t7qj geometria

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30. **Qual é a integral de \( x e^{x^2} \)?** 
 a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 b) \( e^{x^2} + C \) 
 c) \( e^{x^2} - x^2 + C \) 
 d) \( \frac{1}{2}x^2 e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usamos a substituição \( u = x^2\) \(\Rightarrow du = 2x dx\): 
 \[ 
 \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^{x^2} + C 
 \] 
 
31. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(2x + 3) \)?** 
 a) \( \frac{2}{2x + 3} \) 
 b) \( \frac{1}{2x + 3} \) 
 c) \( \frac{1}{x} \) 
 d) \( \frac{2x + 3}{(2x + 3)^2} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{1}{2x + 3} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{2x + 3} \cdot 2 = \frac{2}{2x + 3} 
 \] 
 
32. **Qual é a integral de \( \sqrt{x} \)?** 
 a) \( \frac{2}{3}x^{3/2} + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^{2} + C \) 
 c) \( x + C \) 
 d) \( 2\sqrt{x} + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{2}{3}x^{3/2} + C \) 
 **Explicação:** Aplicando a regra de potenciais: 
 \[ 
 \int x^{1/2} \,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2} 
 \] 
 
33. **Qual é o valor de \( \int (6x^5 - 3x^3 + 2) \, dx \)?** 
 a) \( x^6 - 3\frac{x^4}{4} + 2x + C \) 
 b) \( x^6 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C \) 
 c) \( -\frac{3}{4}x^4 - x^6 + 2x + C \) 
 d) \( \frac{6}{5}x^5 - \frac{3}{4}x^4 + 2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( x^6 - \frac{3}{4}x^4 + 2x + C \) 
 **Explicação:** Aplicando regras de integración: 
 \[ 
 \int 6x^5 \,dx = x^6 \quad \int -3x^3 \,dx = -\frac{3}{4}x^4 \quad \int 2 \,dx = 2x 
 \] 
 
34. **Qual é a integral de \( \frac{1}{x^2} \)?** 
 a) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 b) \( \ln|x| + C \) 
 c) \( \frac{1}{x^3} + C \) 
 d) \( x^2 + C \) 
 **Resposta:** a) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int x^{-2} \,dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C 
 \] 
 
35. **Qual é a derivada de \( f(x) = x^2 + 3 \ln(x) \)?** 
 a) \( 2x + \frac{3}{x} \) 
 b) \( 3x + \frac{2}{x} \) 
 c) \( 2x + 3x^2 \) 
 d) \( 2 + 3\ln(x) \) 
 **Resposta:** a) \( 2x + \frac{3}{x} \) 
 **Explicação:** Derivando cada termo: 
 \[ 
 f'(x) = 2x + 3\frac{1}{x} 
 \] 
 
36. **Qual é a integral de \( \tan(x) \)?** 
 a) \( - \ln(\cos(x)) + C \) 
 b) \( \ln(\sin(x)) + C \) 
 c) \( \frac{1}{\cos(x)} + C \) 
 d) \( \ln(\tan(x)) + C \) 
 **Resposta:** a) \( - \ln(\cos(x)) + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int \tan(x) \,dx = -\ln|\cos(x)| + C 
 \] 
 
37. **Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Infinito 
 d) Não existe 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** Usamos L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = 0 
 \] 
 
38. **Qual é o resultado de \( \int \sec^2(x) \,dx \)?** 
 a) \( \tan(x) + C \) 
 b) \( \sec(x) + C \) 
 c) \( -\tan(x) + C \)