exercicios cifft

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C) \( x^2 e^{x^2} \) 
D) \( 2e^{x^2} \) 
**Resposta: A) \( 2xe^{x^2} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = e^{x^2} \cdot 2x = 2xe^{x^2} \). 
 
33. Calcule \( \int (5x^4 - 4x^3 + 2x - 1) \, dx \). 
A) \( x^5 - x^4 + x^2 - x + C \) 
B) \( x^5 - x^4 + x^2 + C \) 
C) \( x^5 - x^4 + x^2 - 1 + C \) 
D) \( x^5 - x^4 + 2x^2 - x + C \) 
**Resposta: A) \( x^5 - x^4 + x^2 - x + C \)** 
**Explicação:** Integrando termo a termo, temos \( \int 5x^4 \, dx = x^5 \), \( \int -4x^3 \, dx 
= -x^4 \), \( \int 2x \, dx = x^2 \) e \( \int -1 \, dx = -x \). 
 
34. Qual é o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não existe 
**Resposta: B) 1** 
**Explicação:** Este é um limite fundamental que resulta em 1, pois \( e^x \) se aproxima 
de 1 quando \( x \to 0 \). 
 
35. Determine \( \frac{d}{dx} (x^3 e^{-x}) \). 
A) \( x^3 e^{-x} + 3x^2 e^{-x} \) 
B) \( x^3 e^{-x} - e^{-x} \) 
C) \( e^{-x} (x^3 - 3x^2) \) 
D) \( e^{-x} (3x^2 - x^3) \) 
**Resposta: C) \( e^{-x} (x^3 - 3x^2) \)** 
**Explicação:** Usando a regra do produto, temos \( f'(x) = e^{-x} (x^3)' + x^3 (e^{-x})' = e^{-
x} (3x^2 - x^3) \). 
 
36. Calcule \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \). 
A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
B) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \) 
C) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}(x) + C \) 
D) \( \frac{1}{4} \tan^{-1}(x) + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \)** 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = \frac{x}{2} \), temos \( du = \frac{1}{2}dx \). 
Assim, a integral se torna \( \int \frac{1}{4(u^2 + 1)} \, du = \frac{1}{4} \tan^{-1}(u) + C = 
\frac{1}{2} \tan^{-1}\left(\frac{x}{2}\right) + C \). 
 
37. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(5x^2 + 3) \)? 
A) \( \frac{10x}{5x^2 + 3} \) 
B) \( \frac{5x}{5x^2 + 3} \) 
C) \( \frac{2x}{5x^2 + 3} \) 
D) \( \frac{1}{5x^2 + 3} \) 
**Resposta: A) \( \frac{10x}{5x^2 + 3} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{5x^2 + 3} \cdot (10x) = 
\frac{10x}{5x^2 + 3} \). 
 
38. Calcule \( \int (3x^2 - 4x + 1) e^{x^3} \, dx \). 
A) \( e^{x^3} + C \) 
B) \( e^{x^3} (x^3 - 2x^2 + x) + C \) 
C) \( e^{x^3} (x^3 - 2x^2 + 1) + C \) 
D) \( e^{x^3} (x^3 - 2x) + C \) 
**Resposta: B) \( e^{x^3} (x^3 - 2x^2 + x) + C \)** 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = x^3 \), temos \( du = 3x^2 dx \). Portanto, a 
integral se torna \( \int e^{u} \, du = e^{u} + C = e^{x^3} + C \). 
 
39. Determine o valor de \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta: C) 2** 
**Explicação:** O limite é uma indeterminação \( \frac{0}{0} \). Usando fatoração, \( x^2 - 
1 = (x-1)(x+1) \), então \( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \). 
 
40. Calcule a integral \( \int_0^2 (x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 3 
**Resposta: A) 0** 
**Explicação:** A integral é \( \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_0^2 = \left( \frac{8}{3} - 4 + 
2 \right) - (0) = \frac{8}{3} - 4 + 2 = 0 \). 
 
41. Qual é a derivada de \( f(x) = \tan(3x) \)? 
A) \( 3\sec^2(3x) \) 
B) \( 3\sec(3x) \) 
C) \( \sec^2(3x) \) 
D) \( 3\tan(3x) \) 
**Resposta: A) \( 3\sec^2(3x) \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 3\sec^2(3x) \). 
 
42. Calcule \( \int (x^4 + 3x^2 - 5) \, dx \). 
A) \( \frac{x^5}{5} + x^3 - 5x + C \) 
B) \( \frac{x^5}{5} + x^3 - 5 + C \) 
C) \( \frac{x^5}{5} + 3x^3 - 5 + C \) 
D) \( \frac{x^5}{5} + 3x^3 - 5x + C \) 
**Resposta: A) \( \frac{x^5}{5} + x^3 - 5x + C \)** 
**Explicação:** Integrando, temos \( \int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} \), \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \) 
e \( \int -5 \, dx = -5x \). 
 
43. Qual é o limite \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4} \)?