para o desafio 1t8c

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**Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( f(x) = \tan(x) \) é \( f'(x) = \sec^2(x) \). 
 
23. **Problema 23:** Calcule a integral indefinida \( \int (7x^6 - 5x^4 + 3) \, dx \). 
 a) \( \frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{5}x^5 + 3x + C \) 
 b) \( x^7 - x^5 + 3x + C \) 
 c) \( 7x^7 - 5x^5 + 3x + C \) 
 d) \( 7x^7 - 5x^5 + 3 + C \) 
 **Resposta:** c) \( 7x^7 - 5x^5 + 3x + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int (7x^6 - 5x^4 + 3) \, dx = \frac{7}{7}x^7 - \frac{5}{5}x^5 + 
3x + C = 7x^7 - 5x^5 + 3x + C \). 
 
24. **Problema 24:** Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( 0 \) 
 c) \( e \) 
 d) \( -1 \) 
 **Resposta:** a) \( 1 \) 
 **Explicação:** Usando a definição da derivada, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = e^0 = 
1 \). 
 
25. **Problema 25:** Calcule a derivada de \( f(x) = x^3 \ln(x) \). 
 a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 b) \( 3x^2 \ln(x) + 3x \) 
 c) \( 3x^2 \ln(x) - x^2 \) 
 d) \( 3x^2 \ln(x) + x^3 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 \ln(x) + x^2 \) 
 **Explicação:** Usando a regra do produto, \( f'(x) = 3x^2 \ln(x) + x^2 \). 
 
26. **Problema 26:** Determine a integral definida \( \int_0^1 (4x^2 + 2) \, dx \). 
 a) \( 1 \) 
 b) \( \frac{5}{3} \) 
 c) \( 2 \) 
 d) \( \frac{8}{3} \) 
 **Resposta:** d) \( \frac{8}{3} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{4x^3}{3} + 2x \right]_0^1 = \left( \frac{4}{3} + 2 
\right) - 0 = \frac{4}{3} + \frac{6}{3} = \frac{10}{3} \). 
 
27. **Problema 27:** Calcule o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{4x^2 - x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{2}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Dividindo o numerador e o denominador por \( x^2 \), obtemos \( \lim_{x 
\to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{4 - \frac{1}{x}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \). 
 
28. **Problema 28:** Determine a derivada da função \( f(x) = \sqrt{x^3 + 1} \). 
 a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 b) \( \frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 c) \( \frac{3x^2 + 1}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 d) \( \frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, \( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot 3x^2 = 
\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}} \). 
 
29. **Problema 29:** Calcule a integral \( \int (8x^3 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) \( 2x^4 - x^2 + x + C \) 
 b) \( 2x^4 - x^2 + C \) 
 c) \( 8x^4 - x^2 + x + C \) 
 d) \( 8x^4 - x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( 2x^4 - x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é \( \int (8x^3 - 2x + 1) \, dx = 2x^4 - x^2 + x + C \). 
 
30. **Problema 30:** Determine o limite \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 3 \) 
 c) \( 6 \) 
 d) \( 9 \) 
 **Resposta:** c) \( 6 \) 
 **Explicação:** Fatorando, obtemos \( \frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = x + 3 \). Portanto, \( 
\lim_{x \to 3} (x + 3) = 6 \). 
 
31. **Problema 31:** Calcule a derivada de \( g(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \). 
 a) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 b) \( \frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 c) \( -\frac{1}{(x^2 + 1)^2} \) 
 d) \( \frac{1}{(x^2 + 1)^2} \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra do quociente, \( g'(x) = \frac{0 \cdot (x^2 + 1) - 1 \cdot 
2x}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{2x}{(x^2 + 1)^2} \). 
 
32. **Problema 32:** Calcule a integral definida \( \int_0^1 (3x^3 + 2x^2) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{5}{12} \) 
 c) \( \frac{1}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{12} \) 
 **Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{3x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \left( 
\frac{3}{4} + \frac{2}{3} \right) - 0 = \frac{9}{12} + \frac{8}{12} = \frac{17}{12} \). 
 
33. **Problema 33:** Encontre o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} \). 
 a) \( 0 \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( -1 \) 
 d) \( \infty \)