contas honj

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d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** c) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (x^3 + 2x^2 - x) \, dx = \frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} - 
\frac{x^2}{2} + C\). Avaliando de 0 a 1, temos \(\left(\frac{1}{4} + \frac{2}{3} - 
\frac{1}{2}\right) = \frac{5}{12}\). 
 
56. **Problema 56:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x}\). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Infinito 
 **Resposta:** c) 5 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 5\), então o limite é 5. 
 
57. **Problema 57:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx\). 
 a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 b) \(\frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{x} + C\) 
 d) \(\ln|x| + C\) 
 **Resposta:** a) \(\tan^{-1}(x) + C\) 
 **Explicação:** A integral é uma forma padrão e resulta em \(\tan^{-1}(x) + C\). 
 
58. **Problema 58:** Determine a derivada de \(f(x) = e^{2x} \sin(3x)\). 
 a) \(2e^{2x} \sin(3x) + 3e^{2x} \cos(3x)\) 
 b) \(2e^{2x} \cos(3x) + 3e^{2x} \sin(3x)\) 
 c) \(2e^{2x} \sin(3x) - 3e^{2x} \cos(3x)\) 
 d) \(2e^{2x} \cos(3x) - 3e^{2x} \sin(3x)\) 
 **Resposta:** a) \(2e^{2x} \sin(3x) + 3e^{2x} \cos(3x)\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\), onde \(u = e^{2x}\) e \(v = 
\sin(3x)\). Assim, \(u' = 2e^{2x}\) e \(v' = 3\cos(3x)\). 
 
59. **Problema 59:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{5}{12}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{5}{12}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (x^3 - 2x^2 + 1) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{2x^3}{3} + x + 
C\). Avaliando de 0 a 1, temos \(\left(\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + 1\right) = \frac{5}{12}\). 
 
60. **Problema 60:** Determine o limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1}\). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 0 
 d) Infinito 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** O limite é uma indeterminação \(0/0\). Usamos a fatoração: \(\frac{(x - 
1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1\). Assim, \(\lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\). 
 
61. **Problema 61:** Calcule a integral \(\int e^{3x} \cos(2e^{3x}) \, dx\). 
 a) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 b) \(\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 c) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 d) \(\frac{1}{13} e^{3x} \sin(2e^{3x}) + C\) 
 **Resposta:** c) \(-\frac{1}{13} e^{3x} \cos(2e^{3x}) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a técnica de integração por partes, onde \(u = \cos(2e^{3x})\) e 
\(dv = e^{3x}dx\). A integral se transforma em uma forma que pode ser resolvida por partes 
novamente. 
 
62. **Problema 62:** Calcule a integral \(\int_0^1 (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{5}\) 
 c) \(\frac{2}{5}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{1}{5}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (x^4 - 3x^2 + 2) \, dx = \frac{x^5}{5} - x^3 + 2x + C\). 
Avaliando de 0 a 1, temos \(\left(\frac{1}{5} - 1 + 2\right) = \frac{1}{5}\). 
 
63. **Problema 63:** Determine o limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x}\). 
 a) 3 
 b) 0 
 c) 1 
 d) Infinito 
 **Resposta:** a) 3 
 **Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). Aqui, \(k = 3\), então o limite é 3. 
 
64. **Problema 64:** Calcule a integral \(\int \frac{1}{x^2 - 9} \, dx\). 
 a) \(\frac{1}{6} \ln|x - 3| - \frac{1}{6} \ln|x + 3| + C\) 
 b) \(\frac{1}{6} \tan^{-1}(x) + C\) 
 c) \(\frac{1}{6} \ln|x^2 - 9| + C\) 
 d) \(\frac{1}{6} \tan^{-1}(x^2) + C\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{1}{6} \ln|x - 3| - \frac{1}{6} \ln|x + 3| + C\) 
 **Explicação:** A integral pode ser resolvida usando frações parciais, resultando em 
\(\frac{1}{6} \ln|x - 3| - \frac{1}{6} \ln|x + 3| + C\). 
 
65. **Problema 65:** Calcule a integral \(\int_0^1 (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx\). 
 a) 0 
 b) \(\frac{1}{4}\) 
 c) \(\frac{1}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Resposta:** d) \(\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** A primitiva é \(\int (2x^3 - 3x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{2}x^4 - x^3 + x + C\). 
Avaliando de 0 a 1, temos \((\frac{1}{2} - 1 + 1) - 0 = \frac{1}{2}\).