A) \(\frac{5x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + 3x + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(5x^4\) é \(x^5\), de \(-2x^2\) é \(-\frac{2x^3}{3}\), e de \(3\) é 
\(3x\). 
 
**60.** Qual é a integral: \(\int \sin^3(x) dx\)? 
A) \(-\frac{1}{3}\cos^3(x) + C\) 
B) \(\frac{3}{4}\sin(x) - \frac{1}{4}\sin(3x) + C\) 
C) \(-\frac{1}{3}\sin^3(x) + C\) 
D) \(-\cos(x) + C\) 
**Resposta: B) \(\frac{3}{4}\sin(x) - \frac{1}{4}\sin(3x) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^3(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x))\) e integramos. 
 
**61.** Encontre a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\). 
A) \(2x e^{x^2}\) 
B) \(e^{x^2}\) 
C) \(x e^{x^2}\) 
D) \(2e^{x^2}\) 
**Resposta: A) \(2x e^{x^2}\)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \(f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2x e^{x^2}\). 
 
**62.** Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3}\). 
A) 0 
B) \(\frac{1}{6}\) 
C) \(\frac{1}{2}\) 
D) 1 
**Resposta: B) \(\frac{1}{6}\)** 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - 
\cos(x)}{3x^2} = \frac{1}{6}\). 
 
**63.** Determine a integral: \(\int (7x^3 - 5x + 1) dx\). 
A) \(\frac{7x^4}{4} - \frac{5x^2}{2} + x + C\) 
B) \(\frac{7x^4}{4} - \frac{5x^2}{2} + C\) 
C) \(\frac{7x^4}{4} - 5x + 1 + C\) 
D) \(\frac{7x^4}{4} - 5x + C\) 
**Resposta: A) \(\frac{7x^4}{4} - \frac{5x^2}{2} + x + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(7x^3\) é \(\frac{7x^4}{4}\), de \(-5x\) é \(-\frac{5x^2}{2}\), e 
de \(1\) é \(x\). 
 
**64.** Qual é a integral: \(\int \tan(x) dx\)? 
A) \(-\ln|\cos(x)| + C\) 
B) \(\ln|\sin(x)| + C\) 
C) \(-\ln|\sin(x)| + C\) 
D) \(\ln|\tan(x)| + C\) 
**Resposta: A) \(-\ln|\cos(x)| + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(\tan(x)\) é \(-\ln|\cos(x)| + C\).