sistema da computação AQA

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c) \( \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 d) \( \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} \) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: 
 \[ 
 f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} 
 \] 
 
20. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(2x) - 1}{x^2} \)?** 
 a) 0 
 b) -2 
 c) -1 
 d) 1 
 **Resposta:** b) -2 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: 
 \[ 
 \lim_{x \to 0} \frac{-2\sin(2x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(2x)}{x} = -2 
 \] 
 
21. **Qual é a integral de \( \int (2x^3 + 3x^2 - 4) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \) 
 b) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4 + C \) 
 c) \( \frac{1}{4}x^4 + x^3 - 4x + C \) 
 d) \( \frac{1}{4}x^4 + x^2 - 4 + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (2x^3) \, dx = \frac{1}{2}x^4, \quad \int (3x^2) \, dx = x^3, \quad \int (-4) \, dx = -4x 
 \] 
 Portanto, a integral total é \( \frac{1}{2}x^4 + x^3 - 4x + C \). 
 
22. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(\frac{1}{x})}{x} \)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Não existe 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** a) 0 
 **Explicação:** O limite é \( \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) \). Como \( |\sin(\frac{1}{x})| 
\leq 1 \), temos \( |x \sin(\frac{1}{x})| \leq |x| \) e, portanto, o limite é 0. 
 
23. **Qual é a integral de \( \int (7x^2 - 2x + 1) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{7}{3}x^3 - x^2 + x + C \) 
 b) \( \frac{7}{3}x^3 - x + x + C \) 
 c) \( \frac{7}{3}x^3 - x^2 + C \) 
 d) \( \frac{7}{3}x^3 - \frac{2}{2}x + C \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{7}{3}x^3 - x^2 + x + C \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (7x^2) \, dx = \frac{7}{3}x^3, \quad \int (-2x) \, dx = -x^2, \quad \int (1) \, dx = x 
 \] 
 Portanto, a integral total é \( \frac{7}{3}x^3 - x^2 + x + C \). 
 
24. **Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(x) \)?** 
 a) \( \sec^2(x) \) 
 b) \( \sin^2(x) \) 
 c) \( \cos^2(x) \) 
 d) \( \frac{1}{\cos^2(x)} \) 
 **Resposta:** a) \( \sec^2(x) \) 
 **Explicação:** A derivada de \( \tan(x) \) é dada pela regra: 
 \[ 
 f'(x) = \sec^2(x) 
 \] 
 
25. **Qual é o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 4x) \, dx \)?** 
 a) \( \frac{5}{3} \) 
 b) \( 2 \) 
 c) \( \frac{7}{3} \) 
 d) \( 3 \) 
 **Resposta:** c) \( \frac{7}{3} \) 
 **Explicação:** A integral é: 
 \[ 
 \int (x^2 + 4x) \, dx = \frac{x^3}{3} + 2x^2 
 \] 
 Avaliando de 0 a 1: 
 \[ 
 \left[ \frac{1^3}{3} + 2(1^2) \right] - 0 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1}{3} + \frac{6}{3} = \frac{7}{3} 
 \] 
 
26. **Qual é o valor de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x + 1}{5x^2 + 4} \)?** 
 a) 0 
 b) \( \frac{2}{5} \) 
 c) 1 
 d) \( \infty \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{2}{5} \) 
 **Explicação:** Dividimos o numerador e o denominador por \( x^2 \): 
 \[ 
 \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x} + \frac{1}{x^2}}{5 + \frac{4}{x^2}} = \frac{2 + 0 + 0}{5 + 
0} = \frac{2}{5} 
 \] 
 
27. **Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?** 
 a) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2 + 1} \)